2020-2021学年（新教材）高中数学（人教A版2019）期中模拟试题（五）（学生版+解析版）.doc

1、20202020- -20212021 学年高一数学下学期期中学年高一数学下学期期中 模拟试题（五）模拟试题（五） 一选择题一选择题 1若复数z满足( 33 )3 (i zi i为成数单位）则z A 33 44 i B 33 44 i C 33 22 i D 33 22 i 2已知向量(2,3)OA，(4, 1)OB ，P是线段 AB 的中点，则P点的坐标是 A(2, 4) B(3,1) C( 2,4) D(6,2) 3i是虚数单位，则复数 2 2 1 i i i 等于 Ai Bi C1 D1 4已知复数z满足 1 zi i z ，则复数z A1i B1i C1i D1i 5已知, a b是两

2、个夹角为 3 的单位向量，则|kba的最小值为 A 1 4 B 1 2 C 3 4 D 3 2 6已知O是ABC的重心，且3AB ，2BC ，则AC BO的值为 A 1 3 B1 C5 D3 7已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，现有如下命题： 若/m，/ /n，/mn，则/ /；若m，n，/mn，则/ /； 若/ /，m，n，则/mn；若/m，/mn，n，则， 则正确命题的个数为 A4 B3 C2 D1 8四面体ABCD中，DC 面 ABC，3ABBC，120ABC，8DC ，则四面体ABCD外 接球的表面积为 A100 B50 C25 D91 二多选题二多选题 9ABC是边

3、长为 2 的等边三角形，已知向量, a b满足2 ,2ABa ACab，则下列结论正确的是 Aa是单位向量 B/ /BCb C1a b D(4)BCab 10在ABC中，满足( coscos)tan3aCcAAb，3a ，O为ABC的内心，OBC，下 列判断正确的是 A30A B120BOC C2sinOC DOBOC的最大值为 4 11在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是正方形，侧棱PD 底面 ABCD，PDDC，E是棱 PC 的中点，作EFPB交 PB 于点F，则有 A异面直线PA与BD所成角大小为 3 B平面PAC 平面PBD CPB 平面EFD DBDED 12正方体 1111 A

4、BCDABC D中，P，Q分别为棱 BC 和 1 CC的中点，则下列说法正确的是 A 1/ / BC平面AQP B 1 A D 平面AQP C异面直线 11 AC与PQ所成角为90o D平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形 三填空题三填空题 13已知向量(2, 1)a ，( 3,)bm ，若/ /ab，则|2 |ab 14已知i为虚数单位，若复数 3 () 12 ai zaR i 为纯虚数，则a 15已知向量(3,2),( 1,1),( ,4)abct ，若()abc，则实数t 16如图，正方体 1111 ABCDABC D中，点P是直线 1 BC的动点，则下列四个命题： 三棱锥 1 AD P

5、C的体积不变； 直线AP与平面 1 ACD所成角的大小不变； 二面角 1 PADC的大小不变： 其中正确的命题有 （把所有正确命题的编号填在横线上） 四解答题四解答题 17已知复数z为纯虚数，且 2 1 z i 为实数 （1）求复数z； （2）设mR，若复数 2 ()mz在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围 18已知 22 (815)(56)zmmmmi，其中i是虚数单位，m为实数 （1）当z为纯虚数时，求m的值； （2）当复数z i在复平面内对应的点位于第二象限时，求m的取值范围 19已知向量(1,0)a ，(2,1)b （1）求|3 |ab； （2）当k为何实数时，kab与3ab

6、平行，平行时它们是同向还是反向？ 20已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积 222 4 bca S （1）若6a ，2b ，求cosB； （2）求sin()sincoscos()ABBBBA的最大值 21如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为直角梯形，/ /ADBC，90ADC，平面PAD 平面 ABCD，Q，M分别为AD，PC的中点，22PAPDADCDBC （1）求证：BC 平面PQB； （2）求三棱锥PAMQ的体积 22在如图所示的几何体中，D是AC的中点，/ /EFDB （1）已知ABBC，AEEC，求证：AC 平面BDEF； （2）已知G，H分别是EC和F

