2021届湖南省六校高三4月联考数学试题（word版有答案）.docx

1、湖南省湖南省 2021 届高三六校联考试题届高三六校联考试题 数数 学学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求 的的. 1.已知集合1,2,3,4,5A， 2 30Bx xx，则 R AB中的元素个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知复数 1 z， 2 z在复平面内对应的点分别为 1 3,Za， 2 2,1Z，且 12 zz为纯虚数，则实数a( ) A.6 B. 3 2 C. 6 5 D.6 3.函数 2 cos ee xx x

2、x f x 的图象大致是( ) A. B. C. D. 4.某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至少 有一名工作人员的概率为( ) A. 4 9 B. 9 16 C. 5 9 D. 8 9 5.已知6a，,3mb，且2baab，则向量a在向量b方向上的投影的最大值为( ) A.4 B.2 C. 6 2 D.1 6.数学里有一种证明方法叫做 Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字 解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅. 现有如图所示图形，

3、在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的 一个动点，设ADa，BDb，则该图形可以完成的无字证明为( ) A.0,0 2 ab ab ab B. 2 0,0 ab ab ab ab C. 22 0,0 22 abab ab D. 22 20,0abab ab 7.已知 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限 内， 1221 2sinsinPFFPF F，则双曲线的离心率的取值范围为( ) A.1,2 B.3, C.1,3 D.2,3 8.定义函数 1, 1, x D x x 为有理数

4、 为无理数 ，则下列命题中正确的是( ) A. D x不是周期函数 B. yD x的图象存在对称轴 C. D x是奇函数 D. D x是周期函数，且有最小正周期 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对全部选对 的得的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0 分分. 9.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是( ) A.若两直线的斜率相等，则两直线平行 B.若5x ，则10 x C.已知a是直线a的方向向量

5、，n是平面的法向量，若a，则an D.已知可导函数 f x，若 0 0fx，则 f x在 0 xx处取得极值 10.已知数列 n a满足 1 1a ， 2 3a ， 2 2 nn aa ，*nN，则( ) A. 12 aa， 34 aa， 56 aa，为等差数列 B. 21 aa， 43 aa， 65 aa，为常数列 C. 21 43 n an D.若数列 n b满足1 n nn ba ，则数列 n b的前100项和为100 11.已知函数 2cos0, 2 f xx 的图象上，对称中心与对称轴 12 x 的最小距离为 4 ， 则下列结论正确的是( ) A.函数 f x的一个对称点为 5 ,0

6、 12 B.当, 6 2 x 时，函数 f x的最小值为3 C.若 44 4 sincos0, 52 ，则 4 f 的值为 43 3 5 D.要得到函数 f x的图象，只需要将 2cos2g xx的图象向右平移 6 个单位 12.已知球O的半径为2，球心O在大小为60的二面角l 内，二面角l 的两个半平面分别截 球面得两个圆 1 O， 2 O，若两圆 1 O， 2 O的公共弦AB的长为2，E为AB的中点，四面体 12 OAOO的体积 为V，则下列结论中正确的有( ) A.O，E， 1 O， 2 O四点共面 B. 12 3 2 OO C. 12 3 2 OO D.V的最大值为 3 16 三、填空

7、题：本题共三、填空题：本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分. 13.已知某省2020年高考理科数学平均分X近似服从正态分布89,100N，则79109PX _. (附：0.6827PX，220.9545PX) 14.请写出满足条件“ 1f xf对任意的0,1x恒成立，且 f x在0,1上不是 增函数”的一个函数： _. 15.已知 6 2 1 10axa x 的展开式中各项的系数和为192，则其展开式中的常数项为_. 16.电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一， 当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响 力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，

8、计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的 是二进制计数制，简称二进制.一个十进制数 * n nN可以表示成二进制数 0 12 2 k a aaa，即 0 2kna 121 121 0 2222k k kk aaaa ，其中 0 1a ，0,1 i a ，0,1,2,ik，kN.用 f n表 示十进制数n的二进制表示中1的个数，则 7f_；对任意 * rN， 1 21 2 2 r r f n n _. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知数列

9、n a的前n项和 n S满足 2 23 n Snn. ()求数列 n a的通项公式； ()数列 1 1 nn a a 的前n项和是 n T，若存在 * nN，使得 1 0 nn Ta 成立，求实数的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 2 1 3sin coscos 2 f xxxxxR. ()当 5 , 12 12 x 时，分别求函数 f x取得最大值和最小值时x的值； ()设ABC的内角A，B，C的对应边分别是a，b，c，且2 3a ，6b，1 2 A f ，求c 的值. 19.(本小题满分 12 分) 甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4.

