2021年湖北省十一校高考数学第二次联考试卷（3月份）.docx

1、1 2021 年湖北省十一校高考数学第二次联考试卷（年湖北省十一校高考数学第二次联考试卷（3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的。项符合题目要求的。 1 （5 分）已知(12 )2zii，则复数(z ) A1 Bi Ci D2i 2 （5 分）已知(,) 4 2 ，且 4 sin() 45 ，则tan( ) A7 B 4 3 C 1 7 D12 5 3 （5 分）已知等差数列 n a的第 5 项是 6 1 (2 )xy x 展开式中的

2、常数项，则 28 (aa ) A20 B20 C40 D40 4 （5 分）下列命题错误的是( ) A两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 1 B设 2 (1,)N，且(0)0.2P，则(12)0.2P C线性回归直线 ybxa一定经过样本点的中心(x，)y D在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高 5 （5 分）设A，B，C，D是同一个半径为 6 的球的球面上四点，且ABC是边长为 9 的正三角形，则三棱锥DABC体积的最大值为( ) A 81 2 4 B 81 3 4 C 243 2 4 D 243 3 4 6 （5 分）已知非空集合A，B满足

3、以下两个条件： （1）1AB ，2，3，4，AB ； （2）A的元素个数不是A中的元素B的元素个数不是B中元素则有序集合对( , )A B的 个数为( ) A1 B2 C4 D6 7 （5 分）直线10 xy 经过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点F，交椭圆于A，B两 点，交y轴于C点，若2FCAC，则该椭圆的离心率是( ) A 102 2 B 31 2 C2 22 D21 2 8 （5 分）已知函数 23,1 ( ) 1,1 lnx x f x xx ，若mn，且( )( )4f mf n，则mn的最小值 是( ) A2 B1e C43 3ln D33 2ln 二、选择题

4、：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）一个口袋中有大小形状完全相同的 3 个红球和 4 个白球，从中取出 2 个球下面 几个命题中正确的是( ) A如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件 B如果是不放回地抽取，那么第 2 次取到红球的概率一定小于第 1 次取到红球的概率 C如果是有放回地抽取，那么取出 1 个红球 1 个白球

5、的概率是 24 49 D如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第 2 次取出红球的概率是 7 11 10 （5 分）设函数( )sin()cos()(0f xxx ，|) 2 的最小正周期为，且 过点(0, 2)，则下列正确的为( ) A 4 B( )f x在(0,) 2 单调递减 C(|)fx的周期为 D把函数( )f x的图像向左平移 2 个长度单位得到的函数( )g x的解析式为 ( )2cos2g xx 3 11 （5 分）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E，F，G分别为BC， 1 CC， 1 BB的中 点则( ) A直线 1 D D与直线AF垂直 B直

6、线 1 AG与平面AEF平行 C平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 2 D点 1 A和点D到平面AEF的距离相等 12 （5 分）数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石， 也是许多艺术家设计作品的主要几何元素如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲 线称为“曲线” 经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点(,0)Aa，( ,0)B a距离 之积等于 2( 0)a a 的点的轨迹C是“曲线” 若点 0 (P x， 0) y是轨迹C上一点，则下列说 法中正确的有( ) A曲线C关于原点O中心对称 B 0 x的取值范围是 a，a C曲线C上有且仅有一个点P满足| |

7、PAPB D 22 POa的最大值为 2 2a 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知单位向量a，b满足| |2 |abab，则a与b的夹角为 14 （5 分）从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 到 350 度之 间，频率分布直方图所示，则直方图中x的值为 4 15 （5 分）写出一个渐近线的倾斜角为60且焦点在y轴上的双曲线标准方程为 16 （5 分）已知不等式 2 (2)(1)1 0axlnx xax 对任意0 x 恒成立，则实数a的取值 范围是 四、解答题：本题共四、解答题：

8、本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，2AB ，5BD （1）求cosADB； （2）若2 2DC ，求BC 18 （12 分） 如图，在平行四边形ABCD中，2AB ，2BC ， 4 ABC ，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF 平面ABCD，1AF ，点M在线段EF上运动 5 （1）当AEDM时，求点M的位置； （2）在（1）的条件下，求平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值 19 （12 分）已知数列 n a， 1 1a ， 1 21(*

