高中数学新人教A（集合）暑期讲义25.docx

1、高中数学新人教 A【集合】暑期讲义 集合 1.1 集合的概念 【课程标准解读】【课程标准解读】 课程标准：课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题， 能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合 教学重点：教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合 关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法) 教学难点：教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合. 【知识导学】【知识导学】 知识点知识点一：集合与元素的定义一：集合与元素的定义 元素：一般地，我们把研究对象统称为元素(elem

2、ent) 集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集) 表示：通常用大写拉丁字母 A，B，C，表示集合，用小写拉丁字母 a，b，c，表示集 合中的元素 知识点知识点二：集合中元素的三个特性二：集合中元素的三个特性 (1)确定性；(2)互异性；(3)无序性 知识点知识点三：元素与集合的关系三：元素与集合的关系 (1)“属于”：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 aA. (2)“不属于”：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 aA. 知识点知识点四：几个常用数集的固定字母表示四：几个常用数集的固定字母表示 知识点知识点五：集合的表示方

3、法五：集合的表示方法 集合常见的表示方法有：自然语言、列举法、描述法 (1)自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法使用此方法时，只要叙述清楚即可， 如由所有正方形构成的集合，就是用自然语言表示的，不能叙述成“正方形”再如全体实数组 成的集合，或实数集等 (2)列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫 做列举法 (3)描述法：一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所组成的集合表示为xA|P(x)，这种表示集合的方法称为描述法 【自学检测】【自学检测】 1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)某校高一年级 1

4、6 岁以下的学生能构成集合( ) (2)已知 A 是一个确定的集合，a 是任一元素，要么 aA，要么 aA，二者必居其一且只 具其一( ) (3)对于数集 A1,2，x2，若 xA，则 x0.( ) (4)集合y|yx2，xR与集合s|st2，tR的元素完全相同( ) 【答案】(1) (2) (3) (4) 2做一做 (1)下列所给的对象能组成集合的是( ) A“金砖国家”成员国 B接近 1 的数 C著名的科学家 D漂亮的鲜花 (2)用适当的符号(，)填空： 0_，0_0,0_N， 2_N*，1 3_Z， 2_Q， _R. 【答案】 (1)A (2) 【典例剖析】【典例剖析】 题型一题型一 正

5、确理解描述法中元素的正确理解描述法中元素的“代表符号代表符号” 例 1 分析下列集合中的元素是什么？ Ax|yx2，By|yx2，C(x，y)|yx2 【解析】 三个集合都是用描述法表示的对于集合 A，其中的元素是 x，根据“yx2”， 这里的 x 并没有什么限制，即 x 可以是任意实数，即集合 A 是由所有实数组成的集合，即实数 集对于集合 B，其中的元素是 y，这里的 x 没有任何限制，即 x 可以是任意实数，但是通过“y x2”，元素 y 有了限制：实数的平方，从而 B 中的元素是非负实数对于集合 C，从元素的 代表符号“(x，y)”可以看出，其中的元素是有序实数对，这些数对的第一个数

6、x 没有限制，第 二个数 y 受条件“yx2”的限制，因此 C 中的元素是有序实数对，且数对的第一个数取任意实 数，第二个数是第一个数的平方(从几何角度讲，(x，y)就是坐标平面内的一个点，从而 C 中的 元素就是抛物线 yx2上的点) 题型二题型二 判断元素与集合的关系判断元素与集合的关系 例 2 已知集合 Ax|xmn 2，m，nZ (1)判断 0，(1 2)2， 1 3 2与 A 的关系； (2)若 x1，x2A，试探究 x1x2，x1x2与 A 的关系 【解析】 (1)易知 000 2，且 0Z， 所以 0A. 因为(1 2)232 2，且 3,2Z， 所以(1 2)2A. 因为 1

