小题压轴题专练5 三角（1）-2021届高三数学二轮复习含答案.doc

1、小题压轴题专练小题压轴题专练 5三角（三角（1） 一、单选题 1已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，若椭圆上存在点 P使 1221 sinsin ac PFFPF F ，则该椭圆的离心率的取值范围为( ) A(0, 21) B 2 (,1) 2 C 2 (0,) 2 D( 21，1) 解：在 12 PFF中，由正弦定理得： 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知得： 21 ac PFPF ，即： 12 aPFcPF 设点 0 (P x， 0) y由焦点半径公式，得： 10 PFaex， 20

2、PFaex 则 00 ()()a aexc aex解得： 0 ()(1) ()(1) a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知： 0 xa 则 (1) (1) a e a e e ， 整理得 2 210ee ，解得：21e 或21e ，又(0,1)e， 故椭圆的离心率：( 21e，1)， 故选：D 2在ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且32ABAC，若 BE t CF 恒成立，则t的 最小值为( ) A 3 4 B 7 8 C1 D 5 4 解：根据题意画出图形，如图所示： 32ABAC， 3 2 ACAB， 又E、F分别为AC、AB的中点， 1 2 AEAC， 1 2

3、AFAB， 在ABE中，由余弦定理得： 222 2cosBEABAEAB AEA 2222 33253 ()2coscos 44162 ABABABABAABABA， 在ACF中，由余弦定理得： 222 2cosCFAFACAF ACA 2222 131353 ()()2coscos 222222 ABABABABAABABA， 22 2 2 22 253253 coscos 162162 5353 coscos 2222 ABABAA BE CF ABABAA ， 253 cos 15 162 1 53 4024cos cos 22 A BE CFA A ， 当cos A取最小值时， BE

4、CF 比值最大， 当A时，cos1A ，此时 BE CF 达到最大值，最大值为 157 1 40248 ， 则 BE t CF 恒成立，t的最小值为 7 8 故选：B 3已知ABC为锐角三角形，D，E分别为AB，AC的中点，且CDBE，则cos A的取 值范围是( ) A 1 (2，1) B 16 ( ,) 23 C 4 5，1) D 4 5， 6 ) 3 解：设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b， 设CD，BE交于G，连接AG，延长交BC于F，则F为BC的中点， 由CDBE，可得 11 22 FGBCa，AGa， 3 2 AFa， 在ABF中， 222 3131 ()()2cos 2

5、222 caaaaAFB， 在ACF中， 222 3131 ()()2cos 2222 baaaaAFC， 上面两式相加，结合AFBAFC， 可得 222 5cba， 又ABC为锐角三角形，可得 222 abc， 222 bca， 222 cab， 可得 22 32bc， 22 32cb， 则 2 2 23 32 b c ，即 66 32 b c ， 又 2222 222 1 () 224 5 cos()2 22555 bcbc bcabc A bcbccb ， 当且仅当bc，取得最小值 4 5 ； 设 66 () 32 b tt c ，则 1 ( )f tt t 在 6 ( 3 ，1)递减，

6、在 6 (1,) 2 递增， 可得 665 6 ()() 326 ff，则 46 cos 53 A， 故选：D 4ABC中3ABAC，ABC所在平面内存在点P使得 222 33PBPCPA，则 ABC面积最大值为( ) A 2 23 3 B 5 23 16 C 35 4 D 3 35 16 解：以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴， 建立直角坐标系， 设(,0)Ba，( ,0)C a，(0)a ，则 2 (0, 3)Aa， 设( , )P x y，由 222 33PBPCPA，可得 2222222 ()()3(3) 3xayxayxya， 可得 222 3 2 xya， 222 (3)1

