2022年旧高考（人教版）数学一轮教学案：第八章第四讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 （含解析）.doc

1、第四讲第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 直线与圆的位置关系 设直线 l：AxByC0(A2B20)， 圆：(xa)2(yb)2r2(r0)， d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判 别式为 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d_r _0 相切 d_r _0 相离 d_r _0 知识点二 圆与圆的位置关系 设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r21(r10)， 圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20) 方法 位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2 的关系

2、 代数法： 两圆方程联立组成方程组 的解的情况 公切线条 数 外离 _dr1r2_ _无解_ 4 外切 _dr1r2_ 一组实数解 3 相交 _|r1r2|dr1r2_ 两组不同的实数解 2 内切 d|r1r2|(r1r2) _一组实数解_ 1 内含 0d|r1r2|(r1r2) _无解_ 0 归 纳 拓 展 1当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在 的直线方程 两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点 2过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0 xy0yr2 过圆(xa)2(yb)2r2上一点

3、 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb) r2 3 过圆 x2y2r2外一点 M(x0， y0)作圆的两条切线， 则两切点所在的直线方程为 x0 xy0y r2 4直线与圆相交时，弦心距 d，半径 r，弦长的一半1 2l 满足关系式 r 2d2 1 2l 2 5过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( ) (2)“k1”是“直线 xyk0 与圆 x2y21 相交”的必要不充分条件( ) (3)过圆 O：x2y

4、2r2外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则 O，P，A， B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0 xy0yr2( ) (4)圆 C1：x2y22x2y20 与圆 C2：x2y24x2y10 的公切线有且仅有 2 条( ) 题组二 走进教材 2(必修 2P132A5 改编)直线 l：3xy60 与圆 x2y22x4y0 相交于 A，B 两点， 则|AB|_ 10_ 解析 圆的方程可化为(x1)2(y2)2( 5)2， 又圆心(1,2)到直线 l 的距离为 10 2 ， |AB|25 10 2 2 10 题组三 走向高考 3(2019 浙江，12)已知圆 C 的圆心坐标

5、是(0，m)，半径长是 r若直线 2xy30 与 圆 C 相切于点 A(2，1)，则 m_2_，r_ 5_ 解析 解法一：设直线 2xy30 为 l， 则 ACl，又 kl2，kACm1 02 1 2， 解得 m2，C(0，2)， r|AC| 022212 5 解法二：由题知点 C 到直线的距离为|m3| 5 ， r|AC|22m12， 由直线与圆 C 相切得 22m12|m3| 5 ， 解得 m2，r 22212 5 4(2015 广东)平行于直线 2xy10 且与圆 x2y25 相切的直线的方程是( A ) A2xy50 或 2xy50 B2xy 50 或 2xy 50 C2xy50 或

6、2xy50 D2xy 50 或 2xy 50 解析 设直线的方程为 2xyc0，则由题意知 |c| 5 5，c 5， 所求直线的方程为 2xy50 或 2xy50故选 A 5(2020 高考全国)已知圆 x2y26x0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的 最小值为( B ) A1 B2 C3 D4 解析 圆x2y26x0化为(x3)2y29， 圆心C坐标为C(3,0)， 半径为3， 设P(1,2)， 当过点 P 的直线和直线 CP 垂直时，圆心到过点 P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根 据弦长公式最小值为 2 9|CP|22 982，故选 B 考点突破 互动探究 考点一 直线与

7、圆的位置关系的判定自主练透 例 1 (1)(2020 广东广州综合测试)若直线 kxy10 与圆 x2y22x4y10 有公共点，则实数 k 的取值范围是( D ) A3，) B(，3 C(0，) D(，) (2)(2021 山东日照一中期中)已知 ab0，O 为坐标原点，点 P(a，b)是圆 x2y2r2外一 点，过点 P 作直线 lOP，直线 m 的方程是 axbyr2，则下列结论正确的个数是( B ) ml ml m 与圆相离 m 与圆相交 A1 B2 C3 D4 (3)(2021 四川资阳、遂宁等七市联考)圆 x2y22x2y20 上到直线 l：xy 20 的距离为 1 的点共有( C

8、 ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析 (1)圆 x2y22x4y10 的圆心为(1,2)，半径为 2，由题意可知圆心到直线 的距离 d|k21| k21 2，化简得 3 k1 3 28 30，故 k(，)故选 D 简解：注意到直线 kxy10 过定点 A(0,1)，且 A 在圆 x2y22x4y10 内，故 k 的取值范围为(，)，故选 D (2)点 P(a，b)在圆 x2y2r2外，a2b2r2，又直线 l 的方程为 yba b(xa)，即 axbya2b2，又 m：axbyr2，ml，又圆心 O 到直线 m 的距离 d r2 a2b2r，m 与圆相交，即正确，故选 B (3)

