第8讲 立体几何 第3课时 立体几何大题 专题训练含答案2021届高考（理科）数学二轮复习.doc

1、第 8 讲 立体几何 第 3 课时 立体几何大题 专题训练 作业(十九) 第一次作业 立体几何大题(一) 1.(2020 陕西省宝鸡市模拟)在如图所示的几何体中，面 CDEF 为正方形，平面 ABCD 为等腰梯形，ABCD，AB2BC，点 Q 为 AE 的中点 (1)求证：AC平面 DQF； (2)若ABC60 ，ACFB，求 BC 与平面 DQF 所成角的正弦值 2.如图，在三棱锥 ABCD 中，ABC 是等边三角形，BAD BCD90 ，点 P 是 AC 的中点，连接 BP，DP. (1)证明：平面 ACD平面 BDP； (2)若 BD 6，且二面角 ABDC 为 120 ，求直线 AD

2、与平面 BCD 所成角的 正弦值 3.(2020 六安一中模拟)如图，圆台 O1O2的轴截面为等腰梯形 A1A2B2B1，A1A2 B1B2，A1A22B1B2，A1B12，圆台 O1O2的侧面积为 6.若点 C，D 分别为圆 O1，O2上的动点且点 C，D 在平面 A1A2B2B1的同侧 (1)求证：A1CA2C； (2)若B1B2C60 ，则当三棱锥 CA1DA2的体积取最大值时，求 A1D 与平面 CA1A2所成角的正弦值 4.(2020 “皖南八校”高三临门一卷)如图， 在直棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 底面 ABCD 是菱形，AA1AC2BD4，点 F，Q 是棱 BB1，DD1

3、的中点，E，P 是 棱 AA1，CC1上的点，且 AEC1P1. (1)求证：EF平面 BPQ； (2)求直线 BP 与平面 PQE 所成角的正弦值 5.(2020 山东泰安市第五次模拟)如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 为直 角梯形，ABCD，BCCD，AB2BC2CD，EAB 是以 AB 为斜边的等腰 直角三角形，且平面 EAB平面 ABCD，点 F 满足EF EA (0，1) (1)试探究 为何值时，CE平面 BDF，并给予证明； (2)在(1)的条件下，求直线 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值 第二次作业 立体几何大题(二) 1.(2020 石家庄市毕业班综合训练)在

4、三棱柱 ABCA1B1C1中， 底面 ABC 是正三 角形，侧棱 A1A平面 ABC，D，E 分别是 AB，AA1的中点，且 A1DB1E. (1)求证：B1E平面 A1CD； (2)求二面角 A1CDB1的余弦值 2.(2020 山东省高三模拟)如图，在四棱锥 SABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，SD平面 ABCD，E，F 分别为 AB，SC 的中点 (1)证明：EF平面 SAD； (2)若 SD8，求二面角 DEFS 的正弦值 3.如图，E 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上异于 A，B 的点，矩形 ABCD 所 在的平面垂直于半圆 O 所在的平面，且 AB2AD

5、2a. (1)求证：EAEC； (2)若异面直线 AE 和 DC 所成的角为 6，求平面 DCE 与平面 AEB 所成的锐二面 角的余弦值 4.(2020 厦门市高中毕业班质检)如图， 在五面体 ABCDEF 中， AB 平面 ADE，EF平面 ADE，ABCD2. (1)求证：ABCD； (2)若 ADAE2，EF1，且二面角 EDCA 的大小为 60 ，求二面角 F BCD 的大小 5.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 (1)证明：PB平面 AEC； (2)设二面角 DAEC 为 60 ，AP1，AD 3，求三棱锥 EACD

6、的体积 第三次作业 立体几何大题(三) 1(2020 江苏)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC， B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点 (1)求证：EF平面 AB1C1； (2)求证：平面 AB1C平面 ABB1. 2 (2018 课标全国)如图， 在三棱锥 PABC 中， ABBC2 2， PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点 (1)证明：PO平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30 ，求 PC 与平 面 PAM 所成角的正弦值 3. (2020 贵阳市高三适应性考试)如图是一个半圆柱与多面体 ABB1A1C 构成的几何

