2022年旧高考（人教版）数学一轮教学案：第四章第一讲　平面向量的概念及其线性运算 （含解析）.doc

1、 - 1 - 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第第一讲一讲 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 向量的有关概念 (1)向量：既有_大小_又有_方向_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_长度_(或 称_模_) (2)零向量：_长度为 0_的向量叫做零向量，其方向是_任意_的，零向量记作_0_. (3)单位向量：长度等于_1_个单位的向量 (4)平行向量：方向相同或_相反_的_非零_向量；平行向量又叫_共线_向量规定： 0 与任一向量_平行_. (5)相等向量：长度_相等_且方向_相同_的向量 (6)相反向量：长度_相等_且

2、方向_相反_的向量 知识点二 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运 算 _三角形_法则 _平行四边形_法则 (1)交换律： ab_ba_； (2)结合律： (ab)c_a(b c)_ 减法 向量 a 加上向量 b 的_相反向量_叫 做 a 与 b 的差， 即 a (b)ab _三角形_法则 aba(b) 数乘 实数 与向量 a 的 积是一个_向量_ 记作 a (1)模：|a|a| ； (2)方向： 当 0 时，a 与 a 的方向 _相同_； 当 0 时，a 与 a 的方向 _相反_； 当 0 时，a0 设 ， 是实数 (1)_(a)_()a (2)

3、()a_aa_ (3)(ab)_ab_. - 2 - 知识点三 共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当存在唯一一个实数 ，使_ba_. 归 纳 拓 展 1零向量与任何向量共线 2与向量 a(a0)共线的单位向量a |a|. 3若存在非零实数 ，使得AB AC或ABBC或ACBC，则 A，B，C 三点共线 4首尾相连的一组向量的和为 0. 5若 P 为 AB 的中点，则OP 1 2(OA OB ) 6若 a、b 不共线，且 ab，则 0. 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量(

4、 ) (2)若 ab，bc，则 ac.( ) (3)若向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反( ) (4)若向量AB 与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上( ) (5)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立( ) 题组二 走进教材 2(必修 4P91A 组 T4 改编)化简AB BD AC CD ( B ) AAD B0 CBC DDA 解析 AB BD AC CD AD (AC CD )AD AD 0. 3(必修 4P84T4 改编)向量 e1，e2，a，b 在正方形网格中的位置如图所示，向量 ab 等 于( C ) A4e12e

5、2 - 3 - B2e14e2 Ce13e2 D3e1e2 解析 由图可知 a4e2，b(e1e2)，abe13e2，故选 C 4 (必修 4P91A 组 T3 改编)如图所示， 在平行四边形 ABCD 中， 下列结论中错误的是( C ) AAB DC BAD AB AC CAB AD BD DAD CB 0 解析 由AB AD DB BD ，故 C 错误 题组三 走向高考 5(2020 新高考，3,5 分)若 D 为ABC 的边 AB 的中点，则CB ( A ) A2CD CA B2CA CD C2CD CA D2CA CD 解析 D 为ABC 的边 AB 的中点，CD 1 2(CA CB)

6、，CB2CD CA .故选 A 6(2015 新课标 2)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _1 2_. 解析 a、b 不平行，a2b0，由题意可知存在唯一实数 m，使得 abm(a 2b)，即(m)a(2m1)b， m0 2m10 ，解得 1 2. 考点突破 互动探究 考点一 向量的基本概念自主练透 例 1 (1)给出下列命题，正确的是( B ) A若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B若 A，B，C，D 是不共线的四点，且AB DC ，则四边形 ABCD 为平行四边形 Cab 的充要条件是|a|b|且 ab - 4 - D已知 ， 为实数，若 ab，则

7、a 与 b 共线 (2)若 a0为单位向量，a 为平面内的某个向量，下列命题中： 若 a 为平面内的某个向量，则 a|a| a0； 若 a 与 a0平行，则 a|a|a0； 若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0， 假命题的个数是( D ) A0 B1 C2 D3 解析 (1)A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等， 不一定有相同的起点和终点； B 正确，因为AB DC ，所以|AB |DC |且AB DC ，又 A，B，C，D 是不共线的四点，所 以四边形 ABCD 为平行四边形； C 错误，当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，所以|a

8、|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件； D 错误，当 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 ab，但 a 与 b 不一定共线故 选 B (2)均为假命题 名师点拨 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 (3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同， 所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量 (4)非零向量 a 与 a |a|的关系是： a |a|是 a 方向上的单位向量 考点二 向量的线性运算师生共研 例 2 (1)(2021 武汉调研)设 M 为平行四边形 A

