2021年河南省南阳市中原名校中考数学第一次联考试卷.docx

1、第 1 页（共 25 页） 2021 年河南省南阳市中原名校中考数学第一次联考试卷年河南省南阳市中原名校中考数学第一次联考试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分分.下面各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）下面各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1 （3 分）下列实数中，是有理数的是( ) A 3 Bcos45 C7 D 25 7 2 （3 分）下列几何体所对应的主视图中，不是中心对称图形的是( ) A圆锥 B正方体 C球 D圆柱 3 （3 分）如图所示，直线 1 l斜截平行线 2 l， 3 l，则下列判断错误的是( ) A17 B26 C3590

2、D47180 4 （3 分）下列关于圆的说法，正确的是( ) A弦是直径，直径也是弦 B半圆是圆中最长的弧 C圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D过三点可以作一个圆 5 （3 分）已知关于x的方程 2 0axx有实数根，则实数a的取值范围是( ) A0a B0a C0a D全体实数 6 （3 分）在平面直角坐标系中，已知点 0 (P x， 0) y，连接OP，将线段OP绕点O顺时针 旋转90后，得到线段OQ，则点Q的坐标是( ) A 0 ( y， 0) x B 0 ( y， 0) x C 0 (y， 0) x D 0 ( x， 0) y 7 （3 分）现有四张正面分别标有数字2，0，1，

3、3 的不透明卡片（形状与材质相同） ，将 它们正面朝下洗均匀， 随机抽取一张记下数字后放回 （设数字为)a， 再次正面朝下洗均匀， 再随机抽取一张记下数字（设数字为)b，则关于x的不等式组 0 xab x 有解的概率是( ) A 1 2 B 1 4 C 7 16 D 11 16 第 2 页（共 25 页） 8 （3 分）如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶 点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则COF的度数是( ) A86 B84 C76 D74 9 （3 分）如图所示，双曲线 2 y x 上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边， 构造

4、等腰直角三角形OAB，则OAB面积的最小值为( ) A 2 4 B 2 2 C2 D2 2 10 （3 分）已知二次函数 2 yaxbxc，其中0a 若函数图象与x轴的两个交点均在 负半轴，则下列判断错误的是( ) A0abc B0b C0c D0bc 二二.填空题（每小题填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）2021 年 2 月 25 日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利， 现行标准下，9899 万农村贫困人口全部脱贫用科学记数法表示数据“9899 万” ： 12（3 分） 如图所示，AB为O的直径， 过圆外一点C作O的切线BC， 连接AC交弧A

5、B 于点D，连接BD若5AB ，2AD ，则BC 第 3 页（共 25 页） 13 （3 分）方孔钱是我国古代铜钱的固定形式，呈“外圆内方” 如图所示，是方孔钱的示 意图，已知“外圆”的周长为2， “内方”的周长为 4，则图中阴影部分的面积是 14 （3 分）如图所示，在矩形ABCD中，6AB ，4AD 点E是线段AB的中点，点F 是线段AD上的动点，连接EF，把AEF沿EF折叠，点A的对应点为点 A 连接A C， 则A C长度的最小值是 15 （3 分）给出定义：如果某函数的图象关于原点对称，且图象过原点，那么我们称该函 数为“完美函数” 已知函数 2 1 axb y x 是“完美函数” ，

6、且其图象过点 1 ( 2 ， 2) 5 ，则函数值y 的取值范围是 （链接材料：2abab ，其中a，0b ，当且仅当ab时，等号成 立） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤）演算步骤） 16 （8 分）先化简，再求值： 2 2 1221 () 111 mm mmm ，其中3m 17 （9 分）我国坚持保护环境的基本国策，努力推动建设资源节约型、环境友好型社会， 大力推行垃圾分类某市第一中学欲通过试题考核实践考核的方式，评选 2 位垃圾分类模 第 4 页（

7、共 25 页） 范学生，并进行全校表彰评选过程如下：第一轮筛选：由各班（共计 60 个班）自行推 举 5 位学生参加试题考核；第二轮筛选：学校组织试题考核，学生成绩分为A档、B档、 C档、D档，A档学生可通过试题考核，参加第三轮筛选；第三轮筛选：组织A档学生 进行实践考核，由校领导进行评分，成绩排位前 5 的学生，可通过实践考核；将通过实践 考核的学生的试题考核与实践考核成绩进行赋权（试题考核占55%、实践考核占45%)，得 到最终成绩，按分数排位，取前 2 位评为垃圾分类模范学生 如表 1，是校宣传部统计的试题考核成绩频数分布表（不完整） 如表 2，是通过实践考核的 5 位学生最终成绩统计表