7、3 2 3 2 3 23 2 3 7 2 7 ， 且3 7， 1 7Z，所以 1 3 2A. (2)因为 x1，x2A，所以可设 x1m1 2n1，x2m2 2n2，且 m1，n1，m2，n2Z， 所以 x1x2(m1 2n1)(m2 2n2)m1m2 2(m2n1m1n2)2n1n2(m1m22n1n2) 2 (m2n1m1n2)因为 m1m22n1n2Z，m2n1m1n2Z，所以 x1x2A. 因为 x1x2(m1m2) 2(n1n2)，m1m2Z，n1n2Z，所以 x1x2A. 题型三题型三 有限集子集个数探究有限集子集个数探究 例 3 集合 Ax|kx28x160，若集合 A 只有一个

8、元素，试求实数 k 的值，并用列举 法表示集合 A. 【解析】 当 k0 时，原方程为 168x0， x2，此时 A2 当 k0 时，若集合 A 中只有一个元素， 则方程 kx28x160 有两个相等实根 即 6464k0，即 k1， 从而 x1x24， 集合 A4 综上所述，实数 k 的值为 0 或 1.当 k0 时，A2； 当 k1 时，A4 题型四含参问题探究题型四含参问题探究 例 4 已知集合 A1,2,4，则集合 B(x，y)|xA，yA中元素的个数为( ) A3 B6 C8 D9 【解析】根据已知条件，列表如下： 由上表可知，B 中的元素有 9 个，故选 D. 【答案】D 【达标测

9、试】【达标测试】 A 级：“四基”巩固训练 一、选择题一、选择题 1已知集合 Sa，b，c中的三个元素是 ABC 的三边长，那么 ABC 一定不是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【答案】D 【解析】 因为集合 Sa， b， c中的元素是 ABC 的三边长， 由集合元素的互异性可知 a， b，c 互不相等，所以 ABC 一定不是等腰三角形，故选 D. 2下列集合的表示方法正确的是( ) A第二、四象限内的点集可表示为(x，y)|xy0，xR，yR B不等式 x14 的解集为x5 C全体整数 D实数集可表示为 R 【答案】D 【解析】 A 项中应是 xy0； B 项

10、中的本意是想用描述法表示， 但不符合描述法的规范格式， 缺少了竖线和竖线前面的代表元素 x，应为x|x0，所以 2 不满足不等式 xa0，即满足不等式 xa0，所以 2a0，即 a2，故选 C. 二、填空题 6若 A2,2,3,4，Bx|xt2，tA，则用列举法表示 B_. 【答案】4,9,16 【解析】由题意，A2,2,3,4，Bx|xt2，tA，依次计算出 B 中元素，用列举法 表示可得 B4,9,16，故答案为4,9,16 7已知集合 Ax|ax23x40，xR，若 A 中至多有一个元素，则实数 a 的取值范 围是_ 【答案】a0 或 a 9 16 【解析】当 a0 时，A x x4 3

11、 ；当 a0 时，关于 x 的方程 ax23x40 应有两个 相等的实数根或无实数根，916a0，即 a 9 16.故所求的 a 的取值范围是 a0 或 a 9 16. 8已知集合 A 中的元素均为整数，对于 kA，如果 k1A 且 k1A，那么称 k 是 A 的一个“孤立元”给定集合 S1,2,3,4,5,6,7,8，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤 立元”的集合共有_个 【答案】6 【解析】根据“孤立元”的定义，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合 为1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，6,7,8，共有 6 个故答案为 6.

12、三、解答题 9用适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于 3 的偶数的集合； (2)被 3 除余 1 的正整数的集合； (3)一次函数 y2x3 图象上所有点的集合； (4)方程组 xy1， xy1 的解集 【解析】(1)2,0,2 (2)m|m3n1，nN (3)(x，y)|y2x3 (4)(0,1) 10已知集合 Aa3，(a1)2，a22a2，若 1A，求实数 a 的值 【解析】若 a31，则 a2， 此时 A1,1,2，不符合集合中元素的互异性，舍去 若(a1)21，则 a0 或 a2. 当 a0 时，A3,1,2，满足题意； 当 a2 时，由知不符合条件，故舍去 若 a22a21