7、xya， 即有点P既在(0,0)为圆心，半径为 2 3 2 a的圆上， 也在 2 (0, 3)a为圆心，1 为半径的圆上， 可得 222 33 |1|31 22 aaa剟， 由两边平方化简可得 2 23 16 a ， 则ABC的面积为 222422 139 2333() 224 Saaaaaaa， 由 2 23 16 a ，可得 2 23 16 a ，S取得最大值，且为 5 23 16 故选：B 5在ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，若BDCE，则cosA的最小值为( ) A 4 5 B 3 4 C 2 3 D 1 2 解：依题意，如图，设(0, )Cc，( ,0)B b，(0,0)b

8、c， 则因为D为AC中点，(,)Abc，( 2 b D ，0) 又因为E为AB中点，(0,) 2 c E， ( ,2 )ACbc，(2 , )ABb c 则 2 22 2222 22 2( )2 22 cos 44 ( )44( )1 b bc c A bb bcbc cc ， 令 2 2( )2 b t c ，则2t ， 22 1 cos 919 1 (3)(23)99( ) 222 tt A t ttt tt ， 当 9 11 2 2( 9)4t ，即4t 时，cos A有最小值 4 5 故选：A 6在边长为 3 3 的正三角形ABC的边AB、AC上分别取M、N两点，沿线段MN折叠三 角形

9、，使顶点A正好落在边BC上，则AM的长度的最小值为( ) A 1 4 B 1 3 C23 D 3 3 2 解：显然A，P两点关于折线MN对称， 连接MP，图（2）中，可得AMPM，则有BAPAPM， 设BAP，2BMPBAPAPM ， 再设AMMPx，则有 3 3 MBx， 在ABC中，180120APBABPBAP， 1202BPM， 又60MBP， 在BMP中，由正弦定理知 sinsin BMMP BPMMBP ， 即 3 3 sin(1202 )sin60 x x ， 1 2 3 sin(1202 ) 2 x ， 060剟，01202120 剟， 当120290，即15时，sin(120

10、2 )1 此时x取得最小值 1 1 2 23 323 1 2 ，且75AME则AM的最小值为23 故选：C 7在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且点 D 满足， 若 cosABC，则 2c+a 的最大值为（ ） A B C D3 解：由题意可得：+， +， 则，2+可得 32， 因为2，可得 32+， 两边平方，可得：9|24|2+|BC|2+4， 所以：184c2+a2+4|cosABC， 可得 184c2+a2+ac， 可得 18（2c+a）23ac，即 18（2c+a）22ca， 因为 2ac（）2， （由 2c+a2得出） ，当且仅当 a2c 时等号成立， 所以

11、（2c+a）218（）2， 令 2c+at，则 t218t2，且 t0， 解得 0t，当且仅当 a2c 时等号成立，即 2c+a 的最大值为 故选：A 8在ABC中，若 2 2sincos1AB，则 8 cos ABBC BCAAC 的取值范围为( ) A4 3,8) B4 3,7) C(7,8) D(0,4 3) 解：因为 2 2sincos1AB，所以 2 cos12sincos2BAA ， 因为A、(0, )B，所以2BA， 则 222 88sin8sinsincoscossin8sinsincos22sin8sincos224433 4cos coscossincossinsincos

12、sinsincos2sincoscoscoscoscos ABBCcaCAABABAAAAcos AAAcos Acos A A BCAACaAbAABAABAAAAAAAA ， 因为02BA，03CA，所以0 3 A ， 故 1 cos(2A，1)， 设cos At，则 1 (2t，1)， 所以 83 4 cos ABBC t BCAACt ，设 3 ( )4f tt t ， 1 (2t，1)， 则 2 3 ( )4f t t ，令( )0f t，可得 3 2 t ， 所以( )f t在 1 (2， 3) 2 单调递减，在 3 ( 2 ，1)单调递增， 由于 1 ( )8 2 f， 3 ()