8、 表 1 试题考核成绩频数分布表 成绩档位 频数 频率 A档(100分90分） 11 B档(89分75分） a 0.50 C档(74分60分） b c D档(59分0分） 0.03 注：频率均保留小数点后两位 表 2 5 位学生最终成绩统计表 甲 乙 丙 丁 戊 试题考核成绩（分) 98 96 95 93 91 实践考核成绩（分) 100 91 100 98 99 最终成绩（分) 98.90 97.25 95.25 注：最终成绩均保留小数点后两位 （1）填空：a ；b ；c （2）计算乙、戊两位学生的最终成绩 （3）已知通过实践考核的学生中，共 3 个女生和 2 个男生，通过列表或画树状图的方

9、法求 2 位垃圾分类模范学生性别相同的概率 18 （9 分）如图 1 所示，上海中心大厦是上海市的一座超高层地标式摩天大楼，是我国最 高的建筑，建筑主体共计 119 层某数学小组欲测量上海中心大厦的楼高，设计出如图 2 所示的测量方案具体方案如下：小组成员在地面A处通过激光测距，测得仰角37a ， 第 5 页（共 25 页） 光路AB长 1000 3 m，光路AB被写字楼BN楼顶的一面玻璃（视为点)B反射，反射的激光束 沿光路BC恰好可以到达上海中心大厦CM楼顶（视为点)C已知写字楼与上海中心大厦 的直线距离MN为576m（写字楼与上海中心大厦位于同一平面） ，图 2 中的虚线为法线求 上海中

10、心大厦的楼高CM（结果保留整数，参考数据：sin370.60 ，cos370.80 ， tan370.75) 19（9 分） 如图所示， 在平面直角坐标系中， 直线24yx交x轴于点A， 直线 1 2 2 yx 交x轴于点B，两直线交于点C （1）求证：ABC是直角三角形 （2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由 20 （9 分）某故宫文物修复专家欲根据某瓷盘残片复原出瓷盘的原状（已知瓷盘的原状为 标准的圆） ，并补描上花纹文物修复专家的复原方法如下：在瓷盘残片上作出两条弦； 分别作两条弦的垂直平分

11、线，交于点O；点O即为瓷盘的圆心，以圆心到弧上任意一 点的长为半径作圆，即可作出瓷盘的原状如图所示，是瓷盘残片的示意图 （1）尺规作图：请你根据文物修复专家的复原方法，作出瓷盘的原状（要求：不写作法， 保留作图痕迹） （2）请你对文物修复专家的复原方法( “弦的垂直平分线过圆心” )进行证明（要求：写 第 6 页（共 25 页） 出“已知” “求证” “证明” ) 21 （10 分）某化工厂欲对工业废料进行低成本加工后循环利用，因此建设了废料处理分厂 A，B进行废料处理，B分厂用于处理A分厂当日处理不尽的工业废料，已知A分厂的日 处理量为m吨， 每日需固定成本 30 元， 且每处理一吨废料还需

12、人工、 物料费用等共计 8 元； B分厂的废料处理价格为 12 元/吨根据记录，某日处理工业废料 35 吨共花费 370 元 （1）求A分厂的日废料处理量m的值 （2）若欲使每日废料处理的平均费用不超过 10 元/吨，求A，B分厂日处理的工业废料总 量n的取值范围 22 （10 分）已知抛物线 2 1 24 2 yxax （1）讨论抛物线与x轴的交点个数，必要时可阅读【链接材料】 （2）若1a ，当2 x m 剟时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值 链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式 例：解不等式： 2 20 xx 解：不等式 2 20 xx的解集， 等价于不等

13、式(1)(2)0 xx的解集， 等价于函数(1)(2)yxx的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围 如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数(1)(2)yxx的大致图象，由图象可 知：函数(1)(2)yxx的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是2x 或1x 不等式 2 20 xx的解集是2x 或1x 23 （11 分）瑞士数学家菜昂哈德欧拉(Leonhard)Euler是 18 世纪数学界最杰出的人物之 一欧拉于 1765 年在他的著作三角形的几何学中提出“欧拉线定理” ：任意三角形的外 心、重心、垂心依次位于同一条直线上，这条直线就叫该三角形的欧拉线 【定理证明】 已知：如图所示，在