9、) nn aannN （1）求 n a的通项公式； 6 （2） 数列 n b满足 1 1 n nn b a a ，nS为数列 n b的前n项和， 是否存在正整数m，(1)kmk， 使得 2 4 km SS？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由 20 （12 分）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木 板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块， 小木块之间留有适当的空隙作为通道， 前面挡有一块玻璃， 让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下， 小球在下落的过程中与层层 7 小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内如图 1 所示

10、的高尔顿板有 7 层小木块，小球从通道口落下，第一次与第 2 层中间的小木块碰撞，以 1 2 的 概率向左或向右滚下，依次经过 6 次与小木块碰撞，最后掉入编号为 1，2，7 的球槽 内例如小球要掉入 3 号球槽，则在 6 次碰撞中有 2 次向右 4 次向左滚下 （）如图 1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入 5 号球槽的概率； （） 小红、 小明同学在研究了高尔顿板后， 利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性 “抽 奖”活动小红使用图 1 所示的高尔顿板，付费 6 元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽 得到的奖金为元，其中|164|m小明改进了高尔顿板（如图2)，首先将小木块减少 成 5 层，

11、 然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时， 有 1 3 的概率向左， 2 3 的概率向右滚下， 最后掉入编号为 1，2，5 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费 4 元就可以玩一次游戏， 小球掉入n号球槽得到的奖金为n元，其中 2 (4) .n两位同学的高尔顿板游戏火爆进行， 很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由 21 （12 分）已知动点P在x轴及其上方，且点P到点(0,1)F的距离比到x轴的距离大 1 （1）求点P的轨迹C的方程； （2）若点Q是直线4yx上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA、QB，其 8 中A、B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的

12、坐标 22 （12 分）已知函数 2 ( ) x axb f x e 在2x 时取到极大值 2 4 e （1）求实数a、b的值； （2）用min m，)n表示m，n中的最小值，设函数( ) ( )g xmin f x， 1( 0)xx x ，若函 9 数 2 ( )( )h xg xtx为增函数，求实数t的取值范围 10 2021 年湖北省十一校高考数学第二次联考试卷（年湖北省十一校高考数学第二次联考试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在

13、每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的。项符合题目要求的。 1 （5 分）已知(12 )2zii，则复数(z ) A1 Bi Ci D2i 【解答】解：(12 )2zii， 2(2)(12 ) 12(12 )(12 ) iii zi iii ， zi ， 故选：C 2 （5 分）已知(,) 4 2 ，且 4 sin() 45 ，则tan( ) A7 B 4 3 C 1 7 D12 5 【解答】解：(,) 4 2 ，( 42 ， 3 ) 4 ， 4 sin() 45 ， 3 cos() 45 ， 4 tan() 43 ， 4 1tan()tan 344 tantan()7 4 44 1

14、tan() tan1() 1 443 故选：A 3 （5 分）已知等差数列 n a的第 5 项是 6 1 (2 )xy x 展开式中的常数项，则 28 (aa ) A20 B20 C40 D40 【解答】解： 6 1 (2 )xy x 表示 6 个因式 1 (2 )xy x 的乘积， 故当有 3 个因式取x，其余的 3 个因式取 1 x 时，可得它的常数项为 33 635 20CCa， 等差数列 n a的第 5 项是 6 1 (2 )xy x 展开式中的常数项，则 285 240aaa ， 故选：D 4 （5 分）下列命题错误的是( ) A两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于

15、 1 11 B设 2 (1,)N，且(0)0.2P，则(12)0.2P C线性回归直线 ybxa一定经过样本点的中心(x，)y D在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高 【解答】解：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 1，故A正确； 设 2 (1,)N，且(0)0.2P，则(12)0.3P，故B不正确； 线性回归直线 ybxa一定经过样本点的中心(x，)y，故C正确 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高，故D正确； 故选：B 5 （5 分）设A，B，C，D是同一个半径为 6 的球的球面上四点，且ABC是边长为 9 的

