2022年旧高考（人教版）数学一轮教学案：第二章第六讲　指数与指数函数 （含解析）.doc

1、第六讲第六讲 指数与指数函数指数与指数函数 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 指数与指数运算 1根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果_xna_，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n1 且 nN* 当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个_正数 _，负数的 n 次方根是一个_负数_ n a 零的 n 次方根是零 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有_两个_， 它们互为_相反数_ n a 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 nan _a_，n为奇数， |a| _a_a0， _a_a0 且 a1)叫指数函数 底数 a1 0a0 时，恒有 y1；当 x0 时，

2、恒有 0y0 时，恒有 0y1；当 x1 函数在定义域 R 上为增函数 函数在定义域 R 上为减函数 归 纳 拓 展 1画指数函数 yax(a0 且 a1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0,1) 2底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 a1，还是 0a0 且 a1)的图象关于 y 轴对称 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)nan(na)na(aN*)( ) (2)a m n a m n (n，mN*)( ) (3)函数 y3 2x，与 y2x 1 都不是指数函数( ) (4)若 am0，且 a1)，则 m1 时 mn，

3、当 0an；(5)y2 x 1 2 x是减函数 题组二 走进教材 2(必修 1P59AT2 改编)设 a0，将 a2 a 3 a2 表示成分数指数幂，其结果是( C ) Aa 1 2 Ba 5 6 Ca 7 6 Da 3 2 解析 由题意得 a2 a 3 a2 a2 1 2 1 3 a 7 6 ，故选 C 3(必修 1P60BT2 改编)已知 f(x)2x2 x，若 f(a)3，则 f(2a)等于( B ) A5 B7 C9 D11 解析 f(2a)22a2 2a(2a2a)22f(a)227.故选 B 4(必修 1P82AT10 改编)若函数 f(x)ax(a0，且 a1)的图象经过点 P

4、2，1 2 ，则 f(1) _ 2_. 解析 a21 2，a 2 2 ，f(1) 2 2 1 2. 题组三 走向高考 5(2020 全国，8)设 alog342，则 4 a( B ) A 1 16 B1 9 C1 8 D1 6 解析 本题考查对数的运算和指数、对数的互化公式因为 alog34log34a2，所以 4a 329，所以 4 a1 4a 1 9，故选 B 另：alog342log342 a，3 2 a 4，4a( ) 3 2 a a1 9. 6(2017 北京，5 分)已知函数 f(x)3x 1 3 x，则 f(x)( A ) A是奇函数，且在 R 上是增函数 B是偶函数，且在 R

5、上是增函数 C是奇函数，且在 R 上是减函数 D是偶函数，且在 R 上是减函数 解析 因为 f(x)3x 1 3 x，且定义域为 R，所以 f(x)3x 1 3 x 1 3 x3x 3x 1 3 x f(x)， 即函数 f(x)是奇函数 又 y3x在 R 上是增函数， y 1 3 x在 R 上是减函数， 所以 f(x)3x 1 3 x在 R 上是增函数，故选 A 7(2016 全国卷)已知 a2 4 3 ，b4 2 5 ，c25 1 3 ，则( A ) Abac Babc Cbca Dcab 解析 因为 a2 4 3 16 1 3 ，b4 2 5 16 1 5 ，c25 1 3 ，且幂函数 y

6、x 1 3 在 R 上单调递增， 指数函数 y16x在 R 上单调递增，所以 bac. 考点突破 互动探究 考点一 指数与指数运算自主练透 例 1 (1)下列命题中正确的是( B ) Anana BaR，则(a2a1)01 C 3 x4y3x 4 3 y D 3 5 6 52 (2)计算 2 331.5612_6_. (3)化简：(1 4) 1 2 4ab 13 1 10 1 a3 b31 2 _8 5_. (4)已知 a 1 2 a 1 2 3，求下列各式的值 aa 1；a2a2；a 2a21 aa 11. 解析 (1)若 n 是奇数， 则nana； 若 n 是偶数， 则nan|a| a，a

7、0， a，a0， 所以 A 错误； 因为 a2a1 恒不为 0，所以(a2a1)0有意义且等于 1，所以 B 正确； 3 x4y3不能化简为 x 4 3 y，所以 C 错误；因为350，所以35652，所以 D 错误故选 B (2)原式23 1 2 3 2 1 3 12 1 6 23 1 2 3 1 3 2 1 3 3 1 6 2 1 3 23 1 2 1 3 1 6 2 1 3 1 3 6. (3)原式22 3 a3 2 b 3 2 10 a 3 2 b 3 2 21 31018 5.故填 8 5. (4)将 a 1 2 a 1 2 3 两边平方，得 aa129，所以 aa17. 将 aa

8、17 两边平方，得 a2a2249，所以 a2a247. 由可得a 2a21 aa 11471 71 6. 名师点拨 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数 (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分 数 (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解 答 (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统 一 考点二 指数函数图象与性质 考向 1 指数函数的图象及应用师生共研 例 2 (1)(2021 秦皇岛模拟