7、B的中点，求证：/ /GH平面ABC 20202020- -20212021 学年高一数学下学期期中学年高一数学下学期期中 模拟试题模拟试题（五）（五） 一选择题一选择题 1若复数z满足( 33 )3 (i zi i为成数单位）则z A 33 44 i B 33 44 i C 33 22 i D 33 22 i 【答案】B 【解析】由( 33 )3i zi， 得 33 ( 33 )93 333 124433( 33 )( 33 ) iiii zi iii 故选 B 2已知向量(2,3)OA，(4, 1)OB ，P是线段 AB 的中点，则P点的坐标是 A(2, 4) B(3,1) C( 2,4)

8、 D(6,2) 【答案】B 【解析】由线段的中点公式可得 1 ()(3 2 OPOAOB，1)，故P点的坐标是(3,1)， 故选 B 3i是虚数单位，则复数 2 2 1 i i i 等于 Ai Bi C1 D1 【答案】A 【解析】 2 22 (1) 111 1(1)(1) iii iii iii ， 故选 A 4已知复数z满足 1 zi i z ，则复数z A1i B1i C1i D1i 【答案】D 【解析】 1 zi i z ， zizii ， 22 (1)22 1 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 故选 D 5已知, a b是两个夹角为 3 的单位向量，则|kba的最小值为

9、A 1 4 B 1 2 C 3 4 D 3 2 【答案】D 【解析】根据题意，, a b是两个夹角为 3 的单位向量，则 1 1 1 cos 32 a b ， 则 222222 133 |21() 244 kbak baka bkkk ， 则有 3 | 2 kba，即|kba的最小值为 3 2 故选 D 6已知O是ABC的重心，且3AB ，2BC ，则AC BO的值为 A 1 3 B1 C5 D3 【答案】A 【解析】设D是AC的中点，因为O是三角形的重心， 所以 2211 ()() 3323 BOBDBABCBABC，ACBCBA， 所以， 22111 () ()() 333 AC BOBC

10、BABABCBCBA 故选 A 7已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，现有如下命题： 若/m，/ /n，/mn，则/ /；若m，n，/mn，则/ /； 若/ /，m，n，则/mn；若/m，/mn，n，则， 则正确命题的个数为 A4 B3 C2 D1 【答案】C 【解析】中，若/ /m，/ /n，/ /mn，则/ /或与相交，故错误； 中，若m，/ /mn，则n，又n，则/ /，故正确； 中，若/ /，m，n，则/ /mn或m与n异面，故错误； 中，若/ /m，/ /mn，则/ /n或n，又n，则，故正确 正确命题的个数为 2 个 故选 C 8四面体ABCD中，DC 面 ABC，

11、3ABBC，120ABC，8DC ，则四面体ABCD外 接球的表面积为 A100 B50 C25 D91 【答案】A 【解析】设ABC外接圆的圆心为 1 O，四面体ABCD外接球的球心为O，半径为R， 连接 1 OC， 1 OO，OC， 由正弦定理可得 1 2 sin BC OC BAC ，即 1 3 3 2sin30 OC ， 1 1 4 2 OODC， 2222 11 435ROCOCOO， 即四面体ABCD外接球的表面积为 2 45100S， 故选 A 二多选题二多选题 9ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量, a b满足2 ,2ABa ACab，则下列结论正确的是 Aa是单位向量

12、 B/ /BCb C1a b D(4)BCab 【答案】ABD 【解析】A| 2AB ，由2ABa得， | |1 2 AB a ，a是单位向量，该选项正确； B22BCACABabab，/ /BCb，该选项正确； .| 2,| 1CACa，由2ACab得， 2 22 44ACaa bb，即 2 444a bb， 2 1 4 b a b ， 该选项错误； DBCb，由上面得， 2 (4)(4)40BCabbaba bb，(4)BCab，该选项正确 故选 ABD 10在ABC中，满足( coscos)tan3aCcAAb，3a ，O为ABC的内心，OBC，下 列判断正确的是 A30A B120BO

