立体几何中“折叠问题”解题策略.docx
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- 关 键 词:
- 立体几何 折叠 问题 解题 策略
- 资源描述:
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1、高中数学资料共享群(734924357) 立体几何中“折叠问题”的解题策略 例题如图1, 在直角梯形ABCD中, ADBC, ABBC, BDDC, 点E是BC边的中点, 将 ABD沿BD折起, 使平面ABD平面BCD, 连接 AE,AC,DE,得到如图 2 所示的几何体 (1)求证:AB平面 ADC; (2)若 AD1,二面角 C- AB- D 的平面角的正切值为 6,求二面 角 B- AD- E 的余弦值. 解 (1)证明:因为平面 ABD平面 BCD, 平面 ABD平面 BCDBD,BDDC,DC平面 BCD, 所以 DC平面 ABD. 因为 AB平面 ABD,所以 DCAB. 又因为折
2、叠前后均有 ADAB,DCADD, 所以 AB平面 ADC. (2)由(1)知 AB平面 ADC, 所以二面角 C- AB- D 的平面角为CAD. 又 DC平面 ABD,AD平面 ABD, 所以 DCAD. 依题意 tanCADCD AD 6. 因为 AD1,所以 CD 6. 设 ABx(x0),则 BD x21. 高中数学资料共享群(734924357) 依题意 ABDDCB,所以AB AD CD BD, 即x 1 6 x21,解得 x 2, 故 AB 2,BD 3,BC BD2CD23. 以 D 为坐标原点,射线 DB,DC 分别为 x 轴,y 轴的正半轴,建 立如图所示的空间直角坐标系
3、 D- xyz, 则 D(0,0,0), B( 3,0,0), C(0, 6,0), E( 2 3 , 2 6 ,0), A( 3 3 ,0, 3 6 ) , 所以 DE ( 2 3 , 2 6 ,0) , DA ( 3 3 ,0, 3 6 ). 由(1)知平面 BAD 的一个法向量 n(0,1,0) 设平面 ADE 的法向量为 m(x,y,z), 由 mDE 0, mDA 0, 得 3 2 x 6 2 y0, 3 3 x 6 3 z0. 令 x 6,得 y 3,z 3, 所以 m( 6, 3, 3)为平面 ADE 的一个法向量 所以 cos n m |n| |m| 1 2. 由图可知二面角
4、B- AD- E 的平面角为锐角, 高中数学资料共享群(734924357) 所以二面角 B- AD- E 的余弦值为1 2. 解题策略: 1.确定翻折前后变与不变的关系确定翻折前后变与不变的关系 画好翻折前后的平面图形与立体图形, 分清翻折前后图形的位置 和数量关系的变与不变一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间 的位置和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置 关系会发生变化;对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化 的关系则要在立体图形中解决. 2.确定翻折后关键点的位置确定翻折后关键点的位置 所谓的关键点,是指翻折过程中运动变化的点因为这些点的位 置移动,会带动与其
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