小题压轴题专练15—数列（2）-2021届高三数学二轮复习含答案.doc

1、小题压轴题专练小题压轴题专练 15数列（数列（2） 一、一、单选题单选题 1整数列1 n a n满足 1 1a ， 2 4a ，且对任意2n有 21 11 2n nnn aaa ，则 2020 a的个位数 字是( ) A8 B4 C2 D前三个答案都不对 解：因为 21 11 2n nnn aaa ，则 222 121112 2 ,222 n nnnnnnnnn aa aaaaaa a ， 21113 12 222 nnnn nn aaaaaa aaa ， 因为 2 213 2aa a，则 3 14a ，故 21113 12 222 4 nnnn nn aaaaaa aaa ， 即 11 42

2、 nnn aaa ，欲求个位数字，只需让 n a 模 10，其结果为 1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0 从 2 a 开始周期为 24，则 2000 a 的个位数字是 8， 故选：A 2已知数列 n a满足， 2 1 11 nnnn aaaa ， 1 aa，则一定存在a，是数列中( ) A存在 * nN，有 12 0 nn aa B存在 * nN，有 12 (1)(1)0 nn aa C存在 * nN，有 12 55 ()()0 44 nn aa D存在 * nN，有 12 33 ()()0 22 nn aa

3、解：函数 2 11yxxx 与yx有两个交点(0,0)，(1,1)， 可知当 1 0a 时，数列递减，0 n a； 当 1 01a时，数列递增，并且 n a趋向 1； 当 1 1a 时，数列递减，并且 n a趋向 1，则可知A，B错误； 又当1x 时， 22 1313 111()1() 2422 yxxxxxxx ， 则当 1 1a 时， 2 a一定小于 3 2 ，则之后均小于 3 2 ，D错误； 对于C，可取 1 3 2 a ，得 34 55 ()()0 44 aa，满足要求 故选：C 3 已 知 数 列 n a满 足 ： 121 2 ,5 (* ) 1,6 n n n anN a aan

4、若 正 整 数(5 )k k使 得 222 1212kk aaaa aa成立，则(k ) A16 B17 C18 D19 解： 121 2,5 (*) 1,6 n n n anN a aan ， 即 12345 2aaaaa， 5 61235 12131aa a aa ， 6n时， 121 1 nn a aaa ， 121 1 nn a aaa ， 两式相除可得 1 1 1 n n n a a a ， 则 2 1 1 nnn aaa ，6n， 由 2 676 1aaa， 2 787 1aaa， ， 2 1 1 kkk aaa ，5k， 可得 222 6716 5 kk aaaaak 222 1

5、2161 20516 kkk aaaaakak ， 且 121 1 kk a aaa ， 正整数(5)k k时，要使得 222 1212kk aaaa aa成立， 则 11 161 kk aka ，则17k ， 故选：B 4数列 n a满足 1 11( 1)n nn aan ，且 6 01a记数列 n a的前n项和为 n S，则当 n S取最大值时n为( ) A11 B12 C11 或 13 D12 或 13 解：设 1 at，由 1 11( 1)n nn aan ， 可得 2 9at， 3 1at ， 4 6at， 5 2at， 6 3at， 7 3at， 8 at ， 6 01a可得031

6、t ，可得23t ， 则数列 n a的奇数项为首项为t，公差为 1 的等差数列；偶数项为首项为9t，公差为3的 等差数列， 且每隔两项的和为 9，7，5，3，1，1，为递减， 可得 10 95753125S ， 1111 2530Sat， 12 25124S ， 1313 2424630Satt ， 14 24321S， 则当 n S取最大值时11n 或 13 故选：C 5等差数列 * 12 ,() n a aa nN，满足 12121212 |1|1|1|2|2|2|3|3|3|2010 nnnn aaaaaaaaaaaa ，则( ) An的最大值是 50 Bn的最小值是 50 Cn的最大值

7、是 51 Dn的最小值是 51 解：不妨设 1 0a ，0d ， 由对称性可得：2nk， * kN 则 1 0 0 k k a a ， 1 30 k a 1 (1)0akd， 1 0akd， 1 30akd， 3d 1212 ()2010 kkk aaaaa ， 2 2010k d ， 2 2010 3 k ，解得：670k ， 22 670k，250k n的最大值为 50 故选：A 6已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1 2 nn Sa ，设 12nn Ta aa， 1 n n n b T ，则33 nn ab 的最小值为( ) A2 3 B 9 2 C 3 3 2 2 D 31