13、4 3 2 f，f（1）7， 可得( )4 3f t ，8)， 所以 8 cos ABBC BCAAC 的取值范围为4 3，8) 故选：A 9已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3 sin3cos a cBB 若 ABC的外接圆直径为 4 3 3 ，则bc的取值范围为( ) A(2，4 B( 3,4 C(2 3,4 D(2,6) 解：由正弦定理及 3 sin3cos a cBB ，得 3sin sinsin3cos A CBB ， 3sinsin(sin3cos )CABB，即3sin()sinsin3sincosBABAAB， 3cossinsinsinABAB， si

14、n0B ，3cossinAA，即tan3A ， (0, )A，可得 3 A 又ABC是锐角三角形， 0 2 2 0 32 B CB ，解得 62 B ， 24243131 sinsin()sinsin()(sincossin)4(sincos )4sin() sin332222633 a bcBBBBBBBBBB A ， 62 B ，可得 2 (,) 633 B ， 3 sin()(,1 62 B ，可得(2 3,4bc 故选：C 10已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 2 0 coscos abc AB ， 则 2 sin2tanBC的取值范围是( ) A(0,22

15、 B(0,32 2 C(0, 31 D 3 (0, 2 解：ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 2 0 coscos abc AB ， 由正弦定理得， sinsin2sin 0 coscos ABC AB ， sincossincos2sincos 0 coscos ABBACA AB ， sin()2sincos0ABCA，sin2sincos0CCA， sin0C ， 2 cos 2 A ，(0, )A， 3 4 A ； 4 BC ，22 2 BC ；sin2sin(2 )cos2 2 BCC ； 2 2 2 cos2(1cos2 ) sin2tancos2 1cos2

16、 sin CCC BCC cos CC ； 2(0,) 2 C ，cos2(0,1)C， 令cos2Ct，则(0,1)t，令 2 cos2(1cos2 ) ( ) 1cos21 CCtt f t Ct ，(0,1)t； 2 2 21 ( ) (1) tt f t t ，令( )0f t，解得12t ，( 12 舍去） ； 当(0, 12)t 时，( )0f t，( )f t单调递增；当( 12t ，1)时，( )0f t，( )f t单 调递减； 12t 时，( )f t有极大值，也是最大值，最大值为( 12)32 2f 当0t 或 1 时，( )0f t ，故(0,1)t ，( )0f t

17、； ( )(0f t，32 2即 2 sin2tanBC的取值范围是(0，32 2 故选：B 二、多选题 11一个等腰直角三角形ABC内有一个内接等腰直角三角形PQR， （即P，Q，R三点分 别在三角形ABC三边或顶点上） ，则两三角形面积比 PRQ ABC S S 的值可能为( ) A 1 4 B 1 5 C 1 6 D 1 7 解析：如图，由两种情况： （1）左图中R为AB中点，设ABC的直角边长a，为PQR的直角边长为x，PQC 则 sin() 2 cos2 (cossin) sin 4 x aCQQBxx 11 2(cossin) 2sin() 4 x a 2 1 ( ) 4 PRQ

18、min ABC S x Sa （2）右图中， 3 sin() 4 cos(2cossin) sin 4 x aCQQBxx 11 2cossin5cos() x a ，tan2， 2 1 ( ) 5 PRQ max ABC S x Sa ， 所以 1 4 PRQ ABC S S ， 1 5 ， 故选：AB 12ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知sin:sin:sin2:4:ABClnlnlnt， 有以下结论：其中正确结论有( ) A当6t 时，a，b，c成等差数列 B28t C当2 58t 时，ABC为钝角三角形 D当4t ，2aln时，ABC的面积为 2 152 8 ln

19、 解：根据题意，依次分析 4 个结论： 对于A，当6t 时，由正弦定理可得: :sin:sin:sin2:4:6a b cABClnlnln， 不妨设2aln k，4bln k，6cln k，0k 则22416blnlnkk，2612aclnlnlnkkk， 因为2bac，故a，b，c不是等差数列，故A错误； 对于B，由正弦定理可得: :sin:sin:sin2:4:a b cABClnlnlnt， 不妨设2aln k，422blnlnkk，clnt k，0k 有bacba，则232lnclnkk，变形可得28t ，故B正确； 对于C，当2 58t 时，此时: :2:4:a b clnlnln

