人教版八年级数学下册第17章：阅读与思考 勾股定理的证明-教案1.doc

1、勾股定理勾股定理 【教学内容教学内容】 本节课主要内容是学习勾股定理及其应用。 【教学目标】【教学目标】 知识与技能 探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的运用思想，发展几何思维。 过程与方法： 经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。 情感态度与价值观： 培养严谨的数学学习的态度，体会勾股定理的应用价值。 重难点、关键 重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握定理的应用。 难点：理解勾股定理的推导过程。 关键：通过网格拼图的办法来探索勾股定理的证明过程，理解其内涵。 【教学准备】【教学准备】 教师准备：制作投影片，设计好拼图（用纸片制作） ： “探究”12 的教学准备。 学

2、生准备：预习本节课内容。 学法解析 1认知起点：已认识几何图形：直角三角形（含等腰直角三角形） 。 2知识线索： 3学习方式：采用观察、合作探究、交流的方式理解领会本节课内容。 【教学过程】【教学过程】 一、回眸历史，感悟辉煌 显示投影片 1 内容 1：公元前 572前 492 年，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯， 他在一次朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中用了直角三角形三边的某种数量关系， 请同学们一起来观察图中的地面（显示投影图片 a） ，你能发现什么呢？ 活动方略 教师活动：操作投影仪，讲述毕达哥拉斯的故事（上网收集） ，引导学生观察该图片，发 现问题。 学生活动：

3、观察、听取老师的讲述，从中发现图片 a中含有许多大大小小的等腰直角三 角形。 内容 2：用图片指示学生的发现，引导学生继续发现。 教师活动：教师提问：同学们，你能发现课本图 181-1 中的等腰直角三角形有什么性质 吗？ 学生活动：与同伴合作探讨，从网格图中不难发现下面的现象：图 181-1 右边的三个正 方形 S=S，S=S+S，即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于 以斜边为边长的正方形的面积。 教师小结：从图 18-1-1，我们发现，等腰直角三角形的三边之间具有一种特殊的关系： 斜边的平方等于两直角边的平方和。 教师提问：上面我们研究了等腰直角三角形三边的性质，但是等

4、腰直角三角形是一种特殊 的直角三角形，对于一般的直角三角形是否也有这样 的 性 质 呢？ 请同学们观察图 181-2，设定每个小方格的面 积 均 为 1， （1）分别计算图中正方形 ABCA、B、C的面积； （2）观察其中的规律，你能得出什么结论？与同伴交流。 学生活动：分四人小组，讨论，并踊跃发表自己的看法。 思路点拨：实际上，以斜边为边长的正方形的面积，等于 某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积。 设计意图通过历史情境引入，使学生感受到古代文明的成就。在大自然中，看似平淡无奇 的现象有时却隐藏着深刻的哲理，激发学生的求知欲。 二、合作探究，体验发现 问题牵引 猜想：如果直角三角形的

5、两直角边长分别为 ab，斜边长为 c，那么 a2+b2=c 2 （命题 1） 教师活动：介绍我国的赵爽证法，充分应用拼图（课本 P74 图 181-3） ，解释“命题 1”的，让学生领悟勾股定理的推理；为了加深学生对勾股定理的理解，设计下面的“阅读理 解” 。 阅读与填空： （显示投影片 3） 全世界许多国家的数学家以及数学爱好者都曾为勾股定理的证明付出过努力，作出过贡 献，这使得这一定理至今已有几百种不同的证法。 下面介绍的是古希腊数学家欧几里得（公元前 330前 275 年）给出的证明。为了使读者 更好地理解这个证明，并且从中获得提高几何证题能力与思维能力的收获，对证明过程做了一 些推想，

6、请读者边阅读，边思考，并完成填空。 为了使阅读能够顺利进行，首先来做一项准备工作，即对图的局部做如下分析： 图中的四边形 BHJC 是正方形，作 HMAB，交 AB 的延长线于 M，在CBK 与BHM 中， BC=BH，CBK=_（填BHN） ，CKB=BMH，CBKBHM（ ） （填 AAS） 。 BK=HM。 现在来看欧几里得是怎样证明勾股定理的。 这位几何大师的出发点，与课本中用拼图方法给出的证明的出发点是相同的：都是把一条 线段的平方看作是以这条线段为边的_（填：正方形的面积） 。 从这样的想法出发，欧几里得是为了证明“a2+b2=c 2”，分别以 RtABC 的三边为边向三 角形外作

7、正方形（如图） 。 欧几里得可能是想到当一条直线从 AE 所 在直线的位置开始， 在保持与 AE 平行的前提下逐 步向 BD 移动时，一定有一个时刻，把正方形ABDE 分成的两部分的面积恰好分别等于 a和 B 上述特殊的位置究竟在何处呢？欧几里得大 概是注意到了图形中一个极为特殊的点点C， 决定仔细考虑过点C并且与ED垂直的直线。 于是，欧几里得首先引出这样辅助线：过点 C 作 CLED，交 AB 于 K，交 ED 于 L。 下面是这位杰出的数学家在引出上述辅助线 后继续进行探索的结晶。 连结 CH、AH、KD，则由ACB=90及四边形 CBHJ 知 ACBH，点 A与点 C到直线 BH 的距

