专题15 坐标系与参数方程（解析版）-备战2021届高考数学（文）二轮复习题型专练 （通用版）.doc

1、专题专题 15 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 【要点提炼】【要点提炼】 1、直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单 位如图，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)， 则 xcos ， ysin ， 2x2y2， tan y x x 2、几种常见曲线的参数方程 (1)圆以 O(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是 xarcos ， ybrsin ， 其中 是参数 当圆心在(0,0)时，方程为 xrcos ， yrsin ， 其中 是参数 (2)椭圆 椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0

2、)的参数方程是 xacos ， ybsin ， 其中 是参数 椭圆x 2 b2 y2 a21(ab0)的参数方程是 xbcos ， yasin ， 其中 是参数 (3)直线 经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程是 xx0tcos ， yy0tsin ， 其中 t 是参数 3、解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化 公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等 考向考向 考向一考向一 极坐标方程极坐标方程 典例 1 (2020 四川省双流中学月考)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的方程为(x3)2(y4)2

3、25.以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)直线 l1： 6(R)，直线 l2： 3(R)，若 l1，l2与曲线 C 分别交于异于极点的 A，B 两点，求AOB 的面积 解 (1)曲线 C 的普通方程为(x3)2(y4)225， 即 x2y26x8y0. 曲线 C 的极坐标方程为 6cos 8sin . (2)设 A 1， 6 ，B 2， 3 . 把 6代入 6cos 8sin ， 得 1|OA|43 3， A 43 3， 6 . 把 3代入 6cos 8sin ， 得 2|OB|34 3， B 34 3， 3 . S AOB 1 21

4、2sinAOB 1 2(43 3)(34 3) sin 3 6 1225 3 4 . 易错提醒 在与曲线的直角坐标方程进行互化时， 一定要注意变量的范围， 要注意转化的等 价性 拓展练习 1 (2020 济南模拟)在直角坐标系 xOy 中， 曲线C的参数方程为 x 3cos ， y1 3sin ( 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 6 2 3. (1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)射线 OP 的极坐标方程为 6，若射线 OP 与曲线 C 的交点为 A，与直线 l 的交点为 B， 求线段 AB 的长 解

5、 (1)由 x 3cos ， y1 3sin ， 可得 x 3cos ， y1 3sin ， 所以 x2(y1)23cos23sin23， 所以曲线 C 的普通方程为 x2(y1)23， 由 sin 6 2 3，可得 3 2 sin 1 2cos 2 3， 所以 3 2 sin 1 2cos 2 30， 所以直线 l 的直角坐标方程为 x 3y4 30. (2)方法一 曲线 C 的方程可化为 x2y22y20， 所以曲线 C 的极坐标方程为 22sin 20， 由题意设 A 1， 6 ，B 2， 6 ， 将 6代入 22sin 20，可得 2 1120， 所以 12 或 11(舍去)， 将 6

6、代入 sin 6 2 3，可得 24， 所以|AB|12|2. 方法二 因为射线 OP 的极坐标方程为 6， 所以射线 OP 的直角坐标方程为 y 3 3 x(x0)， 由 x2y 23， y 3 3 xx， 解得 A( 3，1)， 由 x 3y4 30， y 3 3 xx， 解得 B(2 3，2)， 所以|AB|3 3 2 22. 考向二考向二 参数方程参数方程 典例 2 (2018 全国)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 x2cos ， y4sin ( 为参数)， 直线 l 的参数方程为 x1tcos ， y2tsin (t 为参数) (1)求 C 和 l 的直角坐标方程

7、； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率 解 (1)曲线 C 的直角坐标方程为x 2 4 y2 161. 当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 ytan x2tan ， 当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 x1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程， 整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80. 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内， 所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1t20. 又由得 t1t2 sin 13cos2 ，故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率为 t