20、t，显然cba， 设2amln，则422bmlnmln，cmlnt， 因为 2222222222 (242)(52)abcm lnlnln tmlnln t， 可得：5 23lnlnt， 所以 222 0abc， 故 222 cos0 2 abc C ab ， 故ABC为钝角三角形，故C正确 对于D，当4t ，2aln时，则4bln，4clntln，则有2bca， 由余弦定理可得 222222 447 cos 22228 bcaaaa A bcaa ，则 15 sin 8 A ， 此时ABC的面积为 2 1152 sin 24 ln bcA ，故D不正确； 故选：BC 13已知ABC中，1AB

21、 ，4AC ，13BC ，D在BC上，AD为BAC的角平分线， E为AC中点下列结论正确的是( ) A3BE BABC 的面积为13 C 4 3 5 AD DP在ABE的外接圆上，则2PBPE的最大值为2 7 解：在三角形ABC中，由余弦定理 222 1 16131 cos 22 1 42 ABACBC BAC AB AC ， 60BAC，故 113 sin601 43 222 ABC SABAC ，故B错误； 在ABE中，由余弦定理得： 222 1 2cos142 1 23 2 BEABAEAB AEBAC ， 3BE ，故A正确； 由余弦定理可知： 131617 cos 24132 13

22、C ， 3 sin 2 13 C， AD平分BAC，30DAC， 33715 sinsin(30 ) 222 132 132 13 ADCC ， 在三角形ACD中，由正弦定理可得：sin sin ADAC CADC ，故 sin4 3 sin5 ACC AD ADC ，故C正 确； 1AB ，2AE ，60BAE， 1 142 1 23 2 BE ， ABBE， AE为ABE的外接圆的直径，故ABE的外接圆的半径为 1， 显然当2PBPE取得最大值时，P在优弧BAE上 故60BPEBAE ，设PBE，则120PEB，0120， 2 sin(120)sin PBPE ， 2sin(120)3co

23、ssinPB，2sinPE， 23cos5sin2 7sin()PBPE，其中 3 sin 2 7 ， 5 cos 2 7 ， 当 2 时，2PBPE取得最大值2 7，故D正确 故选：ACD 14已知ABC的内角A，B，C满足 1 sin2sin()sin() 2 AABCCAB，面积S满 足12S剟，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，下列说法中不正确的是( ) A()8bc bc B()16 2ab ab C612abc剟 D1224abc剟 解：ABC的内角A，B，C满足 1 sin2sin()sin() 2 AABCCAB， 1 sin2sin2sin2 2 ABC ， 1 sin2

24、sin2sin2 2 ABC， 1 2sincos2sin()cos() 2 AABCBC， 1 2sin(cos()cos() 2 ABCBC， 化为 1 2sin 2sinsin() 2 ABC， 1 sinsinsin 8 ABC 设外接圆的半径为R， 由正弦定理可得：2 sinsinsin abc R ABC ， 由 1 sin 2 SabC，及正弦定理得 2 1 sinsinsin 28 S ABC R ， 即 2 4RS， 面积S满足12S剟， 2 48R 剟，即22 2R剟， 由 1 sinsinsin 8 ABC 可得816 2abc剟，故CD错误， ()8bc bcabc，即

25、()8bc bc，故A正确， ()8ab ababc，即()8ab ab，但()16 2ab ab，不一定正确，故B错误 故选：BCD 三、填空题 15 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 22 baac，B A 2 ； 22 cosbAa ab 的取值范围为 解：ABC中， 22 baac， 由余弦定理知， 222 2cosbacacB， 2 2coscacBac，即2 coscaBa， 由正弦定理得，sin2sincossinCABA， sin()2sincossinABABA， sincossincos2sincossinABBAABA， sin()sinBAA，BAA即

