2021年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（2）.docx

1、第 1 页（共 12 页） 2021 年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（2） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 90 分每小题中只有一个选项是符合题分每小题中只有一个选项是符合题 意的，不选、多选、错选均不得分）意的，不选、多选、错选均不得分） 1 （6 分）已知 2 3 4x ，则x等于( ) A 1 8 B8 C 3 4 4 D 3 2 2 2 （6 分）若集合 1M ，1， 2N ，1，0则(MN ) A01 B0 C1 D 1，1 3（6 分） 已知( )f x，( )g x分别是定

2、义在R上的偶函数和奇函数， 且 32 ( )( )1f xg xxx， 则f（1）g（1）( ) A3 B1 C1 D3 4 （6 分）直线320 xy与圆 22 4xy相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( ) A2 5 B2 3 C3 D1 5 （6 分）函数( )21f xx的定义域是( ) A 1 (, 2 B 1 2 ，) C 1 (, 2 D(,) 6 （6 分）已知向量(1, )ax，( 1, )bx ，若2ab与b垂直，则| (a ) A2 B3 C2 D4 7 （6 分）已知0ab，0b ，那么a，b，a，b的大小关系是( ) Aabba Babab Cabba Dabab

3、8 （6 分）函数 2 2cos ()1 4 yx 是( ) A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为2的奇函数 C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为2的偶函数 9 （6 分）若实数x，y满足条件 2 0 20 28 0 x xy xy ，则3zxy的最大值为( ) A7 B8 C9 D14 第 2 页（共 12 页） 10 （6 分）已知 n a为等比数列， 47 2aa， 56 8a a ，则 110 (aa ) A7 B5 C5 D7 11 （6 分）当0 x 时，下列不等式正确的是( ) A 4 4x x B 4 4x x C 4 8x x D 4 8x x 12（6 分）ABC的内角

4、A、B、C的对边分别为a、b、c 已知5a ，2c ， 2 cos 3 A ， 则(b ) A2 B3 C2 D3 13 （6 分）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为( ) A 1 5 B 2 5 C 8 25 D 9 25 14 （6 分） 周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊 蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、 清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为( ) A七尺五寸 B六尺五寸 C五尺五寸 D四尺五寸 15 （6 分）若变量x，y满足约束条件 2 1 0

5、 xy x y ，则2zxy的最大值为( ) A0 B2 C3 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分将正确答案填在题中横线上）分将正确答案填在题中横线上） 16 （6 分）已知( )f x为奇函数，当0 x 时， 2 ( )log (1)f xx，则f（3） 17 （6 分）经过点( 2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1 的直线l的方程为 18 （6 分）某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本某中学 共有学生 2000 名，抽取了一个容量为 200 的样本，已知样本中女生比男生少 6 人，则该校

6、 共有女生 人 19 （6 分）已知函数( )sin()(0f xx ，) 22 剟的图象上的两个相邻的最高点和 最低点的距离为2 2，则 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 36 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤）步骤） 20 （12 分）设 n a是公比为正数的等比数列， 1 2a ， 32 4aa 第 3 页（共 12 页） （1）求 n a的通项公式； （2）设 n b是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 nn ab的前n项和 n S 21（12 分） 如图， 在梯形ABCD中，/ /AD

7、BC，ABBC，1ABBC，PA平面ABCD， CDPC， （1）证明：CD 平面PAC； （2）若E为AD的中点，求证：/ /CE平面PAB 22 （12 分）如图是半径为1m的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时 针方向以角速度/ 3 rads （每秒绕圆心转动) 3 rad 作圆周运动， 已知点P的初始位置为 0 P， 且 0 6 xOP ，设点P的纵坐标y是转动时间t（单位：) s的函数记为yf( ) t （1）求(0)f， 3 ( ) 2 f的值，并写出函数yf( ) t的解析式； （2）选用恰当的方法作出函数f( ) t，06t剟的简图； （3）试比较 1 ( ) 3

8、 f， 31 () 4 f， 31 () 5 f的大小（直接给出大小关系，不用说明理由） 第 4 页（共 12 页） 2021 年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（年广东省普通高中合格性考试数学仿真试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 90 分每小题中只有一个选项是符合题分每小题中只有一个选项是符合题 意的，不选、多选、错选均不得分）意的，不选、多选、错选均不得分） 1 （6 分）已知 2 3 4x ，则x等于( ) A 1 8 B8 C 3 4 4 D 3 2 2 【解答】解：由 2

