专题05 二次函数背景下的特殊三角形存在性判定（教师版）.doc

1、【方法综述】【方法综述】 特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，此类问题此类问题 分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类讨论。分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类讨论。 直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并 以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆 周角是

2、直角的性质或其逆定理。周角是直角的性质或其逆定理。 等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。对于定长线段等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。对于定长线段 为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分为圆心，定长线段为半径作圆，分 别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程解决问题。当讨论某别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程解决问题。当讨论某 一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通

3、过做线段垂一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过做线段垂 直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以解决问题。直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以解决问题。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 固定边的直角三角形判定固定边的直角三角形判定 例例 1：如图所示，已知抛物线的图像经过点 A(1,0),B(0,5), （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 C,求出点 C 的坐标；并确定在抛物线上是否存在一点 E,使 BCE 是以 BC 为斜边的直角三角形？若存在，在图中做出所有的点 E（不写画法，保留作

4、图痕迹） ；若不 存在，说明理由； （3）点 P 是直线 BC 上的一个动点（P 点不与 B 点和 C 点重合） ，过点 P 做 x 轴的垂线，交抛物线于点 M, 点 Q 在直线 BC上，距离点 P 为个单位长度，设点 P 的横坐标为 t，PMQ的面积为 S，求出 S 与 t之间 的函数关系式。 【答案】 （1）； （2）点 C 的坐标是（5，0） ，存在，图形详见解析； （3） （3）由点 B的坐标为（0，5） ，点 C的坐标为（-5，0） ，可得直线 BC 的解析式为 y=x+5 点 P的横坐标为 t，PMx轴，点 M 的横坐标为 t 又点 P在直线 BC上，点 M 在抛物线上，所以点 P

5、 的坐标为（t，t+5） ，点 M 的坐标（t，） 过点 Q作 QFPM 于点 F，则PQF 为等腰直角三角形 QF=1 当 点P 在 点M 下 方 时 ， 即 -5 t 0 时 ， 如 图1 ， ； 当点 P 在点 M 上方时，t-5 或 t0 时，如图 2，图 3， 综上所述： 针对训练针对训练 1在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点 分别为 A（-3，0） 、B（1，0） ，过顶点 C 作 CHx 轴于点 H. （1）直接填写：= ，b= ，顶点 C 的坐标为 ； （2）在轴上是否存在点 D，使得ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存 在，说明理由

6、； （3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合） ，PQAC 于点 Q，当PCQ 与ACH 相似 时，求点 P 的坐标. （3）若点 P 在对称轴右侧（如图） ，只能是PCQCAH，得QCP=CAH. 延长 CP 交 x 轴于 M， AM=CM， AM2=CM2. 设 M（m，0） ，则( m+3)2=42+(m+1)2，m=2，即 M（2，0）. 设直线 CM 的解析式为 y=k1x+b1， 则， 解之得，. 直线 CM 的解析式 联立，解之得或(舍去). 若点 P 在对称轴左侧（如图） ，只能是PCQACH，得PCQ=ACH. 过 A 作 CA 的垂线交 P

7、C 于点 F，作 FNx 轴于点 N. 由CFACAH 得， 由FNAAHC 得. 2抛物线的顶点为（1，4） ，与 x 轴交于 A、B两点，与 y轴负半轴交于 C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为对称轴右侧抛物线上一点，以 BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点 M 落在对称轴上，求 P 点的坐标 【答案】 （1）yx22x3； （2）点 P 的坐标为（2，3）或（4，5） 【解析】解： （1）设抛物线的解析式为 ya（x1）24， 将 C（0，3）代入 ya（x1）24，得：3a（01）24， 解得：a1， 抛物线的解析式为 y（x1）24x22x3 （2）当 y0 时

8、，有 x22x30， 解得：x11，x23， 点 A的坐标为（1，0） ，点 B的坐标为（3，0） MEPFx1，MFBE2， EFME+MFx+1 EF|x22x3|， |x22x3|x+1，即 x23x40或 x2x20， 解得：x11（舍去） ，x22，x34， 点 P 的坐标为（2，3）或（4，5） 3如图，已知直线 yx+2 交 x轴、y轴分别于点 A、B，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x ，且抛物线经过 A、B两点，交 x 轴于另一点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是抛物线 x轴上方一点，MBACBO，求点 M的坐标； （3）过点 A作 AB 的垂