7、体，平面 ABC 与半圆柱的下底面共面，且 ACBC，P 为弧 A1B1上(不与 A1，B1重合)的动点 (1)证明：PA1平面 PBB1； (2)若四边形 ABB1A1为正方形，且 ACBC，PB1A1 4，求二面角 PA1B1 C 的余弦值 4.(2020 昆明市“三诊一模”)已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 为正三角形，M 是 PC 的中 点，过 M 的平面 平行于平面 PAB，且平面 与平面 PAD 的交 线为 ON，与平面 ABCD 的交线为 OE. (1)在图中作出四边形 MNOE(不必说出作法和理由)； (2)若 PC 2AB，求平面

8、与平面 PBC 形成的锐二面角的余弦值 5(2020 合肥市二检)如图 1，在矩形 ABCD 中，E，F 在边 CD 上，BCCE EFFD，分别沿 BE，AF 将CBE 和DAF 折起，使平面 CBE 和平面 DAF 都 与平面 ABEF 垂直，连接 CD，DE，如图 2. (1)试判断图 2 中直线 CD 与 AB 的位置关系，并说明理由； (2)求图 2 中平面 ADF 和平面 DEF 所成锐二面角的余弦值 1如图，在ABC 中，AB3，AC4，A 3，D 在边 AC 上且 AC2AD，E 在边 AB 上且 AB3AE.现将ADE 沿 DE 折起，使点 A 到达点 A的位置，形 成四棱锥

9、 ABCDE. (1)证明：DEAB； (2)若四棱锥 ABCDE 的体积为5 3 6 ，求三棱锥 ACDE 的表面积 2.(2020 开封市高三模拟)如图，正方形 ABCD 的边长为 2，ECD 为正三角形， 平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，N 是线段 AC 上的动点 (1)探究 M，N，B，E 四点共面时 N 点的位置，并证明； (2)当 M，N，B，E 四点共面时，求 C 到平面 MNBE 的距离 3 (2020 山西八校联考)如图 1， AB 是半圆 O 的直径， 点 D 是弧 AB 上的动点(不 与 A，B 重合)，ABC 是BAC90 的直角三角形，且 AB2

10、，AC4. (1)将ABC 沿 AB 翻折， 使平面 ABC 与半圆 O 所在的平面垂直， 如图 2 所示 求 证：平面 ACD平面 BCD； (2)将ABC 沿 AB 翻折至点 C 到半圆 O 所在平面的距离为 2 的位置，求三棱锥 CABD 的体积取得最大值时点 D 到平面 ABC 的距离 4.(2020 南昌十中模拟)如图，直角梯形 ABCD 所在平面与 等腰直角三角形 ABE 所在平面互相垂直，AEB 2，AB CD，ABBC，AB2CD2BC. (1)求证：ABDE； (2)求证：平面 AED平面 BCE； (3)线段 EA 上是否存在一点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出EF

11、 EA的值；若不 存在，说明理由 5.(2019 南昌市重点中学测试)如图， 四边形 ABCD 是梯形， 四边 形 CDEF 是矩形， 且平面 ABCD平面 CDEF， BADCDA 90 ，ABADDE1 2CD2，M 是线段 AE 上的动点 (1)试确定点 M 的位置，使 AC平面 MDF，并说明理由； (2)在(1)的条件下，求平面 MDF 将几何体 ADEBCF 分成的上下两部分的体积 之比 6.(2019 郑州市第二次质量预测)如图，在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD 3，PAD 是等边三 角形，F 为 AD 的中点，PDBF. (1)求证：AD

12、PB； (2)若 E 在线段 BC 上， 且 EC1 4BC， 能否在棱 PC 上找到一点 G， 使平面 DEG 平面 ABCD？若存在，求出三棱锥 DCEG 的体积；若不存在，请说明理由 7.(2020 北京)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BB1的中点 (1)求证：BC1平面 AD1E； (2)求直线 AA1与平面 AD1E 所成角的正弦值 8.(2020 浙江)如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面 ACFD平面 ABC，ACBACD45 ，DC2BC. (1)证明：EFDB； (2)求直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值 9(2020 洛阳市第二次统考)如图，

13、在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ADAB CD2， BC4， M， N， Q 分别为 BC， CD， AC 的中点， 以 AC 为折痕将ACD 折起，使点 D 到达点 P 的位置(P平面 ABC) (1)若 H 为直线 QN 上任意一点，证明：MH平面 ABP； (2)若直线 AB 与直线 MN 所成的角为 4，求二面角 APCB 的余弦值 参考解析答案 第一次作业 立体几何大题(一) 1 解析 (1)证明：如图，连接 CE 交 DF 于点 M，连接 QM， 四边形 CDEF 为正方形，点 M 为 CE 的中点，又Q 为 AE 的中点，QM AC. QM平面 DQF，AC平面 DQF， A