9、圆 x2y22x2y20 即(x1)2(y1)24 的圆心为 C(1,1)，半径为 r2又 C 到直线 l 的距离为 d|11 2| 2 1，C 上到直线 l 距离为 1 的点有 3 个，故选 C 名师点拨 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系 (2)代数法：联立方程之后利用 判断 (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 (4)判断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距 离、半径的大小 变式训练 1 (1)(2021 西安八校联考)若过点 A(3,0)的直线 l 与曲线(x1)2y21 有公共

10、点，则直线 l 的斜率的取值范围为( D ) A() 3， 3 B 3， 3 C 3 3 ， 3 3 D 3 3 ， 3 3 (2)(2021 湖南五市十校联考改编)已知两点 M(1,0)，N(1,0)，若直线 3x4ym0 上存 在点 P 满足PM PN 0，则实数 m 的值不是( A ) A12 B0 C2 D5 解析 (1)数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x3)，则圆心(1,0) 到直线 yk(x3)的距离应小于或等于半径 1，即 |2k| 1k21，解得 3 3 k 3 3 ，故选 D (2)设 P(x，y)，则PM (1x，y)，PN (1x，y)，由

11、PM PN 得 x2y21，因 P 在直线 3x4ym0 上，故圆心到直线的距离 d |m| 32421，故 m5,5，故选 A 考点二 直线与圆的综合问题多维探究 角度 1 圆的切线问题 例 2 (1)过点 P(2,4)作圆(x1)2(y1)21 的切线，则切线方程为( C ) A3x4y40 B4x3y40 Cx2 或 4x3y40 Dy4 或 3x4y40 (2)(2021 云南适应性考试)已知圆 C 的方程为(x3)2(y4)21，过直线 l：3xay5 0(a0)上任意一点作圆 C 的切线，若切线长的最小值为 15，则直线 l 的斜率为_3 4_ 解析 (1)当斜率不存在时，x2 与

12、圆相切；当斜率存在时，设切线方程为 y4k(x 2)，即 kxy42k0，则|k142k| k21 1，解得 k4 3，则切线方程为 4x3y40，故切 线方程为 x2 或 4x3y40 (2)设切线长最小时直线上对应的点为 P，则 PCl 又|CP|334a5| a29 |44a| a29，因为 切线长的最小值为 15，故( 15)21 |44a| a29 2，解得 a4，故直线 l 的斜率为3 4故答案 为：3 4 引申(1)若将本例(1)中“P(2,4)”改为“P 1 2 2 ，1 2 2 ”，则切线方程为_xy 2 0_ (2)本例(1)中过切点的直线方程为_x3y50_ 角度 2 圆

13、的弦长问题 例 3 (1)(2018 课标全国)直线 yx1 与圆 x2y22y30 交于 A，B 两点，则 |AB|_2 2_ (2)(2021 广东广州三校联考)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y24y0相交所得 的弦长为 2 3，则 p 的值为( C ) A1 2 B1 C2 D4 解析 (1)将圆 x2y22y30 化为标准方程为 x2(y1)24， 则圆心坐标为(0，1)，半径 r2， 圆心到直线 xy10 的距离 d 2 2 2， |AB|2r2d2222 222 2 (2)圆 x2y24y0 即 x2(y2)222的圆心为 C(0,2)，半径为 2，由题意可知圆心到准

14、线 xp 2的距离 p 2 4 321，p2故选 C 名师点拨 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角 形 (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题 注：过圆 C 内一点 P 的最短弦所在直线与 PC 垂直，最长弦所在直线是 PC过圆 C 外 P 作圆的切线，切点为 A、B，则 AB 是圆 C 与以 PC 为直径的圆的公共弦 变式训练 2 (1)(角度 1)(2021 安徽合肥调研)若直线 l 经过抛物线 x24y 的焦点且与圆(x1)2(y 2)21 相切，则直线 l 的方程为

15、_x0 或 4x3y30_ (2)(角度 2)(2021 河北衡水中学调研)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆截直线 xay 20 所得弦长的最小值等于( B ) A2 3 B4 3 C 13 D2 13 (3)(2020 安徽“江南十校”联考)已知圆 C 的圆心在直线 xy0 上，圆 C 与直线 xy 0 相切，且在直线 xy30 上截得的弦长为 6，则圆 C 的方程为_(x1)2(y1)22_ 解析 (1)抛物线 x24y 的焦点为 F(0，1)，当直线 l 斜率不存在时，其方程为 x0， 显然与圆相切；当直线 l 斜率存在时，设其方程为 ykx1，即 kxy10，|k2

16、1| 1k2 1， 解得 k4 3，此时直线 l 的方程为 4x3y30 (2)设圆心坐标 P 为(m，2)，则 r2(1m)2(32)2(4m)2(22)2，解得 m1，r 5，所以 P(1，2)又直线过定点 Q(2,0)，当直线 PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆的 性质可知弦长为2 r2PQ22 25134 3， 直线xay20被圆截得的弦长为4 3 故 选 B (3)解法一：所求圆的圆心在直线 xy0 上， 设所求圆的圆心为(a，a) 又所求圆与直线 xy0 相切， 半径 r2|a| 2 2|a| 又所求圆在直线 xy30 上截得的弦长为 6， 圆心(a，a)到直线 xy30 的距离

