2021年江苏省南通市通州区高考数学第三次调研试卷.docx

1、第 1 页（共 22 页） 2021 年江苏省南通市通州区高考数学第三次调研试卷年江苏省南通市通州区高考数学第三次调研试卷 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）设集合 |2Axx，xN， 2 |2 0Bx xx ，则(AB ) A1 B0，1 C 2，1，0，1 D 2，1 2 （5 分）已知复数 2 1 i z i

2、 ，则z的虚部为( ) A 1 2 B 1 2 i C 1 2 D 1 2 i 3 （5 分） 210 3 11 () 2 x x 的二项展开式中有理项有( ) A3 项 B4 项 C5 项 D6 项 4 （5 分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图” ，后人称其为“赵 爽弦图” 如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车” ，其中正方形ABCD内 部为“赵爽弦图” ，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的我们将图中阴影 所在的四个三角形称为“风叶” ，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取 自同一片“风叶”的概率为( ) A 3 7 B 4 7

3、C 3 14 D 11 14 5 （5 分）若非零实数a，b满足ab，则下列结论正确的是( ) A2abab B 11 ()()4ab ab C 22 2() |abab D 1 222 abab 6 （5 分）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备电磁波在大气中大致沿直线传播受地 球 表 面 曲 率 的 影 响 ， 雷 达 所 能 发 现 目 标 的 最 大 直 视 距 离 第 2 页（共 22 页） 222222 121122 ()()22LRhRRhRRhhRhh（如图） ，其中 1 h为雷达天线 架设高度， 2 h为探测目标高度，R为地球半径考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等 效取849

4、0km，故R远大于 1 h， 2. h假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在 直视距离390km外探测到目标， 并发出预警， 则舰载预警机的巡航高度至少约为( )（参 考数据：2 8.494.12) A6400m B7200m C8100m D10000m 7 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点P是抛物线C上位于第一象限内 的一点，M为线段PF的中点，MQ垂直y轴于点Q， 若直线QF的倾斜角为，(, ) 2 ， 则直线PF的倾斜角为( ) A B2 C D2 8 （ 5 分 ） 已 知 点A，B，C是 函 数2 s i n () ,0 3 yx 的 图

5、 象 和 函 数 2 s i n () ,0 6 yx 图象的连续三个交点，若ABC是锐角三角形，则的取值范围为 ( ) A( 2 ，) B( 4 ，) C(0,) 2 D(0,) 4 二、 多项选择题 （本大题共二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 （5 分）下列命题中正确的是( ) AA，B，M，N是空间中的四点， 若,BA BM BN不能构成空间

6、基底， 则A，B，M， N共面 B已知 , ,a b c为空间的一个基底，若mac，则 , ,a b m也是空间的基底 第 3 页（共 22 页） C若直线l的方向向量为(1,0,3)e ，平面的法向量为 2 ( 2,0, ) 3 n ，则直线/ /l D 若直线l的方向向量为(1,0,3)e ， 平面的法向量为( 2,0,2)n ， 则直线l与平面 所成角的正弦值为 5 5 10 （5 分）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包 了一个新型温室鲜花大棚， 种植销售红玫瑰和白玫瑰 若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销 量分别服从正态分布(N， 2 30 )和(280N

7、， 2 40 )，则下列选项正确的是( ) 附：若随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ，则()0.6826PX A若红玫瑰日销售量范围在(30,280)的概率是 0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数 约为 250 B红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 D白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为 0.3413 11 （5 分）已知椭圆 22 :1 169 xy C上有一点P， 1 F、 2 F分别为左、右焦点， 12 F PF， 12 PFF的面积为S，则下列选项正确的是( ) A若60，则3 3S B若9S ，则90 C若 12 PFF为

8、钝角三角形，则 9 7 (0,) 4 S D椭圆C内接矩形的周长范围是(12，20 12 （5 分）设函数 2 ( )86 xx f xeex，若曲线( )yf x在点 0 (P x， 0 ()f x处的切线与该 曲线恰有一个公共点P，则选项中满足条件的 0 x有( ) A2ln B2ln C4ln D5ln 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上）上） 13 （5 分）双曲线 22 28xy的两条准线间的距离为 14 （5 分）为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在 6

