2021年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）.docx

1、第 1 页（共 19 页） 2021 年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（理科） （年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |13Axx， 2 |560Bx xx，则(AB ) A(1,3) B(1,6) C( 1,3) D 2 （5 分）若2( 1 x yi x i ，yR，i为虚数单位） ，则| (xyi ) A5 B5 C2 5 D20 3 （5 分

2、）已知x，y满足约束条件 0 4 1 xy xy x ，则2zxy的最小值为( ) A2 B1 C0 D1 4 （5 分） 新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器， 它包括了龠(yu)、 合、 升、斗、斛这五个容量单位每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容 积根据铭文不但可以直接测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测 量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度现根据铭文计算，当时制造容器时 所用的圆周率分别为 3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比径一周三的古率已有所进步，则 这 4 个数据的平均数与极差分别为( ) A3.

3、1767，0.0615 B3.1767，0.0533 C3.1745，0.0484 D3.1547，0.0533 5 （5 分）已知O的圆心是坐标原点O，且被直线250 xy截得的弦长为 4，则O的 方程为( ) A 22 4xy B 22 9xy C 22 8xy D 22 6xy 6 （5 分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acb，且 222 sinsinsinsinsinABCAB ，则cos(B ) A 13 14 B 1 2 C 11 14 D 1 2 7 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，若 1 2a ， 11 3(1,*) nnn SSannN

4、 ，则 4 (S ) A80 B86 C240 D243 第 2 页（共 19 页） 8 （5 分）已知( 2 ，) 2 ， 1 cos() 65 ，则sin(2)( 3 ) A 6 5 B 2 6 5 C 4 6 25 D 4 6 25 9（5 分） 已知直线 1 l过抛物线 2 :4C yx的焦点F， 且与抛物线C在第一象限的交点为A， 点B在抛物线C的准线 2 l上，且 2. ABl若点A到直线BF的距离是2 3，则直线 1 l的斜率 是( ) A3 B 3 3 C3 D 3 3 10 （5 分）已知函数( )sin()(0f xAxA，0，|) 2 的图象如图所示，且( )f x 的图

5、象关于点 0 (x，0)对称，则 0 |x的最小值为( ) A 2 3 B 6 C 3 D 5 6 11 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，对于任意xR，都有(4)( )f xf x， 且当0 x，2时， 2 ( )3f xx，若方程( )log(0,1) a f xx aa在区间(0,10)上有 5 个不 同的实数根，则实数a的取值范围为( ) A(0， 1 8 8 ，10) B(0， 1 6 2 ，10) C(0， 1) (6 8 ， 10 D(0， 1) (6 2 ，10 12 （5 分） 在直角梯形ABCD中，/ /ABCD，ABAD，2AB ，3AD ， 3 CAB

6、 ， 点F是线段AB上的一点，M为直线BC上的动点，若2BCCE，AFAB，且 17 4 AE DF ，则MF DM的最大值为( ) A 1 4 B 63 64 C11 D 23 64 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） 5 1 (2)x x 的展开式中x与 1 x的系数之比为 14 （5 分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的 第 3 页（共 19 页） 游速可以表示为函数 3 1 log 2100 O v ，单位是/m s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数当一 条鱼的耗氧量是 270

7、0 个单位时，它的游速是 /m s 15 （5 分）已知圆锥的体积为 2 2 3 ，其底面半径和母线长的比为1:3，则该圆锥内半径最 大的球的表面积为 16 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，M是双曲线一 条渐近线上位于第二象限的一点， 1 0(MF OMO为坐标原点） ， 若线段 1 MF交双曲线于点P， 且 21 | 3PFPFa，则双曲线的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须

8、作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知公差0d 的等差数列 n a的前n项和为 n S，且 2 5a ， 1 a， 4 a， 13 a成等 比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）求证数列 1 n S 的前n项和 3 4 n T 18 （12 分）如图所示的几何体中，ABE，BCE，DCE都是等腰直角三角形， ABAEDEDC，且BEDC，CEAB （1）求证：BE 平面DCE； （2）若F为线段BC的中点，求二面角FADE的余弦值 19 （12