17、d|2a3| 2 ， d2( 6 2 )2r2，即2a3 2 2 3 22a 2， 解得 a1，圆 C 的方程为(x1)2(y1)22 解法二：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)， 则圆心(a，b)到直线 xy30 的距离 d|ab3| 2 ， r2ab3 2 2 3 2，即 2r 2(ab3)23 由于所求圆与直线 xy0 相切，(ab)22r2 又圆心在直线 xy0 上，ab0 联立，解得 a1， b1， r 2， 故圆 C 的方程为(x1)2(y1)22 考点三,圆与圆的位置关系师生共研 例 4 (1)(2016 山东高考)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0

18、 所得线段 的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是( B ) A内切 B相交 C外切 D相离 (2)已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大值 为( C ) A 6 2 B3 2 C9 4 D2 3 解析 (1)由垂径定理得 a 2 2( 2)2a2， 解得 a24，又 a0，所以 a2， 所以圆 M：x2(y2)24， 所以圆 M 与圆 N 的圆心距 d 012212 2 因为 21 221，所以两圆相交故选 B (2)由圆 C1与圆 C2相外切， 可得 ab2222213， 即(ab)29， 根据

19、基本(均值)不等式可知 ab ab 2 29 4， 当且仅当 ab 时等号成立 故 选 C 引申 1把本例(2)中的“外切”变为“内切”，求 ab 的最大值 解析 由 C1与 C2内切，得 ab22221 即(ab)21，又 ab ab 2 21 4， 当且仅当 ab 时等号成立，故 ab 的最大值为1 4 引申 2把本例(2)条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在直线的方程 解析 把圆 C1，圆 C2的方程都化为一般方程 圆 C1：x2y22ax4ya20， 圆 C2：x2y22bx4yb230， 由得(2a2b)x3b2a20， 即(2a2b)x3b2a20 为所求公共弦所在直线的方程 引

20、申 3将本例(2)条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线 xy10 与圆(xa)2(yb)21 的位置关系 解析 由两圆存在四条公切线，故两圆外离， 故ab22223， (ab)29，即 ab3 或 ab3 圆心(a，b)到直线 xy10 的距离 d|ab1| 2 1， 直线 xy10 与圆(xa)2(yb)21 相离 名师点拨 如何处理两圆的位置关系 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径和、差之间 的关系，一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作 差消去 x2、y2项得到 变式训练 3 (2021 山东济宁期末)已知圆

21、M：(xa)2y24(a0)与圆 N：x2(y1)21 外切，则直 线 xy 20 被圆 M 截得线段的长度为( D ) A1 B 3 C2 D2 3 解析 由题意， a2121，a2 2，圆心 M(2 2，0)到直线 xy 20 的距 离 d|2 20 2| 2 1，直线 xy 20 被圆 M 截得线段的长度为 2 412 3，故选 D 名师讲坛 素养提升 解决直线与圆问题中的数学思想 1数形结合思想 例 5 (2021 长春模拟)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y 1x2相交于 A、B 两点， O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于( B ) A 3 3 B

22、3 3 C 3 3 D 3 解析 SAOB1 2|OA|OB|sinAOB 1 2sinAOB 1 2 当AOB 2时，AOB 面积最大 此时 O 到 AB 的距离 d 2 2 设 AB 方程为 yk(x 2)(k0)， 即 kxy 2k0由 d | 2k| k21 2 2 得 k 3 3 2转化与化归 例 6 (2021 江西临川一中、南昌二中联考)已知两点 A(2,0)，B(2,0)以及圆 C：(x 4)2(y3)2r2(r0)，若圆 C 上存在点 P，满足PA PB0，则 r 的取值范围是( B ) A3,6 B3,7 C4,6 D4,7 解析 由PA PB0 知 PAPB，即 P 在以

23、 AB 为直径的圆 D：x2y24 上，由题意可知 圆 C 与圆 D 相交或相切，|r2| 4232r2，解得 3r7故选 B 引申若将“PA PB0”改为“PA PB0”，则 r 的取值范围为_(3,7)_ 名师点拨 根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的 问题，以形助数，使问题变得简单数形结合 将生疏、复杂、难解的问题通过变换化为熟悉、简单、易解的问题转化与化归 变式训练 4 (2021 山西模拟)直线 yxb 与曲线 x 1y2有且仅有 1 个公共点，则 b 的取值范围是 ( B ) A 2， 2 B(1,1 2 C1,1 D1,1 2， 2 解析 x 1y2可化简为 x2y21(x0)，所以它表示单位圆在 y 轴及其右侧的半圆， 其与 y 轴的交点分别为(0,1)，(0，1)直线 yxb 与直线 yx 平行，b 表示直线 yxb 的纵截距，将直线 yx 上下平移，可知当 b(1,1时，直线 yxb 与曲线 x 1y2有一 个交点；当直线与曲线在第四象限相切时，只有一个公共点，此时 b 2综上，b 的取值 范围是(1,1 2