2021年河南省六市高考数学第一次联考试卷（理科）（3月份）.docx

1、第 1 页（共 23 页） 2021 年河南省六市高考数学第一次联考试卷（理科） （年河南省六市高考数学第一次联考试卷（理科） （3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的个是符合题目要求的. 1 （5 分）集合 21 |0 1 x Ax x ，集合 1 2 |log (1)Bx yx，则集合AB等于( ) A0， 1 2 B( 1,) C( 1,1) D 1，) 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数z满足 2 (1) 1 i i z

2、，则| (z ) A2 B2 C1 D5 3 （5 分）等差数列 n a的前n项和为 n S， 15 30S， 10 4a，则 9 (a ) A2 B3 C4 D8 4 （5 分）为了得到函数( )sin2g xx的图象，需将函数( )sin(2 ) 6 f xx 的图象( ) A向左平移 6 个单位长度 B向右平移 12 个单位长度 C向左平移 5 12 个单位长度 D向右平移 5 12 个单位长度 5 （5 分） 1 3 2， 2 log 6， 3 3log 2的大小关系是( ) A 1 3 23 2log 63log 2 B 1 3 32 23log 2log 6 C 1 3 32 3l

3、og 22log 6 D 1 3 32 3log 2log 62 6 （5 分） 4 1 (1) (2)xx x 的展开式中x的系数是( ) A10 B2 C14 D34 7 （5 分）函数 2 ( )(1)sin 1 x f xx e 图象的大致形状是( ) A B C D 第 2 页（共 23 页） 8 （5 分）如图，在棱长为 1 正方体 1111 ABCDABC D中，M为棱AB的中点，动点P在侧 面 11 BCC B及其边界上运动，总有 1 APD M，则动点P的轨迹的长度为( ) A 2 2 B 5 2 C 16 D 3 2 9 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的

4、焦点为F， 0 (M x， 1 ) 2 为该抛物线上一点，若以 M为圆心的圆与C的准线相切于点A，120AMF，过F且与y轴垂直的直线l与C交 于G，H两点， 0 P为C的准线上的一点， 0 GHP的面积为( ) A1 B2 C4 D9 10 （5 分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制二进制数据是用 0 和 1 两个数码 来表示的数它的基数为 2，进位规则是“逢二进一” ，借位规则“借一当二” 当前的计算 机系统使用的基本上是二进制系统， 计算机中的二进制则是一个非常微小的开关， 用 1 来表 示“开” ，用 0 来表示“关” 如图所示，把十进制数 10 (10)化为二进制数 2 (10

5、10)，十进制数 10 (99)化 为 二 进 制 数 2 (1100011)， 把 二 进 制 数 2 (10110)化 为 十 进 制 数 为 43210 1 2021 21 202164222 ，随机取出 1 个不小于 2 (100000)， 且不超 过 2 (111111)的二进制数，其数码中恰有 4 个 1 的概率是( ) A 9 32 B 9 31 C10 31 D 5 16 11 （5 分）在三棱锥ABCD中，4ABCD，3ACBDADBC，则该三棱锥的 第 3 页（共 23 页） 内切球的表面积为( ) A 4 5 B17 C 3 2 D 3 4 12 （5 分）若函数 3 (

6、 )(2)(1) lnx f xaxlnxax x 有三个不同的零点，则实数a的取值范围 是( ) A 2 2 41 (0,) 44 e ee B 2 2 41 (1,) 44 e ee C(0，1)(1， 2 2 41 ) 44 e ee D 2 2 41 (0,1) 44 e ee 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量(1,2)a ，( ,1)bk，且2ab与向量a的夹角为90，则向量a在向 量b方向上的投影为 14 （5 分）已知实数x，y满足 22 0 33 0 24 0 xy xy xy ，则3z