16、正三角形，则三棱锥DABC体积的最大值为( ) A 81 2 4 B 81 3 4 C 243 2 4 D 243 3 4 【解答】解：设A，B，C，D是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角 形， 2 11381 3 sin609 9 2224 AB ， 球心为O，三角形ABC 的外心为O，显然D在O O的延长线与球的交点如图： 23 93 3 32 OC， 22 6(3 3)3OO， 则三棱锥DABC高的最大值为：369， 则三棱锥DABC体积的最大值为： 81 31243 3 9 434 故选：D 6 （5 分）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （1）1AB ，2，3，

17、4，AB ； （2）A的元素个数不是A中的元素B的元素个数不是B中元素则有序集合对( , )A B的 12 个数为( ) A1 B2 C4 D6 【解答】解：若A中只有 1 个元素，则B中有 3 个元素，则1A，3B，即3A，1B， 此时有 1 个， 若A中有 2 个元素，则B中有 2 个元素，则2A，2B，不符合题意； 若A中有 3 个元素，则B中有 1 个元素，则3A，1B，即3B，1A，此时有 1 对， 综上，有序集合对( , )A B的个数 2 个 故选：B 7 （5 分）直线10 xy 经过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点F，交椭圆于A，B两 点，交y轴于C点，

18、若2FCAC，则该椭圆的离心率是( ) A 102 2 B 31 2 C2 22 D21 【解答】解：如图所示： 对直线10 xy ， 令0 x ，解得1y ， 令0y ，解得1x ， 故( 1,0)F ，(0,1)C， 则(1,1)FC ， 设 0 (A x， 0) y，则 00 (,1)ACxy ， 而2FCAC，则 0 0 21 2(1)1 x y ， 13 解得 0 0 1 2 1 2 x y ， 点A又在椭圆上， 所以 22 22 11 ()( ) 22 1 ab ， 222 (1,)cabc， 整理得 422 4421aaa， 所以 2 35 4 a ， 所以 2 4124 5(

19、102)102 35 44235 c e a 故选：A 8 （5 分）已知函数 23,1 ( ) 1,1 lnx x f x xx ，若mn，且( )( )4f mf n，则mn的最小值 是( ) A2 B1e C43 3ln D33 2ln 【解答】解：由函数解析式可知函数在每一段都为单调递增函数， 且当1x 时，( )2f x ，当1x时，( ) 2f x ，所以函数( )f x在R上为单调递增函数， 又mn，且( )( )4f mf n，所以m，n中有一个小于 1，一个大于等于 1， 不妨设1n ，1m，则( )( )2314f mf nlnmn ，即13nlnm ， 所以31mnmln

20、m，1m， 令( )31g xxlnx，1x，所以 33 ( )1 x g x xx ， 当13x剟时，( )0g x，函数( )g x为单调递减函数， 当3x 时 ，()0g x， 函 数( )g x为 单 调 递 增 函 数 ， 所 以 当3x 时 ， 函 数 ()3331433 m i n g xl nl n，无最大值， 故mn的最小值为43 3ln， 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，

21、部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）一个口袋中有大小形状完全相同的 3 个红球和 4 个白球，从中取出 2 个球下面 14 几个命题中正确的是( ) A如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件 B如果是不放回地抽取，那么第 2 次取到红球的概率一定小于第 1 次取到红球的概率 C如果是有放回地抽取，那么取出 1 个红球 1 个白球的概率是 24 49 D如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第 2 次取出红球的概率是 7 11 【解答】解：对于A：如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是既不是 互斥事件，也不是对

22、立事件，故A错误； 对于B：如果是不放回地抽取，那么第 2 次取到红球的概率为 31 62 ，第 1 次取到红球的概 率为 3 7 ，故B错误； 对于C：如果是有放回地抽取，那么取出 1 个红球 1 个白球的概率是 11 43 11 77 22424 4949 CC CC ， 故C正确； 对于D：至少取出一个红球的概率为 1 4433 11 7749 PP 两白， 至少取出一个红球且第二次取出红球的概率 2 PP（两红）P（第一次白第二次红） 2 3433 ( ) 7777 故 2 1 3 7 7 33 11 49 P P P ；故选：D 故选：CD 10 （5 分）设函数( )sin()co