9、线交 y轴于点 D，平移直线 AD交抛物线于点 E、F两点，连结 EO、FO若EFO 为以 EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式 【答案】 （1）yx2x+2 （2）M（ ，） （3）平移后的解析式为 yx1+或 yx1 （2）如图 1中，作 EAAB交 BM 的延长线于 E，作 EFx 轴于 F ABEOBC，BAEBOC90 ， BAEBOC， ， （3）如图 2中，当直线 AD向下平移时，设 E（x1，y1） ，F（x2，y2） ，作 EHx 轴于 H，FGx轴于 G EOF=90 =PHE=OGF， 由EHOOGF得到： ， ， x1x2+y1y2=0， 由，消去 y得到：x

10、2+b-2=0， x1x2=b-2，x1+x2=0，y1y2=（-x1+b） （-x2+b）=x1x2+b2， 2（b-2）+b2=0， 解得 b=-1-或-1+（舍弃） ，来源: 当直线 AD向上平移时，同法可得 b=-1+， 综上所述，平移后的解析式为 y=-x-1+或 y=-x-1- 4如图，已知直线 yx+2 交 x轴、y轴分别于点 A、B，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x ，且抛物线经过 A、B两点，交 x 轴于另一点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是抛物线 x轴上方一点，MBACBO，求点 M的坐标； （3）过点 A作 AB 的垂线交 y轴于点 D

11、，平移直线 AD交抛物线于点 E、F两点，连结 EO、FO若EFO 为以 EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式 【答案】 （1）yx2x+2 （2）M（ ，） （3）平移后的解析式为 yx1+或 yx1 C（1，0） ， 设抛物线的解析式为 ya（x+2） （x1） ，把（0，2）代入得到 a1， 抛物线的解析式为 yx2x+2 （2）如图 1中，作 EAAB交 BM 的延长线于 E，作 EFx 轴于 F ABEOBC，BAEBOC90 ， BAEBOC， ， ， AE， （3）如图 2中，当直线 AD向下平移时，设 E（x1，y1） ，F（x2，y2） ，作 EHx 轴于 H，FG

12、x轴于 G EOF=90 =PHE=OGF， 由EHOOGF得到： ， ， x1x2+y1y2=0， 5如图，已知抛物线 yax2+bx+1 经过 A（1，0） ，B（1，1）两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）阅读理解： 在同一平面直角坐标系中，直线 l1：yk1x+b1（k1，b1为常数，且 k10） ，直线 l2：yk2x+b2（k2，b2为常 数，且 k20） ，若 l1l2，则 k1k21 解决问题： 若直线 y2x1 与直线 ymx+2 互相垂直，则 m的值是_； 抛物线上是否存在点 P，使得PAB是以 AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不 存在，请说明

13、理由； （3）M是抛物线上一动点，且在直线 AB 的上方（不与 A，B 重合） ，求点 M到直线 AB的距离的最大值 【答案】 （1）y x2+ x+1； （2）- ；点 P 的坐标（6，14） （4，5） ； （3）. （2）由直线 y2x1与直线 ymx+2 互相垂直，得 2m1， 即 m； 故答案为：； AB的解析式为 yx+， 当 PAAB时，PA的解析式为 y2x2， 联立 PA与抛物线，得， 解得（舍） ， 即 P（6，14） ； 当 PBAB 时，PB的解析式为 y2x+3， 联立 PB与抛物线，得， 解得（舍）， 即 P（4，5） ， 综上所述：PAB是以 AB为直角边的直角三

14、角形，点 P 的坐标（6，14） （4，5） ； 当 t0 时，S取最大值，即 M（0，1） 由勾股定理，得 AB， 设 M到 AB 的距离为 h，由三角形的面积，得 h 点 M到直线 AB 的距离的最大值是 6如果一条抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点 A（x1，0） 、B（x2，0） ，我们把|x1x2|记为 d（A、 B） ， 抛物线的顶点到 x 轴的距离记为 d（x） ， 如果 d （A， B）=d（x） ， 那么把这样的抛物线叫做“正抛物线” （1）抛物线 y=2x22 是不是“正抛物线”； （回答“是”或“不是”） （2）若抛物线 y=x2+bx（b0）是“正