9、 天时间内检测 3 盒A类药，2 盒B类 药，1 盒C类药若每天只能检测 1 盒药品，且 3 盒A类药中只有 2 盒在相邻两天被检测， 第 4 页（共 22 页） 则不同的检测方案的个数是 15 （5 分）无穷数列 n a满足：只要 * ( ,) pq aap qN，必有 11pq aa ，则称 n a为“和 谐递进数列” 若 n a为“和谐递进数列” ，且前四项成等比数列， 15 1aa， 2 2a ，则 2021 S 16（5 分） 正方体 1111 ABCDABG D的棱长为 1，E，F分别为BC， 1 CC的中点 则平面AEF 截正方体所得的截面面积为 ；以点E为球心，以 10 4 为

10、半径的球面与对角面 11 ACC A的 交线长为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮， 晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋， 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500

11、7.165 6.250 时刻 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 （1）这个港口的水深与时间的关系可用函数sin()(0yAxb A，0)近似描述， 试求出这个函数解析式； （2）一

12、条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 5 米，安全条例规定至少要有 1.25 米的 安全间隙（船底与洋底的距离） ，利用（1）中的函数计算，该船这一天中何时能进入港口？ 每次在港口最多能呆多久？ 18 （12 分）已知数列 n a满足： 1 1 1 3(1)2(1)1 , 211 nn nn aa a aa ， 1 0(1) nn a an ，数列 n b满 足： 22 1 (1) nnn baa n 第 5 页（共 22 页） （）求数列 n a， n b的通项公式 （）证明：数列 n b中的任意三项不可能成等差数列 19 （12 分）某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回

13、答三个问题，第 一个问题回答正确得 10 分， 回答错误得 0 分； 第二个问题回答正确得 10 分， 回答错误得10 分；第三个问题回答正确得 10 分，回答错误得10分规定，每位参赛者回答这三个问题 的总得分不低于 20 分就算闯关成功若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是 2 3 ，回 答第三个问题正确的概率都是 1 2 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响 （1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率； （2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分的分布列、期望和闯关成功的概率 20（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是等腰梯形，/ /ABDC，2BCCD， 4AB M

14、，N分别是AB，AD的中点，且PDNC，平面PAD 平面ABCD （1）证明：PD 平面ABCD； （2）已知三棱锥DPAB的体积为 2 3 ，求二面角CPNM的大小 21 （12 分）已知函数( )()f xaxlnx aR （1）求( )f x的单调区间； （2）试求( )f x的零点个数，并证明你的结论 22 （12 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 1 2 e ，过椭圆C上一点(2,3)P作两条 不重合且倾斜角互补的直线PA、PB分别与椭圆C交于A、B两点，且AB中点为M （）求椭圆C方程 （）椭圆C上是否存在不同于P的定点N，使得MNP的面积为定值，如

15、果存在，求定 点N的坐标；如果不存在，说明理由 第 6 页（共 22 页） 2021 年江苏省南通市通州区高考数学第三次调研试卷年江苏省南通市通州区高考数学第三次调研试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）设集合 |2Axx，xN， 2 |2 0Bx xx ，则(AB ) A1

16、 B0，1 C 2，1，0，1 D 2，1 【解答】解： | 22Axx 剟，0 xN，1，2， | 21Bxx 剟， 0AB，1 故选：B 2 （5 分）已知复数 2 1 i z i ，则z的虚部为( ) A 1 2 B 1 2 i C 1 2 D 1 2 i 【解答】解：复数 22 2(2)(1)331 11222 iiii zi ii ， 则 31 22 zi，所以z的虚部为 1 2 故选：A 3 （5 分） 210 3 11 () 2 x x 的二项展开式中有理项有( ) A3 项 B4 项 C5 项 D6 项 【解答】解： 210 3 11 () 2 x x 的二项展开式的通项公式为

