2022年旧高考（人教版）数学一轮教学案：第十章第二讲　古典概型（文） 第五讲　古典概型（理） （含解析）.doc

1、第二讲第二讲 古典概型古典概型(文文) 第五讲第五讲 古典概型古典概型(理理) 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是_互斥_的 (2)任何事件都可以表示成_基本事件_的和(除不可能事件) 知识点二 古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件_只有有限个_ (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_相等_ 知识点三 古典概型的概率公式 P(A)_A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 _ 归 纳 拓 展 1任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和 2 求试验的

2、基本事件数及事件 A 包含的基本事件数的方法有列举法、 列表法和树状图法 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发 芽与不发芽”( ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可 能事件( ) (3)从市场上出售的标准为 500 5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概 型( ) (4)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的 可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为1 3(

3、) (5)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 0.2( ) 题组二 走进教材 2(P133T3 改编)袋中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个黑球，从中任取两球，则取出的两球 有黑球的概率为_1 3_，两球不同色的概率为_ 11 15_ 解析 (理)记“取出两球有黑球”为事件 A，则 P(A)C 1 5 C26 5 15 1 3，两球不同色的取法有 11 种，记“取出两球不同色”为事件 B，则 P(B)C 1 3C 1 2C 1 3C 1 1C 1 2C 1 1 C26 11 15 (文)记 3 个白球为 a1，a2，a3,2 个黄球为 b1，b2,1 个黑球

4、为 c，则任取两球有 a1a2，a1a3， a1b1，a1b2，a1c，a2a3，a2b1，a2b3，a2c，a3b1，a3b2，a3c，b1b2，b1c，b2c 共 15 种，其中有 1 球为黑色的有 5 种，记“取出两球有黑球”为事件 A，则 P(A) 5 15 1 3，两球不同色的取法有 11 种，记“取出两球不同色”为事件 B，则 P(B)11 15 题组三 走向高考 3(2018 新课标)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成 果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30723在不超 过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 3

5、0 的概率是( C ) A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 解析 不超过 30 的素数有，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 共 10 个，从中选 2 个不同的数有 109 2 45 种，和等于 30 的有(7,23)，(11,19)，(13,17)，共 3 种，则所求概率 P 3 45 1 15，故 选 C 4(2019 课标全国，3)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的 概率是( D ) A1 6 B1 4 C1 3 D1 2 解析 (理)记“两位女同学相邻”为“事件 A”，则 P(A)A 2 3A 2 2 A44 1 2，故选 D (

6、文)设两位男同学分别为 A、B，两位女同学分别为 a，b，则四位同学排成一列，所有可 能的结果用树状图表示为 共 24 种结果，其中两位女同学相邻的结果有 12 种， P(两位女同学相邻)12 24 1 2，故选 D 5(2019 课标全国)生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为( B ) A2 3 B3 5 C2 5 D1 5 解析 解法一：记 5 只兔子分别为 A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的 3 只兔子 为 A，B，C，则从这 5 只兔子中，随机取出 3 只的基本事件有 ABC，ABD，AB

7、E，ACD，ACE， ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共 10 种，其中恰有 2 只测量过该指标的基本事件有 ABD， ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共 6 种，所以所求事件的概率 P 6 10 3 5故选 B 解法二：(理)记“恰有 2 只测量过该指标”为事件 A，则 P(A)C 2 3C 1 2 C35 3 5，故选 B 考点突破 互动探究 考点一 简单的古典概型问题自主练透 例 1 (1)(2017 课标全国)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回 后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( D ) A

8、1 10 B1 5 C 3 10 D2 5 (2)(理)(2021 四川攀枝花统考)有编号分别为 1,2,3,4 的 4 个红球和 4 个黑球，随机取出 3 个，则取出的球的编号互不相同的概率是( A ) A4 7 B3 7 C2 7 D1 7 (文)(2021 四川攀枝花统考改编)有编号分别为 1,2,3 的 3 个红球和 3 个白球，随机取出 2 个，则取出的 2 球编号不同的概率为_4 5_ (3) (理)(2019 全国，6)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由 从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在 所有重卦中随机取一重卦，则该重

9、卦恰有 3 个阳爻的概率是( A ) A 5 16 B11 32 C21 32 D11 16 (文)(2018 上海高考)有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是_1 5_(结果用最简分 数表示) (4)(理)(2021 湖北省调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人， 这 里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”为 弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一 节， 连排六节， 则满足“数”必须排在前两节