9、)函数 f(x)21 x 的大致图象为( A ) (2)(2021 湖北黄冈质检)函数 yax(a0，a1)与 yxb的图象如图，则下列不等式一定成 立的是( D ) Aba0 Bab0 Cab1 Dloga2b (3)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_1,1_. 分析 (1)将函数化为 f(x)2 1 2 x的形式， 根据函数的性质及过定点， 并结合选项判断； (2)由图确定 a、b 的范围求解； (3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解 解析 (1)解法一：函数 f(x)21 x2 1 2 x，单调递减且过点(0,2)，选项 A 中的图象

10、符 合要求 解法二：(采用平移法)因为函数 f(x)21 x2(x1)，所以先画出函数 y2x的图象，再将 y2 x 图象的所有点的横坐标向右平移 1 个单位，只有选项 A 符合 (2)由图可知，yax单调递增，则 a1；yxb单调递减，则 b0 不一定成立，如 a3，b1； B：ab0 不一定成立，如 a2，b3； C：ab1 不成立，ab0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(1，1 a)由 函数解析式判断其图象一般取特殊点验证，从而作出判断 (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对 称变换得到其图象 (3)一些指数方程、不等式

11、问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 变式训练 1 (1)函数 yax1 a(a0，a1)的图象可能是( D ) (2)已知实数 a，b 满足等式 1 2 a(1 3) b，下列关系式中不可能成立的是( D ) A0ba Bab0 Cab Db01 时，函数单调递增，且函数的图象恒过点 0，11 a . 因为 011 a1，所以 A、B 均不正确；当 0a1 时，函数单调递减，且函数的图象恒过 点 0，11 a ， 因为 11 ab0 时， 1 2 a 1 3 b可能成立 ab0b 时， 1 2 a0. 考向 2 指数函数的性质及其应用多维探究 角度 1 比较指数幂的大小 例

12、3 已知 a 1 2 2 3 ，b2 4 3 ，c 1 2 1 3 ，则下列关系式中正确的是( B ) Acab Bbac Cacb Dab 2 3 1 3， 所以 1 2 4 3 1 2 2 3 1 2 1 3 ，即 bac. 角度 2 利用指数函数的性质求解简单指数方程、不等式 例 4 (1)已知实数 m2，函数 f(x) 3x 1，x0， 9m x，x0 的解集为_x|x4 或 x0_. 解析 (1)当 m2 时，9m (2m)3m21，即 34m43m3，解得 m1 3(舍)，故 m3. (2)f(x)为偶函数，f(x)在0，)上递增， 且 f(2)0，|x2|2，解得 x4 或 x0

13、，且 a1)满足 f(1)1 9，则 f(x)的单调递减区间是 ( B ) A(，2 B2，) C2，) D(，2 解析 由 f(1)1 9得 a 21 9， 又 a0，所以 a1 3，因此 f(x) 1 3 |2x4|. y 1 3 t为减函数，f(x)的减区间为 t|2x4|的递增区间2，)， 所以 f(x)的单调递减区间是2，) 名师点拨 (1)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性要特别注意 底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论 (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性 等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域

14、、单调区间、最值等问题时，都要借助 “同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决 (3)解指数方程的方法 同底法：把方程化为 af(x)ag(x)的情形，然后得出 f(x)g(x) 化为 axb，利用对数定义求解 xlogab. 把方程化为 f(ax)0 的情形，然后换元，即设 axt，然后解方程 f(t)0，注意只要 t0 的解 (4)解指数不等式的方法 同底法：把方程化为 af(x)ag(x)的情形，根据函数单调性建立 f(x)和 g(x)的不等式 变式训练 2 (1)(角度 1)下列各式比较大小不正确的是( D ) A1.72.50.62 C0.8 0.11.

15、250.2 D1.70.30.93.1 (2)(角度 2)已知实数 a1， 函数 f(x) 4x，x0， 2a x，x0， 若 f(1a)f(a1)， 则 a 的值为_1 2_ (3)(角度 3)设函数 f(x) 1 2 x7，x0， x，x0， 若 f(a)1.70 1,0.93.10.901，D 不正确，故选 D (2)当 a1 时，代入不成立故 a 的值为 1 2. (3)若 a0，则 f(a)1 1 2 a71 1 2 a3，故3a0； 若 a0，则 f(a)1 a1，解得 a1，故 0a1. 综合可得3a0，a1)在区间 3 2，0 上有最大值 3 和最小值5 2，试求 a，b 的值

16、 分析 本题易出现的错误有两个，一个是二次函数 tx22x 在区间 3 2，0 上的范围 求错，直接将端点值代入，二是不分类讨论，直接认为 f(x)是单调递增函数 解析 设 tx22x，x 3 2，0 ， 由图象得 t1,0 当 a1 时，f(t)atb 在1,0上为增函数，值域为 1 ab，1b ， 1 ab 5 2， 1b3 解得 a2 b2. 当 0a1 和 0a0 且 a1，函数 ya2x2ax1 在1,1上的最大值是 14，求实数 a 的值 解析 设 axt，则 a2xt2， 当 a1 时，t 1 a，a ，yt 22t1，在 1 a，a 上为增函数， 当 ta 时，取得最大值，a22a1， 所以 a22a114，解得 a3 或 a5(舍)； 当 0a1 时，t a，1 a ，yt22t1，在 a，1 a 上为增函数， 当 t1 a时，取得最大值， 1 a 22 a1， 所以 1 a 22 a114，解得 a 1 3或 a 1 5(舍) 综上所述，a3 或1 3.