14、ABC中，点G，O，H分别是ABC的重心、外心、垂心 求证：G，O，H三点共线 第 7 页（共 25 页） 证明：作ABC的外接圆，连接OB，并延长BO交外接圆于点D；作中线AM；连接AD， CD，AH，CH，OH，OM；设AM交OH于点 G （1）请你按照辅助线的语言表述，补全图，并继续完成欧拉线定理的证明 【基础运用】 （2）在【定理证明】的基础上，判断OH与OG的数量关系，并说明理由 【能力提升】 （3）在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点(0,0)A，(4,0)B，(3, 3)C，请直接写 出ABC的欧拉线的函数解析式 第 8 页（共 25 页） 2021 年河南省南阳市中原名校中

15、考数学第一次联考试卷年河南省南阳市中原名校中考数学第一次联考试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分分.下面各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）下面各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1 （3 分）下列实数中，是有理数的是( ) A 3 Bcos45 C7 D 25 7 【解答】 解：3 是无理数， 2 cos45 2 是无理数，7是无理数，25 7 是分数， 属于有理数 故选：D 2 （3 分）下列几何体所对应的主视图中，不是中心对称图形的是( ) A圆锥 B正方体 C球 D圆柱 【解答】解：A、主视图为等腰三

16、角形，不是中心对称图形，故本选项正确； B、主视图为正方形，是中心对称图形，故本选项错误； C、主视图为圆，是中心对称图形，故本选项错误； D、主视图为矩形，是中心对称图形，故本选项错误 故选：A 3 （3 分）如图所示，直线 1 l斜截平行线 2 l， 3 l，则下列判断错误的是( ) A17 B26 C3590 D47180 【解答】解：A、 23 / /ll， 73 ， 13 ， 17 ，故选项A不符合题意； B、 23 / /ll， 26 ，故选项B不符合题意； C、 23 / /ll， 第 9 页（共 25 页） 35 ，故选项C符合题意； D、 23 / /ll， 48 ， 781

17、80 ， 47180 ，故选项D不符合题意 故选：C 4 （3 分）下列关于圆的说法，正确的是( ) A弦是直径，直径也是弦 B半圆是圆中最长的弧 C圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D过三点可以作一个圆 【解答】解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意； B、半圆小于优弧， 半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意； C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意； D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意； 故选：C 5 （3 分）已知关于x的方程 2 0axx有实数根，则实数a的取值范围是( ) A0a B0

18、a C0a D全体实数 【解答】解：当0a 时，是一元二次方程， 原方程有实数根， 2 ( 1)4010a ， 0a； 当0a 时，0 x 是一元一次方程，有实数根， 故选：D 6 （3 分）在平面直角坐标系中，已知点 0 (P x， 0) y，连接OP，将线段OP绕点O顺时针 旋转90后，得到线段OQ，则点Q的坐标是( ) A 0 ( y， 0) x B 0 ( y， 0) x C 0 (y， 0) x D 0 ( x， 0) y 【解答】解：如图，不妨设 0 0 x ， 0 0y ，过点P作PFx轴于F，过点Q作QEx轴 第 10 页（共 25 页） 于E 0 (P x， 0) y， 0

19、OFx， 0 PFy， 90PFOQEOPOQ， 90POFQOE，90POEP， QOEP， 在PFO和EOQ中， 90 PQOE PFOOEQ OPQO ， ()PFOEOQ AAS ， 0 OEPEy， 0 EQOFx， 0 (Qy， 0) x， 故选：A 7 （3 分）现有四张正面分别标有数字2，0，1，3 的不透明卡片（形状与材质相同） ，将 它们正面朝下洗均匀， 随机抽取一张记下数字后放回 （设数字为)a， 再次正面朝下洗均匀， 再随机抽取一张记下数字（设数字为)b，则关于x的不等式组 0 xab x 有解的概率是( ) A 1 2 B 1 4 C 7 16 D 11 16 【解答