17、 7 10 10 3 110 1 ( 1)( ) 2 r rrr r TCx ， 令 7 10 3 r 为整数，可得0r ，3，6，9，故展开式中有理项有 4 项， 故选：B 4 （5 分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图” ，后人称其为“赵 爽弦图” 如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车” ，其中正方形ABCD内 部为“赵爽弦图” ，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的我们将图中阴影 所在的四个三角形称为“风叶” ，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取 自同一片“风叶”的概率为( ) 第 7 页（共 22 页） A 3 7 B 4 7

18、 C 3 14 D 11 14 【解答】解：从该“数学风车”的八个顶点中任取两点的基本事件有 2 8 28种，其中两点 取自同一片“风叶”的 2 3 412种，故所求概率为： 123 287 故选：A 5 （5 分）若非零实数a，b满足ab，则下列结论正确的是( ) A2abab B 11 ()()4ab ab C 22 2() |abab D 1 222 abab 【解答】解：对于A、不等式使用的前提条件为：a和b都为正数，故A错误； 对于B：不等式使用的前提条件为a和b为同号，故B错误； 对于C：利用平方法，该不等式成立，故C正确； 对于D、不等式使用的前提条件为a和b为同号，故D错误；

19、故选：C 6 （5 分）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备电磁波在大气中大致沿直线传播受地 球 表 面 曲 率 的 影 响 ， 雷 达 所 能 发 现 目 标 的 最 大 直 视 距 离 222222 121122 ()()22LRhRRhRRhhRhh（如图） ，其中 1 h为雷达天线 架设高度， 2 h为探测目标高度，R为地球半径考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等 效取8490km，故R远大于 1 h， 2. h假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在 直视距离390km外探测到目标， 并发出预警， 则舰载预警机的巡航高度至少约为( )（参 考数据：2 8.494.12) 第

20、8 页（共 22 页） A6400m B7200m C8100m D10000m 【解答】解：根据题意可知，390Lkm，8490Rkm， 2 0.025hkm， 因为 222222 121122 ()()22LRhRRhRRhhRhh， 所以 2222 1 390(8490)8490(84900.025)8490h， 解得 1 8.18100hkmm 故选：C 7 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点P是抛物线C上位于第一象限内 的一点，M为线段PF的中点，MQ垂直y轴于点Q， 若直线QF的倾斜角为，(, ) 2 ， 则直线PF的倾斜角为( ) A B2 C D2

21、 【解答】解：设点P的坐标为 2 ( 2 y p ，) y，( 2 p F，0)， 则由中点坐标公式可得点M的坐标为 22 ( 4 yp p ，) 2 y ， 所 以 点Q的 坐 标 为(0,) 2 y ， 则 直 线QF的 斜 率 为 QF y k p ， 直 线PF的 斜 率 为 222 2 2 2 2 1 1() QF PF QF y k pyp k y ypk p ， 设直线QF的倾斜角为，直线PF的倾斜角为， 则 2 2tan tantan2 1tan ， 所以2k，kZ，由于2( ,2 )，0，)， 故2， 故选：D 第 9 页（共 22 页） 8 （ 5 分 ） 已 知 点A，B

22、，C是 函 数2 s i n () ,0 3 yx 的 图 象 和 函 数 2 s i n () ,0 6 yx 图象的连续三个交点，若ABC是锐角三角形，则的取值范围为 ( ) A( 2 ，) B( 4 ，) C(0,) 2 D(0,) 4 【解答】 解： 作出两个函数的图象如图， 则根据对称性知ABBC， 即ABC为等腰三角形， 三角函数的周期 2 T ， 且ACT，取AC的中点M， 连接BM，则BMAC， 要使ABC是锐角三角形， 只需要45ABM即可， 即tan1 AM ABM BM 即可，即AMBM 由2sin()2sin() 36 xx ， 得sin()sin() 36 xx ，

23、得 7 () 366 xxx ， 得 5 2 6 x ，得 5 12 x ， 则 532 2sin()2sin()2sin21 312342 yx ， 即A点纵坐标为 1，则2BM ， 由AMBM得 1 2 ACBM，即 1 2 2 T ， 则4T ，即 2 4 ，得 2 ， 即的取值范围为( 2 ，)， 故选：A 第 10 页（共 22 页） 二、 多项选择题 （本大题共二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有

