专题09 二次函数背景下的动点问题探究(教师版).docx
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1、备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 09 二次函数背景下的动点问题探究二次函数背景下的动点问题探究 【方法综述】【方法综述】 动点是常见的综合问题中的构成要件,通过点的运动命题者可以构造各种问题情景。动动点是常见的综合问题中的构成要件,通过点的运动命题者可以构造各种问题情景。动 点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点,从运动呈现方式分为无速度动点和有速度点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点,从运动呈现方式分为无速度动点和有速度 动点,从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。动点,从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动
2、点驱动的图形运动。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 常规单动点问题常规单动点问题 例例 1: (广东省深圳市)已知二次函数 y=ax2+bx+3 的图象分别与 x 轴交于点 A(3,0) ,C(-1,0) ,与 y 轴交于点 B点 D 为二次函数图象的顶点 (1)如图所示,求此二次函数的关系式: (2)如图所示,在 x 轴上取一动点 P(m,0) ,且 1m3,过点 P 作 x 轴的垂线分别交二次函数图象、 线段 AD,AB 于点 Q、F,E,求证:EF=EP; (3)在图中,若 R 为 y 轴上的一个动点,连接 AR,则 10 10 BR+AR 的最小值_(直接写出结果) 【答案】
3、(1)y=-x2+2x+3; (2)见解析; (3)610 5 【解析】 解: (1)将 A(3,0) ,C(-1,0)代入 y=ax2+bx+3,得: 9 + 3 + 3 = 0 + 3 = 0 ,解得: = 1 = 2 , 此二次函数的关系式为 y=-x2+2x+3 (2)证明:y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 点 D 的坐标为(1,4) 设线段 AB 所在直线的函数关系式为 y=kx+c(k0) , 将 A(3,0) ,C(0,3)代入 y=kx+c,得: 3 + = 0 = 3 ,解得: = 1 = 3 , 线段 AB 所在直线的函数关系式为 y=-x+3 同理,可得出:线段
4、 AD 所在直线的函数关系式为 y=-2x+6 点 P 的坐标为(m,0) , 点 E 的坐标为(m,-m+3) ,点 F 的坐标为(m,-2m+6) , EP=-m+3,EF=-m+3, EF=EP (3)如图,连接 BC,过点 R 作 RQBC,垂足为 Q OC=1,OB=3, BC=10(勾股定理) CBO=CBO,BOC=BQR=90 , BQRAOB, = ,即 10 = 1 , RQ= 10 10 BR, AR+ 10 10 BR=AR+RQ, 当 A,R,Q 共线且垂直 AB 时,即 AR+ 10 10 BR=AQ 时,其值最小 ACQ=BCO,BOC=AQC, CQACOB,
5、= ,即 3 = 4 10 AQ=610 5 , 10 10 BR+CR 的最小值为610 5 故答案为:610 5 例例 2: (2019 年广西)如图,抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,其对称轴与抛物线 相交于点 M,与 x 轴相交于点 N,点 P 是线段 MN 上的一个动点,连接 CP,过点 P 作 PECP 交 x 轴于点 E (1)求抛物线的顶点 M 的坐标; (2)当点 E 与原点 O 的重合时,求点 P 的坐标; (3)求动点 E 到抛物线对称轴的最大距离是多少? 【答案】 (1) (1,-4) (2)当点 E 与原点 O 的重合时,
6、点 P 的坐标为(1,;3;5 2 )或(1,5;3 2 ) (3)点 E 到抛物线对称轴的最大距离是 4 【解析】 解: (1)y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 抛物线的顶点 M 的坐标为(1,-4) (2)当 x=0 时,y=x2-2x-3=-3, 点 C 的坐标为(0,-3) 过点 C 作 CF直线 MN,垂足为点 F,如图 1 所示 PON+OPN=90 ,OPN+CPF=180 -CPO=90 , PON=CPF 又PNO=CFP=90 , PONCPF, = ,即 1 = 3; 1 , PN=35 2 , 当点 E 与原点 O 的重合时,点 P 的坐标为(1,;3;5 2 )