14、C平面 DQF. (2)AB2BC，设 BC1，则 AB2，在ABC 中，ABC60 ，由余弦定 理得： AC22212221cos60 3， AC2BC2AB2，ACBC. 又ACFB，CBFBB，CB，FB平面 FBC，AC平面 FBC.又 FC平 面 FBC，ACFC. CDFC，CDACC，CD，AC平面 ABCD， FC平面 ABCD. 如图建立空间直角坐标系 Dxyz. 在等腰梯形 ABCD 中，可得 CDCB1. A 3 2 ，1 2，0 ，E(0，0，1)，B 3 2 ，3 2，0 ，C(0，1，0)， F(0，1，1)，Q 3 4 ，1 4， 1 2 . 那么BC 3 2 ，

15、1 2，0 ，DQ 3 4 ，1 4， 1 2 ，DF (0，1，1) 设平面 DQF 的法向量为 n(x，y，z)， 则有 n DQ 0， nDF 0，即 3 4 x1 4y 1 2z0， yz0， 取 y1，得 n( 3，1，1) 设 BC 与平面 DQF 所成的角为 ，则 sin|cosBC ，n| |BC n| |BC | |n| 2 5 5 . BC 与平面 DQF 所成角的正弦值为2 5 5 . 2 解析 (1)证明：因为ABC 是等边三角形，BADBCD90 ， 所以 RtABDRtCBD，可得 ADCD. 因为点 P 是 AC 的中点，所以 PDAC，PBAC， 因为 PDPB

16、P，PD平面 PBD，PB平面 PBD， 所以 AC平面 PBD. 因为 AC平面 ACD， 所以平面 ACD平面 BDP. (2)方法一：如图，作 CEBD，垂足为 E，连接 AE. 因为 RtABDRtCBD， 所以 AEBD，AECE， 所以AEC 为二面角 ABDC 的平面角 故AEC120 . 在等腰三角形 AEC 中，由余弦定理可得 AC 3AE， 因为ABC 是等边三角形， 所以 ACAB， 所以 AB 3AE. 在 RtABD 中，有1 2AEBD 1 2ABAD，得 BD 3AD. 因为 BD 6，所以 AD 2. 又 BD2AB2AD2，所以 AB2. 则 AE2 3 3

17、，ED 6 3 . 由 CEBD，AEBD，CEAEE，CE，AE平面 AEC 可知 BD平面 AEC， 又 BD平面 BCD，故平面 AEC平面 BCD. 过点 A 作 AOCE，交 CE 的延长线于 O，则 AO平面 BCD. 连接 OD，则ADO 为直线 AD 与平面 BCD 所成的角 在 RtAEO 中，AEO60 ，所以 AO 3 2 AE1， 所以 sinADOAO AD 2 2 . 所以直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值为 2 2 . 方法二：如图，作 CEBD，垂足为 E，连接 AE. 因为 RtABDRtCBD， 所以 AEBD，AECE，所以AEC 为二面角 ABD

18、C 的平面角 故AEC120 . 在等腰三角形 AEC 中，由余弦定理可得 AC 3AE， 因为ABC 是等边三角形，所以 ACAB， 所以 AB 3AE. 在 RtABD 中，有1 2AEBD 1 2ABAD，得 BD 3AD， 因为 BD 6，所以 AD 2. 又 BD2AB2AD2，所以 AB2. 则 AE2 3 3 ，ED 6 3 . 以 E 为坐标原点，以向量EC ，ED 的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向，以过点 E 且垂直于平面 BCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Exyz， 则 D 0， 6 3 ，0 ，A 3 3 ，0，1 ， 向量AD 3 3 ， 6 3 ，1

19、， 易知平面 BCD 的一个法向量为 m(0，0，1)， 设直线 AD 与平面 BCD 所成的角为， 因为 cosm，AD m AD |m|AD | 1 21 2 2 ， 所以 sin|cosm AD | 2 2 . 所以直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值为 2 2 . 3 解析 (1)证明：设圆 O1，O2的半径分别为 r，2r， 圆台的侧面积为 6， 61 22(2r4r)，解得 r1， 如图， 连接 O1O2， 则在等腰梯形 A1A2B2B1中， A1A22B1B24， A1B12， O1O2 3， 连接 O1C，O2C，在圆台 O1O2中，O1O2平面 B1CB2，O1C 在平