20、】解：画树状图如下： 第 11 页（共 25 页） 由树状图知，共有 16 种等可能结果，其中使关于x的不等式组 0 xab x 有解的有 4 种结果， 所以关于x的不等式组 0 xab x 有解的概率为 1 4 ， 故选：B 8 （3 分）如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶 点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则COF的度数是( ) A86 B84 C76 D74 【解答】解：由题意：108EOF，120BOC，72OEB，60OBE， 180726048BOE ， 3601084812084COF ， 故选：B 9 （3 分）如图所示，双曲

21、线 2 y x 上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边， 构造等腰直角三角形OAB，则OAB面积的最小值为( ) A 2 4 B 2 2 C2 D2 2 【解答】解：AOB是等腰直角三角形，OAOB， 2 11 22 OAB SOA OBOA ， OA取最小值时，OAB面积的值最小， 第 12 页（共 25 页） 当直线OA为yx时，OA最小， 解 2 yx y x 得 2 2 x y 或 2 2 x y ， 此时A的坐标为( 2，2)， 2OA， 22 11 22 22 OAB SOA ， OAB面积的最小值为 2， 故选：C 10 （3 分）已知二次函数 2 yaxbxc，其中0

22、a 若函数图象与x轴的两个交点均在 负半轴，则下列判断错误的是( ) A0abc B0b C0c D0bc 【解答】解：因为函数图象与x轴的两个交点均在负半轴， 所以抛物线的对称轴与x轴负半轴相交， 所以0 2 b a ，0c ， 因为0a ， 所以0b ， 因为0c ， 所以0abc ，0bc， 故选：B 二二.填空题（每小题填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）2021 年 2 月 25 日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利， 现行标准下，9899 万农村贫困人口全部脱贫用科学记数法表示数据“9899 万” ： 7 9.899 10 【解答】解

23、：9899 万 7 989900009.899 10 故答案为： 7 9.899 10 12（3 分） 如图所示，AB为O的直径， 过圆外一点C作O的切线BC， 连接AC交弧AB 于点D，连接BD若5AB ，2AD ，则BC 5 21 2 第 13 页（共 25 页） 【解答】解：AB为O的直径， 90ADB， BC为切线， ABBC， 90ABC， BADCAB ，ADBABC ， ABDACB， ABAD ACAB ，即 52 5AC ，解得 25 2 AC ， 在Rt ABC中， 22 255 21 ()5 22 BC 故答案为 5 21 2 13 （3 分）方孔钱是我国古代铜钱的固定形

24、式，呈“外圆内方” 如图所示，是方孔钱的示 意图， 已知 “外圆” 的周长为2， “内方” 的周长为 4， 则图中阴影部分的面积是 1 【解答】解： “外圆”的周长为2， “内方”的周长为 4， “外圆”的的半径为 1， “内方”的边长为 1， 圆的面积为，中间正方形的面积为 1， 图中阴影部分面积为：1 故答案为：1 14 （3 分）如图所示，在矩形ABCD中，6AB ，4AD 点E是线段AB的中点，点F 是线段AD上的动点，连接EF，把AEF沿EF折叠，点A的对应点为点 A 连接A C， 第 14 页（共 25 页） 则A C长度的最小值是 2 【解答】解：四边形ABCD是矩形， ABCD

25、，ADBC，90B， 6AB ，4AD ，E是AB的中点， 由折叠的性质得，3EAEA ， A 的轨迹在以E为圆心，半径为 3 的圆弧上运动，连接EC交圆弧于A “，此时E、A “、C共线，A “C最短， 在Rt EBC中，3BE ，4BC ， 由勾股定理得 22 345CE ， A “532C ， 即A C长度的最小值是 2， 故答案为：2 15 （3 分）给出定义：如果某函数的图象关于原点对称，且图象过原点，那么我们称该函 数为“完美函数” 已知函数 2 1 axb y x 是“完美函数” ，且其图象过点 1 ( 2 ， 2) 5 ，则函数值y 的取值范围是 11 22 y剟 （链接材料：

26、2abab ， 其中a，0b ， 当且仅当ab时， 等号成立） 【解答】解： 2 1 axb y x 过原点， 代入(0,0)，得，0b ， 代入 1 ( 2 ， 2) 5 ，得，1a ， 第 15 页（共 25 页） 2 1 x y x ， 由题意可知， 当0 x 时， 1 1 y x x ，令 1 tx x ， 当x 时， 1 22tx x ，当且仅当1x 时等号成立， 当0 x 时， 1 2tx x ，即2t， 0 x 时， 11 0 2 y t ， 0 x 时， 1 0 2 y， 函数过原点， 11 22 y剟， 故答案为： 11 22 y剟 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共

