上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编（一）.doc

1、F F D D K K N N L L E E B B C C A A H H G G M M y y 频率频率 组距组距 样本样本 数据数据 2222 0 0. . 0909 0 0. . 0808 0 0. . 0303 0 0. . 0202 1818141410106 62 2O O 上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编一上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编一 1.（复附）如图，在（复附）如图，在 ABC中，正方形中，正方形DEFG、EHLB、NMKL边长分别为边长分别为bac、，求，求cba、 满足的关系式为满足的关系式为 。 解：易知解：易知 GFHHNM. NM HN FH

2、GF b ba ca c )(bacabc bcabacabc 2 cba 。 1. （复附）矩形（复附）矩形ABCD中，中，BCAB3 ，将矩形沿，将矩形沿EF（E在在CD上，上，F在在AB上）折叠，使得上）折叠，使得 点点B落在落在AD上的点上的点M处，处，C落在点落在点N处，求处，求 AM FBEC| 的值。的值。 I IF F E E N N C C D D A A B B M M 解：易知解：易知 FEIMBA 3 1 AB EI AM FI 2. （建平）样本容量为（建平）样本容量为200的频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计。样本数据的频率分布直方图如图所示，根据

3、样本的频率分布直方图估计。样本数据 落在落在)10, 6内的频数与数据落在内的频数与数据落在)10, 2内的概率约分别为内的概率约分别为 。 解：落在解：落在)10, 6内的频数为内的频数为64)408. 0(200 。 数据落在数据落在)10, 2内的概率为内的概率为4 . 04)08. 002. 0( 3. （建平）如图，在（建平）如图，在 ABC中，中，E是是BC上的一点，上的一点，BEEC2 ， F F D D E E B BC C A A b b b b b b 2 2a aa a F F D D E E B BC C A A 点点D是是AC的中点，设的中点，设 ABC、 ADF、

4、BEF的面积分的面积分别为别为 ABC S 、 ADF S 、 BEF S ，且，且12 ABC S ，则，则 ADF S BEF S 。 解：法一：解：法一： ADF S 2 BDCAECBEF SSS 。 法二：连结法二：连结FC， 易知易知 2 1 EC BE S S S S AFC ABF CEF BEF 1 CD AD S S S S BFC ABF CDF ADF aab2 ，1233 ba 解得：解得：1 a，3 b ADF S 2 BEF S 。 4. （交大）请在下列表格的（交大）请在下列表格的9个小方格中分别填入数字个小方格中分别填入数字987654321、，使得每行每列，

5、以及两条，使得每行每列，以及两条 对角线上的三个数字之和相等。对角线上的三个数字之和相等。 解解： 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5. （交大）在前（交大）在前1000个整数个整数1000321， 中，数码中，数码1共出现了共出现了 次。次。 解：将一位数解：将一位数a看成三位数看成三位数a00，两位数，两位数ab看成三位数看成三位数ab0，则从，则从001到到999这这999个三位数中，个三位数中， 只有一个数码只有一个数码1的数有的数有243399 个个 有两个数码有两个数码1的数有的数有2739 个，个，54227 次次 有三个数码有三个数码1的

6、数有的数有1个，个，331 次次 1000中数码中数码1也出现了也出现了1次次 共共3011354243 次。次。 6. （华二）甲手上有（华二）甲手上有51号牌，乙手上有号牌，乙手上有116号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘 积为积为3的倍数，则这样的概率为的倍数，则这样的概率为 。 解：解： 15 72 1 6 1 5 1 5 1 2 1 6 1 1 CC CCCC . 7. （上中）如图，（上中）如图，ED、分别为分别为 ABC的底边所在直线上的两点，的底边所在直线上的两点，ECBD ，过，过A作直线作直线l,作作 BADM/交交l于

7、于M，作，作CAEN/交交l于于N。设。设 ABM面积为面积为 1 S， ACN面积为面积为 2 S，则，则 （ ） l l N NM M E E A A D D B B C C l l N NM M E E A A D D B B C C 21 .SSA 21 .SSB 21 .SSC 1 . SD与与 2 S的大小与过点的大小与过点A的直线位置有关的直线位置有关 解：分别连结解：分别连结AEAD、； ABDM/，ACEN/ ABDABM SS ， ACEACN SS ； CEBD ； ACEABD SS ； ACNABM SS ，即，即 21 SS ；故选；故选B。 8. （华二） 有一个