8、 离_（填：相等） ，又因为ABH 与CBH 有公共边_（填 BH） ，所以 SABH=SCBH （ ） （填：等底等高面积相等） ；再把ABH 看作是以 AB为底的三角形，则其 高为_（填 HM） ，由于 AB=_（填 BD） ，HM=_（填：BK） ，所以，SABH=SBDK （ ）（等底等高面积相等） ， SBDK=SCBH（ ）（填： 等量代换） 。 而 SCBH=1 2 a 2， S BDK=1 2 S 矩形 DBKL，a 2=S 矩形 DBKL 同理可证，b2=S矩形 AELK。 把相加，就得到 a 2+b2=S 长方形 DBKL+S长方形 AELK，即 a 2+b2=c2 学生活

9、动：阅读填空，从中吸引勾股定理的证明方法，加深对勾股定理的领悟。 “赵爽证法”以教师讲解为主，学生参与分析为辅，让学生形成拼图意识，感受我国科学 家的伟大发明，再通过设计“阅读与填空” ，拓展学生的知识面，达到加深理解勾股定理的目 的。 三、联系实际，应用所学 显示投影片 4 问题探究 1：一个门框的尺寸如课本图形 181-4 所示，一块长 3m，宽 22m的薄木板能否从门框内通过？为什么？ 思路点拨：从观察实验可知，木板横着进，竖着进，都无法从门 框内通过，因此，尝试斜着通过，而对角线 AC 或 BD 是斜着能通过的 最大长度。只要测出 AC 或 BD，与木板的宽比较，就能知道木板是否能 通

10、过。 活动方略 教师活动：拿出教学准备如图 181-4 的木框，几块木板，演示 引导学生思考。 学生活动： 观察、 讨论， 得到必须应用勾股定理求出木框的斜边 AC2=AB2+BC2=1 2+22=5， AC= 5 2236，然后以此为尺寸，来判断薄木板能否通过木框， 结论是可以！ 问题探究 2：如图 181-5，一个 3cm 长的梯子，AB， 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 25m，如果梯 子的顶端A沿墙下滑0.5m， 那么梯子底端B也外移0.5m吗？ 思路点拨：从 BD=OD-OB 可以看出，必需先求 OB，OD， 因此，可以通过勾股定理在 RtAOB，RtCOD 中求出

11、 OB 和 OD，最后将 BD 求出。 活动方略 教师活动：制作投影仪，提出问题，引导学生观察、应用勾股定理，提问个别学生。 学生活动：观察、交流，从中寻找出 RtAOB，RtCOD，以此为基础应用勾股定理求得 OB 和 OD 课堂演练 演练题：在 RtABC 中，已知两直角边 a 与 b 的和为 pcm，斜边长为 qcm，求这个三角形 的面积。 思路点拨：因为 Rt的面积等于1 2 ab，所以只要求出 ab 即可，由条件知 a+b=p，c=q， 联想勾股定理 a2+b2=c 2，将几何问题转化为代数问题。由 a+b=p，a2+b2=q2求出 aB 教师活动：操作投影仪，组织学生演练，以练促思

12、；引导学生进行等式变形。 学生活动：先独立思考，完成演练题 1，再争取上台演示。 解：a+b=p，c=q， a 2+2ab+b 2=（a+b） 2=p2，a2+b2=q2（勾股定理） 2ab=p 2-q2 SRtABC=1 2 ab=1 4 （p 2-q2）cm 2 设计意图以两个探究为素材，帮助学生应用勾股定理，再通过设置的演练题来灵活学生的 思维。 四、随堂练习，巩固深化 探研时空 （1）若已知ABC 的两边分别为 3 和 4，你能求出第三边吗？为什么？ （2） 如图， 已知： 在ABC， A=90， D E 分别在 AB AC 上， 你能探究出 CD2+BE 2=BC 2+DE 2 吗？

13、 （提示：BE 2+CD2=AD2+AC2+AB2+AE2=（AD2+AE2）+（AC2+AB2）=（DE2+BC2） 五、课堂总结，发展潜能 1勾股定理：RtABC 中，C=90，a 2+b2=c2 2勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以 求出第三边的长。 【作业布置】【作业布置】 1在 RtABC 中，C=90，BC=12cm，SABC=30cm2，则 AB=_。 2 等腰ABC 的腰长 AB=10cm， 底 BC为 16cm， 则底边上的高为_， 面积为_。 3一个直角三角形三条边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_。 4ABC 中，ACB=90，A

14、C=12，BC=5，M，N 在 AB 上，且 AM=AC，BN=BC，则 MN 的长 为（ ） 。 A2 B26 C3 D4 5等腰三角形腰长 32cm，顶角的大小的一个底角的 4倍，求这个三角形的面积_。 6某车间的人字形屋架为等腰三角形 ABC，跨度 AB=24m，上弦 AC=13m，求中柱 CD （D 为底 AB 的中点） 7如图，折叠长方形的一边 AD，点 D 落在 BC 上的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长。 8如图，在 RtABC 中，C=90，D 是 BC 边上一点，且 BD=AD=10，ADC=60，求 ABC 面积。 答案答案 113cm 26cm；48cm2 36810 4D 5256 3 65cm 73；875 3 2