27、8 个小题，满分个小题，满分 75 分分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤）演算步骤） 16 （8 分）先化简，再求值： 2 2 1221 () 111 mm mmm ，其中3m 【解答】解：原式 2 12(1) (1)(1)(1)(1)1 mm mmmmm 2 1(1) (1)(1)1 mm mmm 1 1 m m ， 当3m 时， 原式 31 31 2 ( 31) ( 31)( 31) 42 3 31 23 17 （9 分）我国坚持保护环境的基本国策，努力推动建设资源节约型、环境友好型社会， 第 16 页（共 25 页） 大力推行垃

28、圾分类某市第一中学欲通过试题考核实践考核的方式，评选 2 位垃圾分类模 范学生，并进行全校表彰评选过程如下：第一轮筛选：由各班（共计 60 个班）自行推 举 5 位学生参加试题考核；第二轮筛选：学校组织试题考核，学生成绩分为A档、B档、 C档、D档，A档学生可通过试题考核，参加第三轮筛选；第三轮筛选：组织A档学生 进行实践考核，由校领导进行评分，成绩排位前 5 的学生，可通过实践考核；将通过实践 考核的学生的试题考核与实践考核成绩进行赋权（试题考核占55%、实践考核占45%)，得 到最终成绩，按分数排位，取前 2 位评为垃圾分类模范学生 如表 1，是校宣传部统计的试题考核成绩频数分布表（不完整

29、） 如表 2，是通过实践考核的 5 位学生最终成绩统计表 表 1 试题考核成绩频数分布表 成绩档位 频数 频率 A档(100分90分） 11 B档(89分75分） a 0.50 C档(74分60分） b c D档(59分0分） 0.03 注：频率均保留小数点后两位 表 2 5 位学生最终成绩统计表 甲 乙 丙 丁 戊 试题考核成绩（分) 98 96 95 93 91 实践考核成绩（分) 100 91 100 98 99 最终成绩（分) 98.90 97.25 95.25 注：最终成绩均保留小数点后两位 （1）填空：a 150 ；b ；c （2）计算乙、戊两位学生的最终成绩 （3）已知通过实践考

30、核的学生中，共 3 个女生和 2 个男生，通过列表或画树状图的方法求 2 位垃圾分类模范学生性别相同的概率 【解答】解： （1）605300， 3000.5150a ； 第 17 页（共 25 页） D档人数为3000.039， 30011 1509130b， 130 0.43 300 c ； 故答案为 150；130，0.43； （2）乙学生的最终成绩为9655%91 45%93.75， 戊学生的最终成绩为91 55%9945%94.60； （3）画树状图为： 共有 20 种等可能的结果，其中 2 位垃圾分类模范学生性别相同的结果数为 8， 所以 2 位垃圾分类模范学生性别相同的概率 82

31、205 18 （9 分）如图 1 所示，上海中心大厦是上海市的一座超高层地标式摩天大楼，是我国最 高的建筑，建筑主体共计 119 层某数学小组欲测量上海中心大厦的楼高，设计出如图 2 所示的测量方案具体方案如下：小组成员在地面A处通过激光测距，测得仰角37a ， 光路AB长 1000 3 m，光路AB被写字楼BN楼顶的一面玻璃（视为点)B反射，反射的激光束 沿光路BC恰好可以到达上海中心大厦CM楼顶（视为点)C已知写字楼与上海中心大厦 的直线距离MN为576m（写字楼与上海中心大厦位于同一平面） ，图 2 中的虚线为法线求 上海中心大厦的楼高CM（结果保留整数，参考数据：sin370.60 ，

32、cos370.80 ， tan370.75) 【解答】解：如图所示，过点B作BDCM于点D，此时法线与垂线BD共线， 第 18 页（共 25 页） BDCM，CMMN，BNMN， 90BDMCMNBNM ， 四边形BDMN是矩形， BNDM，576BDMNm，/ /BDMN， 37ABD， 由物理知识得：37CBDABD ， 在Rt ANB中，sin BN AB ， 1000 sin0.60200( ) 3 BNABm， 在Rt BDC中，tan CD CBD BD ， tan576 0.75432( )CDBDCBDm， 432200632( )CMDMCDm， 答：上海中心大厦的楼高CM是