9、分）甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y（单位：)kg与身高x（单 位：)cm是否存在较好的线性关系，他们随机调查了 6 位高中男生身高和体重的数据，得到 如下表格： 身高/cm 160 166 172 173 173 182 体重/kg 44 50 55 55 56 64 根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为 0.89 第 4 页（共 19 页） （1）求y关于x的线性回归方程 ybxa； （2）从该地区大量高中男生中随机抽出 10 位男生，他们身高单位：)cm的数据绘制成如图 的茎叶图估计体重超过60kg的频率p，视频率为概率，从该地区大量高中男生中随 机

10、选出 2 人，记这 2 人中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望（用（1） 中的回归方程估测这 10 位男生的体重） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 6 3 ，且过点( 3，1) （1）求椭圆E的标准方程； （2）过椭圆E右焦点的直线 1 l， 2 l互相垂直，且分别交椭圆E于A，B和C，D四点，求 |ABCD的最小值 21 （12 分）设函数 2 ( )()(0)f xxa xalnx a （1）讨论( )f x的单调性； （2）当0a 时，若( )f x的最小值为 0，证明： 222 231 (1)(*) 12 n ln

11、nnN n （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 1 ( 5 xt t yt 为参数） 以坐标原点 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 3 2cos2 （1）求直线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）求曲线 2 C上的动点到直线 1 C距离的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲

12、（10 分）分） 23已知函数( ) |1| 2|1|f xxx （）求不等式( ) 5f x 的解集； （）若不等式( )f xxm的解集为R，求m的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2021 年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（理科） （年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |13Axx， 2 |560Bx

13、xx，则(AB ) A(1,3) B(1,6) C( 1,3) D 【解答】解：集合 |13Axx， 2 |560 |1Bx xxx x或6x ， AB 故选：D 2 （5 分）若2( 1 x yi x i ，yR，i为虚数单位） ，则| (xyi ) A5 B5 C2 5 D20 【解答】解：2( 1 x yi x i ，yR，i为虚数单位） ， (1)(2)2(2)xiyiyy i ， 2xy，20y， 解得2y ，4x 则 22 |242 5xyi， 故选：C 3 （5 分）已知x，y满足约束条件 0 4 1 xy xy x ，则2zxy的最小值为( ) A2 B1 C0 D1 【解答】

14、解：由约束条件作出可行域如图， 第 6 页（共 19 页） 联立 1 4 x xy ，解得(1,3)A， 由2zxy，得2yxz，由图可知，当直线2yxz过A时， 直线在y轴上的截距最大，z有最小值为1 故选：B 4 （5 分） 新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器， 它包括了龠(yu)、 合、 升、斗、斛这五个容量单位每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容 积根据铭文不但可以直接测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测 量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度现根据铭文计算，当时制造容器时 所用的圆周率分别为 3.1547，3.1992，3

15、.1498，3.2031，比径一周三的古率已有所进步，则 这 4 个数据的平均数与极差分别为( ) A3.1767，0.0615 B3.1767，0.0533 C3.1745，0.0484 D3.1547，0.0533 【解答】解：由题意，这 4 个数据分别为 3.1547，3.1992，3.1498，3.2031， 这 4 个数据的平均数为 1 (3.15473.19923.14983.2031)3.1767 4 ， 4 个数据中最大的时 3.2031，最小的为 3.1498， 极差为3.20313.14980.0533 故选：B 5 （5 分）已知O的圆心是坐标原点O，且被直线250 xy

16、截得的弦长为 4，则O的 方程为( ) A 22 4xy B 22 9xy C 22 8xy D 22 6xy 【解答】解：O的圆心是坐标原点O，且被直线250 xy截得的弦长为 4，设O的 方程为 222 xyr， 第 7 页（共 19 页） 则弦心距为 22 |2005| 5 21 d ， 2 ( 5)（2） 22 r，解得 2 9r ，可得圆的标准方程为 22 9xy， 故选：B 6 （5 分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acb，且 222 sinsinsinsinsinABCAB ，则cos(B ) A 13 14 B 1 2 C 11 14 D 1 2 【解答

