2022届课标版（老高考）一轮复习理数讲义：第2章 函数第四节　二次函数与幂函数.docx

1、第四节第四节 二次函数与幂函数二次函数与幂函数 学习要求:1.了解幂函数的概念. 2.结合函数y=x,y=x 2,y=x3,y= ,y= 的图象,了解函数的性质. 1.二次函数 (1)二次函数的定义: 形如 f(x)=ax 2+bx+c(a0) 的函数叫做二次函数. (2)二次函数的三种表示形式: (i)一般式: f(x)=ax 2+bx+c(a0); (ii)顶点式: f(x)=a(x-m) 2+n(a0); (iii)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0). (3)二次函数y=ax 2+bx+c(a0)的图象和性质: a0 a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0 且 0”.

2、 (2)“ax 2+bx+c0(a0)恒成立”的充要条件是“a0 且 0 时,幂函数y=x 有下列性质: a.图象都经过点 (0,0) 、(1,1). b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大. (ii)当0 时,幂函数y=x 有下列性质: a.图象都经过点 (1,1) . b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小. (3)五种常见幂函数的图象: (4)五种常见幂函数的性质: 函数特 征性质 y=x y=x 2 y=x 3 y= y=x -1 定义域 R R R 0 + ) x|xR 且x0 值域 R 0 + ) R 0 + ) y|yR 且y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增

3、x0 + )时, 增,x(- 0 时,减 增 在0 + )上增 x(0 + )时,减, x(- 0)时,减 定点 (0,0),(1,1) (1,1) 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)函数y=2 是幂函数. ( ) (2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. ( ) (3)当n0),g(x)=log ax的图象可能是 ( ) 答案 D 由于本题中函数为y=x a(x0)与 y=logax,对于选项 A,没有幂函数图象,故 A 错误; 对于选项 B,由y=x a(x0)的图象知 a1,而由y=logax的图象知 0a0)的图象知 0a1,故 C 错误; 对于选项 D,

4、由y=x a(x0)的图象知 0a1,而由 y=logax的图象知 0a0 时,x 2-x-6=0,解得 x=-2(舍去)或x=3; 当x0 时,x 2+x-6=0,解得 x=2(舍去)或x=-3; 故f(x)的零点个数为 2.故选 B. 5.若a0,则 0.5 a,5a,5-a的大小关系是 ( ) A.5 -a5a0.5a B.5 a0.5a5-a C.0.5 a5-a5a D.5 a5-a0.5a 答案 B 5 -a=( ) .因为 a0,所以函数y=x a在区间(0 + )内单调递减.又 0.55,所以 5 a0.5a5-a. 6.(易错题)已知f(x)=x 3,若当 x1,2时, f(

5、x 2-ax)+f(1-x)0,则 a的取值范围是( ) A.a1 B.a1 C.a D.a 答案 C f(x)=x 3在区间(- + )内为奇函数且单调递增. 由f(x 2-ax)+f(1-x)0 得f(x 2-ax)f(x-1), x 2-axx-1,即 x 2-(a+1)x+10. 设g(x)=x 2-(a+1)x+1(1x2), 则 ( ) ( ) 解得 a .故选 C. 易错分析 忽视函数的奇偶性. 幂函数的图象与性质 典例 1 (1)若幂函数y=x -1,y=xm与 y=x n在第一象限的图象如图所示,则 m与n的取值情况 为 ( ) A.-1m0n1 B.-1n0m C.-1m0

6、n D.-1n0m1 (2)(2020 四川高三二模)已知点(3,28)在函数f(x)=x n+1 的图象上,设 a=f ( ),b= f(ln ) c=f ( ),则a,b,c的大小关系为( ) A.bac B.abc C.bca D.cab 答案 (1)D (2)D 解析 (1)在第一象限作出幂函数y=x m,y=xn,y=x,y=x-1的图象,在(0,1) 内取同一值 x0, 作直线x=x0,与各图象有交点, 易得 0m1,-1n0, 故选 D. (2)根据题意,点(3,28)在函数f(x)=x n+1 的图象上,则有 28=3n+1,解得 n=3, 则f(x)=x 3+1,易得 f(x