24、两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 （5 分）下列命题中正确的是( ) AA，B，M，N是空间中的四点， 若,BA BM BN不能构成空间基底， 则A，B，M， N共面 B已知 , ,a b c为空间的一个基底，若mac，则 , ,a b m也是空间的基底 C若直线l的方向向量为(1,0,3)e ，平面的法向量为 2 ( 2,0, ) 3 n ，则直线/ /l D 若直线l的方向向量为(1,0,3)e ， 平面的法向量为( 2,0,2)n ， 则直线l与平面 所成角的正弦值为 5 5 【解答】 对于A，,BA BM BN不能构成空间的一个基底，,BA BM BN共面，

25、则A，B， M，N共面，故A正确； 对于B， , ,a b c为空间的一个基底，a，b，c不共面， mac，a，b，m不共面，则 , ,a b m也是空间的一个基底，故B正确； 对于C，因为 2 1 ( 2)0030 3 e n ，则en，若l，则/ /l，但选项中没有 条件l，有可能会出现l，故C错； 直线l的方向向量为(1,0,3)e ，平面的法向量为( 2,0,2)n ， 则直线l与平面所成角的正弦值为 1 ( 2)3 25 |cos,| | | | |51044 e n e n en ， 故D正确 故选：ABD 10 （5 分）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策

26、，贷款承包 了一个新型温室鲜花大棚， 种植销售红玫瑰和白玫瑰 若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销 第 11 页（共 22 页） 量分别服从正态分布(N， 2 30 )和(280N， 2 40 )，则下列选项正确的是( ) 附：若随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ，则()0.6826PX A若红玫瑰日销售量范围在(30,280)的概率是 0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数 约为 250 B红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 D白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为 0.3413 【解答】解：若红玫瑰日销售量范围在(30,280)的概率是

27、 0.6826，则30280，即 250 红玫瑰日销售量的平均数约为 250，故A正确； 红玫瑰日销售量的方差 1 900，白玫瑰日销售量的方差 2 1600， 红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差， 则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更 集中，故B正确，C错误； 白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率 1 ()()0.3413 2 PXPX，故D正确 故选：ABD 11 （5 分）已知椭圆 22 :1 169 xy C上有一点P， 1 F、 2 F分别为左、右焦点， 12 F PF， 12 PFF的面积为S，则下列选项正确的是( ) A若60，则3 3S B若9S ，则90 C若

28、 12 PFF为钝角三角形，则 9 7 (0,) 4 S D椭圆C内接矩形的周长范围是(12，20 【解答】解：由已知可得4a ，3b ，所以7c ， 选项A：因为 2 3 tan9tan3093 3 23 Sb ，故A正确； 选项B：因为 12 11 |2 79 22 SFFhh ，所以 9 7 3 7 hb，所以三角形 12 PFF不存 在，故B错误； 第 12 页（共 22 页） 选项C：因为三角形 12 PFF为钝角三角形，所以三角形 12 PFF中有一个角大于90， 当 21 90PF F时，S最大，设 1 PFm， 2 PFn，则有 222 4mnc，又2mna， 所以 7 2 m

29、n， 则 9 4 n ， 所以三角形 12 PFF的面积为 212 1199 7 2 7 2244 SPFFF， 所以三角形的面积 9 7 (0,) 4 S ，故C正确； 选项D： 设矩形边长为2x，2y， 其中cos4cosxa，sin3sinyb，0，2 )， 所以周长为 34 4412sin16cos20( sincos )20sin() 55 Cxy， 4 (tan) 3 ， 当sin()1时，20 max C，412 min Cb，故周长的范围为(12，20，故D正确， 故选：ACD 12 （5 分）设函数 2 ( )86 xx f xeex，若曲线( )yf x在点 0 (P x，