7、xy的最小值为 15 （5 分）设正数数列 n a的前n项和为 n S，数列 n S的n项之积为 n T，且21 nn ST， 则数列 n a的通项公式是 16 （5 分）已知直线:30l xy交双曲线 22 22 :1(0,0) xy ab ab 于A，B两点，过A 作直线l的垂线AC交双曲线于点C若60ABC，则双曲线的离心率为 三、 解答题： 本大题共三、 解答题： 本大题共 5 小题， 共小题， 共 70 分， 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤必考题：分， 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤必考题： 共共 60 分。分。 17（12 分） 在ABC中， 内角A，BC所对的边分别为

8、a，b，c， 若 2 s i n t a nc o s cb CAC a （）求角A的大小； （）若3 2b ，2c ，点D在边BC上，且2CDDB，求a及AD 18 （12 分） 如图， 在四棱锥ABCFE中， 四边形EFCB为梯形，/ /EFBC， 且2E FB C， ABC是边长为 2 的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且3FG ， 21 2 CF ， 5 2 BF （1）证明：平面FGB 平面ABC； （2）求二面角EABF的余弦值 第 4 页（共 23 页） 19 （12 分）某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件 S有两个等级：一等品售价 5 千

9、元，使用寿命为 5 个月或 6 个月（概率均为0.5)；二等品售 价 2 千元，使用寿命为 2 个月或 3 个月（概率均为0.5) （1）若从 4 件一等品和 2 件二等品共 6 件部件S中任取 2 件装入机器内，求机器可运行时 间不少于 3 个月的概率 （2）现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置 2 件一等品；方案乙：购置 1 件一等品和 2 件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比）角度考虑，选择 哪一种方案更实惠 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1() yx Cab ab 的离心率为 3 2 ，且过点(0,2) （）求椭圆C的方程； （）若矩形ABCD的

10、四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围 21 （12 分）已知函数 1 ( )2 x f xelnxx （1）求( )f x的单调区间； （2）证明： 3 ( ) (2)3(2)f xxx 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 1cos ( 1sin xt t yt 为参数，0， )，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标

11、方程为 4cos() 3 （1）求圆C的直角坐标方程； 第 5 页（共 23 页） （2）设(1,1)P，若直线l与圆C相交于A，B两点，求|PAPB的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且2abc证明： （1） 4 3 abbcac； （2） 222 8 abc bca 第 6 页（共 23 页） 2021 年河南省六市高考数学第一次联考试卷（理科） （年河南省六市高考数学第一次联考试卷（理科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.

12、在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的个是符合题目要求的. 1 （5 分）集合 21 |0 1 x Ax x ，集合 1 2 |log (1)Bx yx，则集合AB等于( ) A0， 1 2 B( 1,) C( 1,1) D 1，) 【解答】解： 1 2 1 | 1, |(1) 0 |011 |01 2 AxxBx logxxxxx 剠剟， ( 1,1)AB 故选：C 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数z满足 2 (1) 1 i i z ，则| (z ) A2 B2 C1 D5 【解答】解：复数z满足 2 (1) 1 i i z ，所以 2 (1

13、)22 (1) 1 112 iiii zi ii ， 所以|1 12z ， 故选：A 3 （5 分）等差数列 n a的前n项和为 n S， 15 30S， 10 4a，则 9 (a ) A2 B3 C4 D8 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 15 30S， 10 4a， 1 15 14 1530 2 ad ， 1 94ad， 联立解得： 1 5a ，1d ， 则 9 583a 故选：B 4 （5 分）为了得到函数( )sin2g xx的图象，需将函数( )sin(2 ) 6 f xx 的图象( ) A向左平移 6 个单位长度 B向右平移 12 个单位长度 C向左平移 5 12 个单

14、位长度 D向右平移 5 12 个单位长度 第 7 页（共 23 页） 【解答】解：为了得到函数( )sin2g xx的图象， 需将函数 5 ( )sin(2 )sin(2 )sin(2) 666 f xxxx 的图象， 向右平移 5 12 个单位长度， 故选：D 5 （5 分） 1 3 2， 2 log 6， 3 3log 2的大小关系是( ) A 1 3 23 2log 63log 2 B 1 3 32 23log 2log 6 C 1 3 32 3log 22log 6 D 1 3 32 3log 2log 62 【解答】解： 11 32 3 22 2 ， 33 33 3log 2log