7、)在 R 上为增函数, 又 = = 1ln 所以ca1 y= 在第一象限内的图象与y=x2的图象类似,排除 B. 故选 A. 2.幂函数f(x)=(m 2-2m+1)x2m-1在(0 + )上为增函数,则实数 m的值为 ( ) A.0 B.1 C.1 或 2 D.2 答案 D 因为f(x)为幂函数,所以m 2-2m+1=1,解得 m=0 或m=2. 因为f(x)在(0 + )上为增函数,所以 2m-10,即m ,所以 m=2.故选 D. 3.(2019 安徽合肥一中高三模拟)已知幂函数f(x)=x n的图象过点( ),且 f(a+1)f(3),则a的 取值范围是 ( ) A.(-4,2) B.

8、(- -4)(2 + ) C.(- -4) D.(2 + ) 答案 B 已知幂函数f(x)=x n的图象过点( ),则 8 n= ,即 n=log8 =- , 故幂函数f(x)的解析式为f(x)= - , 若f(a+1)3,解得a2. 故选 B. 二次函数的解析式 1.已知二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(0,0)和(-2,0),且函数f(x) 有最小值-1,则f(x)= . 答案 x 2+2x 解析 根据题意设二次函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a0), 即f(x)=ax 2+2ax,由题意得 - =-1, 解得a=1 f(x)=x 2+2x. 2.已知二次函数f(

9、x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为 2,并且对任意x R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式. 解析 f(2+x)=f(2-x)对任意的xR 恒成立, f(x)的图象的对称轴为直线x=2. 又f(x)的图象被x轴截得的线段长为 2, f(x)=0 的两根为 1 和 3. 设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0), f(x)的图象过点(4 3) 3a=3 a=1, f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x 2-4x+3. 3.已知函数f(x)为二次函数,且f(x-1)+f(x)=2x 2+4,求 f(x)的解析式. 解析 设f(x)=

10、ax 2+bx+c(a0),由题意得 a(x-1) 2+b(x-1)+c+ax2+bx+c=2ax2+(2b-2a)x+a- b+2c=2x 2+4, - - 解得 . f(x)=x 2+x+2. 4.已知函数f(x)=ax 2+6x-2b+3(a,b 为常数),在x=1 时, f(x)取得最大值 2,求f(x)的解析 式. 解析 当a0 时, 由题意,得- - 解得 - . f(x)=-3x 2+6x-1, 当a=0 时,不符合题意, 故f(x)=-3x 2+6x-1. 方法技巧 求二次函数解析式的策略 (1)已知三点坐标,选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最值,选用顶点式. (3)

11、已知与x轴的交点坐标,选用零点式. 二次函数的图象、性质及应用 角度一 二次函数的图象 典例 2 下图是二次函数y=ax 2+bx+c(a0)图象的一部分,图象过点 A(-3,0),对称轴为直 线x=-1,给出下面四个结论:b 24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即 b 24ac 中结论正确;因为 对称轴为直线x=-1,即- =-1,所以 2a-b=0 中结论错误;结合图象可知,当 x=-1 时,y0,即a- b+c0 中结论错误;由对称轴为直线x=-1 知b=2a,又函数图象开口向下,所以a0,所以 5a2a, 即 5ab 中结论正确,故选 B. 角度二 二次函数的单调性 典例

12、3 已知函数f(x)=x 2+2ax+3,x-4,6. (1)若y=f(x)在-4,6上是单调函数,求实数a的取值范围; (2)当a=-1 时,求f(|x|)的单调区间. 解析 (1)函数f(x)=x 2+2ax+3 的图象的对称轴为直线 x=- =-a, 要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4 或-a6,解得a4 或a-6. 故a的取值范围是(- -64 + ). (2)当a=-1 时, f(|x|)=x 2-2|x|+3 = ( ) - - ( - ) f(|x|)的单调递减区间是-4,-1)和(0,1),单调递增区间为-1,0和1,6. 变式探究 1 若函数f(x)=x 2+2