15、抛物线”，求抛物线的解析式； （3）如图，若“正抛物线”y=x2+mx（m0）与 x 轴相交于 A、B 两点，点 P 是抛物线的顶点，则抛物线上 是否存在点 C，使得PAC 是以 PA 为直角边的直角三角形？如果存在，请求出 C 的坐标；若不存在，请说明 理由 【答案】 （1）抛物线 y=2x22 是“正抛物线”； （2）抛物线的解析式为 y=x2+4x； （3）满足条件的点 C 坐标为（ ， ）或（ ，） （2）当 y=0 时，x2+bx=0，解得 x=0或 b， b0， d（A，B）=b， 由题意 解得 b=0（舍弃）或 b=4， 抛物线的解析式为 假设存在点 C，使得PAC是以 PA为直

16、角边的直角三角形，分两种情形： 如图 1中，作 ACAP 交抛物线于点 C，厉害 PC，作 PEx轴交 AC于 D AE=2，PE=4， 由ADEPAE,可得 DE=1， D(2,1)， 直线 AD的解析式为 由解得或 如图 2中，作 PCAP交抛物线于 C，交 y 轴于 D，连接 AC，作 PEx 轴于 E. 由ADPPAE,可得 即 AD=5， D(0,5)， 直线 AD的解析式为 由解得或 综上所述,满足条件的点 C坐标为(92,94)或(52,154). 综上所述，满足条件的点 C坐标为或 7已知，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（1，0）和 C（0，3） （1）求抛物线的解析式

17、； （2）设点 M 在抛物线的对称轴上，当MAC 是以 AC 为直角边的直角三角形时，求点 M 的坐标 【答案】 （1）y=x2+2x+3； （2）当MAC 是直角三角形时，点 M 的坐标为（1， ）或（1， ） （2）y=x2+2x+3=（x1）2+4， 设点 M 的坐标为（1，m） ， 则 CM=，AC=，AM= 分两种情况考虑： 当ACM=90 时，有 AM2=AC2+CM2，即 4+m2=10+1+（m3）2， 解得：m= ， 点 M 的坐标为（1， ） ； 当CAM=90 时，有 CM2=AM2+AC2，即 1+（m3）2=4+m2+10， 解得：m= ， 点 M 的坐标为（1， ）

18、 综上所述：当MAC是直角三角形时，点 M的坐标为（1， ）或（1， ） 类型二类型二 固定边的等腰三角形固定边的等腰三角形 例 2在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说 明理由； （3）在抛物线上是否存在点 D（与点 A 不重合）使得 SDBCSABC，若存在，求出点 D 的坐标；若不 存在，请说明理由 【答案】(1)抛物线解析式为 yx23x4；(2)存在满

19、足条件的 P 点，其坐标为（，2） ；(3)存在满 足条件的 D点，其坐标为（5，6） (2)如图 1，作 OC的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P， POPC，此时 P 点即为满足条件的点， C（0，4） ， D（0，2） ， P 点纵坐标为2， 代入抛物线解析式可得 x23x42，解得 x（小于 0，舍去）或 x， 存在满足条件的 P 点，其坐标为（，2） ； (3)如图 2， 当 D点在直线 BC的上方时，过 A点作 AD1BC，交抛物线于 D1，此时，使得SDBCSABC， B（4，0） ，C（0，4） ， 直线 BC的解析式为 yx4， AD1BC，

20、设直线 AD11的解析式为 yx+n， 把 A（1，0）代入得，01+n，则 n1， 直线 AD1的解析式为 yx+1， 解得或， D1的坐标为（5，6） ， 当 D点在直线 BC的下方时， 由直线 AD1的解析式为 yx+1可知直线 AD1和 y轴的交点 E的坐标为（0， 1） ， CE5， 直线 AD的解析式为 yx10， 方程 x23x4x10无实数根， 故存在满足条件的 D点，其坐标为（5，6） 针对训练针对训练 1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+x+2与 x 轴交于 A、B两点，交 y轴于点 C，点 C关 于抛物线对称轴的对称点为点 D (1)求线段 AC的长度； (2)P