8、6 解： 1 1 2 nn Sa ，2n 时， 11 11 1(1) 22 nnnnn aSSaa ，化为： 1 1 3 nn aa 1n 时， 11 1 1 2 aa ，解得 1 2 3 a 数列 n a是等比数列，首项为 2 3 ，公比为 1 3 1 211 ( )2( ) 333 nn n a (1) 21 2 2 12 11111 2( )( )2( )2( ) 33333 n n nnnnn nn Ta aa 1 2 1 2 111 3 21 2( ) 3 n n n n n b T ， 则 1 1 32 1163363 33 39 332( )33333 323443442 nnn

9、 nnn nn nn ab ， 当且仅当 63 3 34 n n ，即34 n 时取等号，可知此时整数n不存在，因此等号不成立 利用单调性经过验证可得1n 时，33 nn ab取得最小值 3 3 2 2 故选：C 7设 x表示不超过x的最大整数，已知数列 n a中， 1 1 2 a ，且 1 (1) nnn aaa ，若 12 12 120 111 n n aaa aaa ，求整数n的值是( ) A120 B121 C122 D123 解：因为 1 (1) nnn aa a ， 故 1 111 1 nnn aaa 1 111 1 nnn aaa ， 1 111 11() 11 i iiii a

10、 aaaa ， 故 12 1212231111 111111111 ()()()()2 111 n nnnnn aaa nnn aaaaaaaaaaaa ； 由 1 1 2 a ，且 1 (1) nnn aa a ，当n趋于无穷大时，可得 1 1 (0,1) n a ， 12 12 2120 111 n n aaa n aaa ， 所以：122n 故整数n的值是 122 故选：C 8已知数列 n a中， 1 1a ，且 1 1 () () 2 n nn aanN ，若存在正整数n，使得 1 ()()0 nn tata 成立，则实数t的取值范围为( ) A 2 1 3 t B 1 1 2 t C

11、 25 36 t D 1 2 2 t 解：数列 n a的首项 1 1a ，且满足 1 1 () () 2 n nn aanN ， 可得 121321 ()()() nnn aaaaaaaa 1 1 1 11121( 2) 1()()1() 1 24232 1 2 n nn ， 存在正整数n，使得 1 ()()0 nn tata 成立， 当n为偶数时， 21 1( ) 32 n n a ，递增，可得 n a的最小值为 2 1 2 a ； 1 1 21 1( ) 32 n n a ，递减，可得 1n a 的最大值为 3 3 4 a ， 可得 1nn ata ，即有 13 24 t ； 当n为奇数时

12、， 21 1( ) 32 n n a ，递减，可得 n a的最大值为 1 1a ； 1 1 21 1( ) 32 n n a ，递增，可得 1n a 的最小值为 2 1 2 a ， 可得 1nn ata ，即有 1 1 2 t 则t的取值范围是 1 (2，1) 故选：B 9已知数列 n a满足 * 1 1 11 2() nn nn aanN aa ，则( ) A当 * 01() n anN时，则 1nn aa B当 * 1() n anN时，则 1nn aa C当 1 1 2 a 时，则 1 1 1 24 n n an a D当 1 2a 时，则 1 1 1 320 n n an a 解：分别

13、画出函数 1 ( )f xx x ， 1 ( )2(0)g xxx x 的图象， * 1 1 11 2() nn nn aanN aa ，可得 2 2 n a ， 1nn aa 2 0 2 n a时， 1nn aa ，由此可得A，B都不正确； C 1 1 11 () nnn nn aaa aa ，又 1 1 2 a 1112 11 115 ()()24 2 nn n n an aaaan aa ，因此C正确； 或利用 222 1 1 111 ()(2)()2 nnn nnn aaa aaa 证明 D 1 1 11 2 nn nn aa aa ，当 1 2a 时， 2 2 11 423 2 a

14、a ，因此D不正确 故选：C 10已知nN，直线yaxb与曲线( )(2)f xlnxn相切，设ab的最大值为 n c，数列 n c的前n项和为 n S，则正确的是( ) A存在 0 nN， 0 0 n c B n c为等差数列 C对于nN， 1 1 n S e D 3 2 1e S e 解：设直线yaxb与曲线( )(2)f xlnxn相切于点 0 (x， 0) y 1 ( )fx x ，(0)x 则 0 0 1 ()fxa x ， 00 (2)axblnxn 可得：1blnan (1)abalnaan 令g（a）(1)alnaan nN，0a g（a）lnan ， 可得 n ae时，函数g