13、，则 a1， 此时 A2,0,1，满足题意 综上所述，实数 a 的值为1 或 0. B 级：“四能”提升训练 1 已知集合 Ax|x3n1， nZ， Bx|x3n2， nZ， Mx|x6n3， nZ (1)若 mM，则是否存在 aA，bB，使 mab 成立？ (2)对于任意 aA，bB，是否一定存在 mM，使 abm？证明你的结论 【解析】(1)设 m6k33k13k2(kZ)， 令 a3k1，b3k2，则 mab. 故若 mM，则存在 aA，bB，使 mab 成立 (2)不一定证明如下： 设 a3k1，b3l2，k，lZ，则 ab3(kl)3. 当 kl2p(pZ)时，ab6p3M，此时存在

14、 mM，使 abm 成立；当 kl 2p1(pZ)时，ab6p6M，此时不存在 mM，使 abm 成立 故对于任意 aA，bB，不一定存在 mM，使 abm. 2设实数集 S 是满足下面两个条件的集合： 1S；若 aS，则 1 1aS. (1)求证：若 aS，则 11 aS； (2)若 2S，则 S 中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合 S 中至少有三个不同的元素 【解析】(1)证明：1S，0S，即 a0.由 aS，则 1 1aS 可得 1 1 1 1a S， 即 1 1 1 1a 1a 1a11 1 aS. 故若 aS，则 11 aS. (2)由 2S，知 1 121S；

15、由1S，知 1 11 1 2S，当 1 2S 时， 1 11 2 2S， 因此当 2S 时，S 中必含有1 和1 2. (3)证明：由(1)，知 aS， 1 1aS,1 1 aS. 下证：a， 1 1a，1 1 a三者两两互不相等 若 a 1 1a，则 a 2a10，无实数解， a 1 1a； 若 a11 a，则 a 2a10，无实数解， a11 a； 若 1 1a1 1 a，则 a 2a10，无实数解， 1 1a1 1 a. 综上所述，集合 S 中至少有三个不同的元素 1.2 集合间的基本关系 【课程标准解读】【课程标准解读】 课程标准：课程标准：1.理解子集、真子集的概念，能识别给定集合的

16、子集.2.理解两个集合包含与 相等的含义，能用子集的观点解释两个集合的相等关系 教学重点：教学重点：1.子集、真子集定义的理解.2.写出给定集合的子集.3.两个集合之间关系的判 定.4.用子集观点解释两个集合的相等关系 教学难点：教学难点：1.两个集合之间关系的判定.2.一些关系符号( ， ，)的准确 使用.3.具体问题中易忽视空集的情况. 【知识导学】【知识导学】 知识点知识点一一：子集子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集 合A为集合B的子集，记作AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 注意：(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它

17、反映的是局部与整体之间的关系(而元素与 集合之间的关系是个体与整体之间的关系) (2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系例如：A1,2，B1,3，因为 2A， 但 2B，所以A不是B的子集；同理，因为 3B，但 3A，所以B也不是A的子集 (3)子集有下列两个性质： 自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即AA； 传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC. 知识点知识点二二：Venn 图图 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图因此，AB 可用 Venn 图表示为 知识点三：集合相等 一般地，如果集合 A 的任何一个元素都是集合

18、B 的元素，同时集合 B 的任何一个元素都 是集合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等，记作 AB. 也就是说，若 AB，且 BA，则 AB. 很明显，若两个集合相等，则它们的元素完全相同；若集合 A 与 B 中有不相同的元素， 则这两个集合不相等，可记为 AB. 知识点四：真子集 如果集合 AB， 但存在元素 xB， 且 xA， 就称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset)， 记作 A B(或 B A) 从真子集的定义可以看出，要想证明 A 是 B 的真子集，需要两步：一是证明 AB(即 A 中 的任何元素都属于 B)，二是证明 AB(即 B 中的元素不是都属于

19、A，或者说 B 中至少有一个元 素不属于 A) 知识点五：空集 一般地， 我们把不含任何元素的集合叫做空集， 记为， 并规定： 空集是任何集合的子集 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： (1)空集只有一个子集，即它本身； (2)空集是任何非空集合的真子集 【新知拓展】【新知拓展】 1对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 xA，能推出 xB，这是判断 AB 的常用方法 (2)不能简单地把“AB”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合”因为若 A时，则 A 中 不含任何元素；若 AB，则 A 中含有 B 中的所有元素