13、ax+3 在-4 + )上为增函数,求 a的取值范围. 解析 f(x)=x 2+2ax+3 在-4 + )上为增函数,且其图象的对称轴为直线 x=-a, -a-4,即a4. 变式探究 2 若函数f(x)=x 2+2ax+3 的单调增区间为-4 + ) 则 a为何值? 解析 f(x)=x 2+2ax+3 的单调增区间为-4 + ) 且其图象的对称轴为直线 x=-a -a=-4, 即a=4. 角度三 二次函数的最值问题 典例 4 已知函数f(x)=x 2+(2a-1)x-3. (1)当a=2,x-2,3时,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)在1,3上的最大值为 1,求实数a的值. 解析

14、(1)当a=2 时, f(x)=x 2+3x-3=( ) - ,又x-2,3,所以f(x)min=f (- )=- , f(x)max=f(3)=15,所以函数f(x)的值域为*- +. (2)由题意可知,函数f(x)的图象的对称轴为直线x=- - . 当- - 1,即a- 时, f(x)max=f(3)=6a+3,即 6a+3=1,解得 a=- ,满足题意; 当- - 3,即a- 时, f(x)max=f(1)=2a-3,即 2a-3=1,解得 a=2,不满足题意; 当 1- - 3,即- a2x+m 恒成立,求实数m的取 值范围. 解析 由题意可知, f(x)2x+m等价于x 2-x+12

15、x+m,即 x 2-3x+1-m0,令 g(x)=x 2-3x+1-m,要 使g(x)0 在-1,1上恒成立,只需使函数g(x)在-1,1上的最小值大于 0 即可. g(x)=x 2-3x+1-m 在-1,1上单调递减, g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-10 得mlg 100=2,t2lg 100=2, 令f(x)=kx 2+3(k-1)x+2k,易知 k0,则有kf(2)0,即k(12k-6)0,解得 0k . 名师点评 1.二次函数、二次方程与二次不等式常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心, 通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,解决此类问题首先采用转化的思想,把方程、

16、不等式问 题转化为函数问题.借助函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键: (1)一般有两种解题思路:一是分离参数;二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于使用哪种思路解题,关键是看参数是否 容易分离.这两种思路的依据:af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min. 1.已知mZ,一元二次方程x 2+mx+3=0 有两个实数根 x1,x2,且 0 x12x24,则m= . 答案 -4 解析 因为一元二次方程x 2+mx+3=0 有两个实数根 x1,x2,且 0 x12x24,所以

17、二次函数 f(x)=x 2+mx+3 分别在(0,2)和(2,4)内各有一个零点. 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 解得 - - 即- m- .因为 mZ,所以m=-4. 2.已知a是实数,函数f(x)=2ax 2+2x-3 在-1,1上恒小于零,则实数 a的取值范围 是 . 答案 (- ) 解析 由题意可知,2ax 2+2x-30 在-1,1上恒成立. 当x=0 时,-30,成立; 当x0 时,a ( - ) - , 令g(x)= ( - ) - ,x-1,0)(0,1, 由上式可知,当x=1 时,g(x)取最小值 a . 综上,实数a的取值范围是(- ). 3.已

18、知二次函数f(x)=x 2-4x+3,当 x0,m时,试确定f(x)的最大值. 解析 已知f(x)=x 2-4x+3=(x-2)2-1,x0,m, 当 0m2 时,函数f(x)在区间0,m上单调递减,则f(x)max=f(0)=3; 当 2m4 时,函数f(x)在区间0,2上单调递减,在区间(2,m上单调递增, f(0)=3, f(m)=m 2-4m+3=m(m-4)+33, 则f(x)max=f(0)=3; 当m4 时,函数f(x)在区间0,2上单调递减,在区间(2,m上单调递增, f(0)=3, f(m)=m 2-4m+3=m(m-4)+33, 则f(x)max=f(m)=m 2-4m+3

19、. 综上所述, f(x)max= - . A 组 基础达标 1.若幂函数f(x)的图象经过点( ),则该函数的图象( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 答案 B 设f(x)=x ,依题意得( ) =4,解得 =-2, 所以f(x)=x -2,因为 f(-x)=(-x) -2=x-2=f(x), 所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称. 故选 B. 2.(2020 四川宜宾第四中学模拟)若a=( ) ,b=( ) ,c=( ) ,则 a,b,c的大小关系是 ( ) A.abc B.cab C.bca D.ba0)是增函数 a=( ) b=( )