30、 0 ()f x处的切线与该 曲线恰有一个公共点P，则选项中满足条件的 0 x有( ) A2ln B2ln C4ln D5ln 【解答】解：根据题意， 2 ( )86 xx f xeex， 则 2 ( )286 xx f xee， 2 ( )484(2) xxxx fxeee e， 若( )0fx，即4(2)0 xx e e ，解可得2xln， 在区间(,2)ln上，( )0fx，( )fx为减函数， 在区间( 2,)ln上，( )0fx，( )fx为增函数， 若 2 ( )2860 xx f xee，变形可得(1)(3)0 xx ee，解可得0 x 或3xln， 在区间(,0)上，( )0f

31、x，( )f x为增函数， 在区间(0,3)ln上，( )0fx，( )f x为减函数， 在区间( 3,)ln上，( )0fx，( )f x为增函数， 若曲线( )yf x在点 0 (P x， 0 ()f x处的切线与该曲线恰有一个公共点P，则 0 3xln， 分析选项可得：CD符合 0 3xln， 故选：BCD 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上）上） 13 （5 分）双曲线 22 28xy的两条准线间的距离为 4 3 3 第 13 页（共 22 页） 【解答】解

32、：双曲线 22 28xy的标准方程为： 22 1 48 xy ， 所以准线方程为： 2 42 3 32 3 a x c ， 所以双曲线 22 28xy的两条准线间的距离为： 4 3 3 故答案为： 4 3 3 14 （5 分）为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在 6 天时间内检测 3 盒A类药，2 盒B类 药，1 盒C类药若每天只能检测 1 盒药品，且 3 盒A类药中只有 2 盒在相邻两天被检测， 则不同的检测方案的个数是 432 【解答】解：根据题意，分 3 步分析： 先将 2 盒B类药，1 盒C类药全排列，有 3 3 A种情况，排好后有 4 个空位可选， 再从 3 盒A类药中任选 2 盒，

33、安排在相邻 2 天检测，有 22 32 C A种情况， 最后和另外 1 盒A类药，安排 2 盒B类药，1 盒C类药的 4 个空位中，有 2 4 A种情况， 则有 3222 3324 432A C A A 种检测方案， 故答案为：432 15 （5 分）无穷数列 n a满足：只要 * ( ,) pq aap qN，必有 11pq aa ，则称 n a为“和 谐递进数列” 若 n a为 “和谐递进数列” ， 且前四项成等比数列，1 5 1aa， 2 2a ， 则 2021 S 7576 【解答】解： n a前四项成等比数列， 1 1a ， 2 2a ， 公比 2 1 2 a q a ， 2 3 2

34、4a， 3 4 28a ， 又 n a为“和谐递进数列” ， 15 1aa， 26 2aa， 37 4aa， 48 8aa， ， 4nn aa 202112345 ()5051(2481)5057576Saaaaa 故答案为：7576 16（5 分） 正方体 1111 ABCDABG D的棱长为 1，E，F分别为BC， 1 CC的中点 则平面AEF 第 14 页（共 22 页） 截正方体所得的截面面积为 9 8 ；以点E为球心，以 10 4 为半径的球面与对角面 11 ACC A 的交线长为 【解答】解：如图， 连接 1 AD，则 1 / /EFAD，可得等腰梯形 1 AEFD为平面AEF截正

35、方体所得的截面图形， 由正方体 1111 ABCDABG D的棱长为 1，得 1 2AD ， 2 2 EF ， 15 1 42 AE ，则E到 1 AD的距离为 2 523 2 () 444 ， 1 23 219 2 2248 AEFD S 四边形 ； 平面 11 AAC C 平面ABCD，且平面 11 AAC C平面ABCDAC， 过E作EHAC，则EH 平面 11 AAC C， E为BC的中点， 12 44 EHAC， 又以E为球心，以 10 4 为半径的球面与对角面 11 ACC A相交， 球面被对角面 11 ACC A所截圆的半径为 22 1022 ()() 442 ， 由 2 4 C

36、H ， 2 2 HN ，可得 3 NHC ， 球面与对角面 11 ACC A的交线为以H为圆心，以 2 2 为半径的圆的一段劣弧MN， 其长度为 122 2 323 故答案为： 9 8 ； 2 3 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮， 第 15 页（共 22 页） 晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时