17、】解：因为 222 sinsinsinsinsinABCAB ， 所以 222 abcab ， 所以 2 ()()ac acabb， 因为2acb， 所以 2 2 ()b acabb， 即 2 (32 )b acb， 因为0b ， 所以32acb ，即23bca， 故 7 3 ca， 5 3 ba， 22 2 222 4925 11 99 cos 7 214 2 3 aa a acb B a ac a 故选：C 7 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，若 1 2a ， 11 3(1,*) nnn SSannN ，则 4 (S ) A80 B86 C240 D243 【解答】解： 1

18、 2a ， 11 3 nnn SSa ， 当2n 时， 2111 348SSaa， 221 826aSS， 2 1 3 a a ， 11 3 nnn SSa ， 第 8 页（共 19 页） 1 3 nn aa ， 数列 n a是以 2 为首项，以 3 为公比的等比数列， 4 4 2(1 3 ) 80 1 3 S 故选：A 8 （5 分）已知( 2 ，) 2 ， 1 cos() 65 ，则sin(2)( 3 ) A 6 5 B 2 6 5 C 4 6 25 D 4 6 25 【解答】解：因为( 2 ，) 2 ， 所以( 63 ， 2 ) 3 ， 又 11 cos()cos() 6532 ， 所以

19、 6 是第一象限角，(0,) 62 ， 所以 2 12 6 sin()1( ) 655 ， 所以 2 614 6 sin(2)2sin()cos()2 3665525 故选：C 9（5 分） 已知直线 1 l过抛物线 2 :4C yx的焦点F， 且与抛物线C在第一象限的交点为A， 点B在抛物线C的准线 2 l上，且 2. ABl若点A到直线BF的距离是2 3，则直线 1 l的斜率 是( ) A3 B 3 3 C3 D 3 3 【解答】解：由题意可知，(1,0)F， 设 0 (A x， 0) y，则 0 ( 1,)By，直线NF的方程为 0 (1) 2 y yx ，即 00 20y xyy 第

20、9 页（共 19 页） 点A在抛物线C上， 2 00 4yx， 点M到直线NF的距离是2 3， 0000 2 0 |2| 2 3 4 x yyy y ， 整理得 42 00 4192yy，解得 2 0 12y （负值舍） ， 0 3x，即(3A，2 3)， 故直线l的斜率是： 2 30 3 21 故选：A 10 （5 分）已知函数( )sin()(0f xAxA，0，|) 2 的图象如图所示，且( )f x 的图象关于点 0 (x，0)对称，则 0 |x的最小值为( ) A 2 3 B 6 C 3 D 5 6 【解答】解：函数( )sin()(0f xAxA，0，|) 2 的图象，可得2A，

21、3 211 463 ，1 集合五点法作图，1 32 ， 6 ，( )2sin() 6 f xx 根据( )f x的图象关于点 0 (x，0)对称，可得 0 6 xk ，kZ， 则 0 |x的最小值为 6 ，此时，0k ， 故选：B 11 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，对于任意xR，都有(4)( )f xf x， 且当0 x，2时， 2 ( )3f xx，若方程( )log(0,1) a f xx aa在区间(0,10)上有 5 个不 同的实数根，则实数a的取值范围为( ) A(0， 1 8 8 ，10) B(0， 1 6 2 ，10) C(0， 1) (6 8 ， 10

22、D(0， 1) (6 2 ，10 第 10 页（共 19 页） 【解答】解：函数( )f x是定义在R上的偶函数， 2x ，0时， 2 ( )3f xx， (4)( )f xf x，即函数( )f x的周期为 4， ( )f x的图像与函数logayx的图像，情况 当1a 时，根据在区间(0,10)上有 5 个不同的实数根，即有 5 个不同交点， 则logayx的图像高于点(10,1)，低于点(6,1) 可得610a ， 当01a时，则logayx的图像高于点(8, 3)， 可得 1 2 a ， 综上可得 1 0 2 a或610a ， 故选：D 12 （5 分） 在直角梯形ABCD中，/ /A