20、面 B1CB2内， O1O2O1C， 又 O1C1，故在 RtO1CO2中，CO22， 在CA1A2中，CO21 2A1A2，故A1CA290 ，即 A1CA2C. (2)由题意可知三棱锥 CA1DA2的体积为 V1 3O1O2SA1DA2 3 6 A1DA2D， 又在 RtA1DA2中，A1D2A2D2A1A22162A1DA2D，当且仅当 A1D A2D2 2时取等号， 即当点 D 为弧 A1A2的中点时，V 有最大值4 3 3 . 连接 DO2，O1O2平面 A1DA2，O2A2，DO2平面 A1DA2， O1O2O2A2，O1O2DO2，又 DO2A1A2， 以点 O2为坐标原点， 以

21、 O2D， O2A2， O2O1所在直线分别为 x， y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A1(0， 2， 0)， A2(0， 2， 0)， D(2， 0， 0)， 由B1B2C60 ， 可知 C 3 2 ，1 2， 3 ， 故A1D (2，2，0)，A1A2 (0，4，0)，A2C 3 2 ，3 2， 3 ， 设平面 CA1A2的一个法向量为 n(x，y，z)，则 n A1A2 4y0， nA2C 3 2 x3 2y 3z0， 可取 n(2，0，1)， cosn，A1D n A1D |n|A1D | 10 5 ， A1D 与平面 CA1A2所成角的正弦值为 10 5 . 4 解析

22、(1)证明： 如图， 取 AA1中点 M， 使 DD1上一点 N， 取 D1N 1，连接 PN，NM，MF，易证四边形 PNMF 为平行四边形， NMPF，NMPF， EMNQ，EMNQ1，四边形 MNQE 为平行四边形，则 MNEQ，MNEQ， PFEQ，PFEQ，四边形 PQEF 为平行四边形，EFPQ. PQ平面 BPQ，EF平面 BPQ， EF平面 BPQ. (2)如图，设 AC 与 BD 交于点 O， 底面 ABCD 是菱形，ACBD. 以 O 为原点， OA， OB， 及过点 O 且与 AA1平行的直线分别为 x， y，z 轴建立空间直角坐标系，则 B(0，1，0)，P(2，0，3

23、)，Q(0， 1，2)，E(2，0，1)，BP (2，1，3)，PQ(2，1，1)， PE (4，0，2) 设平面 PQE 的法向量 m(x，y，z)， 则 m PE0 m PQ 0 4x2z0， 2xyz0，令 x1，得平面 PQE 的一个法向量为 m(1，0， 2) 设直线 BP 与平面 PQE 所成角为 ， 则 sin |BP m| |BP | |m| 2 70 35 ， 即直线 BP 与平面 PQE 所成角的正弦值为2 70 35 . 解析 (1)当 1 3时，CE平面 FBD. 证明如下： 连接 AC， 交 BD 于点 M， 连接 MF， 如图 因为 ABCD， 所以 AMMC AB

24、CD21，又EF 1 3EA ，所以 FAEF21. 所以 AMMCAFEF21，所以 MFCE. 又 MF平面 BDF，CE平面 BDF，所以 CE平面 BDF. (2)取 AB 的中点 O，连接 EO，OD，则 EOAB. 又因为平面 ABE平面 ABCD， 平面 ABE平面 ABCDAB， EO平面 ABE， 所以 EO平面 ABCD， 因为 OD平面 ABCD， 所以 EOOD. 由 BCCD，及 AB2CD，ABCD，得 ODAB， 由 OB，OD，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz. 因为EAB 为等腰直角三角形，AB2BC2CD， 所以 OAOBODOE，设

25、 OB1， 所以 O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0， 0，1) 所以AB (2，0，0)，BD (1，1，0)，EA (1，0，1)，EF 1 3EA 1 3，0， 1 3 ， 则 F 1 3，0， 2 3 ，所以FB 4 3，0， 2 3 . 设平面 BDF 的法向量为 n(x，y，z)，则有 n BD 0， nFB 0，所以 xy0， 4 3x 2 3z0， 取 x1，得 n(1，1，2) 设直线 AB 与平面 BDF 所成的角为 ， 则 sin|cosAB ，n|AB n| |AB |n| |210102| 2 121222