21、 为线段 BC上方抛物线上的任意一点，点 E 为（0，1） ，一动点 Q从点 P 出发运动到 y轴上的点 G， 再沿 y轴运动到点 E当四边形 ABPC的面积最大时，求 PG+GE的最小值； (3)将线段 AB沿 x 轴向右平移，设平移后的线段为 AB，直至 AP 平行于 y轴（点 P 为第 2 小问中符合题意 的 P 点） ，连接直线 CB将AOC 绕着 O旋转，设旋转后 A、C 的对应点分别为 A、C，在旋转过程中直 线 AC与 y轴交于点 M， 与线段 CB交于点 N 当CMN 是以 MN为腰的等腰三角形时， 写出 CM 的长度 【答案】(1)AC；(2)PG+GE 的最小值为；(3)C

22、M的长度为：2或 (2)过点 P 作 y轴的平行线交 BC于点 H， 设：P 的横坐标为 m，则 P（m，m2+m+2） ，H（m，m+2） ， S四边形ABPCSABC+S PBC ，SABC是个常量，四边形 ABPC的面积最大时，只需要确定 S PBC 最大即可， S PBC 即 PH（xB）（m2+m+2+m2）（m2+2m） ， 当 m时，函数取得最大值，此时 P（，2） ， 过点 E作 REGR，使 RE与 y轴夹角为 45度，则 GRGE，则：PG+GEPG+GR， 当 P、G、R 三点共线时，PG+GE 有最小值， 直线 ER 的方程为 yx1， 则：直线 PR方程的 k 值为

23、1，其方程为：yx+， 联立、解得：R（，） ，则：PR， 即 PG+GE的最小值为； (3)当 MNCM 时， 当 MNCN时，过点 N作 NSCM， 设 N 的横坐标为 n， tanMCN2，CS n，CMn， MAAMCCCMCAMA，AAAM2n， CMn； 故：CM的长度为：2或 2如图 1，已知抛物线 y=x24x+5交 x轴于点 A、B 两点（点 A在点 B 的左侧） ，交 y轴于点 C，点 D 为抛物线的顶点，连接 AD （1）求直线 AD 的解析式 （2）点 E（m，0） 、F（m+1，0）为 x轴上两点，其中（5m3.5）EE、FF分别平行于 y轴，交抛 物线于点 E和 F

24、，交 AD于点 M、N，当 ME+NF的值最大时，在 y轴上找一点 R，使得|RERF|值最大， 请求出点 R的坐标及|RERF|的最大值 （3）如图 2，在抛物线上是否存在点 P，使得PAC是以 AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点 P 的坐 标及PAC 的面积，若不存在，请说明理由。 【答案】 （1）y=3x+15； （2）点 R的坐标是（0，17） ，最大值为； （3）存在，P（ ） ， P（） ，面积为 （2）如图 1，EEy轴，FFy轴，E（m，0） 、F（m+1，0） ， E（m，m24m+5） 、F（m+1，（m+1）24（m+1）+5） ，M（m，3m+15） ，N（m+1，

25、3（m+1）+15） ， ME=m24m+5（3m+15）=m27m10，NF=m29m18， ME+NF=m27m10m29m18=2m216m28 20， m=4， ME+NF有最大值，此时 E（4，5） ，F（3，8） ， 要使|RERF|值最大，则点 E、F、R 三点在一条直线上， 设直线 EF：y=kx+b（k0） ，则 ， 解得， 直线 EF：y=3x+17（k0） 当 x=0时，y=17，则点 R的坐标是（0，17） 此时，|RERF|的最大值为=； （3）如图 2，设点 P（x，x24x+5） 当 PA=PC时，点 P 在线段 AC 的垂直平分线上， OC=OA， 点 O在线段

26、 AC 的垂直平分线上， 点 P 在AOC 的角平分线上， x=x24x+5， 解得 x1=，x2=， P（，） ，P（，） PH=OPOH=，PH=OP+OH=， S PAC =ACPH= 5=或 S PAC =ACPH= 5= 3抛物线的顶点为（1，4） ，与 x 轴交于 A、B两点，与 y轴负半轴交于 C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为对称轴右侧抛物线上一点，以 BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点 M 落在对称轴上，求 P 点的坐标 【答案】 （1）yx22x3； （2）点 P 的坐标为（2，3）或（4，5） 【详解】 解： （1）设抛物线的解析式为 ya（x1