15、（a）取得极大值即最大值 1 () n n n g ec e 数列 n c的前n项和 111 (1)1 1 1 11 1 nn n eee S ee e 2 3 3 3 1 1 1 1 ee e S ee 可知A，B，D错误 因此只有C正确 故选：C 二、多选题 11 已知数列 n a满足 2 4a ， 11 (1)(1)(1 nnn n nananan 且*)nN， 数列 n a的前n 项和为 n S，则( ) A 13 2aa B 13 4aa C2020 20212020 8080Sa D2021 20212020 4040Sa 解：因为 2 4a ， 11 (1)(1) nnn n n

16、anana ， 令2n ，则 321 22aaa， 31 242aa，所以 13 2aa，故A正确，B错误； 因为 11 (1)(1)(1 nnn n nananan 且*)nN， 同除以(1)n n，得 1 1 1 nn n aa a nn ， 所以 12 12 nn n aa a nn ， 2 31 2 a aa， 1232112 1231212 4 1232211 nnnnnn nn aaaaaaa Saaaaaaaa nnnnnn ， 所以 2020 2021 4 2020 a S， 即 20212020 20208080Sa，故C正确，D错误 故选：AC 12已知数列 n a满足 1

17、 10a ， 5 2a ，且 21 20(*) nnn aaanN ，则下列结论正确的 是( ) A122 n an B 1232 30,5 | 5,5 n n aaaa nn C| n a的最小值为 0 D当且仅当5n 时， 123n aaaa取最大值 30 解：由 21 20 nnn aaa ，可得 211nnnn aaaa ， 所以数列 n a是等差数列， 因为 1 10a ， 5 2a ，所以 51 2 51 aa d ， 所以 1 (1)102(1)122 n aandnn，故A正确； 当6n 时，0 n a ，所以当5n时，0 n a ，当6n时，0 n a ， 所以当5n时， 2

18、 123123 (10122 ) |11 2 nn nn aaaaaaaann ， 当6n时， 22 12312561231255 |()2()2(11)601160 nnnn aaaaaaaaaaaaaaaaSSnnnn ， 所以 2 123 2 11,5 | 1160,6 n nnn aaaa nnn ，故B错误； | |122 | n an，当6n 时，| n a取得最小值为 0，故C正确； 当5n 或6n 时， 123n aaaa取最大值 30，故D错误 故选：AC 13已知等差数列 n a的公差0d ，前n项和为 n S，且 1 1 ? 2 nnn Saa ，则( ) A 1 ? 2

19、 d B 1 1a C数列 n a中可以取出无穷多项构成等比数列 D设( 1)n nn ba ，数列 n b的前n项和为 n T，则 2 | n Tn 解： 1 1 ? 2 nnn Saa ， 当2n时，有 11 1 2 nnn Saa ， 两式相减得： 11 ()2 nnnnn aa aad a ，2n， 又0d ，21d，解得： 1 2 d ，选项A正确； 又当1n 时，有 112 1 2 Sa a，即 111 11 () 22 aa a，解得： 1 1a 或 1 1 2 a ，故选项B错 误； 又 11 1 22 n nn a ，或 112 222 n nn a ， 当 1 2 n n

20、a 时： 令21 k n ， * kN，则 1 21 21 1 2 2 k k k n aa ，则数列 21 k a 是等比数列， 又 1 ( 1)( 1) 2 nn nn n ba ， 2 1 121314121 121 ()()() 2222222 n nnn T ，此时 2 | 2 n n T； 当 2 2 n n a 时： 令22 k n ， * kN，则 1 22 222 2 2 k k k n aa ，则数列 22 k a 是等比数列， 又 2 ( 1)( 1) 2 nn nn n ba ， 2 1222324221222 ()()() 2222222 n nnn T ，此时 2

21、| 2 n n T， 故选项C正确，选项D错误， 故选：AC 14大衍数列来源于乾坤谱中对易传 “大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国 传统文化中的太极衍生原理如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过 的两仪数量总和，其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，此数列记 为 n a，其前n项的和记为 n S，则( ) A 20 200a B 29 420a C 19 1200S D 30 4720S 解：根据题意： 当n为奇数时， 2 1 (1) 2 n an， 当n为偶数时， 2 1 2 n an， 所以 2 2 1 (1) 2 1 2 n nn

22、 a nn 为奇数 为偶数 ， 对于A：当20n 时， 2 20 1 20200 2 a，故A正确； 对于B：当29n 时， 2 29 1 (291)420 2 a，故B正确； 对于C：当第n项为奇数时， 222222 11111(1)(21)(1)(1)(23) (11)(2 )(1)(12.) 2222226212 n nn nnnnnn Snn ； 所以 19 (191)(191)(2 193) 1230 12 S ，故C错误； 对于D：当第n项为偶数时， 222 111(2)(21) (11)2 22212 n n nn Sn ， 所以 30 30(302)(2301) 4720 12