26、 6 6 . 即直线 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为 6 6 . 第二次作业 立体几何大题(二) 1 解析 (1)证明： 在三棱柱 ABCA1B1C1中， A1A平面 ABC， CD平面 ABC， 所以 A1ACD. 在ABC 中，ACBC，ADBD，所以 CDAB. 又 AA1ABA，AA1，AB平面 AA1B1B，所以 CD平面 AA1B1B. 因为 B1E平面 AA1B1B，所以 CDB1E， 又 B1EA1D，A1DCDD，A1D，CD平面 A1CD，所以 B1E平面 A1CD. (2)设 AB2，在矩形 AA1B1B 中，因为 B1EA1D， 所以A1EB1A1DA，则 ta

27、nA1EB1tanA1DA， 即A1B1 A1E AA1 AD ，即 2 1 2AA1 AA1 1 ，得 AA12. 以 D 为坐标原点，DB，DC，及过点 D 且与 BB1平行的直线分别为 x，y，z 轴 建立如图所示坐标系， 则 B1(1，0，2)，C(0， 3，0)，E(1，0，1)， 则DB1 (1，0，2)，DC (0， 3，0)， 设平面 B1CD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 DB1 nx2z0， DC n 3y0， 令 z1 得 n(2，0，1)为平面 B1CD 的 一个法向量 由(1)知 B1E平面 A1CD，所以B1E (2，0，1)为平面 A1CD 的 一个法向量

28、cosB1E ，n B1E n |B1E |n| 41 5 5 3 5.据图观察可知二面角为锐角， 所以二面角 A1CDB1的余弦值为3 5. 解析 (1)证明：记 SD 的中点为 G，连接 GF，GA，如图 由题知 E，F 分别为 AB，SC 的中点， 则 GFCD，且 GF1 2CD. 因为 ABCD，且 AE1 2CD， 所以 GFAE，且 GFAE， 所以四边形 GFEA 为平行四边形， 则 EFAG. 又 EF平面 SAD，AG平面 SAD， 所以 EF平面 SAD. (2)以 D 为原点，分别以DA ，DC ，DS 的方向为 x，y，z 轴的正 方向，建立如图所示的空间直角坐标系

29、Dxyz， 则 S(0，0，8)，D(0，0，0)，E(4，2，0)，F(0，2，4)， DE (4，2，0)，DF (0，2，4)，EF(4，0，4)，ES(4， 2，8) 设平面 DEF 的法向量 m(x1，y1，z1)，则 DE m4x12y10， DF m2y 14z10， 令 x12，则 m(2，4，2) 设平面 SEF 的法向量为 n(x2，y2，z2)，则 EF n4x24z20， ES n4x 22y28z20. 令 x22，则 n(2，4，2) cosm，n m n |m|n| 1 3，设二面角 DEFS 的平面角为 ，则 sin 2 2 3 ， 即二面角 DEFS 的正弦值

30、为2 2 3 . 解析 (1)证明：因为平面 ABCD 垂直于半圆 O 所在的平面，两平面的交线为 AB，BC平面 ABCD，BCAB，所以 BC 垂直于半圆 O 所在的平面 又 EA 在半圆 O 所在的平面内，所以 BCEA. 易知AEB 是直角， 即 EABE， BCBEB， BC， BE平面 EBC， 所以 EA 平面 EBC，又 EC平面 EBC，所以 EAEC. (2)如图，以点 O 为坐标原点，以过点 D 垂直于平面 ABCD 的直线为 x 轴，AB 所在的直线为 y 轴，过点 O 与 BC 平行的 直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz.由异面直线 AE 和 DC 所成的角

31、为 6，且 ABDC 可知BAE 6.连接 OE，则 BOE 3，易得 E 3 2 a，1 2a，0 . 由题可知 C(0，a，a)，D(0，a，a)，所以DE 3 2 a，3 2a，a ，CE 3 2 a，1 2a，a . 设平面 DCE 的法向量为 n(x0，y0，z0)， 由DE n0，CE n0 得， 3 2 ax03 2ay0az00， 3 2 ax01 2ay0az00， 令 x02，则 y00，z0 3，所以 n(2，0， 3)为平面 DCE 的一个法向量 又平面 AEB 的一个法向量为 m(0，0，1)， 所以|cosn，m| 21 7 . 故平面 DCE 与平面 AEB 所成