37、返回海洋， 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000

38、 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 （1）这个港口的水深与时间的关系可用函数sin()(0yAxb A，0)近似描述， 试求出这个函数解析式； （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 5 米，安全条例规定至少要有 1.25 米的 安全间隙（船底与洋底的距离） ，利用（1）中的函数计算，该船这一天中何时能进入港口？ 每次在港口最多能呆多久？ 【解答】解： （1）由表中的数据可得：2.5A，5b ， 观察可知3:00和15:00时刻水深相同，故12T ， 因为0，所以 2 6T ， 因为3x 时y取到最大值，所以32, 62 kkZ ， 解得2k，kZ， 所以函数

39、的解析式为2.5sin5(123) 6 yxx 剟； （2）因为货船的吃水深度为 5 米，安全间隙至少要有 1.25 米， 所以2.5sin5 6.25 6 x ，即 1 sin 62 x ， 所以 5 22, 666 mxmmN 剟， 解得1 125 12m xm剟，mN， 取0m 或 1，得15x剟或1317x剟， 故该船1:00至5:00和13:00至17:00期间可以进港，在港口最多能呆 4 个小时 第 16 页（共 22 页） 18 （12 分）已知数列 n a满足： 1 1 1 3(1)2(1)1 , 211 nn nn aa a aa ， 1 0(1) nn a an ，数列 n

40、 b满 足： 22 1 (1) nnn baa n （）求数列 n a， n b的通项公式 （）证明：数列 n b中的任意三项不可能成等差数列 【解答】解： （）由题意可知， 22 1 2 1(1) 3 nn aa 令 2 1 nn ca ，则 1 2 3 nn cc 又 2 11 3 1 4 ca ，则数列 n c是首项为 1 3 4 c ，公比为 2 3 的等比数列，即 1 3 2 ( ) 4 3 n n c ， 故 2121 3 23 2 1( )1( ) 4 34 3 nn nn aa ， 又 1 1 0 2 a ， 1 0 nn a a 故 11 3 2 ( 1)1( ) 4 3 n

41、n n a 因为 2211 1 3 23 212 1( )1( )( ) 4 34 343 nnn nnn baa ， 故 1 12 ( ) 43 n n b （）假设数列 n b存在三项 r b， s b，() t b rst按某种顺序成等差数列， 由于数列 n b是首项为 1 4 ，公比为 2 3 的等比数列， 于是有2 srt bbb成立，则只有可能有2 srt bbb成立， 111 1 21 21 2 2( )( )( ) 4 34 34 3 srt 化简整理后可得， 22 2( )( ) 33 r st s ， 由于rst ，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾 故数列 n b中任意

42、三项不可能成等差数列 19 （12 分）某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第 一个问题回答正确得 10 分， 回答错误得 0 分； 第二个问题回答正确得 10 分， 回答错误得10 分；第三个问题回答正确得 10 分，回答错误得10分规定，每位参赛者回答这三个问题 的总得分不低于 20 分就算闯关成功若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是 2 3 ，回 答第三个问题正确的概率都是 1 2 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响 （1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率； 第 17 页（共 22 页） （2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分的分布列、期望和闯关成功

43、的概率 【解答】解： （1）设事件 i A为参赛者甲回答正确第i个问题(1i ，2，3)， 所以 123123123 2212111214 ()()() 3323323329 PP A A AP A A AP A A A （2）由题意，所有可能取值为20，10，0，10，20，30， 123 1111 (20)() 33218 PP A A A ， 123 2111 (10)() 3329 PP A A A ， 123123 1111211 (0)()() 3323326 PP A A AP A A A， 123123 2212111 (10)()() 3323323 PP A A AP A

44、A A， 123 1211 (20)() 3329 PP A A A， 123 2212 (30)() 3329 PP A A A， 所以的分布列为： 20 10 0 10 20 30 P 1 18 1 9 1 6 1 3 1 9 2 9 111112 ( )( 20)( 10)010203010 1896399 E 由分布列可知参赛者甲闯关成功的概率为 1 (20)(30) 3 PP 20（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是等腰梯形，/ /ABDC，2BCCD， 4AB M，N分别是AB，AD的中点，且PDNC，平面PAD 平面ABCD （1）证明：PD 平面ABC

