2022届课标版（老高考）一轮复习理数讲义：第1章 集合与逻辑用语 第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件.docx

1、第二节第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件 学习要求:1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题间的相 互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的陈述句叫做命题,其中 判 断为真 的语句叫做真命题, 判断为假 的语句叫做假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系: (2)四种命题的真假关系: (i)两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性; (ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 没有关系

2、 . 提醒 在判断命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与 结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性. 3.充分条件与必要条件 (1)若pq,则p是q的 充分 条件,q是p的 必要 条件. (2)若pq,且q/ p,则p是q的 充分不必要 条件. (3)若p/ q,且qp,则p是q的 必要不充分 条件. (4)若pq,则p是q的 充要 条件. (5)若p/ q,且q/ p,则p是q的 既不充分也不必要 条件. 提醒 不能将“若p,则q”与“pq”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有 “pq”. 知识拓展 从集合的角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式

3、出现,q以集合B的形式出现,即A=x|p(x),B=x|q(x),则关于充分条件、 必要条件又可以叙述为: (1)若AB,则p是q的充分条件; (2)若AB,则p是q的必要条件; (3)若A=B,则p是q的充要条件; (4)若AB,则p是q的充分不必要条件; (5)若AB,则p是q的必要不充分条件; (6)若AB且AB,则p是q的既不充分也不必要条件. 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)“x 2-3x+2=0”是命题. ( ) (2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系. ( ) (3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( ) (4)若p是q

4、成立的充分条件,则q是p成立的必要条件. ( ) (5)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”. ( ) (6)一个命题非真即假. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2.“若x1,则x0”的否命题是 ( ) A.若x1,则x0 B.若x1,则x0 C.若x1,则x0 D.若x1,则x0,b0,则“ab1”是“a+b2” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 已知a0,b0, 充分性: 若ab1,因为a 2+b22ab,所以(a+b)24ab,所以(a+b)24,所以 a+b2; 必要性: 若a+b2

5、,则当a=3,b= 时,ab=1,所以必要性不成立. 因此“ab1”是“a+b2”的充分不必要条件. 5.(易错题)“ln x0”是“x1”的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 因为 ln x0,所以 0 x1,又集合(0,1)为集合(-,1)的真子集,所以“ln x0”为 “xb,则ac 2bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题 共有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 答案 C 若c=0,则原命题不成立,故原命题为假命题,由等价命题同真同假知其逆否命题也为 假; 逆命题:设a,b,cR,若“ac

6、 2bc2,则 ab”.由ac 2bc2知 c 20,由不等式的基本性质得 ab, 逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,真命题共有 2 个. 故选 C. 2.以下命题的说法正确的是 (填序号). “若 log2a0,则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数”是真命题; 命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a0,则ab0”; 命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题; 命题“若aM,则bM”与命题“若bM,则aM”等价. 答案 充分条件、必要条件的判断 1.(2020 四川达州高三第三次诊断性测试)已知条件p:ab,条件q:a 2b2,则 p

7、是q的 ( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D 当a=1,b=-2 时,a 2b2时,a2-b20, 即(a-b)(a+b)0, 所以ab且a+b0 或ab且a+b0,x+ a 成立”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A x0 时,x+ 2, “x0,x+ a”等价于 a2, 而a=2 可以推出a2,但a2 不能推出a=2, “a=2”是“x0,x+ a 成立”的充分不必要条件,故选 A. 4.集合A=x|x1,B=x|x2,则“xA或xB”是“x(AB)”的 条 件.

8、 答案 必要不充分 名师点评 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据pq,qp进行判断. (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,判断原命题的逆否命题的真假.这个 方法特别适合以否定形式给出的问题. 充分、必要条件的应用 典例 2 (1)设:1x3,:m+1x2m+4,mR,若是的充分条件,则m的取值范 围是 . (2)已知条件p:2x 2-3x+10,条件 q:x 2-(2a+1)x+a(a+1)0.若p 是q的必要不充分条件, 则实数a的取值范围是 . 答案 (1)*- , + (2)* , + 解析 (1)若

9、是的充分条件,则对应的集合是对应集合的子集,则 , , , 解得- m0. (2)由 2x 2-3x+10,得 x1,设条件 p对应的集合为P,则P=, -. 由x 2-(2a+1)x+a(a+1)0,得 axa+1,设条件q对应的集合为Q,则Q=x|axa+1. p是q的必要不充分条件,q是p的必要不充分条件, PQ,0a , 实数a的取值范围是* , +. 名师点评 1.解题“2 关键”: (1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系. (2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解. 2.解题“1 注意”: 求参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关