33、632m 19（9 分） 如图所示， 在平面直角坐标系中， 直线24yx交x轴于点A， 直线 1 2 2 yx 交x轴于点B，两直线交于点C （1）求证：ABC是直角三角形 （2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】 （1）证明：直线24yx交x轴于点A， 当0y 时，2x ， 第 19 页（共 25 页） 点A的坐标为( 2,0)， 直线 1 2 2 yx 交x轴于点B， 当0y 时，4x ， 点B的坐标为(4,0)， 由 24 1 2 2 yx yx ，得 4 5 12 5 x y ，

34、点C的坐标为 4 ( 5 ， 12) 5 ， 22 4126 5 2()(0) 555 AC ， 22 41212 5 (4)(0) 555 BC ， 4( 2)426AB ， 222222 6 512 5 ()()6 55 ACBCAB， ABC是直角三角形； （2）平面直角坐标系内存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 点D的坐标为 34 ( 5 ， 12) 5 ， 14 ( 5 ， 12) 5 或 26 ( 5 ，12) 5 ， 如右图所示， 当 1/ / CDAB时， 点A的坐标为( 2,0)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为 4 ( 5 ， 12) 5 ， 1

35、 6ABCD， 1 D的坐标为 34 ( 5 ， 12) 5 ； 当 2 / /ACDB时， 设直线AC的函数解析式为ykxb， 20 412 55 kb kb ，得 2 4 k b ， 即直线AC的函数解析式为24yx， 设直线 2 BD对应的函数解析式为2yxc， 点(4,0)B在该直线上， 第 20 页（共 25 页） 024c，得8c ， 直线 2 BD对应的函数解析式为28yx， 点 2 D的纵坐标为 12 5 ， 12 28 5 x， 解得 14 5 x ， 2 D的坐标为 14 ( 5 ， 12) 5 ； 当 3/ / CDAB时， 点A的坐标为( 2,0)，点B的坐标为(4,0

36、)，点C的坐标为 4 ( 5 ， 12) 5 ， 3 6ABCD， 3 D的坐标为 26 ( 5 ， 12) 5 ； 由上可得，点D的坐标为 34 ( 5 ， 12) 5 ， 14 ( 5 ， 12) 5 或 26 ( 5 ，12) 5 20 （9 分）某故宫文物修复专家欲根据某瓷盘残片复原出瓷盘的原状（已知瓷盘的原状为 标准的圆） ，并补描上花纹文物修复专家的复原方法如下：在瓷盘残片上作出两条弦； 分别作两条弦的垂直平分线，交于点O；点O即为瓷盘的圆心，以圆心到弧上任意一 点的长为半径作圆，即可作出瓷盘的原状如图所示，是瓷盘残片的示意图 （1）尺规作图：请你根据文物修复专家的复原方法，作出瓷

37、盘的原状（要求：不写作法， 保留作图痕迹） （2）请你对文物修复专家的复原方法( “弦的垂直平分线过圆心” )进行证明（要求：写 出“已知” “求证” “证明” ) 第 21 页（共 25 页） 【解答】解： （1）如图，O即为所求作 （2）已知：如图，在O中，直线l是弦AB的垂直平分线 求证：直线l经过圆心O 证明：OAOB， 点O在线段AB的垂直平分线上， 直线l是线段AB的垂直平分线， 点O在直线l上 21 （10 分）某化工厂欲对工业废料进行低成本加工后循环利用，因此建设了废料处理分厂 A，B进行废料处理，B分厂用于处理A分厂当日处理不尽的工业废料，已知A分厂的日 处理量为m吨， 每日

38、需固定成本 30 元， 且每处理一吨废料还需人工、 物料费用等共计 8 元； B分厂的废料处理价格为 12 元/吨根据记录，某日处理工业废料 35 吨共花费 370 元 （1）求A分厂的日废料处理量m的值 （2）若欲使每日废料处理的平均费用不超过 10 元/吨，求A，B分厂日处理的工业废料总 量n的取值范围 【解答】解： （1）35 830310 （元)，310370， 35m， 由题意得30812(35)370mm， 解得20m ； （2）当020n 时，依题意得830 10nn， 第 22 页（共 25 页） 解得15n， 1520n 剟； 当20n 时，依题意，得：12(20)8 203