23、BCD，ABAD，2AB ，3AD ， 3 CAB ， 点F是线段AB上的一点，M为直线BC上的动点，若2BCCE，AFAB，且 17 4 AE DF ，则MF DM的最大值为( ) A 1 4 B 63 64 C11 D 23 64 【解答】解：直角梯形ABCD中，/ /ABCD，ABAD， 则以A点为原点AB为x轴，AD为y轴建立如图所示的直角坐标系， 因为2AB ，3AD ， 3 CAB ， 所以(0,0)A，(2,0)B，(1, 3)C，(0, 3)D， 因为2BCCE，设( , )E m n， 第 11 页（共 19 页） 则( 1，3)2(1m，3)n ， 所以 1 2 m ， 3

24、 3 2 n ，所以 1 (2E， 3 3 ) 2 ， 因为AFAB，所以(2 ,0)F， 所以 1 (2AE ， 3 3 ) 2 ，(2 ,3)DF， 所以 917 24 AE DF ，解得 1 4 所以 1 (2F，0)， 因为M为直线BC上的动点，设BMxBC， 则(2, 33)DMBMBDxBCBDxx ， 3 ( 2 MFBFBMBFxBCx ，3 ) x， 所以 2 313 (2)()( 33)(3 )43 22 MF DMxxxxxx ， 当 13 16 x 时，MF DM取得最大值为 23 64 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5

25、分，共分，共 20 分分 13 （5 分） 5 1 (2)x x 的展开式中x与 1 x的系数之比为 2 【解答】解： 5 1 (2)x x 的展开式的通项公式为 55 2 15 ( 1)2 rrrr r TCx ， 令521r，求得2r ，可得展开式中x的系数为 2 5 880C ， 第 12 页（共 19 页） 令521r ，求得3r ，可得展开式中 1 x的系数为 3 5 440C， 故x与 1 x的系数之比为 80 2 40 ， 故答案为：2 14 （5 分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的 游速可以表示为函数 3 1 log 2100 O v ，单位

26、是/m s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数当一 条鱼的耗氧量是 2700 个单位时，它的游速是 3 2 /m s 【解答】解：将2700O 代入可得 33 1270013 27 210022 vloglog， 故答案为： 3 2 15 （5 分）已知圆锥的体积为 2 2 3 ，其底面半径和母线长的比为1:3，则该圆锥内半径最 大的球的表面积为 2 【 解 答 】 解 ： 设 内 切 球 的 半 径 为r， 则 利 用 轴 截 面 ， 根 据 等 面 积 可 得 11 291(332) 22 r ， 2 2 r ， 该圆锥内切球的表面积为 2 1 442 2 r， 故答案为：2 16 （5 分）已

27、知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，M是双曲线一 条渐近线上位于第二象限的一点， 1 0(MF OMO为坐标原点） ， 若线段 1 MF交双曲线于点P， 且 21 | 3PFPFa，则双曲线的离心率为 2 【解答】解：由已知可得点M所在的渐近线方程为： b yx a ， 又 1 0MF OM，则 1 MFOM，所以点 1( ,0)Fc到渐近线 b yx a 的距离为： 第 13 页（共 19 页） 1 2 2 | | 1 bc a MFb b a ，所以在直角三角形 1 OMF中， 1 1 1 | cos | MFb MFO OFc ，

28、因为 21 | 3PFPFa，且 21 | 2PFPFa， 所以 2 5 | 2 a PF ， 1 | 2 a PF ， 则在三角形 12 PFF中，由余弦定理可得： 222 1122 1 112 | cos 2| PFFFPF PFO PFFF ，即 222 5 ( )4() 22 22 2 aa c b a c c ， 化简可得： 22 20aabb，解得ab或2b（舍去） ， 所以ab， 则双曲线的离心率为 2 2 12 cb e aa ， 故答案为：2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题

29、为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知公差0d 的等差数列 n a的前n项和为 n S，且 2 5a ， 1 a， 4 a， 13 a成等 比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）求证数列 1 n S 的前n项和 3 4 n T 【解答】解： （1） 1 a、 4 a、 13 a成等比数列， 2 41 13 aaa， 2 (52 )(5)(5 11 )ddd， 化为 2 20dd，0d ， 解得2d ， 52(