15、4 22 ， 333 3log 2log 8log 92， 22 log 6log 42， 所以 1 3 32 23log 2log 6 故选：B 6 （5 分） 4 1 (1) (2)xx x 的展开式中x的系数是( ) A10 B2 C14 D34 【解答】解： 48 11 (1) (2)(1) ()xxxx xx 0413228 8888 4 1 (1) ()xCxC xCxC x ， 故展开式中x的系数是 34 88 14CC， 故选：C 7 （5 分）函数 2 ( )(1)sin 1 x f xx e 图象的大致形状是( ) A B C D 第 8 页（共 23 页） 【解答】解：

16、21 ( )(1)sinsin 11 x xx e f xxx ee ， 则 111 ()sin()( sin )sin( ) 111 xxx xxx eee fxxxxf x eee ， 则( )f x是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D， 由( )0f x ，得10 x e或sin0 x ， 得xk，kZ，即当0 x 时，第一个零点为， 当1x 时，f（1） 1 sin10 1 e e ，排除A， 故选：C 8 （5 分）如图，在棱长为 1 正方体 1111 ABCDABC D中，M为棱AB的中点，动点P在侧 面 11 BCC B及其边界上运动，总有 1 APD M，则动点P的轨迹的长

17、度为( ) A 2 2 B 5 2 C 16 D 3 2 【解答】解：如图，先找到一个平面总是保持与平面 1 DD M垂直， 取 1 B B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF，在正方体 1111 ABCDA B C D中， 可知DMAF， 1 D DAF，则有AF 面 1 DMD，同理面 1 MD DAE，则平面 1 MDD 平 面AEF， 又点P在侧面 11 BCC B及其边界上运动， 根据平面的基本性质得： 点P的轨迹为面AEF与面 11 BCC B的交线段EF 第 9 页（共 23 页） F为BC的中点，E为 1 BB的中点， 22 112 |( )( ) 222 EF 故选：

18、A 9 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F， 0 (M x， 1 ) 2 为该抛物线上一点，若以 M为圆心的圆与C的准线相切于点A，120AMF，过F且与y轴垂直的直线l与C交 于G，H两点， 0 P为C的准线上的一点， 0 GHP的面积为( ) A1 B2 C4 D9 【解答】解：过点M作BMy轴， 由抛物线的性质可得 1 | | 22 p MAMF， 将M点坐标代入抛物线的方程，得 2 0 1 2 2 xp，即 2 0 xp， 不妨设M在第一象限，则 0 xp， 所以 0 |BMxp， 因为120AMF， 所以30BFM， 所以2| |BFMF， 所以 11 2(

19、) 2222 pp ，解得3p ， 所以抛物线的方程为 2 6xy， 所以 3 (0,) 2 F， 准线的方程为 3 2 y ， 所以 0 P到直线GH的距离3dp， 联立 2 3 2 6 y xy ，解得3x 或3， 所以( 3,3)G ，(3,3)H， 所以6GH ， 所以 0 11 |6 39 22 GHP SGHd ， 故选：D 第 10 页（共 23 页） 10 （5 分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制二进制数据是用 0 和 1 两个数码 来表示的数它的基数为 2，进位规则是“逢二进一” ，借位规则“借一当二” 当前的计算 机系统使用的基本上是二进制系统， 计算机中的二进制则

20、是一个非常微小的开关， 用 1 来表 示“开” ，用 0 来表示“关” 如图所示，把十进制数 10 (10)化为二进制数 2 (1010)，十进制数 10 (99)化 为 二 进 制 数 2 (1100011)， 把 二 进 制 数 2 (10110)化 为 十 进 制 数 为 43210 1 2021 21 202164222 ，随机取出 1 个不小于 2 (100000)， 且不超 过 2 (111111)的二进制数，其数码中恰有 4 个 1 的概率是( ) A 9 32 B 9 31 C10 31 D 5 16 【解答】解： 5 2 (100000)1 232 ， 54320 2 (11