32、的锐二面角的余弦值是 21 7 . 解析 (1)证明：AB面 ADE，EF面 ADE， ABEF. 又 EF面 CDEF，AB面 CDEF， AB面 CDEF. 又 AB面 ABCD，面 ABCD面 CDEFCD， ABCD. (2)如图，设 AD 的中点为 G，连接 EG，AC，BD，设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OF，OG， AB面 ADE，DA，DE面 ADE， ABDA，ABDE. ABCD，CDDA，CDDE. 又 DA面 ABCD，DE面 CDEF，且面 ABCD面 CDEFCD， 二面角 EDCA 的平面角ADE60 . 又在ADE 中，ADAE2， ADE 是边长为

33、2 的正三角形， EGAD， AB面 ADE，EG平面 ADE， ABEG， ADABA，AD，AB平面 ABCD， EG面 ABCD， 由(1)知 ABCD，又 CDDA，ABCDAD， 四边形 ABCD 为正方形， OG1 2AB1EF，又 OGAB， OGEF， 四边形 OGEF 为平行四边形， OFEG， OF面 ABCD， 又 BC平面 ABCD，OFBC， 取 BC 的中点为 H，连接 OH，FH， OHBC， OFOHO，OF，OH平面 OFH， BC面 OFH， 又 FH平面 OFH，BCFH， OHF 即为二面角 FBCD 所成的平面角， ADE 是边长为 2 的正三角形，四

34、边形 ABCD 为正方形， OF 3，OH1， tanOHF 3 1 3， OHF60 ， 二面角 FBCD 的大小为 60 . 解析 (1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO，如图 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点， 又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB， 又 EO平面 AEC，PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC. (2)因为 PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，所以 AD， AB，AP 两两垂直，如图，以 A 为坐标原点，AB 的方向为 x 轴 的正方向， AD 的方向为 y 轴的正方向， AP 的方向为 z 轴的正方 向，建立空间

35、直角坐标系 Axyz.设 B(m，0，0)(m0)，则 D(0， 3，0)， E 0， 3 2 ，1 2 ，C(m， 3，0)，所以AE 0， 3 2 ，1 2 ，AC (m， 3，0)， 设 n(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，则 n AC 0 n AE 0 mx 3y0， 3 2 y1 2z0， 可取 n( 3，m， 3m)， 又 m(1，0，0)为平面 DAE 的一个法向量，由题设知|cosm，n|cos60 1 2. 即 3 3m23m2 1 2，解得 m 3 2. 因为 E 为 PD 的中点，设 F 为 AD 的中点， 则 PAEF，且 EF1 2PA 1 2，EF面 ACD，

36、 故三棱锥 EACD 的高为 EF1 2， 三棱锥 EACD 的体积 V1 3SACDEF 1 3 1 2 3 3 2 1 2 3 8 ，所以三棱锥 EACD 的体积为 3 8 . 第三次作业 立体几何大题(三) 1 证明 (1)因为 E，F 分别是 AC，B1C 的中点， 所以 EFAB1. 又 EF平面 AB1C1，AB1平面 AB1C1， 所以 EF平面 AB1C1. (2)因为 B1C平面 ABC，AB平面 ABC， 所以 B1CAB. 又 ABAC，B1C平面 AB1C，AC平面 AB1C，B1CACC， 所以 AB平面 AB1C. 又因为 AB平面 ABB1 所以平面 AB1C平面

37、 ABB1. 2 解析 (1)证明：因为 APCPAC4，O 为 AC 的中点， 所以 OPAC，且 OP2 3. 连接 OB，因为 ABBC 2 2 AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC， OB1 2AC2. 由 OP2OB2PB2知 POOB. 由 OPOB， OPAC， 且 OBACO， OB， AC平面 ABC 知 PO平面 ABC. (2)如图，以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，OC 的方向 为 y 轴正方向， OP 的方向为 z 轴正方向， 建立空间直角坐标系 O xyz. 由已知得 O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)

38、， P(0，0，2 3)，AP (0，2，2 3)取平面 PAC 的一个法向量为OB (2，0，0) 设 M(a，2a，0)(0a2)，则AM (a，4a，0) 设平面 PAM 的法向量为 n(x，y，z) 由AP n0，AM n0，得 2y2 3z0， ax（4a）y0，可取 y 3a，得平面 PAM 的一个法向量为 n( 3a4 3， 3a，a)， 所以 cosOB ，n |2 3（a4）| 2 3（a4）23a2a2. 由已知可得|cosOB ，n| 3 2 ，所以 |2 3（a4）| 2 3（a4）23a2a2 3 2 ， 解得 a4(舍去)或 a4 3. 所以 n 8 3 3 ，4