10、甲、乙约定比赛当天上午进行3局 热身训练，下午进行正式比赛. ()上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率； ()下午的正式比赛中： 若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数x的分布列与数学期望； 分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对 局制长短的设置有何认识？ 20.(本小题满分 12 分) 某建筑工地上有一个旗杆CF(与地面垂直)， 其正南、 正西方向各有一标杆BE，DG(均与地面垂直，B，D 在地面上)， 长度分别为1m，4m， 在地面上有一基点A(点A在B点的正西方向， 也在D点的正南方向上)， 且2mBABC，且A，E，F，G四点共面.

11、()求基点A观测旗杆顶端F的距离及仰角的正切值； ()若旗杆上有一点M， 使得直线BM与地面ABCD所成的角为 4 ， 试求平面ABM与平面AEFG所 成锐二面角的正弦值. 21.(本小题满分 12 分) 已知A，B分别为椭圆 22 2 :13 3 xy Ea a 的左、右顶点，Q为椭圆E的上顶点，1AQ QB. ()求椭圆E的方程； ()已知动点P在椭圆E上，两定点 3 1, 2 M ， 33 1,1, 22 MN . 求PMN的面积的最大值； 若直线MP与NP分别与直线3x 交于C，D两点，问：是否存在点P，使得PMN与PCD的 面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 22

12、.(本小题满分 12 分) 已知 1 2 ln 12cos1f xxxx ， 2 cos1g xxax . ()若 0g x 恒成立，求实数a的取值范围； ()确定 f x在1,内的零点个数. 湖南省湖南省 2021 届高三六校联考试题届高三六校联考试题 数学参考答案数学参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A A D C C B 二、多项选择题二、多项选择题 9 10 11 12 BD ABD BC ACD 三、填空题三、填空题 13.0.8186 14. 5 sin 2 fxx (答案不唯一) 15.17 16.3 * 2 3rrN 四、解答题四、

13、解答题 17.【解析】【解析】() 2 23 n Snn， 2 1 2131 n Snn ，2n， 两式相减得：2 22 n an ，则12 n ann， 由 11 224Sa 知 1 2a ，也满足上式， 故 * 1 n annN . () 1 1111 1212 nn a annnn . 22 n n T n . 12 020 22 22 nn nn Tan n n ， 由存在性得 2 max 22 n n . 而 2 11 416 22 24 n n n n (当且仅当2n时取等号)， 故 1 ,16 . 18.【解析】【解析】() 31 cos2131 sin2sin2cos21sin

14、 21 222226 x f xxxxx ， 5 , 12 12 x ， 2 2 363 x ， 3 sin 21 26 x ， 当sin 2 1 6 x ， 即2 62 x ，得 3 x ， f x取得最大值0 3 sin 2 62 x ， 即2 63 x ，得 12 x 时， f x取得最大值 3 1 2 . () sin11 26 A fA 且0,A， 6 A . 由余弦定理 222 2cosacbc bA 得 2 6 3240cc， 解得4 3c 或2 3. 另解： sin11 26 A fA 且0,A， 6 A ， 由正弦定理 sinsin ab AB 有 3 sin 2 B ， 则

15、 3 B 或 2 3 B ， 当 3 B 时， 2 c ，由勾股定理有 4 3c . 当 2 3 B 时， 6 CA ，则 2 3ca. 综上，4 3c 或2 3. 19.【解析】【解析】()甲恰好胜2局的概率为 22 3 C 0.60.40.432P . ()甲所胜局数x可取0，1，2. 22 2 0C 0.40.16P x ， 1 2 1C 0.6 0.4 0.40.192P x ， 21 22 2C 0.6 0.6C 0.6 0.4 0.60.648P x ， 甲所胜局数x的分布列为 x 0 1 2 P 0.16 0.192 0.648 0 0.16 1 0.1922 0.6481.48

16、8E x . 采用“3局2胜制”时，甲获胜的概率为 12 122 C 0.6 0.4 0.6C 0.6 0.60.648P ， 采用“5局3胜制”时，甲获胜的概率为 2222233 2433 C 0.60.40.6C 0.60.4 0.6C 0.60.68256P ， 对甲而言，显然“5 局3胜制”更有利. 由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利. 20. 【解析】【解析】 ()易知平面/ABE平面CDGF， 且A、E、F、G四点共面于平面AEFG， 故 /AEGF， 同理/AGEF，故AEFG为平行四边形，故AEFG，过点G作CF的垂线，垂足为N，则 ABEGNF，1FNBE，4 1