23、s()(0f xxx ，|) 2 的最小正周期为，且 过点(0, 2)，则下列正确的为( ) A 4 B( )f x在(0,) 2 单调递减 C(|)fx的周期为 15 D把函数( )f x的图像向左平移 2 个长度单位得到的函数( )g x的解析式为 ( )2cos2g xx 【解答】解：函数( )sin()cos()2sin() 4 f xxxx (0,|) 2 的最小 正周期为 2 ，2， ( )f x过点(0, 2)， sin()2 4 ， 4 ，( )2sin(2)2cos2 2 f xxx 故A不正确； 当(0,) 2 x ，2(0, )x，( )f x单调递减，故B正确； (|)

24、2cos2|2cos2fxxx 的周期为 2 2 ，故C正确； 把( )2cos2f xx的 图 象 向 左 平 移 2 个 长 度 单 位 得 到 的 函 数( )g x的 解 析 式 为 ( )2cos(2)2cos2g xxx ，故D错误， 故选：BC 11 （5 分）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E，F，G分别为BC， 1 CC， 1 BB的中 点则( ) A直线 1 D D与直线AF垂直 B直线 1 AG与平面AEF平行 C平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 2 D点 1 A和点D到平面AEF的距离相等 【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 D

25、D为z轴，建立空间直角坐标系 则(2A，0，0)，(1E，2，0)，(0F，2，1)，(0D，0，0)， 1(0 D，0，2)， 1(2 A，0，2)， (2G，2，1)， 16 对于A， 1 (0D D ，0，2)，( 2AF ，2，1)， 1 20DDAF ，直线 1 D D与直线AF不垂直，故A错误； 对于B， 1 (0AG ，2，1)，( 1AE ，2，0)，( 2AF ，2，1)， 设平面AEF的法向量(nx，y，) z， 则 20 220 n AExy n AFxyz ，取1y ，得(2n ，1，2)， 1 0AG n， 1 AG 平面AEF， 直线 1 AG与平面AEF平行，故B

26、正确； 对于C，连接 1 AD， 1 FD，E，F分别是BC， 1 CC的中点， 面AEF截正方体所得的截面为梯形 1 AEFD， 面AEF截正方体所得的截面面积为： 21 1 4444 29 2 (41)() 2222 ADEF SAB ，故C正确； 对于D，由B知平面AEF的法向量(2n ，1，2)， 点 1 A到平面AEF的距离 1 |44 |39 AA n h n ， 点D到平面AEF的距离 |44 |39 DA n d n ， 点 1 A和点D到平面AEF的距离相等，故D正确 故选：BCD 17 12 （5 分）数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，

27、也是许多艺术家设计作品的主要几何元素如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲 线称为“曲线” 经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点(,0)Aa，( ,0)B a距离 之积等于 2( 0)a a 的点的轨迹C是“曲线” 若点 0 (P x， 0) y是轨迹C上一点，则下列说 法中正确的有( ) A曲线C关于原点O中心对称 B 0 x的取值范围是 a，a C曲线C上有且仅有一个点P满足| |PAPB D 22 POa的最大值为 2 2a 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，到定点(,0)Aa，( ,0)B a距离之积等于 2( 0)a a 的 点的轨迹C是“曲线” 故点 0 (P x， 0)

28、 y满足 22222 0000 ()()xayxaya， 点 0 (Mx， 0) y代入 22222 0000 ()()()()xayxaya，得到 22222 0000 ()()xayxaya，故A正确； 对于B：设x轴上 0 x范围的最大值为 m x，所以 2 ()() mm xa xaa， 解得2 m xa ， 故 0 x的范围为2 , 2 aa故B错误； 对于C：若PAPB，则点P在AB的垂直平分线上，即0 P x ，设点(0,) P Py，所以 2222 () P aya，所以0 P y ，即仅原点满足，故C正确； 对于 22222 0000 : ()()Dxayxaya，两边平方化

29、简为： 22 2222 ()()xya xy， 根据cosx，siny，得到 22 2cosa， 所以 22 POa的最大值为 2 a，故D错误 故选：AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知单位向量a，b满足| |2 |abab，则a与b的夹角为 3 18 【解答】解：| | 1ab，| |2 |abab， 1 12144a ba b ，解得 1 2 a b ， 1 cos, 2| a b a b a b ，且,0, a b， , 3 a b 14 （5 分）从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现