21、1111)1 21 21 21 21 2 1 263 ， 2 33(100001)， 2 34(100010)， 2 35(100011)， 2 36(100100)， 2 37(100101)， 2 38(100110)， 2 39(100111)， 2 40(101000)， 2 41(101001)， 第 11 页（共 23 页） 2 42(101010)， 2 43(101011)， 2 44(101100)， 2 45(101101)， 2 46(101110)， 2 47(101111)， 2 48(110000)， 2 49(110001)， 2 50(110010)， 2 51

22、(110011)， 2 52(110100)， 2 53(110101)， 2 54(110110)， 2 55(110111)， 2 56(111000)， 2 57(111001)， 2 58(111010)， 2 59(111011)， 2 60(111100)， 2 61(111101)， 2 62(111110)， 2 63(111111)， 随机取出 1 个不小于 2 (100000)，且不超过 2 (111111)的二进制数， 基本事件总数32n ， 其数码中恰有 4 个 1 包含的基本事件有 10 个， 其数码中恰有 4 个 1 的概率 105 3216 p 故选：D 11 （

23、5 分）在三棱锥ABCD中，4ABCD，3ACBDADBC，则该三棱锥的 内切球的表面积为( ) A 4 5 B17 C 3 2 D 3 4 【解答】解：如图，在长方体AHDGEBFC中，设ECc，EBb，EAa， 则 22 16ab， 22 9cb， 22 9ac 2 2ab，1c ， 故四面体ABCD的体积 1118 4 3233 Vabcabcabc 四面体ABCD的表面积 22 1 444328 5 2 ABC SS ， 根据等体积可得 81 8 5 33 r， 5 5 r 该三棱锥的内切球的表面积为 2 54 4() 55 故选：A 第 12 页（共 23 页） 12 （5 分）若函

24、数 3 ( )(2)(1) lnx f xaxlnxax x 有三个不同的零点，则实数a的取值范围 是( ) A 2 2 41 (0,) 44 e ee B 2 2 41 (1,) 44 e ee C(0，1)(1， 2 2 41 ) 44 e ee D 2 2 41 (0,1) 44 e ee 【解答】解：令 3 ( )(2)(1)0 lnx f xaxlnxax x ， 即 2 22 2()(1)0 lnxlnx aa xx ， 设 2 ( ) lnx tg x x ， 令 3 12 ( )0 lnx g x x ， 则xe， 即有( )g x在(0,)e上单调递增， 在( e， )上单调

25、递减，则 1 () 2 tge e ， 原方程可化为 2 2(1)0tata，设方程两根为 12 tt，则 2 1 0 2 t e ， 1 0t ， 设 2 ( )2(1)h ttata， 则 1 2 1 ()(0)0 2 (1)0 hh e t ta ，解得 2 2 41 1 44 e a ee ， 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量(1,2)a ，( ,1)bk，且2ab与向量a的夹角为90，则向量a在向 量b方向上的投影为 2 145 29 【解答】解：(1,2)a ，( ,1)bk，2(

26、2,5)abk， 又2ab与向量a的夹角为90，(2)0ab a即(2) 15 20k ，解得12k ， ( 12,1)b ， 2 |( 12)1145b ， 第 13 页（共 23 页） 向量a在向量b方向上的投影为 1 ( 12)2 12 145 29|145 a b b 故答案为： 2 145 29 14 （5 分）已知实数x，y满足 22 0 33 0 24 0 xy xy xy ，则3zxy的最小值为 7 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立 240 330 xy xy ，解得(2,3)A， 由3zxy，得 33 xz y ，由图可知，当直线 33 xz y 过A时， 直线在

27、y轴上的截距最大，z有最小值为7 故答案为：7 15 （5 分）设正数数列 n a的前n项和为 n S，数列 n S的n项之积为 n T，且21 nn ST， 则数列 n a的通项公式是 2 1 ,1 3 4 ,2 41 n n a n n 【解答】解：21 nn ST， 1 21(2) n n n T Tn T ， 整理，得 1 11 2(2) nn n TT ， 由21 nn ST，可得 1 1 3 a ， 1 1 3 T ， 数列 1 n T 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列， 第 14 页（共 23 页） 1 21 n n T ， 1 21 n T n ， 1 21 21 n n