39、0 10nn ， 解得25n， 2025n ； 综上，A，B分厂日处理的工业废料总量n的取值范围是1525n剟 22 （10 分）已知抛物线 2 1 24 2 yxax （1）讨论抛物线与x轴的交点个数，必要时可阅读【链接材料】 （2）若1a ，当2 x m 剟时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值 链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式 例：解不等式： 2 20 xx 解：不等式 2 20 xx的解集， 等价于不等式(1)(2)0 xx的解集， 等价于函数(1)(2)yxx的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围 如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数(1)(

40、2)yxx的大致图象，由图象可 知：函数(1)(2)yxx的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是2x 或1x 不等式 2 20 xx的解集是2x 或1x 【解答】解： （1） 22 1 (2 )4()( 4)48 2 aa ， 当抛物线和x轴没有交点时，则0， 即 2 480a ，解得22a； 当抛物线和x轴有一个交点时，则0， 即 2 480a ，解得2a ； 当抛物线和x轴有两个交点时，则0， 即 2 480a ，解得2a 或2a ； 综上， 当抛物线和x轴没有交点时，22a， 当抛物线和x轴有一个交点时，2a ， 第 23 页（共 25 页） 当抛物线和x轴有两个交点时，2a 或2a

41、； （2）当1a 时，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线2x ， 当22m 剟时， 则抛物线在xm时取得最大值， 此时 2 1 24 2 ymm ， 抛物线在2x 时， 取得最小值， 2 1 ( 2)2( 2)410 2 y ， 则 2 1 24( 10)4 2 ymmm ，解得6m （舍去）或 2； 当26m 时， 2 1 22242 2 max y ， 2 1 ( 2)2( 2)410 2 min y ， 则2( 10)4m ，解得2m （舍去） ； 当6m 时， 2 1 22242 2 max y ， 2 1 24 2 min ymm ， 则 2 1 2(24)4 2 mmm ，解得64

42、 2m （舍去）或64 2， 综上，实数m的值为 2 或64 2 23 （11 分）瑞士数学家菜昂哈德欧拉(Leonhard)Euler是 18 世纪数学界最杰出的人物之 一欧拉于 1765 年在他的著作三角形的几何学中提出“欧拉线定理” ：任意三角形的外 心、重心、垂心依次位于同一条直线上，这条直线就叫该三角形的欧拉线 【定理证明】 已知：如图所示，在ABC中，点G，O，H分别是ABC的重心、外心、垂心 求证：G，O，H三点共线 证明：作ABC的外接圆，连接OB，并延长BO交外接圆于点D；作中线AM；连接AD， CD，AH，CH，OH，OM；设AM交OH于点 G （1）请你按照辅助线的语言表

43、述，补全图，并继续完成欧拉线定理的证明 【基础运用】 （2）在【定理证明】的基础上，判断OH与OG的数量关系，并说明理由 【能力提升】 第 24 页（共 25 页） （3）在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点(0,0)A，(4,0)B，(3, 3)C，请直接写 出ABC的欧拉线的函数解析式 【解答】解： （1）作ABC的外接圆，连接OB，并延长BO交外接圆于点D，作中线AM， 连接AD，CD，AH，CH，OH，OM，设AM交OH于点G，如图， BD是直径， BAD，BCD是直角， ADAB，DCBC， 又点H是ABC的垂心， CHAB，AHBC， / /DACH，/ /DCAH， 四边形A

44、DCH是平行四边形， AHDC， 点M是BC的中点，点O是BD的中点， 1 2 OMDC， 1 2 OMAH， 又/ /OMAH， OMGHAG， 2 1 AG G M ， 点G是ABC的重心， 点G与点G重合， G，O，H三点共线； （2）判断：3OHOG理由如下： 由（1）知：OMGHAG， 第 25 页（共 25 页） 2 1 HG OG ，则2HGOG， 3OHOG； （3）ABC的三个顶点(0,0)A，(4,0)B，(3, 3)C， 重心 7 (3G， 3) 3 ， 设ABC的外心为(2, )a，则 2222 2(32)( 3)aa， 解得0a ， ABC的欧拉线方程为 37 0(0)(2)(2) 33 yx，即函数解析式是32 3yx