27、）24， 将 C（0，3）代入 ya（x1）24，得：3a（01）24， 解得：a1， 抛物线的解析式为 y（x1）24x22x3 MBEPMF（AAS） ， MEPFx1，MFBE2， EFME+MFx+1 EF|x22x3|， |x22x3|x+1，即 x23x40或 x2x20， 解得：x11（舍去） ，x22，x34， 点 P 的坐标为（2，3）或（4，5） 4已知：二次函数 y=- x2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于点 A(-3，0)、B（1，0） ，顶点为 C. (1)求该二次函数的解析式和顶点 C 的坐标； (2)如图，过 B、C 两点作直线，并将线段 BC 沿该直线向下

28、平移，点 B、C 分别平移到点 D、E 处若点 F 在 这个二次函数的图象上，且DEF 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，求点 F 的坐标； (3)试确定实数 p，q 的值，使得当 pxq 时，Py 【答案】 （1）顶点 C（-1，2） ； （2）F（3，-6） ； （3）p=-2-，q=-2 或 p=0,q=1 【详解】 (1)抛物线经过点 A(3,0)和 B(1,0)， 解得 抛物线的解析式为 顶点 C 的坐标为(1,2)； (2)如图， 过点 C作轴于点 H, 则点 解得：，（不合题意舍去） ， 分三种情况进行讨论: 当时，由增减性得：当时， 取得最大值 时， 代入 解得：（不合题意舍

29、去） 当时，当时， 取得最大值不合题意. 当时，由增减性得：当时， 取得最大值 时， 代入 解得：（不合题意舍去） 综上所述，满足条件的 p，q的值为或 类型三类型三 直角三角形的分类讨论直角三角形的分类讨论 例 3：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a(x+1)(x3)(a0)与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交于点 C.抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，过点 C 作 x 轴的平行线，与抛物线交于点 D，连接 DE，延长 DE 交 y 轴于点 F，连接 AD、AF （1）点 A的坐标为_，点 B 的坐标为_ ； （2）判断四边形 ACDE的形状，并给出证明； （3）当 a为何值时，AD

30、F是直角三角形? 【答案】 （1）点 A（1，0） ，点 B（3，0） ； （2）四边形 ACDE是平行四边形证明见解析； （3）当 或时，ADF为直角三角形 【解析】解（1）根据题意可知， y=a(x+1)(x3)， 当 y=0 时，x=1 或 x=3， 点 A（1，0） ，点 B（3，0） ； （3）过点 D作 DGAB于点 G，由，可知 OE=GE， 又FOE=DGE=90 ，OEF=GED， OEF DEG（ASA） ， OF=GD=3a， F点坐标为（0，-3a） ， 讨论：若DAF=90 ，则DAG+FAO=90 ， 又FAO+AFO=90 ， DAG=AFO， 又AOF=DGA=

31、90 ， AOFDGA， ， 即， ， a 0， ， 以上各步均可逆，故合题意； 针对训练针对训练 1如图，动直线 ykx+2（k0）与 y 轴交于点 F，与抛物线 y 相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C，D，连接 CF，DF，请你判断CDF 的形状，并说明理由 【答案】CFD 是直角三角形见解析。 2如图，已知直线 yx+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线过 yax2+bx+c 经过 A，B 两点，点 P 是线段 AB上一动点，过点 P 作 PCx轴于点 C，交抛物线于点 D （1）若抛物线的解析式为 y x2+x+4，设其顶点为 M，其对

32、称轴交 AB于点 N 求点 M、N的坐标； 是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由； （2）当点 P 的横坐标为 2时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若 存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 【答案】(1) M（1， ） ，N（1，3） ； 见解析;(2)见解析. 设点 P 的坐标为（m，m+4） ，则 D（m， m2+m+4） ， PD m2+m+4（m+4） m2+2m， PDMN 当 PDMN时，四边形 MNPD 为平行四边形， 即 m2+2m ，解得：m1或 3（m1 舍去） ， 点 P（3，1） ，由 N（1，