39、3 3 ，4 3 . 又PC (0，2，2 3)，所以 cosPC，n 3 4 . 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 4 . 解析 (1)证明：在半圆柱中，BB1平面 PA1B1，且 PA1平面 PA1B1，所以 BB1PA1. 因为 A1B1是直径，所以 PA1PB1. 因为 PB1BB1B1，PB1平面 PBB1，BB1平面 PBB1， 所以 PA1平面 PBB1. (2)以 C 为坐标原点，以 CB，CA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，以 过点 C 与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 C xyz，如图所示 设 CB1，则 C(0，0，0)，B(1，

40、0，0)，A(0，1，0)，A1(0，1， 2)，B1(1，0， 2)，P(1，1， 2) 所以CA1 (0，1， 2)，CB1 (1，0， 2) 平面 PA1B1的一个法向量 n1(0，0，1) 设平面 CA1B1的法向量为 n2(x，y，z)，则 n2CA1 0， n2CB1 0， 即 y 2z0， x 2z0， 令 z1，则 x 2， y 2， z1， 所以可取 n2( 2， 2，1)， 所以 cosn1，n2 1 1 5 5 5 . 由图可知二面角 PA1B1C 为钝角， 所以所求二面角的余弦值为 5 5 . 解析 (1)如图，四边形 MNOE 即为所求，其中 N 为 PD 中点， O

41、 为 AD 中点，E 为 BC 中点 (2)连接 OP，依题意得 PC 2DC 2PD， 所以 PC2DC2PD2，则 DCPD， 又因为 DCAD 且 PDADD，PD，AD平面 PAD， 所以 DC平面 PAD，且 PO平面 PAD，则 DCPO， 因为PAD 为正三角形且 O 为 AD 中点，所以 POAD，又 ADDCD，AD， DC平面 ABCD， 所以 PO平面 ABCD，又 OA，OE平面 ABCD， 则 POOA，POOE，OAOE， 以 O 为原点建立如图坐标系 Oxyz， 因为 AB4，所以 B(2，4，0)，E(0，4，0)，N(1，0， 3)，M(1，2， 3)， 则N

42、M (0，2，0)，ME (1，2， 3)，EB (2，0，0)， 设平面 的一个法向量为 m(x1，y1，z1)，则 2y 10， x12y1 3z10，可取 m( 3，0，1)， 设平面 BME(与 PBC 是同一个平面)的一个法向量为 n(x2，y2，z2)， 则 2x 20， x22y2 3z20，可取 n(0， 3，2) 则 cosm，n m n |m|n| 2 2 7 7 7 ， 所以平面 与平面 PBC 形成的锐二面角的余弦值为 7 7 . 解析 (1)CDAB.理由如下： 如图，分别取 AF，BE 的中点 M，N 连接 DM，CN，MN. 易 知 ADF与 BCE都 是 等 腰

43、 直 角 三 角 形 且 ADFBCE， 则 DMAF，CNBE，DMCN. 平面 ADF平面 ABEF，交线为 AF，DM平面 ADF，DMAF，DM平 面 ABEF. 同理，CN平面 ABEF，DMCN. 四边形 CDMN 为平行四边形，CDMN. M，N 分别是 AF，BE 的中点，MNAB. CDAB. (2)在 AB 边上取一点 P，使得 APDF.连接 MP，PF，则 APFP.M 为 AF 的 中点，MPMA. 由(1)，知 MD平面 ABEF，MA，MP，MD 两两垂直以点 M 为坐标原点， 直线 MA，MP，MD 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Mxyz，设

44、 AF2，则 D(0，0，1)，A(1，0，0)，P(0，1，0)，F(1，0，0)，FD (1，0， 1)，FE AP(1，1，0) 设平面 DFE 的法向量为 m(x，y，z) 由 FD m0， FE m0 得 xz0， xy0， 令 x1，则 y1，z1，m(1，1，1)为平面 DFE 的一个法向量 由平面 ADF 是坐标平面 xMz，可得平面 ADF 的一个法向量为 n(0，1，0) 设平面 ADF 与平面 DFE 所成锐二面角为 ，则 cos|cosm，n| |m n| |m| |n| 3 3 ， 平面 ADF 与平面 DFE 所成锐二面角的余弦值为 3 3 . 备选题 1 解析 (