10、， “礼”和“乐”必须分开安排的概率为( C ) A 7 60 B1 6 C13 60 D1 4 (文)(2021 百师联盟联考)某学校实行导师制，该制度规定每位学生必须选一位导师，每位 导师至少要选一位学生若 A，B，C 三位学生要从甲，乙中选择一人做导师，则 A 选中甲同 时 B 选中乙做导师的概率为_1 3_ (5)(理)(2021 安徽合肥质检)在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内 A，B，C 三个小区志愿者中各选取 2 人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控 宣传工作若每个小区安排 2 人，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的 志愿者来自不同小

11、区的概率为( C ) A5 9 B4 9 C 4 45 D 2 135 解析 (1)解法一：(列举法) 画出树状图如图： 可知所有的基本事件共有 25 个， 满足题意的基本事件有 10 个， 故所求概率 P10 25 2 5 故 选 D 解法二：(排列组合法) PC 1 4C 1 3C 1 2C 1 1 C15 C15 2 5故选 D (2)(理)有编号分别为 1,2,3,4 的 4 个红球和 4 个黑球，随机取出 3 个，基本事件总数 n C3856， 取出的编号互不相同包含的基本事件个数 mC34C12C12C1232 或mC 1 8C 1 6C 1 4 A33 32 ，则取出 的编号互不

12、相同的概率是 Pm n 32 56 4 7，故选 A (文)记三个红球为 1,2,3,3 个白球为，则任取的球共有(1,2)，(1,3)，(1，)，(1， )，(1，)，(2,3)，(2，)，(2，)，(2，)，(3，)，(3，)，(3，)，(，)，(， )，(，)共 15 种，其中编号相同的有 3 种，故所求概率为 P1 3 15 4 5 (3)(理)重卦是由从下到上排列的 6 个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的 重卦共有 2664 种， 重卦中恰有 3 个“阳爻”的共有 C36C3320 种 故所求概率 P20 64 5 16， 故选 A (文)记 5 克、3 克、1 克砝码

13、分别是 5、3、1，两个 2 克砝码分别为 2a,2b，则从这五个砝 码中随机选取三个， 有以下选法： (5,3,1)， (5,3,2a)， (5,3,2b)， (5,1,2a)， (5,1,2b)， (5,2a,2b)， (3,1,2a)， (3,1,2b)， (3,2a,2b)， (1,2a,2b)， 共 10 种， 其中满足三个砝码的总质量为 9 克的有(5,3,1)， (5,2a,2b)， 共 2 种，故所求概率 P 2 10 1 5 (4)(理)解法一：当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有 4 种情况，礼和乐顺序有 2 种，其 他剩下的有 A33种情况，由间接法得到满足条件的情况有 A

14、55C14A22A33当“数”在第二位时，礼 和乐相邻有 3 种情况，礼和乐顺序有 2 种，其它剩下的有 A33种， 由间接法得到满足条件的情况有 A55C13A22A33 共有：A55C13A22A33A55C14A22A33种情况，不考虑限制因素，总数有 A66种， 故满足条件的事件的概率为： A55C13A22A33A55C14A22A33 A66 13 60，故答案为 C 解法二：当“数”位于第一位时，有 A33A24种；当“数”位于第二位时，有 C12A44C13A22A22 种，总排法有 A66种，所求概率 PA 3 3A 2 4C 1 2A 4 4C 1 3A 2 2A 2 2

15、A66 13 60 (文)A，B，C 三位学生选甲，乙做导师的可能结果用(x，y)表示，x，y 分别表示甲，乙做 导师，所有可能结果为：(AB)，C)(C，(AB)(AC)，B)(B，(AC)(A，(BC)(BC)，A)共有 6 个 基本事件记“A 选中甲同时 B 选中乙做导师”为事件 M，则 M 包含(A，(BC)，(AC)，B)2 个基本事件故 P(M)1 3 (5)(理)从辖区内 A，B，C 三个小区志愿者中各选取 2 人，随机安排到这三个小区，每个 小区安排 2 人，则基本事件总数 nC 2 6C 2 4C 2 2 A33 A3390， 每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志