45、D； （2）已知三棱锥DPAB的体积为 2 3 ，求二面角CPNM的大小 【解答】 （1）证明：连结DM，则/ /DCBM且DCBM， 第 18 页（共 22 页） 所以四边形BCDM为平行四边形，所以/ /DMBC且DMBC， 所以AMD是正三角形，所以MNAD， 因为平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD， 所以MN 平面PAD，因为PD平面PAD， 所以PDMN，又因为PDNC，且MNNCN，MN，NC 平面ABCD， 所以PD 平面ABCD； （2）解：连结BD，则/ /BDMN，所以BDAD，BDPD， 在Rt DAB中， 222 DADBAB， 又2AD ，4AB

46、，所以2 3DB ， 故DAB的面积为 1 2 3 2 DA DB， 由等体积法可得 112 2 3 333 D PABP DABDAB VVPD SPD ， 所以 3 3 PD ， 建立空间直角坐标系如图所示， 则 3 (0,0,0),(1,0,0),( 1, 3,0),(1, 3,0), (0,0,) 3 DNCMP， 所以 3 (1,0,),( 2, 3,0),(0, 3,0) 3 PNNCNM ， 设平面PNC的一个法向量为( , , )nx y z， 则有 0 0 PN n NC n ，即 3 0 3 230 xz xy ， 令1x ，则 2 3 ,3 3 yz， 所以 2 3 (1

47、, 3) 3 n ， 设平面PNM的一个法向量为( , , )ma b c， 则有 0 0 PN m NM m ，即 3 0 3 30 ac b ， 令1a ，则3c ，所以(1,0, 3)m ， 第 19 页（共 22 页） 所以 4 3 134,|,| 2 3 n mnm ， 所以 |43 |cos,| |24 3 2 3 n m n m n m ， 由图形可得，二面角CPNM为锐角， 所以二面角CPNM的大小为30 21 （12 分）已知函数( )()f xaxlnx aR （1）求( )f x的单调区间； （2）试求( )f x的零点个数，并证明你的结论 【解答】解： （1）由函数(

48、)()f xaxlnx aR，得 1 ( )(2) 2 fxlnx x 另( )0fx，得 2 xe列表如下： x 2 (0,)e 2 e 2 (e，) ( )fx 0 ( )f x 极小值 因此，函数( )f x的单调递增区间为 2 (e，)，单调减区间为 2 (0,)e （2）由（1）可知， 21 ( )()2 min fxf eae ( ) i当 1 2ae时，由 21 ( )()20f xf eae ，得函数( )f x的零点个数为 0 ( )ii当 1 2ae时，因( )f x在 2 (e，)上是单调增，在 2 (0,)e上单调减， 故(0 x， 22 )(ee ，)时， 2 ( )

49、()0f xf e 此时，函数( )f x的零点个数为 1 第 20 页（共 22 页） ()iii当 1 2ae时， 1 ( )20 min fxae 0a时，因为当(0 x， 2 e时，(0f xaxlnxx ， 所以，函数( )f x在区间(0， 2 e上无零点； 另一方面，因为( )f x在 2 e，)单调递增，且 21 ()20f eae ， 由 22 ( a ee ，)，且 2 ()(1 2)0 aa f eae ， 此时，函数( )f x在 2 (e，)上有且只有一个零点 所以，当0a时，函数( )f x零点个数为 1 1 02ae时， 因为( )f x在 2 e，)上单调递增，

50、 且f（1）0a， 21 ()20f eae ， 所以函数( )f x在区间 2 (e，)上有且只有一个零点； 另一方面，因为( )f x在(0， 2 e上是单调递减，且 21 ()20f eae 又 4 2 (0,) a ee ，且 4 2 2 44 ()0 2 ( ) a a f eaa a ae a ， （当0 x 时， 2x ex成立） 此时，函数( )f x在 2 (0,)e上有且只有一个零点 所以，当 1 02ae，函数( )f x的零点个数为 2 综上所述，当 1 2ae时，( )f x的零点个数为 0； 当 1 2ae时，或0a时，( )f x的零点个数为 1； 当 1 02a