小题压轴题专练11—双曲线(2)-2021届高三数学二轮复习含答案.doc
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1、小题压轴题专练小题压轴题专练 11双曲线(双曲线(2) 一、单选题 1已知 1 F, 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左,右焦点,过 1 F的直线交双曲线的 左支于A,B两点,若 11 3AFFB, 2 3 cos 5 AF B,则双曲线的离心率(e ) A 5 2 B 5 2 C 10 2 D 5 3 解:设 1 |BFm,则 1 | 3AFm, 由双曲线的定义知, 21 | 2BFBFa, 21 | 2AFAFa, 2 |2BFma, 2 | 32AFma, 在 2 ABF中,由余弦定理知, 222 22 2 22 | cos 2| | AFBFAB AF
2、 B AFBF , 222 3(32 )(2 )(4 ) 52(32 )(2 ) mamam ma ma ,化简得, 22 230aamm, ma或 1 3 ma (舍负) , 1 |BFa, 2 | 3BFa, 2 | 5AFa,| 4ABa, 222 22 |ABBFAF,即 2 90ABF, 222 1212 |BFBFFF,即 222 (3 )(2 )aac, 22 52ac,离心率 10 2 c e a 故选:C 2已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为 1 F,若直线: l yx k, 3 , 3 3 k与 双曲线C交于M、N两点,且 11 MFNF
3、,则双曲线C的离心率的取值范围是( ) A(1,2) B 2,2) C 2, 31 D(2, 31 解:如图, 由直线: l yx k, 3 , 3 3 k,可得直线l的倾斜角为 6 , 3 , 11 MFNF,由对称性可得四边形 12 MF NF为矩形,则 12 | | 2MNFFc, 则|ONc,得( cos , sin)N cc, 由N在双曲线上,可得 2222 222 1 c cosc sin aca , 整理可得: 422 cos210ee 解得 2 1 1sin e 或 2 1 1sin e (舍) 6 , 3 , 22 2 242 3( 31) 23 e 剟, 即231e剟; 又
4、3 b a , 22 2 3 ca a ,即 22 4ca,得2 c e a 双曲线C的离心率的取值范围是(2,31 故选:D 3设点A,B分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点,点M,N分别在双 曲线C的左、右支上,若5MNAM, 2 MBMN MB,且| |MBNB,则双曲线C的离 心率为( ) A 65 5 B 85 5 C13 5 D17 7 解:设|AMm,则| 5 (0)MNm m, 22 ()MBMN MBMBBNMBMBBN MB, 0BN MB,即BNMB, 则 222 |MBBNMN,即 222 (2)(62 )(5 )ammam, 解得
5、ma或 2 3 ma 若 2 3 ma时, 8 | 3 BMa,| 2NBa,不满足| |MBNB(舍去) , 若ma时,| 3BMa,| 4NBa,满足| |MBNB,则ma |44 cos |55 BNa MNB MNa , 在ANB中, 222 |2| cosABANBNANBNMNB 即 222 4 43616264 5 caaaa, 整理得 22 68 4 5 ca,即 2 17 5 e ,得 1785 55 e 故选:B 4已知双曲线 22 :1 916 xy C,其左、右焦点分别为 1 F, 2 F,点M的坐标为(3,2),双曲线 C上的点 0 (P x, 00 )(0yx ,
6、0 0)y 满足 11121 112 | FP FMFFFM FPFF ,则 1 PMF与 2 PMF面积的 差 12 ( PMFPMF SS ) A2 B2 C4 D6 解:双曲线 22 :1 916 xy C的3a ,4b ,5c , 11121 112 | FP FMFFFM FPFF , 11112 | cos| cosMFMFPMFMFF, 112 MFPMFF , 1( 5,0) F 、 2(5,0) F,点(3,2)M, 1 | 2 17MF, 2 | 2 2MF , 12 | 210FFc, 故由余弦定理可得 222 1122 12 112 |6810084 cos 2| |2
7、 2 17 1017 MFFFMF MFF MFFF , 2 1212 15 cos2cos1 17 PFFMFF , 2 1212 8 sin1 17 PFFcosPFF, 12 12 12 sin8 tan cos15 PFF PFF PFF , 直线 1 PF的方程为 8 (5) 15 yx 把它与双曲线联立可得 16 (5,) 3 P, 1 34 | 3 PF, 12 1 sin 17 MFF, 1 1 34134 2 17 23317 S MPF , 2 11616 2 233 PMF S , 12 3416 6 33 PMFPMF SS 故选:D 5已知双曲线 22 22 1(0,
8、0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,P是双曲线上一点, 12 PFF是以 1 FP为底边的等腰三角形, 且 21 60120PF F , 则该双曲线的离心率的取值范 围是( ) A(1,2) B 31 (,) 2 C 31 (1,) 2 D 31 (,2) 2 解: 12 PFF是以 1 FP为底边的等腰三角形, 212 | | 2PFFFc, 在 12 PFF中,由余弦定理知, 222 112212221 |2| |cosPFFFPFFFPFPF F 222 2121 442 22cos8(1cos)ccccPF FcPF F 121 | 2 21cosPFcPF