28、 n Tn S Tn ， 当1n 时， 11 1 3 aS； 当2n时， 1 2 21234 212141 nnn nn aSS nnn 故答案为： 2 1 ,1 3 4 ,2 41 n n a n n 16 （5 分）已知直线:30l xy交双曲线 22 22 :1(0,0) xy ab ab 于A，B两点，过A 作直线l的垂线AC交双曲线于点C若60ABC，则双曲线的离心率为 2 【解答】解：联立 22 22 3 1 xy xy ab ，得 22 2 22 3 3 a b x ba ， 22 2 22 3 a b y ba ， 设 22 3 ( 3 ab A ba ， 22 ) 3 ab

29、ba ， 所以 22 4 | 2| 3 ab ABOA ba ， 在直角三角形ABC中，60ABC， 可得|3|ACAB， 设直线AC的方程为 22 4 3 3 ab yx ba ， 代入双曲线的方程可得 342 22222 22 22 8 316 (3)0 3 3 a ba b baxxa b ba ba ， 所以 3 222232 38 3 33(3) C aba b x bababa ， 所以 322 2232222222 8 32 32 3() | | 3(3)33|3| CA a babab ab xx bababababa ， 所以 22 222222 2 3()4 3 | 2 3

30、|3|3 ab abab AC bababa ， 第 15 页（共 23 页） 所以 2222 |3|abba， 解得ab， 2 2 12 cb e aa ， 故答案为：2 三、 解答题： 本大题共三、 解答题： 本大题共 5 小题， 共小题， 共 70 分， 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤必考题：分， 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤必考题： 共共 60 分。分。 17（12 分） 在ABC中， 内角A，BC所对的边分别为a，b，c， 若 2 s i n t a nc o s cb CAC a （）求角A的大小； （）若3 2b ，2c ，点D在边BC上，且2CDDB，求a及AD

31、【解 答 】 解：( ) I由正 弦 定 理 2 sintancos cb CAC a 可化为 2s i ns i ns i ns i nt a nc o s)CBACAC， 即2sinsin()sin (sintancos)CACACAC， 所以 2 2sinsincossincossinsincos cos sin A CACCACAC A ， 因为sin0C ， 所以 2 cos2 cos sin A A A ， 即 22 1coscos2cosAAA， 所以 2 cos 2 A， 因为A为三角形内角， 所以 4 A ； ()II由余弦定理得 222 2cos184 1210abcbcA

32、， 故10a ， 因为D在边BC上，且2CDDB， 所以 110 33 BDa， 又 222 10 cos 210 acb B ac ， 第 16 页（共 23 页） 所以 222 58 2cos 9 ADABBDAB BDB， 所以 58 3 AD 18 （12 分） 如图， 在四棱锥ABCFE中， 四边形EFCB为梯形，/ /EFBC， 且2E FB C， ABC是边长为 2 的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且3FG ， 21 2 CF ， 5 2 BF （1）证明：平面FGB 平面ABC； （2）求二面角EABF的余弦值 【解答】证明： （1）由顶点F在AC上投影为点G，可知，F

33、GAC 取AC的中点为O，连结OB，GB 在Rt FGC中，3FG ， 21 2 CF ， 所以 3 2 CG （1 分） 在Rt GBO中，3OB ， 1 2 OG ， 所以 13 2 BG （2 分） 所以， 222 BGGFFB，即FGBG（3 分） FGAC，FGGB，ACBGG， FG面ABC 又FG面FGB，所以面FGB 面ABC（5 分） 解： （2）由（1）知，OBFG，OBAC， 且ACFGG 第 17 页（共 23 页） 所以 OB 面AFC，且FG 面ABC 以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间 直角坐标系，如图所示， 则(0