16、愿者来自不同小区包含的基本事 件个数为 mC12C12C12C11C11C118， 则所求概率为 P 8 90 4 45，选 C 引申(理)本例(4)中，(1)“必须分开”改为“相邻”，则概率为_ 7 60_； (2)“必须分开”改为“不和数相邻”的概率为_ 3 20_ 解析 (1)PA 4 4A 2 2C 1 3A 3 3A 2 2 A66 7 60 (2)PC 1 3A 4 4C 1 3C 1 2A 3 3 A66 3 20 名师点拨 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的个数， 这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具

17、体应用 时可根据需要灵活选择 变式训练 1 (1)(理)(2021 河南郑州名校调研)甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、乙两人中 至少有一人站在两端的概率为( A ) A5 6 B1 2 C1 3 D2 3 (文)(2021 湖北百师联盟质检)2021 年春节，小伟计划到华东旅游，现从“上海，南京，杭 州，苏州，无锡”五个城市中任选两个，则上海被选中的概率为_2 5_ (2)(理)(2021 广东百校联考)十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地 支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十 二属相现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三

18、位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲 同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位 同学抽取的礼物都喜欢的概率是_ 3 88_ (文)(2021 福建龙岩一中期中)某学校积极开展“服务社会，提升自我”的志愿者服务活 动，九年级的五名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队若从该小分队中任选两名 同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是_3 5_ 解析 (1)(理)甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相， 基本事件总数 nA4424， 甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数 mA44A22A2220， 甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为： Pm

19、 n 20 24 5 6故选 A (文)不同选法有(上海，南京)，(上海，杭州)，(上海，苏州)，(上海，无锡)，(南京，杭州)， (南京，苏州)，(南京，无锡)，(杭州，苏州)，(杭州，无锡)，(苏州，无锡)，共 10 种，其中上 海被选中的有 4 种，故所求概率为 P 4 10 2 5 (2)(理)依题意可分类为甲同学选马， 则有 C12C1918 种， 甲同学选牛，则有 C13C1927 种 所有情况有 A312种，则这三位同学选取的礼物都满意的概率 P 45 A312 3 88 (文)三名男生分别记为 1,2,3，两名女生分别记为 4,5，则从该小分队中任选两名同学的所 有基本事件为(

20、1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 个设 “恰是一男一女”为事件 A，则 A 包含的基本事件为(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)， 共 6 个故所求的概率为 P(A) 6 10 3 5 考点二 较复杂的古典概型问题多维探究 角度 1 古典概型与平面向量的交汇 例 2 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 m，第二 次出现的点数为 n，向量 p(m，n)，q(2,1)，则向量 pq 的概率为 ( B ) A 1 18 B 1 12 C1 9 D1

21、6 解析 向量 pq，m2n0，m2n，满足条件的(m，n)有 3 个：(2,1)，(4,2)， (6,3)，又基本事件的总数为 36，P 3 36 1 12，故选 B 角度 2 古典概型与解析几何的交汇 例 3 (2021 甘肃兰州模拟)双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，其中 a1,2,3,4， b1,2,3,4，且 a，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线 l：yx 与双曲线 C 的左、右支 各有一个交点的概率为( B ) A1 4 B3 8 C1 2 D5 8 解析 直线 l： yx 与双曲线 C 的左、 右支各有一个交点， 则b a1， 基本事件总数为 44 16

22、，满足条件的(a，b)的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 个(或 C13C12 C116(个)，故概率为3 8 角度 3 古典概型与函数的交汇 例 4 (2021 吉林省实验中学月考)已知函数 f(x)1 3x 3ax2b2x1， 若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率 为( D ) A7 9 B1 3 C5 9 D2 3 解析 求导得 f(x)x22axb2，要满足题意需 x22axb20 有两个不等实根，即 4(a2b2)0，即 ab，又 a，b 的取法共有

23、339 种，其中满足 ab 的有(1,0)，(2,0)， (2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共 6 种，故所求的概率为 P6 9 2 3 名师点拨 较复杂的古典概型问题的求解方法 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基 本事件总数和随机事件中所含基本事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算 变式训练 2 (1)(角度 1)设平面向量 a(m,1)，b(2，n)，其中 m，n1,2,3,4，记“a(ab)”为事 件 A，则事件 A 发生的概率为( A ) A1 8 B1 4 C1 3 D1 2 (2)(角度2)(2020 河北七校联考)