8、正方形（华二） 有一个正方形ABCD， 边长为， 边长为1， 其中有两个全等矩形， 其中有两个全等矩形BCFE，GHIJ， 则， 则 BE. G G H H I I F F E E D DC C B B A A J J 解：设解：设aBE ，mAJ ,nAG ，则，则aIJ ,1 JG，nAGFI ， IEJJAG amIE ，anEJ ， 1 nam，1)1( mna，1 22 nm， m n a 1 ，代入，代入1)1( mna得：得：1 1 2 m m n ， 22 1mn 1 2 m m m ， 2 1 m。 2 3 n，IJEFIE 30 32)(22 IEFEIEaIJBE. 9.

9、 （上中） 直角三角形（上中） 直角三角形ABC和直角三角形和直角三角形ADC有公共斜边有公共斜边AC（DB、位于位于AC的两侧） ，的两侧） ，NM、 分别是分别是BDAC、中点，且中点，且NM、不重合。不重合。 （1） 线段线段MN与与BD是否垂直？证明你的结论；是否垂直？证明你的结论； （2） 若若 30BAC， 45CAD，4 AC，求，求MN的长。的长。 F F E E N N D D M M B B A A C CN N D D M M B B A A C C N N D D M M B B A A C C 解：分别连结解：分别连结DMBM、； 90ADCABC，M是是AC中点；中

10、点； ACBM 2 1 ，ACDM 2 1 ； DMBM ； N是是BC的中点；的中点； BDMN 。 （2）延长）延长DM至至E，使，使DMME ；过点；过点E作作BMEF ，垂足为，垂足为F； BMAM ，DMAM ； 30ABMBAM， 45ADMDAM； 60ABMBAMBMC， 90ADMDAMDMC； 30BME； 2 2 1 ACBMMDEM 130sin2sin BMEEMEF， 330cos2cos BMEEMFM； 32 MFBMBF； D1 B1 C1 A1 B C AD 2 1 O D1 B1 C1 A1 B C AD BMEF ； 26)32(1 2222 BFEFB

11、E； M是是DE的中点，的中点，N是是BD中点；中点； 2 26 2 1 BEMN。 （法二）（法二） 30BAC， 45CAD，4 AC。 2 BC，32 AB，22 DCAD 90ADCABC， DCBA、四点共圆；四点共圆； 由托罗密定理得：由托罗密定理得：BDACBCADCDAB 解得：解得：26 BD 2 26 2 1 BDBN 2 2 1 ACMB 2 26 22 BNBMMN。 【备用】【备用】 1. 已知如图梯形已知如图梯形ABCD中，中，BCAD/，A、C关于关于BD的对称点是的对称点是 1 A、 1 C,B、D关于关于AC的的 对称点是对称点是 1 B、 1 D.求证：四边

12、形求证：四边形 1111 DCBA是梯形。是梯形。 证明：联结证明：联结 1 OA, 1 OB, 1 OC, 1 OD 易知易知 1 BOABOA ,ODCCOD 1 1801 1OD CBOA, 1802 1 CODBOA 21 11 COA、三点共线，同理：三点共线，同理： 11 BOD、三点共线。三点共线。 由对称知：由对称知： 1111 ODODOCOCOBOBOAOA 、。 BCAD/ 1 BC AD OB OD OC OA 1 1 1 1 1 OB OD OC OA 11D A 11C B 11B A不平行不平行 11D C 四边形四边形 1111 DCBA是梯形是梯形 2. 实数

13、实数cba,满足：满足： 012 036 22 2 abccb abca ,试求试求a的取值范围的取值范围. 解法一：解法一： 012 036 22 2 abccb abca 12 36 22 2 abccb aabc 两式相加：两式相加： 222 )2(44)( aaacb，2 acb cb,可以看作是关于可以看作是关于x的一元二次方程的一元二次方程0362 22 aaxax 的两个实数解的两个实数解 0)36(4)2( 22 aaa ， 08203 2 aa， 3 19210 3 19210 a。 解解法二：法二： 012 036 22 2 abccb abca 12 36 22 2 abccb aabc 08203)( 044)( 22 22 aacb aacb 08203 2 aa 3 19210 3 19210 a。