34、A，1，0)，( 3B，0，0)，(0F， 1 2 ，3)， 3 ( 2 E，1，3)， (3, 1,0)BA ， 3 ( 2 BE ，1，3)， 1 (3, 3) 2 BF （8 分） 设平面ABE，ABF的法向量分别为( , , )mx y z，( , , )na b c， 则 30 3 30 2 m BAxy m BExyz ，取1x ，得 1 (1,3,) 2 m ，（9 分） 30 1 330 2 n BAab n BFabc ，取1a ，得(1n ，3， 1) 2 ，（10 分） |15 cos | |17 m n mn 所以二面角EABF的余弦值为 15 17 （12 分） 19

35、 （12 分）某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件 S有两个等级：一等品售价 5 千元，使用寿命为 5 个月或 6 个月（概率均为0.5)；二等品售 价 2 千元，使用寿命为 2 个月或 3 个月（概率均为0.5) （1）若从 4 件一等品和 2 件二等品共 6 件部件S中任取 2 件装入机器内，求机器可运行时 间不少于 3 个月的概率 （2）现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置 2 件一等品；方案乙：购置 1 件一等品和 第 18 页（共 23 页） 2 件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比）角度考虑，选择 哪一种方案更实惠 【解答

36、】解： （1）由题意知机器运行时间不少于 3 个月，共有三种可能： 第一，取到 2 个一等品，对应概率为 2 4 2 6 2 5 C C ， 第二，取到 1 个一等品，1 个二等品，且二等品的使用寿命为 3 个月， 对应概率为 11 42 2 6 14 215 C C C ， 第三，取到 2 个二等品，且二者使用寿命均为 3 个月，对应概率为： 2 2 2 6 111 2260 C C ， 机器可运行时间不少于 3 个月的概率 24141 5156060 P （2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X（单位：月） ， 则X的可能取值为 5，6， 111 (6) 224 P X ， 3 (5)

37、1(6) 4 P XP X ， 则X的分布列为： X 5 6 P 3 4 1 4 3121 ()56 444 E X， 它与成本价之比为 ()21 5540 E X ， 若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y（单位：月） ， Y的可能取值为 4，5，6， 111 (4) 224 P Y ， 111 (5)2 222 P Y ， 111 (6) 224 P Y ， 第 19 页（共 23 页） 则Y的分布列为： Y 4 5 6 P 1 4 1 2 1 4 记M为一等品的使用寿命（单位：月） ，此时机器的正常运用时间为Z， 则Z的可能取值为 4，5，6， 1 (4)(4) 4 P ZP Y， (

38、5)(5P ZP M，5)(6YP M， 13115 5) 24228 Y ， 111 (6)(6) 248 P ZP My， Z的分布列为： Z 4 5 6 P 1 4 5 8 1 8 15139 ( )456 4888 E Z ， 它与成本价之比为 ( )13 52224 E Z ， 2113 4024 ， 从性价比角度考虑，方案乙更实惠 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1() yx Cab ab 的离心率为 3 2 ，且过点(0,2) （）求椭圆C的方程； （）若矩形ABCD的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围 【解答】解： （）由题意可知 2 222 3 2 4 1

39、c a a abc ， 解得： 2 1 3 a b c ， 椭圆C的方程为： 2 2 1 4 y x 第 20 页（共 23 页） （）当矩形的一边与坐标轴平行时，易知8S ， 当矩形的各边均不与坐标轴平行时， 由矩形及椭圆的对称性， 设其中一边所在的直线方程 为：ykxm，则其对边所在设为直线方程为：ykxm， 另外两边所在的直线方程分别为： 1 yxn k ， 1 yxn k ， 联立 22 44 ykxm xy ，整理可得： 222 (4)240kxkmxm， 由题意可得 2222 44(4)(4)0k mkm， 整理得 22 4km， 设矩形与直线ykxm对应的一条边长为 1 d，则