20、(3)在真子集的定义中，AB 首先要满足 AB，其次至少有一个 xB，但 xA. 2集合子集的个数 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集 集合的子集、 真子集个数的规律为： 含 n 个元素的集合有 2n个子集， 有(2n1)个真子集， 有(2n2)个非空真子集写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉 30，0，的关系 与 0 与0 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0 是实数 中不含任何元素； 0含一个元素 0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 0 0 或 【自学检测】【自学检测】 1判一判(正确的打“”，错误的打“

21、”) (1)若 AB，则 B 中至少有一个元素不属于 A.( ) (2)若 AB，则要么 AB，要么 AB.( ) (3)空集没有真子集( ) (4)若 AB，则 B 不会是空集( ) (5)若 AB，则必有 AB.( ) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)用适当的符号(，)填空： N*_N，R_Q， x|x21_1,1， (x，y)|xy1_x，y| xy1，xy0. (2)给出下列集合：Ax|x 是平行四边形，Bx|x 是矩形，Cx|x 是菱形，Dx|x 是正方形，它们的关系可以表示为_ 【答案】 (1) (2)DBA，DCA 【典

22、例剖析】【典例剖析】 题型一题型一 判断集合之间的关系判断集合之间的关系 例 1 判断下列各组集合之间的关系： (1)A1,2,4，Bx|x 是 8 的正约数； (2)Ax|x 是等边三角形，Bx|x 是有一个内角是 60 的等腰三角形； (3)Ax|x2n1，nN*，Bx|x2n1，nN* 【解析】(1)集合 A 中的元素 1,2,4 都是 8 的正约数，从而这三个元素都属于 B，即 AB； 但 B 中的元素 8 不属于 A，从而 AB，所以 AB. (2)等边三角形都是有一个内角是 60 的等腰三角形，即 AB；有一个内角是 60 的等腰三 角形是等边三角形，即 BA，所以 AB. (3)

23、解法一：两个集合都表示一些正奇数组成的集合，但由于 nN*，因此集合 A 含有元素 “1”，而集合 B 不含元素“1”，故 BA. 解法二：由列举法知 A1,3,5,7，B3,5,7,9，所以 BA. 题型二题型二 写出集合的子集写出集合的子集 例 2 写出集合a，b，c的所有子集 【解析】因为集合a，b，c中有 3 个元素，所以其子集中的元素个数只能是 0,1,2,3. 有 0 个元素的子集：； 有 1 个元素的子集：a，b，c； 有 2 个元素的子集：a，b，a，c，b，c； 有 3 个元素的子集：a，b，c 因此集合a，b，c的所有子集为，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b， c

24、 题型三题型三 有限集子集个数探究有限集子集个数探究 例 3 令集合 A0，集合 Ana1，a2，a3， ，an(nN*)，试探究集合 An子集的个数 【解析】为了方便，不妨设集合 An的子集数为 m(An)我们把 An的子集分为两类，第一 类：含元素 an；第二类：不含元素 an.易知，第二类就是集合 An1的子集，且第一类和第二类 同样多因此，m(An)2m(An1)从而，m(An1)2m(An2)，m(A1)2m(A0)，易知 m(A0) 1.所以 m(An)2m(An1)22m(An2)23m(An3)2nm(A0)2n. 题型四题型四 含参问题探究含参问题探究 例 4 已知集合 Ax

25、|2x5，Bx|m1x2m1若 BA，求实数 m 的取值范 围 【解析】 当 B时，如图所示： m12， 2m12， 2m15， 2m1m1， 解这两个不等式组，得 2m3. 当 B时，由 m12m1，得 m2.综上可得，m 的取值范围是m|m3 【达标测试】【达标测试】 A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1下列关系式不正确的是( ) A11,2 B01,2 C21,2 D11,2 【答案】B 【解析】 01,2， 01,2不正确； 根据子集的概念可知 A， C 正确； D 显然正确 2若集合 A 满足 AB，AC，B0,1,2,3，C0,2,4,8，则满足上述条件的集合 A 的个数为(