9、3 4x ，得 32 1 4 x ，即 32 1 4 x ， 2 1 64 x ，得 1 8 x 故选：A 2 （6 分）若集合 1M ，1， 2N ，1，0则(MN ) A01 B0 C1 D 1，1 【解答】解： 1MN ，1 2，1，01 故选：C 3（6 分） 已知( )f x，( )g x分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 且 32 ( )( )1f xg xxx， 则f（1）g（1）( ) A3 B1 C1 D3 【解答】解：由 32 ( )( )1f xg xxx，将所有x替换成x，得 32 ()()1fxgxxx， 根据( )()f xfx，()( )gxg x ，得 32 (

10、 )( )1f xg xxx，再令1x ，计算得， f（1）g（1）1 故选：C 4 （6 分）直线320 xy与圆 22 4xy相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( ) A2 5 B2 3 C3 D1 第 5 页（共 12 页） 【解答】解：圆心(0,0)到直线320 xy的距离 2 1 13 d 由直线与圆相交的性质可知， 22 ()4 2 AB d 即 2 14 4 AB 2 3AB 故选：B 5 （6 分）函数( )21f xx的定义域是( ) A 1 (, 2 B 1 2 ，) C 1 (, 2 D(,) 【解答】解：由21 0 x ，解得 1 2 x 函数( )21f xx的定义

11、域是 1 2 ，) 故选：B 6 （6 分）已知向量(1, )ax，( 1, )bx ，若2ab与b垂直，则| (a ) A2 B3 C2 D4 【解答】解(1, )ax，( 1, )bx ， 22(1, )( 1, )(3, )abxxx ， 由 2 ( 2)3 (1 )0a bbx ， 解得3x ， 或3x ， (1,3)a 或(1, 3)a ， 22 |1(3)2a ，或 22 |1( 3)2a 故选：C 7 （6 分）已知0ab，0b ，那么a，b，a，b的大小关系是( ) Aabba Babab Cabba Dabab 【解答】解：法一：A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定

12、的答案，可用 特殊值法 令2a ，1b ，则有2( 1)12 ， 即abba 法二：0ab，0b ， 0ab ，0ab ， 0abba ， 即abba 第 6 页（共 12 页） 8 （6 分）函数 2 2cos ()1 4 yx 是( ) A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为2的奇函数 C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为2的偶函数 【解答】解： 2 2cos ()1cos(2)sin2 42 yxxx ， 此函数的最小正周期为，为奇函数； 故选：A 9 （6 分）若实数x，y满足条件 2 0 20 28 0 x xy xy ，则3zxy的最大值为( ) A7 B8 C9 D14 【解答

13、】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 由3zxy得3yxz ， 平移直线3yxz ， 由图象可知当直线3yxz 经过点A时，直线3yxz 的截距最大， 此时z最大 由 20 280 x xy ，解得 2 3 x y ，即(2,3)A， 代入目标函数3zxy得3239z 即目标函数3zxy的最大值为 9 故选：C 第 7 页（共 12 页） 10 （6 分）已知 n a为等比数列， 47 2aa， 56 8a a ，则 110 (aa ) A7 B5 C5 D7 【解答】解： 47 2aa，由等比数列的性质可得， 5647 8a aa a 4 4a， 7 2a 或 4 2a ，

14、7 4a 当 4 4a ， 7 2a 时， 3 1 2 q ， 1 8a ， 10 1a， 110 7aa 当 4 2a ， 7 4a 时， 3 2q ，则 10 8a ， 1 1a 110 7aa 综上可得， 110 7aa 故选：D 11 （6 分）当0 x 时，下列不等式正确的是( ) A 4 4x x B 4 4x x C 4 8x x D 4 8x x 【解答】解：0 x 时，利用均值不等式 44 24xx xx ，当且仅当2x 时等号成立 故选：B 12（6 分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c 已知5a ，2c ， 2 cos 3 A ， 则(b ) A2 B3 C2

15、 D3 【解答】解：5a ，2c ， 2 cos 3 A ， 由余弦定理可得： 2222 245 cos 3222 bcab A bcb ，整理可得： 2 3830bb， 解得：3b 或 1 3 （舍去） 故选：D 13 （6 分）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为( ) A 1 5 B 2 5 C 8 25 D 9 25 【解答】解：从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人， 基本事件总数 2 5 10nC， 第 8 页（共 12 页） 甲被选中包含的基本事件的个数 11 14 4mC C， 甲被选中的概率 42 105 m p n 故选：B 14 （6 分） 周髀

16、算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊 蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、 清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为( ) A七尺五寸 B六尺五寸 C五尺五寸 D四尺五寸 【解答】解：从冬至日起，日影长构成数列 n a，则数列 n a是等差数列， 则 5678 32aaaa， 7 73.5S ， 所以 1 1 21116 72173.5 ad ad 解可得， 1 27 2 a ，1d 故 10 27 94.5 2 a 故选：D 15 （6 分）若变量x，y满足约束条件 2 1 0 xy x y