33、3） ， PNMN， 平行四边形 MNPD不是菱形， 即：不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形； （2）当BDP90 时，点 P（2，2） ，则四边形 BOCD 为矩形， D（2，4） ，又 A（4，0） ，B（0，4） ， 抛物线的表达式为：y x2+x+4； 3如图，已知抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，点 A的坐标为（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0， 2） ，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0） ，过点 P 作 x 轴的垂线 l交抛物线于点 Q，交直线 BD于点 M （1）求该抛物线所表示的二

34、次函数的表达式； （2）若 m3，试证明BQM是直角三角形； （3）已知点 F（0， ） ，试求 m 为何值时，四边形 DMQF 是平行四边形？ 【答案】 （1）y x2+ x+2； （2）详见解析； （3）当 m3 或1 时，四边形 DMQF 是平行四边形 （2）m3，则点 P（3，0） ， 点 D 与点 C 关于 x 轴对称，则点 D 坐标为（0，2） ， 把 x3 代入抛物线表达式，则 y2，即：Q（3，2） ， 把点 D的坐标代入一次函数表达式 ykx+b， 则：ykx2， 把点 B坐标代入上式，解得：k ， 则 BD所在直线表达式为：y x2， 则点 M 坐标为（3， ） ， 则：B

35、M2 ，BQ25，QM2，即：BM2+BQ2QM2， 故：BQM是直角三角形； （3）点 P 的坐标为（m，0） ， 则点 Q坐标（m， m2+ m+2） 、点 M 坐标（m， m2） ， 当 QMEF 时，四边形 DMQF 是平行四边形， 则：QM m2+ m+2 m+2 ， 解得：m3或1， 答：当 m3 或1时，四边形 DMQF 是平行四边形 4已知抛物线 y x2 x+2 与 x 轴交于点 A，B 两点，交 y 轴于 C 点，抛物线的对称轴与 x 轴交于 H 点， 分别以 OC、OA 为边作矩形 AECO （1）求直线 AC 的解析式； （2）如图 2，P 为直线 AC 上方抛物线上的

36、任意一点，在对称轴上有一动点 M，当四边形 AOCP 面积最大时， 求|PMOM|的最大值 （3）如图 3，将AOC 沿直线 AC 翻折得ACD，再将ACD 沿着直线 AC 平移得ACD使得点 A、C 在直线 AC 上，是否存在这样的点 D，使得AED为直角三角形？若存在，请求出点 D的坐标；若不 存在，请说明理由 【答案】(1) y x+2；(2) 点 M坐标为（2， ）时，四边形 AOCP 的面积最大，此时|PMOM|有最大 值； (3)存在，D坐标为： （0，4）或（6，2）或（，） （2）如图，过点 P 作 x 轴的垂线交 AC 于点 H （3）存在 AECD，AECADC90 ，EM

37、ADMC，EAMDCM（AAS） ，EMDM，AMMC， 设：EMa，则：MC6a在 RtDCM中，由勾股定理得：MC2DC2+MD2，即： （6a）222+a2，解 得： a， 则： MC， 过点D作x轴的垂线交x轴于点N， 交EC于点H 在RtDMC中，DHMCMDDC， 即：DH2，则：DH，HC，即：点 D的坐标为（） ； 设：ACD 沿着直线 AC 平移了 m 个单位，则：点 A坐标（6） ，点 D坐标为 （）， 而 点E坐 标 为 （ 6 ， 2 ）， 则=36 ， =，=若AED为直 角三角形，分三种情况讨论： 当+=时， 36+=， 解得： m=， 此时 D （） 为（0，4）

38、 ； 当+=时， 36+=， 解得： m=， 此时 D （） 为（6，2） ； 当+=时，+=36，解得：m=或 m=，此时 D （）为（6，2）或（，） 综上所述：D坐标为： （0，4）或（6，2）或（，） 5如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+4与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 D，且 3OC4OB，对称轴为直线 x，点 E，连接 CE 交对称轴于 点 F，连接 AF 交抛物线于点 G （1）求抛物线的解析式和直线 CE 的解析式； （2）如图，过 E 作 EPx 轴交抛物线于点 P，点 Q 是线段 BC 上一动