8、an 2. 规律方法 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法常见的 消参方法有：代入消参法，加减消参法，平方和(差)消参法，乘法消参法，混合消参法等把 曲线 C 的普通方程 F(x，y)0 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前 后方程的等价性注意方程中的参数的变化范围 拓展练习 2 (2020 吉林省梅河口市第五中学月考)在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数 方程为 xacos ， ybsin (ab0， 为参数)，且曲线 C 上的点 M 1， 3 2 对应的参数 3，直 线 l： x 2 2 t， y2 5 2 2 t (t 为参数) (1

9、)求曲线 C 的普通方程； (2)若点 A 是曲线 C 上的一动点，求点 A 到直线 l 距离的最小值 解 (1)由题意知 1acos 3， 3 2 bsin 3， 解得 a2， b1. 曲线 C 的普通方程为x 2 4y 21. (2)直线 l 的普通方程为 xy2 50， 设点 A(2cos ，sin )， A 到直线 l 的距离 d|2cos sin 2 5| 2 | 5 2 5| 2 ，其中 tan 2， 当 sin()1 时，dmin 5 2 10 2 ， 点 A 到直线 l 距离的最小值为 10 2 . 考向三考向三 极坐标与参数方程的综合应用极坐标与参数方程的综合应用 典例3 (

10、2020 全国)在直角坐标系xOy中， 曲线C1的参数方程为 xcoskt， ysinkt (t为参数) 以 坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 4cos 16sin 30. (1)当 k1 时，C1是什么曲线？ (2)当 k4 时，求 C1与 C2的公共点的直角坐标 解 (1)当 k1 时， 曲线 C1的参数方程为 xcos t， ysin t (t 为参数)， 两式平方相加，得 x2y21， 所以曲线 C1表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆 (2)当 k4 时， 曲线 C1的参数方程为 xcos4t， ysin4t (t 为参数)， 所以 x0

11、，y0， 曲线 C1的参数方程化为 xcos2t， ysin2t (t 为参数)， 两式相加得，曲线 C1的方程为 x y1， 得 y1 x， 平方得 yx2 x1,0 x1,0y1， 曲线 C2的极坐标方程为 4cos 16sin 30， 曲线 C2的直角坐标方程为 4x16y30， 联立 C1，C2方程 yx2 x1， 4x16y30， 整理得 12x32 x130， 解得 x1 2或 x 13 6 (舍去)， 所以 x1 4，y 1 4， 所以 C1，C2公共点的直角坐标为 1 4， 1 4 . 规律方法规律方法 解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点 (1)对于参数方程或极坐标方程应

12、用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方 程，这样思路可能更加清晰 (2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷 (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件 拓展练习 3 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，直线 l 的极坐标方程为 cos 2sin 10，曲线 C 的参数方程为 x2cos ， y 3sin ( 为参数) (1)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值； (2)直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，已知点 M(1,1)，求|MA| |MB|的值 解 (1)设曲线 C 上任意一

13、点 N(2cos ， 3sin )， 直线 l：x2y10， 则点 N 到直线 l 的距离 d|2cos 2 3sin 1| 5 4cos 3 1 5 5， 曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 5. (2)设直线 l 的倾斜角为 ， 则由(1)知 tan 1 2，cos 2 5 5 ，sin 5 5 . 直线 l 的参数方程为 x12 5 5 t， y1 5 5 t (t 为参数)， 曲线 C：x 2 4 y2 31， 联立方程组，消元得16 5 t24 5t50， 设方程两根为 t1，t2，则 t1t225 16， 由 t 的几何意义，得|MA| |MB|t1t225 16. 【专

14、题拓展练专题拓展练习习】 1将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 （1）4sin （2）sin2cos （3） 6 【详解】 （1） 2 2222 4sin4 sin424xyyxy； （2） 2 2 222 15 sin2cossin2 cos21 24 xyyxxy ； （3） 3 63 yx 2以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中 取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程为 1 cos 2 sin xt yt (t为参数，0)，抛物 线 C 的普通方程为 2 2yx. (1)求抛物线 C 的准线的极坐标方程； (2)设直线 l 与抛物线 C 相