13、C C2sinOC DOBOC的最大值为 4 【答案】BC 【解析】( coscos )tan3aCcAAb可得 0 60A，A错误； 因为O为内心， 0 60A，所以有60OBCOCB ，所以120BOC，B正确； OBC中有 0 sinsin120 OCBC ，可得2sinOC，故C正确； 2sin()2sin3cossin2sin 3 OBOC ， 3cossin2sin() 2 3 ，所以D错误 故选 BC 11在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是正方形，侧棱PD 底面 ABCD，PDDC，E是棱 PC 的 中点，作EFPB交 PB 于点F，则有 A异面直线PA与BD所成角大小为

14、3 B平面PAC 平面PBD CPB 平面EFD DBDED 【答案】ABC 【解析】如图，连结AC，BD，交于点O，连结OE， 底面ABCD是正方形，O是AC中点， E是棱PC的中点，/ /PAOE， EOD是异面直线PA与BD所成角， 底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PDDC， OEOCEC， 3 EOD ， 异面直线PA与BD所成角大小为 3 ，故A正确； PD 平面ABCD，PDAC， 又ACBD，PDDBD，PD平面PDB，BD平面PBD， AC平面PDB，又AC 平面PAC，平面PAC 平面PDB，故B正确； PD 平面ABCD，PDBC， 由底面ABCD是正方形，得

15、BCCD， PDDC，E是PC的中点，DEPC，PCBCC，DE平面PBC， PB 平面PBC，PBDE，又EFPB，DEEFE， PB平面EFD，故C正确； 由DE 平面PBC，知DEEB，故D错误 故选 ABC 12正方体 1111 ABCDABC D中，P，Q分别为棱 BC 和 1 CC的中点，则下列说法正确的是 A 1/ / BC平面AQP B 1 A D 平面AQP C异面直线 11 AC与PQ所成角为90o D平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形 【答案】AD 【解析】在正方体 1111 ABCDABC D中，P，Q分别为棱BC和棱 1 CC的中点， 如图所示： 对于选项:A P，

16、Q分别为棱BC和棱 1 CC的中点， 所以 1 / /PQBC，由于PQ 平面APQ， 1 BC不在平面APQ内，所以 1/ / BC平面APQ，故选项 A 正确 对于选项B：由于 1 A D 平面 11 ABC D，平面 11 ABC D和平面 1 APQD为相交平面，所以 1 A D不可能垂直 平面AQP，故错误 对于选项 1 :/ /D PQBC， 11 A BC为等边三角形，所以 11 60AC B，即异面直线QP与 11 AC所成的角 为60故错误 对于选项D：连接AP， 1 AD， 1 D Q，由于 1/ / ADPQ， 1 DQAP，所以：平面APQ截正方体所得截 面为等腰梯形，

17、故正确 故选 AD 三填空题三填空题 13已知向量(2, 1)a ，( 3,)bm ，若/ /ab，则|2 |ab 【答案】2 5 【解析】/ /ab，230m，解得 3 2 m ，则 3 ( 3, ) 2 b ， 2( 4,2)ab ， 22 |2 |( 4)22 5ab 故答案为：2 5 14已知i为虚数单位，若复数 3 () 12 ai zaR i 为纯虚数，则a 【答案】2 【解析】 ()(12 )(2)(21) 12(12 )(12 )5 aiaiiaai z iii 因为z为纯虚数，所以20a ，得2a 故答案为：2 15已知向量(3,2),( 1,1),( ,4)abct ，若(

18、)abc，则实数t 【答案】1 【解析】根据题意，向量(3,2),( 1,1),( ,4)abct ， 则(4,1)ab， 若()abc，则()440abct， 解可得：1t ， 故答案为：1 16如图，正方体 1111 ABCDABC D中，点P是直线 1 BC的动点，则下列四个命题： 三棱锥 1 AD PC的体积不变； 直线AP与平面 1 ACD所成角的大小不变； 二面角 1 PADC的大小不变： 其中正确的命题有 （把所有正确命题的编号填在横线上） 【答案】 【解析】对于： 点P是直线 1 BC的动点， 1 AD P的面积是定值， 点C到平面 1 AD P的距离不变， 正确； 对于： 随