30、其用电量都在 50 到 350 度之 间，频率分布直方图所示，则直方图中x的值为 0.0044 【解答】解：由频率分布直方图，得 (0.00240.00360.00600.00240.0012) 501x 0.0044x 故答案为：0.0044 15 （5 分）写出一个渐近线的倾斜角为60且焦点在y轴上的双曲线标准方程为 2 2 1 3 y x（答案不唯一） 【解答】解：因为双曲线的焦点坐标在y轴，所以设双曲线方程为： 22 22 1 yx ab ， 一条渐近线方程为：0byax，渐近线的倾斜角为60，所以3 a b ， 所以满足题意的一个双曲线方程为： 2 2 1 3 y x， 故答案为：

31、2 2 1 3 y x（答案不唯一） 16 （5 分）已知不等式 2 (2)(1)1 0axlnx xax 对任意0 x 恒成立，则实数a的取值 范围是 1 ,1 2e 【解答】解：令( )2f xaxlnx，(0,)x， 2 ( )(1)1g xxax， 19 函数( )g x的对称轴 (1)1 22 aa x 121 ( )2 ax fxa xx ， 0a时，( )0fx，函数( )f x单调递减 f（1）20a，(1,)x，( )0f x ； 而( )g x在(1,)x上单调递增，( )g xg（1）10a 因此0a时不符合题意，舍去 0a 时， 1 2 () 2 ( ) a x a f

32、x x ， 可得函数( )f x在 1 (0,) 2a 上单调递减，在 1 ( 2a ，)上单调递增 1 2 x a 时，函数( )f x取得极小值，即最小值， 1 ()1(2 ) 2 flna a ， ( ) i若 1 ()1(2 )0 2 flna a ，则 1 2 a e ； 而 2 22 11 2() 111 22 ()10 2424 a a g aaaa ， 不满足( ) ( ) 0f x g x 对任意0 x 恒成立，舍去 ( )ii若 1 ()1(2 ) 0 2 flna a ，则 1 2 a e ； 而函数( )g x的对称轴 (1)1 0 22 aa x ， 2 2 111(

33、1) ()()(1)1 10 2224 aaaa ga ， 解得 1 1 2 a e 剟， 1 1 2 a e 剟时，满足不等式 2 (2)(1)1 0axlnx xax 对任意0 x 恒成立， 因此实数a的取值范围是 1 2e ，1 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，2AB ，5BD （1）求cosADB； （2）若2 2DC ，求BC 【解答】解： （1）90ADC，45A，2AB ，5BD 20 由正弦定理得：

34、 sinsin ABBD ADBA ，即 25 sinsin45ADB ， 2sin452 sin 55 ADB ， ABBD，ADBA， 2 223 cos1() 55 ADB （2）90ADC， 2 cossin 5 BDCADB， 2 2DC ， 22 2cosBCBDDCBD DCBDC 2 258252 25 5 18 （12 分） 如图，在平行四边形ABCD中，2AB ，2BC ， 4 ABC ，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF 平面ABCD，1AF ，点M在线段EF上运动 （1）当AEDM时，求点M的位置； （2）在（1）的条件下，求平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值

35、 【解答】解： （1）2,2, 4 ABBCADABC ，2AC ， 222 ABACBC，ABAC，又AFAC， 平面ACEF 平面ABCD，平面ACEF平面ABCDAC，AF 平面ACEF， 21 AF平面ABCD， 以AB，AC，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：(0,0,0), ( 2,0,0), (0, 2,0),(2, 2,0), (0, 2,1),(0,0,1)ABCDEF， 设(0, ,1),02Myy剟 则(0, 2,1),( 2,2,1)AEDMy， AEDM，2(2)10AE DMy ，解得 2 2 y ， 1 2 FM FE 当AEDM时，点M为EF的中点（