39、点，当 QG+ QB 最小时，线段 MN 在线段 CE 上移动，点 M 在点 N 上方，且 MN，请求出四边形 PQMN 周长最小时点 N 的横坐标； （3） 如图， BC 与对称轴交于点 R， 连接 BD， 点 S 是线段 BD 上一动点， 将DRS 沿直线 RS 折叠至DRS， 是否存在点 S 使得DRS 与BRS 重叠部分的图形是直角三角形？若存在，请求出 BS 的长，若不存在，请 说明理由 （参考数据：tanDBC） 【答案】 （1）y2x+4 （2）； （3）BS 的值为或 设抛物线的解析式为 ya（x+） （x3） ，把 C（0，4）代入得到 a， 抛物线的解析式为 y（x22x9

40、） ，即 y+ x+4 设直线 CE的解析式为 ykx+b，则有，解得， 直线 CE的解析式为 y2x+4 （2）如图 1中，作 QHAB 于 H 由（1）可知 F（，2） ， 直线 AF的解析式为 yx+， 由，解得或， G（，） ， QHCO，BC5， ， QH BQ， GQ+ BQGQ+QH， 当 G、Q、H 三点共线时，GQ+ BQ 的值最小，最小值为，此时 Q（，） 如图 2中，将点 Q沿 CE方向平移个单位得到 Q，作点 Q关于直线 CE 的对称点 Q，连接 PQ交直线 CE 于 M，此时四边形 PQNM的周长最小 （3）如图 3中，当 RSBD 时，DRS 与BRS重叠部分的图形

41、是直角三角形 设抛物线的对称轴交 x轴于 H 设抛物线的对称轴交 x 轴于 H由题意：BH2，DH，BD ，来源:ZXXK RHCO， ， RH，DRDHRH， DRSDBH， ， RS，DS， BSBDDS 如图 4中，当 RDBD时，设垂足为 K，作 SGDH于 G 解得 m， SBSK+BK+ 综上所述，满足条件的 BS的值为或+ 6已知：如图，一次函数 y= x+1的图象与x 轴交于点 A，与 y轴交于点 B；二次函数 y= x2+bx+c 的图象 与一次函数 y= x+1的图象交于 B、C两点，与 x轴交于 D、E两点且 D点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边

42、形 BDEC的面积 S； （3）在 x 轴上有一动点 P，从 O 点出发以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向右运动，是否存在点 P 使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点 P 运动的时间 t的值，若不存在，请说明理由 （4）若动点 P 在 x轴上，动点 Q在射线 AC 上，同时从 A 点出发，点 P 沿 x轴正方向以每秒 2个单位的速 度运动，点 Q 以每秒 a个单位的速度沿射线 AC 运动，是否存在以 A、P、Q为顶点的三角形与ABD相似， 若存在，求 a的值，若不存在，说明理由 【答案】;(2) ;(3);(4) 解得： 故解析式 y=； （3）设符合条件的点 P 存

43、在，令 P（t，0） ： 当 P 为直角顶点时，如图：过 C作 CFx 轴于 F； RtBOPRtPCF， ，即 ， 整理得 t2-4t+3=0， 解得 a=1 或 a=3； 故可得 t=1 或 3 （4）存在符合条件的 a值，使APQ与ABD 相似， 当APQABD时， ， 解得：a=； 当APQADB时， 解得：a=， 存在符合条件的 a 值，使APQ 与ABD相似，a=或 7抛物线 yx2bxc与 x轴交于 A、B(3，0)两点，与 y轴交于点 C(0，3)，点 D为顶点，连结 BC、 BD、CD. (1)求抛物线的表达式； (2)试判断BCD的形状，并说明理由 【答案】 （1）yx22

44、x3； （2）BCD是直角三角形. 由 yx22x3(x1)24，得顶点 D的坐标为(1，4) DE4，OE1. BE2.在 RtDEB 中，DEB90 ， BD2DE2BE220. 过点 C作 CFDE于点 F，则 CFOE1，DFDEOC1. DC2CF2DF22. BD2BC2DC2. BCD 是直角三角形来源:Zxxk.Com 9如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+x3与 x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B左边） ， 与 y轴交于点 C，连接 AC、BC，点 D(0，2)在 y轴上，连接 BD （1）请求出直线 AC、BD的解析式； （2）如图 1，点 P 为第三象限内