9、F, 由双曲线的定义知, 1221 2| |2 21cos2 |aPFPFcPF Fc, 21 60120PF F , 21 11 cos 22 PF F, 21 26 1cos 22 PF F, 21 02 21cos2(2 32)cPF Fcc, 02(2 32)ac, 离心率 31 2 c e a ,即 31 (,) 2 e 故选:B 6已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c,点P在双 曲线C支上,满足 1212 | |PFPFPFPF, 12 | 3|PFPF,又直线:3430lxyc与双 曲线C的左、右
10、两支各交于一点,则双曲线C的离心率的取值范围是( ) A 10 5 (, ) 34 B 13 5 (, ) 34 C 513 ( ,) 42 D 510 ( ,) 42 解:以 1 PF, 2 PF为边,作平行四边形 12 PFEF, 如图所示: 则 12 PFPFPE, 1221 PFPFF F, 又 1212 | |PFPFPFPF,所以 21 | |PEF F, 因为对角线相等的平行线四边形是矩形,所以 12 PFPF, 根据双曲线的性质,可知 12 | 2PFPFa, 因为 12 | 3|PFPF,所以 122 | 22|PFPFaPF, 即 2 |PFa, 12 | 2| 3PFaP
11、Fa, 在Rt 12 PFF中,有 2222 1212 |4PFPFFFc, 又 12 | 2PFPFa,所以 2222 121212 (|)|2| 4PFPFPFPFPFPFa, 所以 22222 1212 2| | |444PFPFPFPFaca, 因为 2 |PFa, 1 | 3PFa,即 2 12 | | 3PFPFa, 所以 222 12 2| | 446PFPFcaa,解得 2 2 2 5 2 c e a , 又因为双曲线的离心率(1,)e,所以 10 1 2 e, 由题意知,双曲线的渐近线方程为 b yx a , 又直线:3430lxyc与双曲线C的左右两支各交于一点, 所以直线
12、l的斜率大于双曲线的渐近线 b yx a 的斜率, 所以 3 4 b a ,即 3 4 b a , 所以 222 2 22 9 1 16 bca e aa ,解得 5 4 e (或 5 4 e 舍去) , 综上所述, 510 ( ,) 42 e 故选:D 7已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F,M是双曲线右支上的一点,点M关 于原点的对称点为N,若F在以MN为直径的圆上,且 5 , 3 12 FNM ,则该双曲线的离 心率的取值范围是( ) A(1, 2 B 2, 31 C(1, 31 D 2,) 解:由题意可知FMFN,设双曲线右焦点为F,则四边形MFNF为矩
13、形, OMOFc ,MFFN , 设MFm,MFn ,则 222 4mnc, 由双曲线定义可知:2mna,故 222 24mnmna, 22 22mnca, 22 1 2 MFF Smnca , 设FMN,则2MOF ,故 2 11 sin2sin2 22 MOF Sc cc , 又2 MFFMOF SS , 222 sin2cac, 5 , 3 12 FNM , 所以, 12 6 故 22(1 sin2 )ac, 2 2 2 1 1sin2 c e a , 2 6 , 3 , 1 sin22, 3) 2 , 2 2e,故2e并且 2 42 3e,故31e 该双曲线的离心率的取值范围是 2,3
14、1 故选:B 8设 1 F、 2 F是椭圆 1 C和双曲线 2 C的公共焦点,P是它们的一个公共点,且 12 | |PFPF, 线段 1 |PF垂直平分线经过 2 F,若 1 C和 2 C的离心率分别为 1 e、 2 e,则 12 9ee的最小值( ) A2 B4 C6 D8 解:设椭圆 1 C的方程为 22 22 11 1 xy ab ,焦距为 1 2c, 双曲线 2 C的方程为 22 22 22 1 xy ab ,焦距为 2 2c, 1 F、 2 F是椭圆 1 C和双曲线 2 C的公共焦点, 12 22ccc 线段 1 |PF垂直平分线经过 2 F, 212 | | 2PFFFc, 12
15、|22PFac , 由 1212 | 242PFPFaca,得 12 2aac, 则 12 12 11 2 aa eec ,则 12 1 11 ()1 2 ee , 1 0e , 2 0e , 12 1212 1221 91111 9(9)()(10) 22 ee eeee eeee 12 21 911 (102)(1023)8 22 ee ee 当且仅当 12 3ee时,上式等号成立 12 9ee的最小值为 8 故选:D 9已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F,以 1 OF为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点M,若线段 1 MF交双曲
16、线于点P,且 21 | 5|PFPF,则双曲线的 离心率为( ) A 26 4 B 34 4 C2 D3 解:由双曲线的定义知, 21 | 2PFPFa, 21 | 5|PFPF, 1 | 2 a PF, 2 5 | 2 a PF , 点M在以 1 OF为直径的圆上, 1 90FMO, 焦点 1( ,0)Fc到渐近线 b yx a 的距离 1 2 | | ( )1 b c a MFb b a , 在Rt 1 FMO中, 1 12 1 | cos | MFb MFF OFc , 在 12 PFF中,由余弦定理知, 22 2 22222 1122 12 112 25 4 |23 44 cos 2|
17、 | 22 2 aa c PFFFPFca MFF a PFFFac c , 22 23bca cac ,化简得 22 23caab, 222 2()3abaab,解得ba或2ba (舍), 22 2 2 1( )2 abb e aa 故选:C 10已知点 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Tab ab 的左、右焦点,过 2 F的直线与双 曲线T的左、右两支分别交于A、B两点,若 11 |:|:| 5:5:4AFBFAB ,则双曲线T的离心 率为( ) A 46 2 B46 C2 7 D7 解: 11 |:|:| 5:5:4AFBFAB , 设 2 |BFm, 1
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