36、6 分） （2）由（1） ， 2 ( 2 , 1 ) ,( 2 , 2 , 0 ) 2 B MB C， 设平面MBC的一个法向量为 111 (,)mx y z， 则 111 11 2 20 2 220 mBMxyz m BCxy ，取 1 2y ，则(2,2, 2)m ， 易知平面ECD的一个法向量为(0,1,0)n ， 210 cos|cos,| | |5442 m n m n m n ， 平面MBC与平面ECD所成二面角的余弦值为 10 5 （12 分） 19 （12 分）已知数列 n a， 1 1a ， 1 21(*) nn aannN （1）求 n a的通项公式； （2） 数列 n b

37、满足 1 1 n nn b a a ，nS为数列 n b的前n项和， 是否存在正整数m，(1)kmk， 使得 2 4 km SS？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）将1n 代入 1 21 nn aan 得 2 3 12a ， 由 1 21 nn aan ，可以得到 12 23 nn aan ， 22 由得： 2 2 nn aa ， 所以数列 n a的奇数项、偶数项都是以 2 为公差的等差数列， 当 * 2 ()nk nN时， 2 2(1)2 n aakkn， 当 * 21()nknN时， 1 2(1)21 n aakkn ， * , n an nN； （2）由（

38、1）可得： 111 (1)1 n b n nnn ， 12 111111 (1)()()1 223111 nn n Sbbb nnnn ， 若 2 2 2 4 4, 1 1 km km SS k m 则，即 2 2 1(1) 1 4 m km ，整理得： 2 2 1321 4 mm km ， 1mk， 11 01 km ， 2 2 3211 01 4 mm mm ， 2 2 3210 3210 1 mm mm m ，解得： 1 1 3 1 m m ，矛盾， 不存在m，k满足题意 20 （12 分）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木 板上钉着若干排相互平行但相互

39、错开的圆柱形小木块， 小木块之间留有适当的空隙作为通道， 前面挡有一块玻璃， 让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下， 小球在下落的过程中与层层 小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内如图 1 所示 的高尔顿板有 7 层小木块，小球从通道口落下，第一次与第 2 层中间的小木块碰撞，以 1 2 的 概率向左或向右滚下，依次经过 6 次与小木块碰撞，最后掉入编号为 1，2，7 的球槽 内例如小球要掉入 3 号球槽，则在 6 次碰撞中有 2 次向右 4 次向左滚下 23 （）如图 1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入 5 号球槽的概率； （） 小红、 小明同学在研究了高尔

40、顿板后， 利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性 “抽 奖”活动小红使用图 1 所示的高尔顿板，付费 6 元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽 得到的奖金为元，其中|164|m小明改进了高尔顿板（如图2)，首先将小木块减少 成 5 层， 然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时， 有 1 3 的概率向左， 2 3 的概率向右滚下， 最后掉入编号为 1，2，5 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费 4 元就可以玩一次游戏， 小球掉入n号球槽得到的奖金为n元，其中 2 (4) .n两位同学的高尔顿板游戏火爆进行， 很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由 【解答】解： （）设这个小球

41、掉入 5 号球槽为事件A掉入 5 号球槽，需要向右 4 次向左 2 次， 所以P（A） 224 6 1115 ( ) ( ) 2264 C 所以这个小球掉入 5 号球槽的概率为 15 64 （4 分） （ ） 小 红 的 收 益 计 算 如 下 ： 每 一 次 游 戏 中 ，的 可 能 取 值 为 0 ， 4 ， 8 ， 333 6 115 12. (0)(4)( ) ( ) 2216 PP mC， 224442 66 111115 (4)(3)(5)( ) ( )( ) ( ) 222232 PP mP mCC， 1555 66 11113 (8)(2)(6)( )( )( ) ( ) 22

42、2216 PP mP mCC， 0666 66 111 (12)(1)(7)( )( ) 2232 PP mP mCC 0 4 8 12 24 P 5 16 15 32 3 16 1 32 一次游戏付出的奖金 5153115 04812 163216324 E ， 则小红的收益为 159 6 44 （8 分） 小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为 0，1，4，9 33 4 1232 (0)(4)( )( ) 3381 PP nC， 22244 44 12240 (1)(3)(5)( ) ( )( ) 33381 PP nP nCC， 13 4 128 (4)(2)( ) ( ) 33