17、 ，则2zxy的最大值为( ) A0 B2 C3 D4 【解答】解：由约束条件 2 1 0 xy x y 作出可行域如图， 化目标函数2zxy为2yxz ， 由图可知，当直线2yxz 过(2,0)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为 4 故选：D 第 9 页（共 12 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分将正确答案填在题中横线上）分将正确答案填在题中横线上） 16 （6 分）已知( )f x为奇函数，当0 x 时， 2 ( )log (1)f xx，则f（3） 2 【解答】解：( )f x为奇函数，当0 x 时， 2 (

18、 )log (1)f xx， 则f（3） 2 ( 3)log (13)2f ， 故答案为：2 17 （6 分）经过点( 2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1 的直线l的方程为 220 xy或220 xy 【解答】解：设所求直线方程为1 xy ab ，由已知可得 22 1 1 | 1 2 ab a b 解得 1 2 a b 或 2 220 1 a xy b 或220 xy为所求 故应填：220 xy或220 xy 18 （6 分）某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本某中学 共有学生 2000 名，抽取了一个容量为 200 的样本，已知样本中女生比男生少 6 人，

19、则该校 共有女生 970 人 【解答】解：因为样本容量为 200，女生比男生少 6 人， 所以样本中女生的人数为 97， 则分层抽样的抽取比例为 2001 200010 ， 所以总体中女生的人数为 970 人 故答案为：970 19 （6 分）已知函数( )sin()(0f xx ，) 22 剟的图象上的两个相邻的最高点和 最低点的距离为2 2，则 2 【解答】解：已知函数( )sin()(0f xx ，) 22 剟的图象上两个相邻的最高点和 最低点的距离为2 2， 那么由勾股定理有 222 ()2(2 2) 2 T ， 所以4T ， 第 10 页（共 12 页） 所以 2 4T ， 那么 2

20、 ， 故答案为： 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 36 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤）步骤） 20 （12 分）设 n a是公比为正数的等比数列， 1 2a ， 32 4aa （1）求 n a的通项公式； （2）设 n b是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 nn ab的前n项和 n S 【解答】解： （1）设q为等比数列 n a的公比， 则由 1 2a ， 32 4aa得 2 224qq， 即 2 20qq，解得2q 或1q （舍去） ， 因此2q ， n a的通项为 1 2 22

21、nn n a ； （2）由已知可得12(1)21 n bnn ， 2(21) n nn abn， 12 2(12 )(1) 222 122 n n n n n Snn 21（12 分） 如图， 在梯形ABCD中，/ /ADBC，ABBC，1ABBC，PA平面ABCD， CDPC， （1）证明：CD 平面PAC； （2）若E为AD的中点，求证：/ /CE平面PAB 【解答】证明： （1）PA平面ABCD，CD 平面ABCD， PACD 又CDPC，PAPCP， 第 11 页（共 12 页） CD平面PAC （2）/ /ADBC，ABBC，1ABBC， 45BAC，45CAD，2AC CD 平面P

22、AC， CDCA， 2AD 又E为AD的中点， 1AEBC， 四边形ABCE是正方形， / /CEAB又AB平面PAB，CE 平面PAB， / /CE平面PAB 22 （12 分）如图是半径为1m的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时 针方向以角速度/ 3 rads （每秒绕圆心转动) 3 rad 作圆周运动， 已知点P的初始位置为 0 P， 且 0 6 xOP ，设点P的纵坐标y是转动时间t（单位：) s的函数记为yf( ) t （1）求(0)f， 3 ( ) 2 f的值，并写出函数yf( ) t的解析式； （2）选用恰当的方法作出函数f( ) t，06t剟的简图； （3）试比

23、较 1 ( ) 3 f， 31 () 4 f， 31 () 5 f的大小（直接给出大小关系，不用说明理由） 【解答】解： （1）由题意， 1 (0)sin 62 f ， 第 12 页（共 12 页） 333 ( )sin()cos 223662 f ， 函数yf( )sin() 36 tt ，0t； （2）根据题意列表如下； t 0 1 5 2 4 11 2 6 36 t 6 2 3 2 2 13 1 6 y 1 2 1 0 1 0 11 2 在 直 角 坐 标 系 中 描 点 、 连 线 ， 作 出 函 数f( ) t在06t剟的 简 图 如 图 所 示 ； （3）由函数的图象与性质知 13131 ( )()() 345 fff