19、着P点的移动，AP与平面 1 ACD的法向量的夹角也是变化的， 错误； 对于： 平面 1 PD A平面 1 ACD的法向量的夹角是不变的， 正确； 综上，正确的命题有 故答案为： 四解答题四解答题 17已知复数z为纯虚数，且 2 1 z i 为实数 （1）求复数z； （2）设mR，若复数 2 ()mz在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围 【答案】 （1）2zi ； （2）(2,). 【解析】 （1）设zbi，0b ，则 222(2) 112 zbibb i ii ， 2 1 z i 为实数，2b ，即2zi （2） 222 ()(2 )44mzmimmi， 由题知 2 40m 且40

20、m， 解得2m m的取值范围是(2,) 18已知 22 (815)(56)zmmmmi，其中i是虚数单位，m为实数 （1）当z为纯虚数时，求m的值； （2）当复数z i在复平面内对应的点位于第二象限时，求m的取值范围 【答案】 （1）5m ； （2）(，2)(5，). 【解析】 （1）z为纯虚数， 2 2 8150 560 mm mm ，解得5m ； （2） 22 (56)(815)z immmmi在复平面内对应的点位于第二象限， 2 2 560 8150 mm mm ，解得2m 或5m m的取值范围是(，2)(5，) 19已知向量(1,0)a ，(2,1)b （1）求|3 |ab； （2）当

21、k为何实数时，kab与3ab平行，平行时它们是同向还是反向？ 【答案】 （1）58； （2） 1 3 k . 【解析】 （1）由题意可得3(1ab，0)3(2，1)(7，3)， 22 |3 |7358ab （2）(1kabk，0)(2，1)(2k，1)， 设(3 )kabab，则(2k ，1)(7，3)， 27 13 k ，解得 1 3 k 故 1 3 k 时，kab与3ab平行且方向相反 20已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积 222 4 bca S （1）若6a ，2b ，求cosB； （2）求sin()sincoscos()ABBBBA的最大值 【答案】 （1）

22、30 6 ； （2） 5 2 . 【解析】 （1） 222 4 bca S ，可得 12cos sin 24 bcA bcA ， sincosAA，可得tan1A ， (0, )A， 4 A ， 6a ，2b ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，可得 2 2 sin6 2 sin 66 bA B a ， 又ab，B为锐角， 2 30 cos1 6 Bsin B （2） 4 A ， sin()sincoscos()ABBBBA sin()sincoscos() 44 BBBB 2222 sincossincoscossin 2222 BBBBBB 2(sincos )sincosBBBB

23、 令sincostBB，则 2 12sintBcoB ， 原式 22 1113 2(2) 2222 ttt，(0t，2， 当2t 时， 4 B ，此时，原式的最大值为 5 2 21如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为直角梯形，/ /ADBC，90ADC，平面PAD 平面 ABCD，Q，M分别为AD，PC的中点，22PAPDADCDBC （1）求证：BC 平面PQB； （2）求三棱锥PAMQ的体积 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 6 . 【解析】 （1）证明：Q为AD的中点， 1 2 BCAD，BCQD， 又/ /ADBC，四边形BCDQ为平行四边形， 90ADC，四边形BCD

24、Q为矩形，得BCBQ PAPD，AQQD，PQAD， 又/ /ADBC，PQBC，而PQBQQ， BC平面PQB； （2）解：2PAPDAD，3PQ， 13 13 22 PAQ S ， 平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BQ 平面ABCD，BQAD， BQ平面PAD， BQ为点B到平面PAD的距离， 设点M到平面PAQ的距离为h，则 11 1 22 hBQCD 133 1 326 P AMQMPAQ VV 22在如图所示的几何体中，D是AC的中点，/ /EFDB （1）已知ABBC，AEEC，求证：AC 平面BDEF； （2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：/ /GH平面ABC 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】证明： （1）因为/ /EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF 如图，连接DE因为AEEC，D为AC的中点， 所以DEAC 同理可得BDAC 又BDDED， 所以AC 平面BDEF （2）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O， 则/ /OGEF， 又/ /EFDB，故有/ /OGBD， 而BD平面ABC， / /OG平面ABC 同理，/ /OHBC，而BC 平面ABC， / /OH平面ABC OGOHO， 平面/ /OGH平面ABC， / /GH平面ABC