43、81 PP nC， 4 11 (9)(1)( ) 381 PP n 的分布列为： 0 1 4 9 P 32 81 40 81 8 81 1 81 一次游戏付出的奖金 324081 01491 81818181 E ，则小明的收益为413 9 3 4 ，小明的盈利多（12 分） 21 （12 分）已知动点P在x轴及其上方，且点P到点(0,1)F的距离比到x轴的距离大 1 （1）求点P的轨迹C的方程； （2）若点Q是直线4yx上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA、QB，其 中A、B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标 【解答】解： （1）设点( , )P x y，则| | 1

44、PFy，即 22 (1)| 1xyy， 化简得 2 2| 2xyy，0y， 2 4xy 点P的轨迹方程为 2 4xy（4 分） （2）对函数 2 1 4 yx，求导数 1 2 yx 设切点 2 00 1 (,) 4 xx，则过该切点的切线的斜率为 0 1 2 x， 切线方程为 2 000 11 () 42 yxxxx即 2 00 11 24 yx xx， 25 设点( ,4)Q t t ，由于切线经过点Q， 2 00 11 4 24 tx tx， 即 2 00 24160 xtxt， 设 22 1122 11 ( ,), (,) 44 A xxB xx，则 1 x， 2 x是方程 2 2416

45、0 xtxt的两个实数根， 12 2xxt， 12 416x xt，（8 分） 设M为AB中点， 12 2 M xx xt 22222 121212 1 11111 ()()242(416)4 2 44882 M yxxxxx xtttt ， 点 2 1 ( ,4) 2 M ttt ，又 22 12 12 12 11 44 42 AB xx xxt k xx ， 直线AB的方程为 2 1 (4)() 22 t yttxt ，即(2)820t xy ，(*) 当2x ，4y 时，方程(*)恒成立 对任意实数t，直线EF恒过定点(2,4)（12 分） 22 （12 分）已知函数 2 ( ) x a

46、xb f x e 在2x 时取到极大值 2 4 e （1）求实数a、b的值； （2）用min m，)n表示m，n中的最小值，设函数( ) ( )g xmin f x， 1( 0)xx x ，若函 数 2 ( )( )h xg xtx为增函数，求实数t的取值范围 【解答】解： （1） 22 2 2()2 ( ) () xx xx ax eeaxbaxaxb fx ee ， ( )f x在2x 时取得极大值 2 4 e ， 22 44 (2) (2)440 ab f ee faab ， 解得1a ，0b （2）设 2 2 2111 ,0,1,0 xx xxx F xf xxxxFxx xexex

47、则， 当2x时，( )0F x恒成立 2 222 21111 02,21,11 10 2 x xx xxxFx exxx 当时从而剟， ( )0F x在(0,)上恒成立， 26 故( )yF x在(0,)上单调递减 2 143 10,20,1201,2 2 FFFFyF x ee 所以又曲线在上连续不间断， 故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的 0 (1,2)x ，使得 0 ()0F x， 当 0 (0,)xx时，( )0F x ，当 0 (xx，)时，( )0F x 0 2 0 1 ,0, 1 ( )( ), ,. x xx x x g xminf x x xx xx e ， 2 0

48、 2 2 0 1 ,0 ( ) , x xtxx x x h x x txxx e ， 故 0 2 0 1 12 ,0, ( ) (2) 2 ,. x txx x x h x xx tx xx e ； 由于函数 2 ( )( )h xg xtx为增函数，且曲线( )yh x在(0,)上连续不间断， ( ) 0h x在 0 (0,)x和 0 (x，)上恒成立 0 xx时， (2) 20 x xx tx e 在 0 (x，)上恒成立，即 2 2 x x t e 在 0 (x，)上恒成立， 令 2 ( ) x x u x e ， 0 (xx，)， 则 3 ( ) x x u x e ， 当 0 3xx时，( )0u x，( )u x单调递减，当3x 时，( )0u x，( )u x单调递增， 所以( )minu xu（3） 3 1 e ， 故 3 1 2t e ， 即 3 1 2 t e ， 当 00 2 1 0,12 ,0,00,x xh xtxth xx x 时当时在上恒成立 综合、知，t的范围(， 3 1 2e