30、2)21 n ann 证明： （2） (321) (2) 2 n nn Sn n ， 第 14 页（共 19 页） 111 11 () (2)22 n Sn nnn ， 11111111111131113 (1)(1)() 2324352221242124 n T nnnnnn 18 （12 分）如图所示的几何体中，ABE，BCE，DCE都是等腰直角三角形， ABAEDEDC，且BEDC，CEAB （1）求证：BE 平面DCE； （2）若F为线段BC的中点，求二面角FADE的余弦值 【解答】 （1）证明：因为ABE，DCE是等腰直角三角形，ABAEDEDC， 所以90BAECDE ，所以ABE

31、DCE ，所以BECE， 又因为BCE是等腰直角三角形，所以90BEC，所以BECE， 因为BEDC，且DCCEC，DC，CE 平面DCE，所以BE 平面DCE； （2）解：由（1）同理可证，CE 平面ABE， 过点F作/ /FOCE交BD于点O，则FO 平面ABE， 连结AO，因为F为BC的中点，所以FO为BCE的中位线，所以O为BE的中点， 因为ABE为等腰直角三角形，所以AOBE， 因为PO 平面ABE，所以FOAO， 又FOBEO，FO 平面BCE，BE 平面BCE，所以AO 平面BCE， 建立空间直角坐标系如图所示， 设2ABAEDEDC， 则(0, 2,0), (0,0, 2),(

32、2, 2, 2), (2,0,0)FADE， 所以(0,2, 2)FA，(2,0, 2)FD ， 设平面FAD的一个法向量为( , , )nx y z， 则有 0 0 n FA n FD ，即 220 220 yz xz ， 第 15 页（共 19 页） 令1x ，则1y ，1z ，故(1,1,1)n ， 同理可求出平面EAD的法向量为(1,1, 1)m ， 所以 |1 1 11 |cos,| |333 n m n m n m ， 所以二面角FADE的余弦值为 1 3 19 （12 分）甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y（单位：)kg与身高x（单 位：)cm是否存在较好的线性关系，

33、他们随机调查了 6 位高中男生身高和体重的数据，得到 如下表格： 身高/cm 160 166 172 173 173 182 体重/kg 44 50 55 55 56 64 根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为 0.89 （1）求y关于x的线性回归方程 ybxa； （2）从该地区大量高中男生中随机抽出 10 位男生，他们身高单位：)cm的数据绘制成如图 的茎叶图估计体重超过60kg的频率p，视频率为概率，从该地区大量高中男生中随 机选出 2 人，记这 2 人中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望（用（1） 中的回归方程估测这 10 位男生的体重） 【解答

34、】解： （1）依题意可知 0.89b ， 171x ，54y ， 540.89 17198.19aybx ， 故y关于x的线性回归方程为0.8998.19yx （2）令0.8998.1960yx，得177.74x ， 第 16 页（共 19 页） 故这 10 位男生的体重有 3 位体重超过60kg， X的可能取值为 0，1，2， 2 7 2 10 7 (0) 15 C P X C ， 11 73 2 10 7 (1) 15 C C P X C ， 2 3 2 10 1 (2) 15 C P X C ， 则X的分布列为： X 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 7713 ()012 1

35、515155 E X 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 6 3 ，且过点( 3，1) （1）求椭圆E的标准方程； （2）过椭圆E右焦点的直线 1 l， 2 l互相垂直，且分别交椭圆E于A，B和C，D四点，求 |ABCD的最小值 【解答】解： （1）由已知可得： 22 222 6 3 31 1 c a ab abc ，解得6,2ab，2c ， 所以椭圆的标准方程为 22 1 62 xy ； （2）由（1）知椭圆的右焦点坐标为(2,0)，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (C x， 3) y， 4 (D x， 4) y

36、， 当直线 1 l的斜率为 0 时，| 22 6ABa，直线 2: 2lx ，此时 2 6 | 3 CD ， 所以 8 6 | 3 ABCD； 当直线 1 l的斜率存在且不为 0，直线 1 l的方程可设为2(0)xmym，则直线 2 l的方程为： 1 2xy m ， 第 17 页（共 19 页） 联立方程 22 2 1 62 xmy xy ，消去x整理可得： 22 (3)420mymy， 22 168(3)0mm恒成立，则 1212 22 42 , 33 m yyy y mm ， 所以 22 222 1212 2222 1682 6(1) |1()41 (3)33 mm ABmyyy ym m