24、若m是集合1,3,5,7,9,11中任意选取的一个元素， 则椭圆x 2 m y 2 21 的焦距为整数的概率为_ 1 2_ (3)(角度 3)(2020 四川威远中学月考)若 a，b1,0,1,2，则函数 f(x)ax22xb 有零 点的概率为( A ) A13 16 B7 8 C3 4 D5 8 解析 (1)a(ab)a (ab)0m22mn10，即 n(m1)2，又 m、n 1,2,3,4，(m，n)共有 16 个，而事件 A 仅包括(2,1)，(3,4)2 个， P(A) 2 16 1 8，故选 A (2)由题意知椭圆的焦距 2c2 m2或 2c2 2m， m1,3,11， 所求概率 P

25、3 6 1 2 (3)a， b1,0,1,2， (a， b)的取法有 16 种， 函数 yf(x)有零点， 即 44ab0， ab1， 由表 b ab a 1 0 1 2 1 1 0 1 2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 2 4 知符合条件的(a，b)有 13 种， 所求概率为13 16，故选 A 考点三,古典概率与统计的综合师生共研 例 5 (1)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布 直方图根据标准，产品长度在区间20,25)上为一等品，在区间15,20)和25,30)上为二等品， 在区间10,15)和30,35上为三等品用频率估计概率，

26、现从该批产品中随机抽取 1 件，则其为 二等品的概率是( D ) A0.09 B0.20 C0.25 D0.45 (2)(2021 河南安阳调研)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内 A，B，C 三类行业共 200 个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到 80 分及 其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到 80 分的单位被称为“非星级”环保单位，现 通过分层抽样的方法抽取了这三类行业的 20 个单位，其考评分数如下： A 类行业：85,82,77,78,83,87； B 类行业：76,67,80,85,79,81； C 类行业：87,89,76,86,75

27、,84,90,82 计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数； 若从抽取的 A 类行业这 6 个单位中，再随机选取 3 个单位进行某项调查，求选出的这 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率 解析 (1)由频率分布直方图的性质可知， 样本数据在区间25,30)上的频率为15(0.02 0.040.060.03)0.25，则二等品的频率为 0.250.0450.45，故任取 1 件为二等品的 概率为 0.45 (2)由题意，得抽取的 A，B，C 三类行业单位个数之比为 334 由分层抽样的定义，有 A 类行业的单位个数为 3 1020060， B 类行业的单位个数为 3

28、1020060， C 类行业的单位个数为 4 1020080， 故该城区 A，B，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为 60,60,80 记选出的这 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件 M (理)又 A 类行业的 6 个单位中有 4 个“量级”单位，记 2 个“非量级”单位， P(M)C 2 4C 1 2C 1 4 C36 4 5 (或 P(M)1P(M )1C34 C36 4 5) (文)这 3 个单位的考核数据情形有85,82,77， 85,82,78，85,82,83，85,82,87，85,77,78， 85,77,83，85,77,87，85,78,83

29、，85,78,87， 85,83,87，82,77,78，82,77,83，82,77,87， 82,78,83，82,78,87，82,83,87，77,78,83， 77,78,87，77,83,87，78,83,87，共 20 种 这 3 个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有85,82， 83， 85,82,87， 85,83,87， 82,83,87共 4 种，没有都是“非星级”环保单位的情形， 故这 3 个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共 4 种， 故所求概率 P(M)1 4 20 4 5 名师点拨 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题

30、型，已成为高考考查的热 点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出 信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，即可解决此类问题 变式训练 3 (2020 衡水中学模拟)某中学有初中生 1 800 人，高中生 1 200 人，为了解学生本学期课外 阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们课外阅读时间， 然后按“初中生”和“高中生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为 5 组： 0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方 图 (1)写出 a 的值； (

31、2)试估计该校所有学生中，阅读时间不少于 30 个小时的学生人数； (3)从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人， 求至少抽到 1 名高中生的概率 解析 (1)由题意得 a0.10.040.020.00520.03 (2)初中生中，阅读时间不少于 30 个小时的学生频率为(0.0200.005)100.25 所有初中生中，阅读时间不少于 30 个小时的学生约有 0.251 800450(人) 同理，高中生中，阅读时间不少于 30 个小时的学生频率为(0.030.005)100.35， 所有高中生中，阅读时间不少于 30 个小时的学生约有 0.351 200420(人) 该校所

32、有学生中，阅读时间不少于 30 个小时的学生人数约有 450420870 (3)由分层抽样知，抽取的初中生有 60 名，高中生有 40 名记“从阅读时间不足 10 个小 时的样本学生中随机抽取 2 人，至少抽到 1 名高中生”为事件 A 初中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 0.005100.05，样本人数为 0.0560 3 高中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 0.005100.05，样本人数为 0.0540 2 则从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人， 所有可能的情况有(A1， A2)， (A1， A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2

