安徽省池州市2021届高三下学期4月普通高中教学质量统一监测（一模）数学（理）试题含答案.zip

高三（理科）数学 第 1 页（共 4 页） 姓名 座位号 . （在此卷上答题无效） 绝密启用前 2021 年池州市普通高中高三教学质量统一监测 数 学（理科） 满分：150 分 考试时间：120 分钟 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清晰。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答 题 区域 书 写的答案无效 ；在草稿纸 、试 题卷上的答题无效 。 4作图可先使用铅笔画出， 确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 6考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1已知集合? = ?|(? + 2)(? 2) 0?，? = ?|? 1?，则? =（ ） A B(1,2 C1,2 D2,+) 2已知复数?满足(? 1)? = 1 + ?，则?对应的点在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知数列?为等比数列，其前?项和为?，且?= 5? ?，则? =（ ） A5 B5 C1 D1 4古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线 段?分为两线段?、?，使得其中较长的一段MG是全长?与另一段?的比例中项，即 满足 ? ? = ? ? = 51 2 ，后人把这个数称为“黄金分割”数，把 点?称为线段?的“黄金分割”点如图，在矩形?中， ?、?是线段?的两个“黄金分割”点在矩形?内任取 一点?，则该点落在?内的概率为（ ） A? ? B? ? C? ? D? ? 5已知? = ? ?，则? ( ? ? + ?)? (? ? ?) = （ ） A ? ? B 8 25 C ? ? D ? ? 高三（理科）数学 第 2 页（共 4 页） 6设函数?(?)满足对? ?，都有?(4 ?) = ?(?)，且在(2,+)上单调递增， ?(4) = 0， ?(?) = ?，则函数? = ?(? + 2)?(?)的大致图象可能是（ ） A B C D 7在(? + 1)?+ (? + 1)?+ (? + 1)?+ (? + 1)?+ (? + 1)?展开式中?的系数是（ ） A 45 B53 C54 D 55 8某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等腰直角三角形， 俯视图是边长为 2 的正方形，则该几何体的体积等于（ ） A8 B 16 3 C 8 3 D 4 3 92020 年 12 月 17 日，嫦娥五号返回器携带 1731 克月球土壤样品在内蒙古四王子旗预定区域安 全 着 陆 ， 至 此 我 国 成 为 世 界 上 第 三 个 从 月 球 取 回 土 壤 的 国 家 。 某 科 研 所 共 有 ?、?、?、?、?、?六位地质学家，他们全部应邀去甲、乙、丙三所不同的中学开展月球土 壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，其中地质学家 A 被安排到甲中 学，则共有多少种不同的派遣方法？（ ） A180 B162 C160 D126 10?,3?,3?,?的大小关系是（注： ? = 2.71828为自然对数的底数）（ ） A3? ? 3? ? B3? ? ? 3? C? 3? 3? ? D? 3? ? 3? 11已知 ?的一内角? = ? 4 ，? = ?，?为ABC 所在平面上一点，满足|?| = |?| = |?|,设? ?= ?+ ?，则? + ?的值为（ ） A2 2 B? ? C2 + 2 D? ? 12已知直线?:y=x+3 与x轴的交点为?(3,0)，P 是直线l上任一点，过点 P 作圆?:(? 1)?+ ?= 4的两条切线，设切点分别为 C、D，M 是线段 CD的中点，则AM的最大值为（ ） A2 2 B3 2 C 7 2 2 D 4 2 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 若实数x，y满足约束条件? ? ? ? + ? 2 0 ? + 2 0 ，则? = 2? + ?的取值范围是_______ 14 已 最 15如 ? ? 棱锥 16 已 项 三、解 个 （一） 17（ 已 （） （） 18（ 如 点，PO （） （） 19（ 20 战”， 成本。 个检测 1 混”检 支拭子 方 方 已知点?是抛 最小值为_____ 右图，在平面 ? = 120 ? ?为直 锥? ?的 已知数列? 和为_______ 解答题：共 70 个试题考生都必 必考题：共 本小题满分 知函数?(?) 求函数 ( )f x 在?中， AD是? 本小题满分 图，?在平面 O与BD交于 若EF/平面 若? = ?, 本小题满分 020年新冠来 首个将“混检 “混检”就是 ，直到能确定 检测技术；后 子是阳性，需要 方案一：逐个检 方案二：采用 抛物线?= 8? _______ 面四边形AB ，? = 1， 直二面角 ，当 的外接球的表 ?是以 ? ? 为首 ______ 0 分。解答应 必须作答。 60 分 12分） = ?(? )的函数解析 ，角A为三角 的角平分线 12分） 面ABC上的投 于点E，F是 面ABC，求 P F ? = 2?， 12分） 来袭！我国迅 检”用于大型 是例如将采集 定阳性拭子为 后来有些城市 要通过检测来 检测，直到能 “5合1混” 高三（理科） ?