9、BCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点，则OA OB OC OD 等于( D ) AOM B2OM C3OM D4OM (2)(2018 全国理， 6)在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点， 则EB ( A ) A3 4AB 1 4AC B1 4AB 3 4AC - 5 - C3 4AB 1 4AC D1 4AB 3 4AC 解析 (1)如图，在OAC 中，M 为 AC 中点，所以OA OC 2OM ，在OBD 中，OB OD 2OM ，故选 D (2)如图，由 E 为 AD 的中点，得AE 1 2AD ，EB ABAEAB1 2A

10、D . 又D 为 BC 的中点， AD 1 2AB 1 2AC .EBAB1 4AB 1 4AC 3 4AB 1 4AC .故选 A 名师点拨 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义 (2)求已知向量的和或差一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则； 求首尾相连的向量的和用三角形法则 (3)与三角形综合，求参数的值求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参 数 (4)与平行四边形综合，研究向量的关系画出图形，找出图中的相等向量、共线向量， 将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解 变式训练 1 (1)已知三角形ABC是等边三角形，

11、 D为AB的中点， 点E满足2CE BE0， 则AE( A ) A2 3AB 2 3CD B2 3AB 2 3CD C2 3AB 1 3CD D1 3AB 2 3CD (2)如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，AB a，AC b，则AD ( D ) - 6 - Aa1 2b B1 2ab Ca1 2b D1 2ab 解析 (1)由 2CE BE0 知CE1 3CB ，BE2 3BC ，所以AEABBEAB2 3BC AB 2 3(BD DC )AB 2 3 1 2AB CD 2 3AB 2 3CD . (2)连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，

12、得 CDAB，且CD 1 2AB 1 2a，所以AD AC CD b1 2a. 考点三 共线向量定理及其应用师生共研 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线 (1)若AB ab，BC2a8b，CD 3(ab)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 分析 (1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量 有公共点，这时才能说明三点共线； (2)利用共线向量定理求解 解析 (1)证明：AB ab，BC2a8b，CD 3(ab)， BD BC CD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB . AB ，BD 共线，

13、又它们有公共点 B， A，B，D 三点共线 (2)kab 与 akb 共线， 存在实数 ，使 kab(akb)， - 7 - 即 kabakb. (k)a(k1)b. a，b 是不共线的两个非零向量， k0， k10， 解得 k 1. 引申 本例(2)中，若 kab 与 akb 反向，则 k_1_；若 kab 与 akb 同向，则 k_1_. 解析 由本例可知 kab 与 akb 反向时 0， 从而 k1. 名师点拨 平面向量共线的判定方法 (1)向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是存在唯一实数 ， 使 ba.要注意通常只有非零 向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想

14、的运用 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 变式训练 2 (1)(2021 济南模拟)已知向量 a，b 不共线，且 cab，da(21)b，若 c 与 d 共线 反向，则实数 的值为( B ) A1 B1 2 C1 或1 2 D1 或1 2 (2)已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，并且 ab 与 c 共线，bc 与 a 共线，那么 a bc 等于( D ) Aa Bb Cc D0 解析 (1)由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 ckd(k0)， 于是 abka(21)b， 整理得

15、abka(2kk)b. 由于 a，b 不共线，所以有 k， 2kk1， 整理得 2210，解得 1 或 1 2. 又因为 k0，所以 0，故 1 2.故选 B - 8 - (2)ab 与 c 共线，ab1c. 又bc 与 a 共线，bc2a. 由得：b1ca. bc1cac(11)ca2a. 110， 21， 即 11， 21. abccc0.故选 D 名师讲坛 素养提升 易错警示都是零向量“惹的祸” 例 4 下列命题正确的是( D ) A向量 a，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使 ba B在ABC 中，AB BCCA0 C不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立 D若

16、向量 a，b 不共线，则向量 ab 与向量 ab 必不共线 解析 易知 ABC 错误对于 D向量 a 与 b 不共线， 向量 a，b，ab 与 ab 均不为零向量 若 ab 与 ab 共线， 则存在实数 使 ab(ab)， 即(1)a(1)b， 所以 10， 10， 此时 无解，故假设不成立， 即 ab 与 ab 不共线故 D 正确 名师点拨 在向量的有关概念中，定义长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0 与任一向量平行由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量， 那么往往会得到错误的判断或结论在向量的运算中，很多学生也往往忽视 0 与 0 的区别， 导致结论错误 变式训练 3 下列叙述正确的是( D ) A若非零向量 a 与 b 的方向相同或相反，则 ab 与 a，b 其中之一的方向相同 B|a|b|ab|a 与 b 的方向相同 - 9 - CAB BA0 D若 0，ab，则 ab 解析 对于 A，当 ab0 时，其方向任意，它与 a，b 的方向都不相同；对于 B，当 a， b 中有一个为零向量时结论不成立； 对于 C， 因为两个向量之和仍是一个向量， 所以AB BA 0；对于 D，(ab)0 时，0，此时一定有 ab.故选 D