20、. y=( ) 是减函数 a=( ) c=( ) baf(1),则( ) A.a0,4a+b=0 B.a0,2a+b=0 D.af(1), f(4)f(1),所以f(x)先减后增,所以a0,故选 A. 4.(2020 广东潮州高级中学模拟)若幂函数y= - (mZ)的图象如图所示,则 m的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 因为y= - (mZ)的图象与坐标轴没有交点,所以 m 2-4m0,即 0m4.又因为函数 的图象关于y轴对称,且mZ,所以m 2-4m 为偶数,因此m=2. 5.(2020 湖南怀化第一中学模拟)已知幂函数f(x)=(n 2+2n-2) - (nZ)在(

21、0 + )上是减 函数,则n的值为 ( ) A.-3 B.1 C.2 D.1 或 2 答案 B 6.(2020 湖北荆州质量检查)若对任意的xa,a+2,均有(3x+a) 38x3成立,则实数 a的取值范 围是 ( ) A.(- -2 B.(- -1 C.(- 0 D.0 + ) 答案 B 因为(3x+a) 38x3,y=x3在 R 上递增,所以 3x+a2x,解得 x-a,即x(- -a,因为 对任意的xa,a+2,均有(3x+a) 38x3成立,所以a,a+2是(- -a的子集,所以 a+2-a,所 以a-1,即a的取值范围是(- -1,故选 B. 7.已知幂函数f(x)= - ,若f(a

22、+1)0),易知x(0 + )时, f(x)为减函数, f(a+1)f(10-2a), - - 解得 - 3a5. 8.已知关于x的方程(m-2)x 2+3mx+1=0 的两个根分别在区间(-1,0)和(0,2)内,则 m的取值范围 为 . 答案 - m 解析 设f(x)=(m-2)x 2+3mx+1,因为 f(x)=0 的两个根分别在区间(-1,0)和(0,2)内, 所以 ( ) - ( - ) (- ) ( ) ( ) ( ) 即 - (- - ) ( - ) 所以- m . 9.(2020 湖北汉川第一中学模拟)已知二次函数的图象与x轴只有一个交点,与y轴交于点(0,3), 对称轴为直线

23、x=3,则它的解析式为 . 答案 y= x 2-2x+3 解析 由题意可设二次函数的解析式为y=a(x-3) 2,又图象与 y轴交于点(0,3),所以 3=9a,即 a= .所以 y= (x-3) 2= x 2-2x+3. B 组 能力拔高 10.若 0mn,kQ 且k0,则( ) 与( ) 的大小关系是 . 答案 ( ) ( ) 解析 因为 0m 0. 又因为函数y=x k(kQ,k0)在(0 + )上单调递减, 所以( ) 0, 由题意可知函数在x= 处取得最小值, 即f( )=a ( - )+1= , 解得a=1,故函数f(x)的解析式为f(x)=x(x-1)+1=x 2-x+1. (2

24、)f(x)=x+m,即x 2-x+1=x+m, 故m=x 2-2x+1, 原问题等价于直线y=m与函数y=x 2-2x+1 的图象在区间(-1,2)上有且只有一个交点,函数图象如 图所示, 观察图象可得实数m的取值范围是m|m=0 或 1m0,bR,cR). (1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)= ( ) - ( ) 求 F(2)+F(-2)的值; (2)若a=1,c=0,且|f(x)|1 在区间(0,1上恒成立,求b的取值范围. 解析 (1)由题意得a-b+c=0,且- =-1,又 c=1,解得a=1,b=2, 所以f(x)=x 2+2x+1=(x+1)2. 所以F(x)=( ) -( ) .所以 F(2)+F(-2)=(2+1) 2+-(-2+1)2=8. (2)由题意得f(x)=x 2+bx,原问题等价于-1x2+bx1 在(0,1上恒成立, 即b -x 且b- -x 在(0,1上恒成立. 又当x(0,1时,( - ) =0, (- - ) =-2,所以-2b0.故 b的取值范围是-2,0.