上动点，? BCD中，? 将 ?沿着 当三棱锥? 表面积为_____ 首项，以 ? ? 为 应写出文字说 第 22、 23 + ?)(? 0, 析式 角形内角且 ? ，? = 1,? 投影为点C， PC上的一个 PF FC 的值； 求二面角? 迅速应对，彰 型筛查的城市 集的5支拭子 为止；如果呈 市采用“10合 来确定哪一个 能确定阳性拭 检测技术， 数学 第 3 是抛物线的焦 ? ? ?，? 着?折起， ?体积最 ___ 为公差的等差 说明、证明过 3 题为选考题 ,? 0,|?| ?(?) = 1 ，D ? = 3，求? ? ? ?，? 个点 ? ?的 彰显“中国速 市，从而很大 子集合于1个 呈阴性则说明 合1混”检测 个拭子呈阳性 拭子为止； 若检测为阴 页（共 4 页） 焦点，点?的 ? = 60, 使得二面角 最大时，三 差数列，则数 过程或演算步 题， 考生根据 ? 0)的离心率为 ? ? ，?、? 分别为 ? 的左、右焦点，?为? 上的一点且?垂直?轴，|?| = ? ? （）求椭圆 ? 的方程； （）过椭圆 E 的上顶点 A 作两条斜率之积为1的直线?、?，它们与椭圆的另一个交点分别为 M、N，求证：直线 MN恒经过一个定点 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 ?(?) = ? ? ? ? ? 1，?(?) = ? ? ? ? ?+ ? + 1（x 0），? ? （）若对任意 ? 0，都有 ?(?) 0，求 ? 的范围； （）求证：对任意 ? 0 及任意 0 0 （二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 【 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xoy 中，直线?的参数方程为? ? = ? ? ? = 3 + ? ? ? （t 为参数），以坐标原点 O 为极 点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ? = 2 （）求直线?的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）已知点?（0，3），若直线 ? 与曲线 C 相交于不同的两点?、?，求 ? |?| + ? |?|的值 23 【 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知函数?(?) = |? ?| + |? + 2|(? ?) （）当? = 0时，解不等式 ?(?) 3? + 4； （）已知? 0，? 0，?(?)的最小值为?，且 ? + ? = 4，求 ? ? + ? ? 的最小值高三理科数学参考答案 第 1 页（共 4 页） 2021 年池州市普通高中高三教学质量统一监测 数学（理科）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A C B D D A B A B 12设点?坐标为（?,?）,?点坐标为（?,?）,因为?，?,?共线所以? ? ? ? , 得?(? 1) = ?(? 1) 因为?= ?+ 3，得? ?= ? ? ?= ? ? ?的直线方程为(? 1)(? 1) + ? = 4 将代入得? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ?，所以?点的轨迹是以? ? ?， ? ?为圆心， 以 ? ? 为半径的圆，所以?的最大值为32 注：本题也可先求 CD过定点，然后再求解. 二、填空题 13 ?6,6? 14 6 155? 16 2 23 16 ? ?是以 ?为首项，以 ?为公差的等差数列，所以? = ? ? + (? 1) ? ?， 由t?(? ?) = ? ?，可知1 + ? = ? ? ?= (? ?) + (? ?) + + (? ? ) = ? ? = 2 23 三、解答题 17解：()由图可知：? = 2，? ? = ? ?，即? = ?， 2 分 根据? = ? ?得? = 2， 3 分 由? ? = 2得2 ? ? + ? = ? ? + 2?，? ?， .4分 因为|?| ? ? ， ? = ? ? 函数 ( )f x的解析式为?(?) = 2? (2? + ? ?) 6 分 () 由?(?) = 1可得? = 60?, .7 分 因为?为?的角平分线，所以? =? = 30? 又因为?= ?+ ?，. .9 分 即? ? ? ? = ? ? ? ? + ? ? ? ? .11 分 ? = 1,? = 3代入可得? = ? ? .12分 高三理科数学参考答案 第 2 页（共 4 页） 18 解：（）因为?、?分别为线段?、?的中点，所以?和?的交点?为?的重心， 所以? ? = 2 .2 分 因为/EF平面ABC，? 平面?，平面? 平面? = ? 所以/EF? ,所以? ? = ? ? = 2 5分 （）设? = 2,则? = 4,? = 2,? = 1, 以?,?,?为?,?,?轴建立空间直角坐标系，如图 ?(0,0,1),?(0,2,0),?(0,0,0),?(? ? , ? ?, ? ?) 7 分 设平面?的法向量为? ? = （?,?,?）， 则 ? ? ? ?= 0 ? ? ? ?= 0 得? ? = （0，?，2?） 令?= 1，? ? = （0，1，2） .9 分 设平面?的法向量为? ? = (?，?，?), 则? ? ? ?= 0 ? ? ? ?= 0 得? ? = （1，0， 3）.11分 二面角? ? ?