33、，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)共 10 种(C2510(种)(理)， 其中至少有一名高中生的情况有 7 种，(C25C237(种)(理)， 所求概率为 7 100.7 名师讲坛 素养提升 有放回抽样与无放回抽样(理) 例 6 (1)(2021 山东济南一中期中)已知 7 件产品中有 5 件合格品， 2 件次品， 为找出 这 2 件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则“恰好第一次检验出正品且第五次检验 出最后一件次品”的概率为_1 7_ (2)有 10 个球，其中 3 个白球 7 个红球，有人有放回地进行摸球，则其第三次才摸到白球 的

34、概率为_0.147_ 解析 (1)解法一：考查两件次品的位置，共有 C2721 种取法，因为恰好第五次取出最 后一件次品，依题意另一件次品只能排 2,3,4 位，共有 C133 种取法，故概率为1 7 解法二：PC 1 5C 2 4C 1 2A 3 3 C 1 1 A57 1 7 (2)P 773 1010100.147 变式训练 4 袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”， 每次从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个小球都摸到就停止摸球 若有放回地摸球，则恰好在第三次停止摸球的概率为_ 5 32_； 若无放回地摸球，则恰好在第三次停止摸球的概率为_1

35、 3_ 解析 PC 1 2C 1 2C 1 2C 1 2 444 5 32或 C12C13C12C12 444 5 32； PC 1 2C 1 2C 1 2 A34 1 3 轻松破解古典概型问题的技巧(文) 例 6 (2021 重庆模拟)小波以游戏的方式决定是去打球、唱歌还是去下棋游戏规 则为：以 O 为起点，再从 A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到 两个向量，记这两个向量的数量积为 X，若 X0 就去打球，若 X0 就去唱歌，若 X0 就去 下棋 (1)写出数量积 X 的所有可能取值； (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率 解析 (1)X

36、的所有可能取值为2，1,0,1 (2)数量积为2 的有OA2 OA5 ，共 1 种； 数量积为1 的有OA1 OA5 ，OA1 OA6 ，OA2 OA4 ，OA2 OA6 ，OA3 OA4 ，OA3 OA5 ，共 6 种； 数量积为 0 的有OA1 OA3 ，OA1 OA4 ，OA3 OA6 ，OA4 ，OA6 ，共 4 种； 数量积为 1 的有OA1 OA2 ，OA2 OA3 ，OA4 OA5 ，OA5 OA6 ，共 4 种 故所有可能的情况共有 15 种 所以小波去下棋的概率为 P1 7 15； 因为去唱歌的概率为 P2 4 15，所以小波不去唱歌的概率 P1P21 4 15 11 15

37、名师点拨 求复杂事件的概率通常有两种方法： 一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用 公式求解如果采用解法一，一定是将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果 采用第二种，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误 变式训练 4 (2020 聊城模拟)元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限 制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写 1,2,3,4，确定是由谁展示才 艺的规则如下： 每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为 X； 当 X3 或 X6 时，即有资格展示才艺；当 3X6 时，即被

38、迫放弃展示 (1)请你写出红绿纸片所有可能的组合(例如(红2，绿3)，(红3，绿2) (2)求甲同学能取得展示才艺资格的概率 解析 (1)红绿卡片所有可能的组合为： 卡片 组合 绿色卡片 1 2 3 4 红色 卡片 1 (红1，绿1) (红1，绿2) (红1，绿3) (红1，绿4) 2 (红2，绿1) (红2，绿2) (红2，绿3) (红2，绿4) 3 (红3，绿1) (红3，绿2) (红3，绿3) (红3，绿4) 4 (红4，绿1) (红4，绿2) (红4，绿3) (红4，绿4) (2) X 值 绿色卡片 1 2 3 4 红色 卡片 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 从(1)中可知红绿卡片所有可能组合对共有 16 个 满足当 X3 或 X6 的红绿卡片组合对有： (红1，绿1)，(红1，绿2)，(红2，绿1)，(红2，绿4)，(红3，绿3)，(红3，绿4)，(红4，绿 2)，(红4，绿3)，(红4，绿4)共 9 个所以甲同学取得展示才艺资格的概率为 9 16