45、1)证明：在ADE 中，易知 AE1，AD2，A 3，利用余弦定理可 得 DE 3， AE2ED2AD2，DEAE. 则 DEEA，DEEB， 又 EAEBE，EA，EB平面 ABE，DE平面 ABE. 而 AB平面 ABE，DEAB. (2)易知 S四边形BCDESABCSADE1 232 3 1 21 3 5 3 2 . 设点 A到平面 BCDE 的距离为 h， 则 VABCDE5 3 6 1 3S 四边形BCDEh1 3S 四边形BODEAE1 3 5 3 2 15 3 6 ， AEh，即 AE平面 BCDE. 易知 SADE 3 2 ，DE 3，CD2，EDC5 6 ， SCDE1 2

46、 32sin 5 6 3 2 ， 由余弦定理得 EC2DE2DC22DE DC cosEDC，EC 13， SACE1 21 13 13 2 ， AC AE2EC21（ 13）2 14， 又 DADC2， SADC1 2 14 22 14 2 2 7 2 . 三 棱 锥 A CDE 的 表 面 积 为 3 2 2 13 2 7 2 2 3 7 13 2 . 2 解析 (1)当 N 是线段 AC 的中点时，M，N，B，E 四点共面 证明如下：如图，连接 BD，过相交直线 BD，DE 有且只有一个平面 BDE， 因为 M 是线段 ED 的中点，所以 M 在平面 BDE 内， 因为四边形 ABCD

47、是正方形，所以当 N 是线段 AC 的中点时， N 是正方形 ABCD 的中心，必为 BD 的中点，所以 N 在平面 BDE 内 故当 N 是线段 AC 的中点时，M，N，B，E 四点共面 (2)由(1)，知 M，N，B，E 四点共面时，平面 MNBE 即平面 BDE. 过 E 作 CD 的垂线，垂足记为 F，如图所示 因为ECD 为正三角形， 平面 ECD平面 ABCD， 平面 ECD平面 ABCDCD， 所以 F 是 CD 的中点，EF平面 ABCD，又 BC平面 ABCD，所以 EFBC. 又 BCCD，EFCDF，EF，CD平面 ECD，所以 BC平面 ECD， 又 EC平面 ECD，

48、所以 BCCE. 易知 EF 3，BDBE2 2，连接 BM，则 BM 7， 故 VEBCD1 3 1 222 3 2 3 3 ，SBDE1 22 7 7. 因为 VEBCDVCBDE，所以 C 到平面 MNBE 的距离 d2 3 7 2 21 7 . 3 解析 (1)证明：由题意知平面 ABC平面 ABD. 点 D 是弧 AB 上不与 A，B 重合的动点，ADBD. ABC 是BAC90 的直角三角形，ACAB. 又平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABDAB，AC平面 ABC， AC平面 ABD. 又 BD平面 ABD，ACBD. 又 ADACA，AD，AC平面 ADC，BD平面

49、 ADC. 又 BD平面 BCD，平面 ACD平面 BCD. (2)将ABC 沿 AB 翻折至点 C 到半圆 O 所在平面的距离为 2 的位置时， 若 V三棱锥CABD1 3SABD2 2 3SABD 取得最大值，则 SABD取得最大值 易知点 D 为AB 的中点时，SABD取得最大值，此时(SABD)max1 2211. ACAB，SABC1 2ACAB 1 2424. 设点 D 到平面 ABC 的距离为 h， V三棱锥CABDV三棱锥DABC， 1 321 1 34h，h 1 2. 故当三棱锥 CABD 的体积取得最大值时，点 D 到平面 ABC 的距离为1 2. 4 解析 (1)证明：如

50、图，取 AB 的中点 O，连接 EO，DO. 由ABE 为等腰直角三角形， 可得 EBEA， 所以 EOAB. 因为四边形 ABCD 为直角梯形，AB2CD2BC，ABBC， 所以四边形 OBCD 为正方形，则 BOOD，即 ABOD. 又 ODOEO，OD平面 ODE，OE平面 ODE， 所以 AB平面 ODE. 又 DE平面 ODE，所以 ABDE. (2)证明： 因为平面 ABE平面 ABCD， 平面 ABE平面 ABCDAB， ABBC， BC平面 ABCD，所以 BC平面 ABE. 又 AE平面 ABE，所以 BCAE. 又 AEBE，BCBEB，BC平面 BCE，BE平面 BCE，