15、交于 A，B 两点，求|AB的最小值及此时的值. 【详解】 解:(1)依题意可得，抛物线C的准线的普通方程为 1 2 x ， 化为极坐标方程即是 1 cos 2 . (2)将直线l的参数方程代入抛物线C的普通方程 2 2yx，化简整理得， 22 sin2 cos10tt ，设 ,A B两点对应的参数分别为 12 ,t t,则有 12 2 2cos sin tt ， 1 2 2 1 sin t t ， 所以 2 12121 2 2 2 ()4 sin ABttttt t ，因为0， 所以， 2 0sin1， 2 2 2 sin ，即2AB ， 当且仅当 2 时，AB取得最小值2. 3在平面直角坐

16、标系中，直线 m 的参数方程为 cos sin xt yt （t 为参数，0）以坐 标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系曲线 E 的极坐标方程为 2+2cos 30，直线 m 与曲线 E 交于 A，C 两点 （1）求曲线 E 的直角坐标方程和直线 m 的极坐标方程； （2）过原点且与直线 m 垂直的直线 n，交曲线 E 于 B，D 两点，求四边形 ABCD 面积的最 大值 【详解】 （1）曲线 E 的极坐标方程为 2 2 cos30 ， 所以曲线E的直角坐标方程为 2 2 14xy， 因为直线 m 的参数方程为 cos sin xt yt （t为参数，0） 所以 tanyx ，

17、 所以直线m的极坐标方程为R （2）设点,A C的极坐标分别为 12 , 由 2 2 cos30 可得 2 2 cos30 ， 1212 2cos ,3 ， 2 12 2 cos3AC； 同理得 2 2 sin3BD； 设四边形ABCD面积为S， 2222 1 2 cos3sin3cos3sin37 2 SACBD ， 当且仅当 22 cos3sin3，即 4 或 3 4 时，等号成立， 四边形ABCD面积的最大值为7 4在极坐标系中，圆 C:4sin() 6 .在以极点为原点，以极轴为 x 轴正半轴且单位长 度一样的直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 1 2 2 3 3 2 xt yt （

18、t 为参数） （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 l 交于点 A，B.且点 P(2, 3)，求| |PAPB. 【详解】 （1）圆 C 的极坐标方程为4cos 3 ， 2cos2 3sin， 2 2 cos2 3 sin， C 的直角坐标方程为： 22 22 30 xyxy（或 22 (1)(3)4xy） （2）直线 1 2 2 : 3 3 2 xt l yt 过定点23P,， 将 1 2 2 3 3 2 xt yt 代入圆 C 的直角坐标方程，得 2 30tt ， 1 43130 ，1 2 10tt ， 12 30t t ， 12 | |3PAPBt t. 5在极坐标系

19、中，0,0O， 6, 2 A ，6 2, 4 B ，以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的 正半轴， 建立平面直角坐标系， 己知直线 1 的参数方程为 1cos 2sin xt yt (t为参数，R)， 且点 P 的直角坐标为1,2. （1）求经过 O，A，B 三点的圆 C 的直角坐标方程； （2）求证：直线 l 与（1）中的圆 C 有两个交点 M，N，并证明PMPN为定值. 【详解】 （1）由已知 O,A,B 的极坐标和极直互化公式 xcos ysin 得 O,A,B 的直角坐标分别为 (0,0),(0,6),(6,6),OAB 为直角，经过 O,A,B 三点的圆 C 的圆心为(3,3),且经过原点 O, 圆 C 的方程为： 22 660 xyxy； （2）将直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程，并整理得： 2 2 4cossin10tt , 此方程的判别式 22 2 4cossin4 112 4cossin40 , 此方程有两个不等实根，直线 l 与（1）中的圆 C 有两个交点. 设两个交点 M,N 所对应的参数值分别为 12 ,t t,则 12 ,t t是该方程的两个实数根， 1 2 1t t ，由直线 l 的参数方程和点 P 的坐标可知，PMPN= 121 2 1t ttt.