26、2BA，2 B A ； 0 02 03 A A A ，解可得(0,) 3 A ， 则 22 2 coscossincossinsin2 cossin1 2cos sinsinsinsin22cos bAabAaBAAAAA A ababABAAA ， 令 2 1 ( )2 2 f xx x ， 1 (2x，1)， 3 22 181 ( )40 22 x fxx xx ，故( )f x在 1 (2，1)上单调递增， 又f（1） 5 2 ， 13 ( ) 22 f， 35 ( ) 22 f x， 则 22 cosbAa ab 的取值范围是 3 (2， 5) 2 故答案为：2， 3 (2， 5) 2

27、 16 如图所示， 在ABC 中， ACB 为钝角， AC10， BC6， 则 AB 的取值范围是 （2， 16） ；过点 B 向ACB 的角平分线引垂线交于点 P，若 AP6，ABP 的面积是 4 解： （1）ABC 中，ACB 为钝角，AC10，BC6， 所以 AB2AC2+BC2102+62136， 所以 AB2， 又 ABAC+BC10+616， 所以 AB 的取值范围是（2，16） （2）如图所示， 设 CPx，ACPBCP，则 cos， 由余弦定理得，AP2AC2+x22xACcos， 解得 x2，cos； 所以 sinACBsin22； 所以 SABC61020， SACP102

28、10， SBCP626， 所以 SABPSABCSACPSBCP201064， 即ABP 的面积为 4 故答案为： （1） （2，16） ， （2）4 17已知锐角ABC的面积为 2 3 3 ，且 212 tantansinABA ，其内角A，B，C所对边分 别为a，b，c，则边c的最小值为 2 解：由 212 tantansinABA ，得 2cossincossin2 sinsinsin ABBA ABA ， 即2cossincossin2sinABBAB，结合正弦定理得2 coscos2bAaBb， 再由余弦定理可得 222222 22 22 bcaacb bab bcac ，整理 22

29、2 34cbabc 又由余弦定理可得 222 2cosbabcAc，代入上式得 2 (2cos )cbcA， 又锐角ABC的面积 12 3 sin 23 bcA ， 所以 4 3 3sin bc A ， 所以 2 4 3(2cos) 3sin A c A ， 设函数 2cos ( )(0) sin2 x f xx x ，求导可得 2 12cos ( ) sin x fx x ，由 2 1 2cos ( )0 sin x fx x ，得 3 x ， 所以在(0,) 3 上单调递减，在(,) 3 2 上单调递增， 所以( )()3 3 f xf 于是 2 4 3(2cos) 4 3sin A c

30、A ，即2c，当且仅当 3 A 时，等号成立 故答案为：2 18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2 3sin0aCCbc， 且2a ，则ABC内切圆半径的最大值为 3 3 解：因为cos2 3sin0aCCbc，且2a ， 可得cos3 sin0aCaCbc， 由正弦定理可得 sincos3sinsinsinsinsin()sinsincossincossinACACBCACCACCAC， 可 得3 s i ns i ns i nc o ss i nACCAC， 由 于s i n0C ， 可 得3 s i nc o s1AA， 即 1 sin() 62 A ， 又(0,

31、 )A，可得( 66 A ， 5 ) 6 ，可得 66 A ，即 3 A ， 由余弦定理可得 222 1 cos 22 bca A bc ， 可得 2 ()43bcbc，由 2 () 2 bc bc ，可得 2 2 3() ()4 4 bc bc ，可得04bc剟， 令ABC内切圆半径为R， 故 11 ()sin 22 ABC Sabc RbcA ， 可得 3 (2) 2 bc Rbc， 代入 2 ()43bcbc，可得 2 2 1( )4 333 ()43 (2)(2) 3 22226262 bc bcbcbcbc R bcbcbcbc 3 (2) 6 bc， 故 33 (42) 63 R，可得ABC内切圆半径的最大值为 3 3 故答案为： 3 3