的平面角为?，则|?| = |? | = ? ? 所以? = ? ? .12分 19解：（）方案一中检测次数?可能取值为 1,2,3,4,5,6 1 分 当? = 1,2,3,4,5 时，? = ? ? ；当 = 6 时，? = ? ? 4 分 ? 1 2 3 4 5 6 P 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 2 7 期望为?(?) = 1 ? ? + 2 ? ? + 3 ? ? + 4 ? ? + 5 ? ? + 6 ? ? = ? ? .5分 注：如果写成? = 1,2,3,4,5,6,7,而当? = 1,2,3,4,5,时的概率算对了，则给 1 分 （）方案二中化验次数?可能取值为 2,3,4,5 ?(? = 2) = ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ? ? ?= ? ? , .6 分 ?(? = 3) = ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? , .7 分 ?(? = 4) = ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? , .8 分 ?(? = 5) = ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? .9分 方案一所检测的次数不少于方案二的概率为 ? = ?(? = 2)?(? = 2) + ?(? = 3)?(? = 2) + ?(? = 3)? + ?(? = 4)?(? = 2) + ?(? = 3)? + ?(? = 4)? + ?(? = 5) + ?(? = 6) = ? ?12分 高三理科数学参考答案 第 3 页（共 4 页） 法二：? = ?(? = 2)?1 ? ? + ?(? = 3)?1 ? ? ? ? + ?(? = 4)?1 ? ? ? ? ? ? + ?(? = 5) ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ?12分 20（）因为? = ? ? , 所以? ? = ? ? 又|?| = ? ?，得 ? ? = ? ?，解得 ?: ? ? + ?= 1 .4 分 （）设?:? = ? + 1,?:? = ? ? ? + 1,设点M,N的坐标分别为(?,?)，(?,?) 由? ? = ? + 1 ? ? + ?= 1 联立得(4? ? + 1)?+ 8? = 0， .5 分 解得 ?= ? ?，? = ? ? 即?( ? ?， ? ?) .7 分 用? ?替代?坐标中的? ，从而得到?坐标为（ ? ? ， ? ? ） .8 分 则直线?的斜率为 ?= ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? .9 分 所以直线?的方程为? ? ? = ? ? （? ? ?） 化简得? = ? ? ? ? ? 10 分 所以直线?恒过定点?（0， ? ?） 12 分 21() ? 0,都有?(?) 0，即 ? 0,都有? ? ? ? ? 1 0， 即? ? ? ? ? ? ? ? .1 分 令(?) = ? ? ? ? ，则 (?) = ? ? ? ? 0 .2分 所以 h(x)在（0， + ）上单调递减，则(?) 0时，?关于?单调递减，? ?关于? 单调递增，? ?+ ? + 1关于? 单调递增 因此?(?)关于? 单调递减， .6 分 因为0 0，即? ? ? ? + ? + 19 分 所以?(?) ? ? ? ? ?+ ? + 1 ? ? ? + ? + 1 ? ? ? ?+ ? + 1 = ? ? ?+ ? + 1? ?+ ? + 1 + ? ? = ? ? ?+ ? + 1 1? 0 因此可知对任意? 0，0 0 成立 .12 分 高三理科数学参考答案 第 4 页（共 4 页） 22 （）直线?的普通方程：? = 3? + 3 ； 2 分 曲线 C 的普通方程 ?+ ?= 4 4 分 （）已知点 P 在直线?上，则可设直线l与曲线C相交的两点A、B对应的参数分别为?、? 将直线?的参数方程和曲线 C 的普通方程联立， 得（ ? ?） ? + （3 + ? ? ?） ? = 4 5 分 化简得 ?+ 3? 1 = 0 则?+ ?= 3，?= 1 0 6 分 所以 ? |?| + ? |?| = ? |? ?| + ? |? ?| = |? ?|?|?| |? ?| = |? ?| |? ?| = ?(?)? |? ?| = 13 .10分 23（）当? = 0时，?(?) = |?| + |? + 2| = ? 2? 2,? 2 2,2 ? 3? + 4等价于?2? 2 3? + 4 ? 2 或?2 3? + 4 2 ? 3? + 4 ? 0 .2 分 解得? 3? + 4的解集为? ? ?； .5 分 （）因为?(?) = |? ?| + |? + 2| |(? ?) (? + 2)| = | ? 2| = ? + 2， (当且仅当(? ?)(? + 2) 0 时等号成立) .7分 所以?(x)的最小值为? + 2,因此? = ? + 2， 所以? + ? = ? + 2 + ? = 4，即? + ? + 1 = 3， 所以3(? ? + ? ?) = ( ? ? + ? ?)(? + ? + 1) .8 分 = 2 + ? ? + ? ? 2 + 2? ? ? ? = 4（当且仅当? = ? ?且? = ? ?时等号成立） 故? ? + ? ?的最小值为 ? ? 10 分