40、1 2 | 2| 1 m d k ， 同理可得 2 2 1 4n k ，设矩形相邻的另一条边长为 2 d，则 2 2 |2 | 1 1 n d k ， 所以矩形的面积 12 Sdd 2 2 |2|2 | 1 1 1 mn k k 2 4| 1 mnk k 22 22 (14)(4) 4 (1) kk k 42 22 4174 4 (1) kk k 222 22 4(1)9 4 (1) kk k 2 42 9 44 21 k kk 2 2 9 44 1 2k k ， 2 0k ， 2 2 1 2k k ，当且仅当 2 1k 时取等号， 2 2 99 (0, 1 4 2k k ， 第 21 页（共

41、 23 页） 2 2 95 4(2, 1 2 2k k ， (8S ，10， 综上所述，该矩形面积的取值范围为8，10 21 （12 分）已知函数 1 ( )2 x f xelnxx （1）求( )f x的单调区间； （2）证明： 3 ( ) (2)3(2)f xxx 【解答】解： （1）( )f x的定义域为(0,)， 1 2 ( )1 x fxe x ， 易知 1 2 ( )1 x fxe x 在(0,)上单调递增，且f（1）0， 令( )0fx，解得01x，则( )f x的单调递减区间为(0,1)； 令( )0fx，解得1x ，则( )f x的单调递增区间为(1,)； （2）证明：设 3

42、 ( )(2)3(2)(0)g xxxx，( )3(1)(3)g xxx， 令( )0g x，解得13x，令( )0g x，解得01x或3x ， 当1x 时，( )g x取得极大值，且极大值为 2， 由（1）知，( )minf xf（1）2，故当03x 时， 3 ( ) (2)3(2)f xxx， 设 13 ( )( )( )2(2)46(3) x h xf xg xelnxxxx ，则 12 2 ( )3(2)4 x h xex x ， 设 1 2 2 ( )( ),( )6(2) x p xh xp xex x ，设 1 3 4 ( )( ),( )6 x q xp x q xe x ，

43、易知( )q x在(3,)上单调递增，则 2 4 ( )(3)60 27 q xqe ，则( )q x在(3,)上单调递 增， 从而 2 2 ( )(3)60 9 p xpe，则( )h x在(3,)上单调递增， 所以 2 1 ( )(3)0 3 h xhe ，则( )h x在(3,)上单调递增， 于是( )h xh（3） 2 52 30eln，故当3x 时， 3 ( ) (2)3(2)f xxx； 综上， 3 ( ) (2)3(2)f xxx 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

44、第一题计 分分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 22 页（共 23 页） 22（10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 1cos ( 1sin xt t yt 为参数，0， )，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 4cos() 3 （1）求圆C的直角坐标方程； （2）设(1,1)P，若直线l与圆C相交于A，B两点，求|PAPB的最大值 【解答】解： （1）圆C的极坐标方程为：4cos() 3 转换为直角坐标方程为： 22 22 3xyxy， 所以： 22 22 30 xyxy （2）将线l的参数方程为： 1cos

45、( 1sin xt t yt 为参数） ， 代入 22 22 30 xyxy 所以 2 2( 31)sin2 30tt 设点A，B所对应的参数为 1 t和 2 t， 则 12 2( 31)sintt， 12 2 3tt ， 解法 222 12121 2 1:| |()44( 31) sin8 3PAPBttttt t 当sin1时，|4 max PAPB，故|4 max PAPB 解法2: 由t的几何意义知，| |PAPBAB，|24 max PAPBr； 故|4 max PAPB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且2abc证明： （1） 4 3 abbca

46、c； （2） 222 8 abc bca 【解答】证明： （1）a，b，c为正数，且2abc， 第 23 页（共 23 页） 2222 ()2224abcabcabacbc 22 2abab， 22 2bcbc， 22 2acac， 上述三式相加，得 222 abcabacbc， 222 4222333abcabacbcabacbc， 4 3 abacbc，当且仅当 2 3 abc时取等号； （2） 22abcbc bbb ，同理 22bacac ccc ， 22cabab aaa ， 222222 8 abcbcacab bcabca ， 即 222 8 abc bca ，当且仅当 2 3 abc时取等号