10、系求参 数的取值范围时,不等式能否取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 1.(2020 陕西山阳中学高三月考)已知集合A= - ,集合B=x|x 2-(2m+1)x+m2+m0,p:x A,q:xB,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是 . 答案 -2,1 解析 集合A= - = - =x|-2x2, 集合B=x|x 2-(2m+1)x+m2+m0 =x|mx0),若 p是q的必要不充分条件, 则实数a的取值范围是 . 答案 (0,2 解析 |x-1|2,-1x3,即p:-1x3; x 2-2x+1-a20(a0),x1-a 或x1+a, q:1-ax1+a,

11、p是q的必要不充分条件, , - - , , 解得 0a2, 实数a的取值范围是(0,2. A 组 基础达标 1.命题“若xa 2+b2,则 x2ab”的逆命题是 ( ) A.若xa 2+b2,则 x2ab B.若xa 2+b2,则 x2ab C.若x2ab,则xa 2+b2 D.若x2ab,则xa 2+b2 答案 D 2.(2020 河北邯郸鸡泽第一中学高三月考)下列命题是真命题的为 ( ) A.若 = ,则 x=y B.若x 2=1,则 x=1 C.若x=y,则 = D.若xy,则x 2b+ ”是“ab”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不

12、必要条件 答案 A 若 0b+ 能够推出 ab. 当a= ,b= 时,满足 ab,但此时a+ b推不出a+ b+ , 综上,“a+ b+ ”是“ab”的充分不必要条件.故选 A. 7.设,是两个不同的平面,m是直线且m,“m”是“”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 结合平面与平面平行的判定与性质进行判断.当m时,过m的平面与可能 平行也可能相交,因而m/;当时,内任一直线与平行,因为m,所 以m.综上知,“m”是“”的必要不充分条件. 8.(2020 浙江湖州中学高三模拟)已知a,bR,则“log3alog3b”是“( )

13、 log3b得ab0,因为y=( ) 是减函数,所以( ) ( ) 成立;当( ) b成立,因为正负不确定,所以不能推出 log3alog3b,故“log3alog3b”是“( ) 2 答案 B 若直线与圆有公共点,则圆心(0,0)到直线kx-y-3=0 的距离d= |- | 1,即 3,k 2+19,即 k 28,k2 或 k-2 ,由选项知圆x 2+y2=1 与直线 y=kx-3 有公共点的 充分不必要条件是k-2 ,故选 B. 10.已知条件p:|x-4|6;条件q:(x-1) 2-m20(m0),若 p是q的充分不必要条件,则m的取值 范围是 ( ) A.21,+) B.9,+) C.

14、19,+) D.(0,+) 答案 B 由题意知,条件p:-2x10,条件q:1-mxm+1,又p是q的充分不必要条件,故有 - - , , , 解得m9. 11.(2020 江苏扬州中学高三月考)“ab”是“3 a3b”的 条件(填“充分不必要”“必要 不充分”“既不充分也不必要”或“充要”). 答案 充要 解析 因为y=3 x在 R 上是增函数, 所以当ab时,3 a3b,故充分性成立; 当 3 a3b时,ab,故必要性成立. 故“ab”是“3 a3b”的充要条件. 12.(2020 黑龙江鹤岗一中期末)下列命题中为真命题的是 .(填序号) 命题“若xy,则x|y|”的逆命题; 命题“若x1

15、,则x 21”的否命题; 命题“若x=1,则x 2+x-2=0”的否命题; “若x 24,则-2x|y|,则xy”,为真命题, 对于,命题的否命题为“若x1,则x 21”,为假命题, 对于,命题的否命题为“若x1,则x 2+x-20”,为假命题, 对于,命题“若x 24,则-2x2”为真命题,故其逆否命题为真命题, 综上,为真命题. C 组 思维拓展 13.(2020 河南高三模拟)若关于x的不等式(x-a)(x-3)0 成立的充要条件是 2x3,则 a= . 答案 2 解析 因为 2x3 是不等式(x-a)(x-3)0 成立的充分条件,所以a2, 因为 2x3 是不等式(x-a)(x-3)0 成立的必要条件, 所以 2a3,故a=2. 14.设集合A=x|x(x-1)0,B=x|0 x3,那么“mA”是“mB”的 条件(填 “充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 答案 充分不必要 解析 由mB不能推出mA,如x=2,故必要性不成立. 由xA能推出xB, 所以“mA”是“mB”的充分不必要条件. 15.在熟语“水滴石穿”中,“石穿”是“水滴”的 条件(填“充分不必要”“必要不 充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 答案 必要不充分 解析 “水滴”可以推出“石穿”,但“石穿”推不出“水滴”,有可能是“化学腐蚀”,故 “石穿”是“水滴”的必要不充分条件.