26、) A0 B1 C2 D4 【答案】D 【解析】AB，AC，A 中最多能含有 0,2 两个元素，A，0，2，0,2共 4 个 3已知集合 A(x，y)|yx和 B，则下列结论正确的是 A.1AB.BAC.1，1B D.A 【答案】B 【解析】B1，1，故 BA. 4.已知集合 A1，1，Bx|ax10，若 BA，则实数 a 的所有可能取值的集合 为 A.1 B.1 C.1，1 D.1，0，1 【答案】D 【解析】因为 BA，所以当 B，即 a0 时，B，因此有1 aA，所以 a 1；当 B，即 a0 时满足条件综上可得实数 a 的所有可能取值的集合是1,0,1 二、填空题 5满足条件x|x21

27、0Mx|x210的集合 M 共有_个 【答案】3 【解析】因为x|x210，x|x2101，1，其非空子集为1，1， 1,1，所以满足条件x|x210Mx|x210的集合 M 共有 3 个 6设 Ax|1a，若 AB，则 a 的取值范围是_ 【答案】a1 【解析】从几何角度看，集合 A 是数轴上一条定线段，集合 B 是方向向右的动射线，因 为 AB，所以射线应当“盖住”线段，如图所示 从图上看，a1 也符合题意，所以 a1. 7给出四个对象：0，0，用适当的关系符号表示它们之间的一些关系(写出你 认为正确的所有关系)：_. 【答案】00,0，0，0， 【解析】由元素与集合、集合与集合之间的关系

28、可得 三、解答题 8设集合 Ay|yx22x2，xR，Bs|st24t5，tR，试判断集合 A 与 B 的关系 【解析】 因为 x22x2(x1)21(xR)和 t24t5(t2)21(tR)都表示大于或等 于 1 的实数，所以集合 A 与 B 都表示所有大于或等于 1 的实数构成的集合，从而 AB. 9已知集合 Ax|2mxm2，集合 Bx|3x5，若 AB，求实数 m 的取值 范围 【解析】当 A时，满足题意， 此时，2mm2，即 m2； 当 A时，由 AB，得 2mm2， 2m3， m25， 解得3 2m2. 综上可得，实数 m 的取值范围是 m3 2. B 级：“四能”提升训练 1已知

29、集合 A0,1，Bx|xA，试用列举法表示集合 B，并判断 A 与 B 的关系 【解析】对于集合 B，从“xA”可知，B 中的元素是集合 A 的子集 所以 B，0，1，0,1 很明显，集合 A 是集合 B 的一个元素，从而 AB. 2设集合 Ax|x24x0，集合 Bx|x22(a1)xa210，xR，若 BA，求 实数 a 的取值范围 【解析】易知 A4,0，因为 BA，所以分 BA 和 BA 两种情况 当 AB 时，B4,0，则有4,0 是方程 x22(a1)xa210 的两根，于是得 a 1. 当 BA 时，若 B，则 4(a1)24(a21)0，解得 a1； 若 B，则 B4或0，4(

30、a1)24(a21)0， 解得 a1，验证知 B0满足条件， 综上可知，所求实数 a 的值满足 a1 或 a1. 1.3.1 集合的基本运算 【课程标准解读】【课程标准解读】 课程标准：课程标准：1.理解两个集合并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.2.能使用 Venn图直观地表达两个集合的并集与交集，体会图形对理解抽象概念的作用 教学重点：教学重点：1.并集与交集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.求两个集合的并集 与交集 教学难点：教学难点： 1.并集中 “或” 、 交集中 “且” 的正确理解.2.准确地找出并集、 交集中的元素， 并能恰当地加以表示. 【知识导学】【知识导学

31、】 知识点知识点一：并集一：并集 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组 成的集合 ABx|xA，或 xB 并集的运算性质： ABBA，AAB，AAA，AA，ABB AB. 知识点二：交集 自然语言 符号语言 Venn 图表示 一般地， 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成 的集合 AB x|xA，且 xB 交集的运算性质： ABBA，ABA，AAA，A，ABA AB. 【新知拓展】【新知拓展】 集合的交、并运算中的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交” “并”定义求解，但要注意集合元 素的互异性 (2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，