45、抛物线上一动点，过点 P 作 PEy 轴交直线 AC 于点 E，连接 OE当 AOE=BDO时，点 M为直线 x轴上一点，点 N为 y轴上一点，连接 EM、NP，当四边形 MNPE 周长最 小时，请求出点 N 的坐标并直接写出此时四边形 MNEP 的周长； （3）如图 2，在（2）的结论下，连接 OP，将OEP 绕点 O旋转，点 E旋转后对应点为 E1，点 P 旋转后对 应点为 P1，直线 E1P1与 y轴交于点 F，与直线 BD交于点 Q在旋转过程中，DQF能否为直角三角形，若 能，请求出 DF的长度；若不能，请说明理由 【答案】 （1） （2）9 （3） （2）如图 1中，作点 E 关于

46、x 轴的对称点 E，点 P关于 y轴的对称点 P，连接 PE交 x轴于 M，交 y轴于 N，EE交 OA于 H EM+MN+NP=EM+MN+NP，PE 的值为定值， 此时四边形 PEMN的周长最小， 设 P（m，m2+m-3） ，则 E（m，-m-3） ， EOH=BDO， tanEOH=tanBDO， ， （3）如图 2中，当DQF=90 ，H 的对称点为 H1 OFH1DBO， ， ， OF=3， DF=OF-OD= 如图 3 中，当DFQ=90 ，易知 OF=OH=4，此时 DF=OF-OD=4-2 如图 4 中，当DQF=90 时，同法可得 OF=3，此时 DF=5 如图 5 中，当

47、DFQ=90 时，OF=4，此时 DF=4+2 综上所述，满足条件的 DF的值为或 4-2或 5或 4+2 10 如图， 直线与抛物线分别交于点 A、点 B， 且点 A 在 y 轴上， 抛物线的顶点 C 的坐标为 (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是线段 AB 上一动点，射线轴并与直线 BC 和抛物线分别交于点 M、N，过点 P 作轴于点 E，当 PE 与 PM 的乘积最大时，在 y 轴上找一点 Q，使的值最大，求的最大值和此时 Q 的坐标； (3)在抛物线上找一点 D，使ABD 为直角三角形，求 D 点的坐标 【答案】 （1）； （2） ，Q 点坐标为； （3） 点坐标为 (2) 联立

48、解得：或 即 点的坐标为 设的解析式为，代入和得： 解得： BC的解析式为 设，则 ， (3) 点坐标为 类型四类型四 等腰三角形的分类讨论等腰三角形的分类讨论 例 4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx3 交 x 轴于点 A（3，0） 、B（1，0） ，在 y 轴上 有一点 E（0，1） ，连接 AE （1）求二次函数的表达式； （2）若点 D为抛物线在 x轴负半轴下方的一个动点，求ADE 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的坐标；若不 存在，请说明理由 【答案】(1) 二次函数解析式为 yx2+2x3；

49、(2) ADE 的面积取得最大值为； （3）点 P 的坐标为（ 1，）或（1，）或（1，1）或（1，2）或（1，4） ，根据可得函数解析式，利用二次函数性质求解可 得答案； （3）先根据抛物线解析式得出对称轴为直线，据此设，由，知， ，再分，及三种情况分别求解可得. （2）设直线 AE的解析式为 ykx+b， 过点 A（3，0） ，E（0，1） ， ， 解得：， 直线 AE解析式为， 如图，过点 D 作 DGx轴于点 G，延长 DG交 AE 于点 F， 设 D（m，m2+2m3） ，则 F（） ， DFm22m+3+ m+1m2 m+4， SADESADF+SDEF DF AG+ DF OG DF （AG+OG） 3 DF （m2 m+4） m2 m+6 （m+ ）2+， 当 m时，ADE的面积取得最大值为 若 APPE，则 AP2PE2，即 4+n2（n1）2+1，解得 n1， P（1，1） ； 若 AEPE，则 AE2PE2，即 10（n1）2+1，解得 n2或 n4， P（1，2）或（1，4）； 综上，点 P的坐标为（1，）或（1，）或（1，1）或（1，2）或（1，4） 针对训练针对训练 1如图，已知二次函数 yax2+bx3a经过点 A（1，0） ，C（0，3） ，与 x轴交于另一点 B，抛物线的顶 点为 D （1）求此二次函数解