37、mm ， 同理可得 2 2 2 2 1 2 61() 2 6(1) | 1 13 3() m m CD m m ， 则 2222 2242 118 6(1) | 2 6() 3133103 mmm ABCD mmmm ， 令 2 11mt ，则 2 2 2 2 8 68 68 6 | 442 344 3(1)4 t ABCD tt ttt ， 当1t 时， 2 2 (1)4(3 t ，4，则 8 6 | 2 6,) 3 ABCD， 所以|ABCD的最小值为2 6 21 （12 分）设函数 2 ( )()(0)f xxa xalnx a （1）讨论( )f x的单调性； （2）当0a 时，若(

38、)f x的最小值为 0，证明： 222 231 (1)(*) 12 n ln nnN n 【解答】 （1）解：函数 2 ( )()f xxa xalnx的定义域为(0,)， 2 2 ( )2() () 2 aa fxxaxxa xx ， 当0a 时，当(0,) 2 a x时，( )0fx，( )f x在(0,) 2 a 上单调递减， 当(,) 2 a x 时，( )0fx，( )f x在(,) 2 a 上单调递增； 当0a 时，当(0, )xa时，( )0fx，( )f x在(0, )a上单调递减， 当( ,)xa时，( )0fx，( )f x在( ,)a 上单调递增； 故当0a 时，( )f

39、 x在(0,) 2 a 上单调递减，在(,) 2 a 上单调递增； 当0a 时，( )f x在(0, )a上单调递减，在( ,)a 上单调递增； （2）证明：由（1）知，( )f x的最小值为f（a） 2 0alna ，解得1a ， 第 18 页（共 19 页） 于是当0 x 且1x 时，( )(1)f xx xlnxf（1）0， 下面用数学归纳法证明 222 231 (1)(*) 12 n ln nnN n ， 当1n 时， 2 2 2 (1 1)2 1 lne，不等式成立； 假设(*)nk kN时，不等式成立，即 222 231 (1) 12 k ln k k ， 当1nk时， 22222

40、 23122 (1) 12(1)(1) kkk ln k kkk 22 2222 (2)(2)(2)(1) 1(1)(1)1 kkkk ln klnln kkkln kkkk 2 222 (2)()(2) 111 kkk ln klnln k kkk ，不等式成立 由得 222 231 (1)(*) 12 n ln nnN n （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线

41、 1 C的参数方程为 1 ( 5 xt t yt 为参数） 以坐标原点 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 3 2cos2 （1）求直线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）求曲线 2 C上的动点到直线 1 C距离的最大值 【解答】 解：（1） 直线 1 C的参数方程为 1 ( 5 xt t yt 为参数） ， 转换为普通方程为40 xy 曲线 2 C的极坐标方程为 2 3 2cos2 ， 根据 cos sin x y ，转换为直角坐标方程为 2 2 1 3 y x ； （2）设曲线 2 2 1 3 y x 上的点(cos , 3sin )

42、， 利用点到直线的距离得 |2cos()4| |cos3sin4| 3 22 d ， 当cos()1 3 时， 6 3 2 2 max d 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |1| 2|1|f xxx 第 19 页（共 19 页） （）求不等式( ) 5f x 的解集； （）若不等式( )f xxm的解集为R，求m的取值范围 【解答】解： （）由已知得 31,1 ( )3, 11 31,1. xx f xxx xx 剟 1 14 1 4 31 53 3 x x x xx ； 1111 11 3 52 xx x xx 剟剟 剟 剟 ； 11 21 31 52 xx x xx 剠 ； 44 |1| 11| 21| 2 33 xxxxxxxx 剟剟剟， 不等式( ) 5f x 的解集为 4 | 2 3 xx 剟 （）不等式( )f xxm解集为( )Rm f xx 恒成立， 设( )( )g xf xx，则 21,1 ( )3, 11 41,1. xx g xx xx 剟， 当1x 时，( )213g xx ； 当11x 剟时，( )3g x ； 当1x 时，( )413g xx ( )3 min g x ( )m g x 恒成立( )minm g x ， 由3m ，得3m m的取值范围是 3，)