32、可借助数轴，利用数轴分析法求解，但 要注意端点值取到与否 【自学检测】【自学检测】 1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 AB，则 A，B 至少有一个是.( ) (2)若 AB，则 A，B 都是.( ) (3)对于任意集合 A，B，下列式子总成立：ABAAB.( ) (4)对于任意集合 A，B，下列式子总成立：ABBABABA.( ) (5)对于两个非空的有限集合 A，B，AB 中的元素一定多于 A 中的元素( ) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 2做一做 (1)已知集合 Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合 AB 中元素的个数为 ( ) A5

33、B4 C3 D2 (2)已知集合 Ax|1x2，Bx|0 x3，则 AB( ) Ax|1x3 Bx|1x0 Cx|0 x2 Dx|2x3 (3)已知集合 A1,2，x2，B2，x，若 ABA，则 x_. 【答案】(1)D (2)A (3)0 【典例剖析】【典例剖析】 题型一题型一 求两个集合的交集与并集求两个集合的交集与并集 例 1 已知集合Ax|1x2，Bx|2x1，求AB，AB. 【解析】把集合 A 与 B 在数轴上表示出来，如图所示 由上图可得，ABx|1x1，ABx|2x2 题型二简单的含参问题题型二简单的含参问题 例 2 已知集合 A0,1，Bx|(x1)(xa)0求 AB，AB.

34、【解析】集合 B 是方程(x1)(xa)0 的解集，它可能只有一个元素 1(a1)，也可能有 两个元素 1，a(a1) (1)当 a1 时，AB1，AB0,1； (2)当 a0 时，AB0,1，AB0,1； (3)当 a0 且 a1 时，AB1，AB0,1，a 题型三类似于题型三类似于“交交”“”“并并”运算的一些新定义型问题运算的一些新定义型问题 例 3 设 M，P 是两个非空集合，规定 MPx|xM，且 xP，根据这一规定，M(M P)等于( ) AM BP CMP DMP 【解析】 当 MP时， 由图可知 MP 为图中的阴影部分， 则 M(MP)显然是 MP； 当 MP时，MPM，此时

35、M(MP)MMx|xM，且 xMMP，故选 D. 【答案】D 【达标测试】【达标测试】 A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1AxN|1x10，BxR|x2x60，则右图中阴影部分表示的集合为( ) A2 B3 C3,2 D2,3 【答案】A 【解析】 注意到集合 A 中的元素为自然数， 因此 A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10， 而 B3,2， 因此阴影部分表示的是 AB2，故选 A. 2设集合 Ax|1x2，集合 Bx|1x3，则 AB( ) Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 【答案】A 【解析】把集合 A，B 表示在同一数轴上，如图所示， 由图可得，ABx

36、|1x3故选 A. 3若集合 Ax|5x2，Bx|3x3，则 AB( ) Ax|3x2 Bx|5x2 Cx|3x3 Dx|5x3 【答案】A 【解析】Ax|5x2，Bx|3x3， ABx|3x2故选 A. 4满足 Ma1，a2，a3，a4，且 Ma1，a2，a3a1，a2的集合 M 的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】由题意，得集合 M 含有元素 a1，a2且不含元素 a3，故 Ma1，a2或a1，a2， a4 5设集合 Ax|1x2，Bx|xa，若 AB，则 a 的取值范围是( ) Aa2 Ca1 D1a2 【答案】C 【解析】Ax|1x2，Bx|x1. 二、填空题

37、6已知集合 Ax|x2，Bx|xm，且 ABA，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】m2 【解析】ABA，BA，m2. 7若集合 A2,4，x，B2，x2，且 AB2,4，x，则 x_. 【答案】0,1 或2 【解析】由已知，得 BA，x24 或 x2x，x0,1， 2，由元素的互异性，知 x2， x0,1 或2. 8已知集合 Ax|x5，Bx|axb，且 ABR，ABx|5x6，则 2a b_. 【答案】4 【解析】如下图所示， 可知 a1，b6,2ab4. 三、解答题 9设 A，B 是两个非空集合，判断“若 ACBC，则 AB”是否正确若正确，则给出 证明；若不正确，举出反例 【解析】不正