17、 5FC ， 2 2AC ， 22 33AFACFC ， 55 2 tan 42 2 FC AC . ()以A为原点，AB、AD为x， y轴建立直角坐标系， 2MC ，2,0,0B，2,2,2M ， 2,0,0AB ，2,2,2AM . 设平面ABM的法向量, ,x y zm， 则 20 2220 ABx AMxyz m m ， 设 1y ，1z ，取0,1, 1m， 又2,0,1E，2,2,5F，2,0,1AE ，2,2,5AF ，设平面AEFG的法向量, ,x y zn， 则 20 2250 AExz AFxyz n n ， 设1x ，则2z ， 4y ，取1, 2,4n， 则 2442

18、cos, 7221 m n， 设平面ABM与平面AEFG所成锐二面角为， 则 2 427 sin1 77 为所求. 21.【解析】【解析】()由题意得 ,0Aa，,0B a， 0, 3Q ， 则 , 3AQa ， ,3QBa. 由1AQ QB，得 2 31a ，即2a， 所以椭圆E的方程为 22 1 43 xy . ()设 2cos , 3sinP，直线 3 : 2 MN yx 即：320 xy， 点P到直线MN的距离 4 3 sin 6cos2 3sin 34 39 131313 d ，13MN ， 则 1 2 3 2 PMN SMN d ，即max2 3 PMN S . 设 00 ,P x

19、 y，13MN ，点P到直线MN的距离 00 1 32 13 xy d ， 100 11 32 22 PMN SMN dxy ， 直线 0 0 3 3 2 :1 12 y MP yx x ， 令3x ，可得 0 0 463 3, 12 y C x ， 直线 0 0 3 3 2 :1 12 y PN yx x ， 令3x ，可得 0 0 233 3, 12 y D x ， 000 2 0 323 1 xyx CD x ，P到直线CD的距离为 20 3dx， 2 00 20 2 0 3211 3 221 PCD xy SCD dx x ， MPN与PCD面积相等， 2 00 000 2 0 321

20、1 323 221 xy xyx x ， 故 00 320 xy(舍)或 2 2 00 13xx， 解得 0 5 3 x ，带入椭圆方程得 0 33 6 y ， 故点 533 , 36 P 或 533 , 36 . 22.【解析】【解析】()显然 g x为偶函数，故只需 0g x 在0,上恒成立即可. 由 0g知0a， sin2g xxax ， cos2gxxa . (1)若2 1,a 则 0gx ， g x 在0,上单调递增， 00g xg ， g x单调递增， 00g xg， 故 1 2 a 满足条件. (2)若 1 0 2 a，则存在 0 0, 2 x ， 0 0gx， 当 0 0,xx

21、时， 0 0gx， g x单调递减， 00g xg， g x单调递减， 00g xg，不成立，故 1 0 2 a不满足条件. 所以所求a的范围为 1 2 a . () 3 2 11 2sin1 12 fxxx x ， 5 2 2 13 2cos1 4 1 fxxx x . (1)当 1,0 x 时， 0fx ， fx 单调递减， 00fxf ， f x单调递增， 又 010f ， 33 2ln22cos20 44 f ， f x在在1,0内恰有一个零点； (2)当 0, 3 x 时，可以证明 2 ln 1 2 x xx，由()知 2 cos1 2 x x ， 22 313 210 221 f

22、xxxxx x ，故 f x在 0, 3 内无零点； (3)当 , 3 2 x 时， 0fx ， fx 单调递减， 0 3 fxf ， f x单调递减， 0 2 f xf ， 故 f x在 , 3 2 无零点； (4)当 5 , 2 6 x 时， 3 2 11 110 12 fxx x ， f x单调递减， 又 0 2 f ， 1 2 555 ln 1312ln230 666 f ， f x在 5 , 2 6 内恰有一零点； (5)当 5 , 6 x 时， 0fx ， fx 单调递增，又 0f ， 5 0 6 f ， 存在唯一 0 5 , 6 x ， 0 0fx， 当 0 5 , 6 xx 时， 0fx ， f x递减， 当 0, xx 时， 0fx ， f x递增， 5 max,( )0 6 f xff ， f x在 5 , 6 内无零点； 综上， f x恰有两个零点.