23、 S ，故D正确 故选：ABD 三、填空题 15已知数列 n a满足：对任意*nN，(0,) 2 n a ，且 1 3 a ， 1 ()() nn f af a ，其中 ( )tanf xx，则使得 12 1 sinsinsin 10 k aaa成立的最小正整数k为 解： sin ( )tan cos x f xx x ， 22 2 2 ( )1tan cos xsin x fxx cos x 1 ()() nn f af a ，则 2 1 tan1 nn atan a ， 即 22 1 tantan1 nn aa 数列 2 tan n a是以 3 为首项，公差为 1 的等差数列 tan2 n

24、 an， (0,) 2 n a ， 2 sin 3 n n a n 12 3 4 5231 sinsinsin 4 5 63310 k k aaa kk 解得297k ， 使得 12 1 sinsinsin 10 k aaa成立的最小正整数k为 298 故答案为：298 16对于正整数n，设 n x是关于x的方程 2 1 2 1 log3 n n xnn x 的实数根记 1 2 n n a x ，其 中 x表示不超过x的最大整数， 则 1 a ； 设数列 n a的前n项和为 n S， 则 2020 S 解：当1n 时， 2 2 1 log4x x ，设 2 2 1 ( )log4f xx x

25、单调递减， 1 ( )10 2 f ，f（1）30 ，所以 1 1 1 2 x， 1 11 1 22x ， 1 1 1 0 2 a x ； 令 1 2 n n t x ，则方程化为： 22 1 (2 )log23 nnn tntnn ， 令 22 1 ( )(2 )log23 n f xxnxnn ，则( )f x在(0,)单调递增， 1 ( )log30 2 n n fnnn ， 1 ()10 2 n f ， 由零点存在定理可得( 2 n x ， 1) 2 n ，( )0f x ， 当 * 21()nkkN， 21 ( 2 n k t ，)k， 1 nn atk； 当 * 2 ()nk kN

26、， 21 ( ,) 2 n k tk ， nn atk， 10101010 2 2020 11 (1)1010 kk Skk ， 2020 1010S 故答案为：0，1010 17已知等差数列 n a满足： 1 0a ， 100 74a， 200 200a，且该数列在区间 1 (2，8)中的项 比在区间14， 43 2 中的项少 2，则 n a的通项公式为 解： 1001 9974aad， 1 0a ； 74 99 d； 100 74a ， 200 200a， 200100 10020074daa， 7463 9950 d， 在区间 1 (2，8)中的项比14， 43 2 中的项少 2， 且

27、n a为等差数列， 143 814 22 ， 1 2 ，8，14， 43 2 是数列的项， 存在 1 m， 2 m， 3 m， * 4 mN， 1 1 8 2 m d， 2 148m d， 3 1 14 2 m d， 4 431 22 m d； 153 6 22 ，存在 * nN，使 3 2 nd ， 故 74363 99250n ，故 50297 42148 n，故2n ，故 313 224 d ， 1001 3 9974 4 aa，故 1 1 4 a，而 1 0a ， 1 2 是数列的项， 1 1 4 a ，故 133 (1)1 444 n ann ， 故答案为： 3 1 4 n an，*

28、nN 18已知等比数列 n a的公比为(0)q q ，前n项和为 n S，且满足 1 aq， 514 aaS若 对一切正整数n，不等式1522 nn nmmamS，恒成立，则实数m的取值范围为 解：若1q ，则 1 1aq，即1 n a ，此时 514 aaS，与题意不符，舍去； 若1q ，由 514 aaS，可得 4 41 11 (1) 1 aq a qa q ， 即 4 41 1 (1) (1)0 1 aq aq q ， 4 1 1 (1)(1)0 1 aq q 解得 1 2qa， 则2n n a ，2(21) n n S ； 对一切正整数n，不等式152222 (21) nn nmmm恒成立， 化简得1522nnm， 分离可得 152 2n n m ， 设 152 ( ) 2n n f n ，则 1 132 (1) 2n n f n ， 1 217 (1)( ) 2n n f nf n ， 当18n剟时，(1)( )f nf n，即f（9）f（8）f（1） ； 当9n时，(1)( )f nf n，即f（9）(10)f； 所以( )f n的最小值为f（9） 3 512 ， 故答案为： 3 512 m