38、确如：A1,2，B1,3，C1 易知 ACBC1， 但是 AB. 也可以用 Venn 图 10已知集合 Ax|x2ax120，Bx|x2bxc0，且 AB，AB3，AB 3,4，求实数 a，b，c 的值 解 由 AB3，得3A. (3)23a120，解得 a1. Ax|x2x1203,4 又 AB3,4，AB，B 中只有一个元素3， b24c0， 323bc0， 解得 b6，c9. a1，b6，c9. B 级：“四能”提升训练 1已知非空集合 Ax|2a1x3a5，Bx|3x22 (1)当 a10 时，求 AB，AB； (2)求能使 A(AB)成立的 a 的取值范围 【解析】(1)当 a10

39、时，Ax|21x25 又 Bx|3x22， 所以 ABx|21x22，ABx|3x25 (2)由 A(AB)，可知 AB， 又因为 A 为非空集合， 所以 2a13， 3a522， 2a13a5， 解得 6a9. 2设集合 Ax|x23x20，Bx|x22(a1)x(a25)0 (1)若 AB2，求实数 a 的值； (2)若 ABA，求实数 a 的取值范围 【解析】由 x23x20 得 x1 或 x2， 故集合 A1,2 (1)AB2，2B，将 x2 代入 B 中的方程，得 a24a30a1 或 a 1.3.2 补集 【课程标准解读】【课程标准解读】 课程标准：课程标准：1.在具体情境中，了解

40、全集的含义，理解补集的含义，能求给定(全集的)子集 的补集.2.能用 Venn 图表达集合的补集 教学重点：教学重点：1.补集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.会求集合的补集.3.能进行 简单的“并” “交” “补”混合运算 教学难点：教学难点：1.求补集及补集思想的应用.2.“子” “并” “交” “补”的综合问题. 【知识导学】【知识导学】 知识点知识点一：全集一：全集 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 (universe set)，通常记作 U. 注意：可以认为是将要研究的问题限定在一个范围内进行，这个范围以外的问题不在我们 研究的范围

41、以内，这时就有理由将所研究的这个范围视为全集全集不是固定不变的，是相对 于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z 是全集；在实数范围内研究问题，R 是全 集；若只讨论大于 0 小于 5 的实数，可选x|0 x5为全集通常也把给定的集合作为全集 知识点知识点二二：补集补集 自然语言：对于一个集合 A，由全集 U 中 01不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集 合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set)，简称为集合 A 的补集，记作UA. 符号语言：UA 02x|xU，且 xA 图形语言： 【新知拓展】【新知拓展】 1求补集是集合的一种运算，其运算结果是一个集合

42、(补集的定义就是告诉我们这个集合 中的元素是什么)，这种运算有两个前提，一是必须有全集，二是求补集的这个集合必须是全 集的子集 2集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比 实数 集合 被减数 a 被减集合(全集)A 减数 b 减集合 B 差 ab 补集 A B 很明显，同一个集合，由于全集的不同，其补集也不相同(就好像同一个数，由于被减数 不同，差也不同一样) 3根据补集的定义，容易看出的性质 UAU，UU，UU，A(UA)U，A(UA)，U(UA)A. 【自学检测】【自学检测】 1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)设全集是 U，集合 AU，若 x 是 U 中的任一元素，则要么 xA

43、，要么 xUA，二者 必居其一且只具其一( ) (2)全集没有补集( ) (3)同一个集合，对于不同的全集，其补集也不相同( ) (4)负整数集的补集是自然数集( ) (5)设全集为 U，则对于任意集合 A，只要 AU，则等式“A(UA)U”都成立( ) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 2做一做 (1)设集合 U1,2,3,4，A1,2，B2,4，则U(AB)( ) A2 B3 C1,2,4 D1,4 (2)已知三个集合 U，A，B 之间的关系如图所示，则(UB)A( ) A3 B0,1,2,4,7,8 C1,2 D1,2,3 【答案】(1)B (2)C 【典例剖析】【典例剖析

44、】 题型一求给定集合的补集及集合的混合运算题型一求给定集合的补集及集合的混合运算 例 1 (1)已知全集 U1,2,3,4,5,6,7,8，集合 A2,3,5,6，集合 B1,3,4,6,7，则集合 A(UB)( ) A2,5 B3,6 C2,5,6 D2,3,5,6,8 (2)设全集为 R，Ax|3x7，Bx|2x10，则R(AB)_，(RA)B _. 【解析】(1)UB2,5,8， A(UB)2,5，故选 A. (2)ABx|2x10， R(AB)x|x2 或 x10 RAx|x3 或 x7， ( RA)Bx|2x3 或 7x10 【答案】(1)A (2)x|x2 或 x10 x|2x3

45、或 7x10 题型二探究补集的一些运算律题型二探究补集的一些运算律 例 2 试探究U(AB)与(UA)(UB)之间的关系 【解析】先通过具体例子探究它们之间的关系 不妨令 U1,2,3,4,5,6,7,8，A1,2,4,7，B1,3,7,8 易知 AB1,7，U(AB)2,3,4,5,6,8 UA3,5,6,8，UB2,4,5,6， (UA)(UB)2,3,4,5,6,8， 显然有U(AB)(UA)(UB) 下面给出证明： 先证U(AB)(UA)(UB)， 设 xU(AB)，则 x(AB) 分三种情况：xA，且 xB；xA，且 xB；xA，且 xB. 从而可以推出：xUB；xUA；xUA，且

46、xUB. 综上可知，x(UA)(UB)， U(AB)(U A)( UB) 再证(UA)(UB)U(AB)， 设 x(UA)(UB)，则 xUA 或 xUB，即 xA 或 xB， 即 xAB，于是 xU(AB)， ( U A)( U B) U(AB) 根据集合相等的定义，从而有 U(AB)(UA)(UB) 题型三补集思想的应用题型三补集思想的应用 例 3 已知集合 Ax|x24x2m60，xR，Bx|x0，xR，若 AB，求实 数 m 的取值范围 【解析】AB，A. 设全集 Um|(4)24(2m6)0m|m1 若 AB，则方程 x24x2m60 的两根 x1，x2均非负， 则 mU， x1x2

47、2m60 3m1， m|3m1关于 U 的补集为m|m3， 实数 m 的取值范围为 m3. 【达标测试】【达标测试】 A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1设集合 U1,2,3,4,5,6，A1,3,5，B3,4,5，则U(AB)( ) A2,6 B3,6 C1,3,4,5 D1,2,4,6 【答案】A 【解析】因为 A1,3,5，B3,4,5，所以 AB1,3,4,5，因为 U1,2,3,4,5,6，则 U(AB)2,6，故选 A. 2图中的阴影部分表示的集合是( ) AA(UB) BB(UA) C.U(AB) D.U(AB) 【答案】B 【解析】 由Venn图可知， 阴影部分的元素属于B

48、但不属于A， 所以用集合表示为B(UA)， 故选 B. 3已知 U 为全集，集合 M，NU，若 MNN，则( ) A.UNUM BMUN C.UMUN D.UNM 【答案】C 【解析】根据 M，NU，MNN，画出 Venn 图，如图所示， 由图可知UMUN，故选 C. 4已知全集 U1,2,3,4,5，集合 Ax|x23x20，Bx|x2a，aA，则集合U (AB)中元素的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】A1,2，B2,4，AB1,2,4， U(AB)3,5故选 B. 5已知集合 A，B 均为全集 U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则 A( U B)(

49、 ) A3 B4 C3,4 D 【答案】A 【解析】U(AB)4，阴影部分只有元素 4，从而 AB1,2,3，又 B1,2， UB3,4，A 中必有 3，可以有 1,2，一定没有 4.A(UB)3 二、填空题 6某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运动都 不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 【答案】12 【解析】 设两项运动都喜爱的人数为 x， 画出 Venn 图得到方程 15xx10 x830 x 3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 15312. 7设全集 U2,4，(a3)2，集合 A2，a2a2，若UA1，则实数 a 的 值为_ 【答案】2 【解析】由已知可得 a321， a2a24， 解得 a2. 8已知 Mx|x2 或 x3，Nx|xa0，若 NRM(R 为实数集)，则