7、或(1,5;3 2 ) (3)过点 C 作 CF直线 MN,垂足为点 F,设 PN=m,分三种情况考虑,如图 2 所示 当 0m3 时,由(2)可知:PENCPF, = ,即 3;=m, EN=-m2+3m=-(m-3 2)2+ 9 4 -10, 当 m=3 2时,EN 取得最大值,最大值为 9 4; 当 m=0 或 3 时,点 E 和点 N 重合,此时 EN=0; 当 3m4 时,PCF+CPF=90 ,CPF+EPN=90 , PCF=EPN 又CFP=PNE=90 , PCFEPN, = ,即 ;3= 1, EN=m2-3m 10, 当 3m4 时,EN 的值随 m 值的增大而增大, 当
8、 m=4 时,EN 取得最大值,最大值为 4 综上所述:点 E 到抛物线对称轴的最大距离是 4 针对训练针对训练 1(山东省济南市历下区) 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 = 1 2 2 + + , 经过点(1,3)、 (0,1), 过 点作轴的平行线交抛物线于另一点 (1)求抛物线的表达式及其顶点坐标; (2)如图,点是第一象限中上方抛物线上的一个动点,过点作 于点,作 轴于点,交 于点,在点运动的过程中,的周长是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请 说明理由; (3)如图,连接,在轴上取一点,使和相似,请求出符合要求的点坐标 【答案】 (1)抛物线的解析式为 = 1 2
9、 2 + 5 2 + 1,顶点坐标为( 5 2, 33 8 ); (2)最大值为65 5 + 2; (3)满足 条件的点有(0, 5 2),(0, 13 3 ) 【解析】 (1)将(1,3),(0,1),代入 = 1 2 2 + + , 解得 = 5 2, = 1 抛物线的解析式为 = 1 2 2 + 5 2 + 1 顶点坐标为(5 2, 33 8 ) (2)由(0,1),(4,3)得直线解析式为: = 1 2 + 1 设 M(, 1 2 2 + 5 2 + 1),则得(0, 1 2 + 1) 则 = 1 2 2 + 5 2 + 1 ( 1 2 + 1) = 1 2 2 + 2 1 2 0 有
10、最大值,当 = 2时,最大值为 2 将直线与轴交点记作, 易得: = 1:2:5 因为/轴, = 又 = = 900, : = 1:2:5 = (35 5 + 1) 所以的最大值为65 5 + 2 (3) = = 1 2,为公共角, = 1当 = 时, = , = (0 4)2+ (1 3)2= 25, = (0 1)2+ (1 3)2= 5, = 3 = 3 2, 1(0, 5 2) 2当 = 时, = , 25 = 5 3 , = 10 3 , 2(0, 13 3 ) 综上所述满足条件的点有(0, 5 2),(0, 13 3 ) 2 (四川省简阳市 2019 届九年级) 如图 1,在平面直
11、角坐标系中, 抛物线 = ( )( 4)( 0)与 x 轴相交 于 A,B 两点,点 P 是抛物线上一点,且PB = AB,PBA = 120 (1)求该抛物线的表达式; (2)设点M(m,n)为抛物线上的一个动点,当点 M 在曲线 BA 之间(含端点)移动时,求|m| + |n|的最大值及取 得最大值时点 M 的坐标 【答案】(1)抛物线解析式为;y 3 6 x223 3 ;(2)当点 M 在曲线 BA 之间(含端点)移动时,M 的坐标为(3, 3 6 )或(3, 3 6 )时,|m|+|n|的最大值为73 6 【解析】 (1)如图,令 y0 代入 yax24a, 0ax24a, a0, x
12、240, x 2, A(2,0) ,B(2,0) , AB4, 过点 P 作 PCx 轴于点 C, PBC180 PBA60 , PBAB4, cosPBC , BC2, 由勾股定理可求得:PC23, OCOB+BC4, P(4,23) , 把 P(4,23)代入 yax24a, 2316a4a, a 3 6 , 抛物线解析式为:y 3 6 x223 3 ; (2)当点 M 在曲线 BA 之间(含端点)移动时, 2m2,n0, 当2m0 时, |m|+|n|mn 3 6 m2m+23 3 3 6 (m+3)2+73 6 , 当 m3时, |m|+|n|可取得最大值,最大值为73 6 , 此时,
13、M 的坐标为(3, 3 6 ) , 当 0m2 时, |m|+|n|mn 3 6 m2+m+23 6 3 6 (m3)2+73 6 , 当 m3时, |m|+|n|可取得最大值,最大值为73 6 , 此时,M 的坐标为(3, 3 6 ) , 综上所述,当点 M 在曲线 BA 之间(含端点)移动时,M 的坐标为(3, 3 6 )或(3, 3 6 )时,|m|+|n| 的最大值为73 6 类型二类型二 双动点问题双动点问题 例例 3(重庆市大渡口区 2019 届九年级第二次诊断考试) 如图, 抛物线 y=-3 5 (x-2) 2+n与 x 轴交于点 A (m-2, 0)和 B(2m+3,0) (点
14、 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C,连结 BC (1)求 m、n 的值; (2)如图,点 N 为抛物线上的一动点,且位于直线 BC 上方,连接 CN、BN求NBC 面积的最大值; (3)如图,点 M、P 分别为线段 BC 和线段 OB 上的动点,连接 PM、PC,是否存在这样的点 P,使PCM 为等腰三角形,PMB 为直角三角形同时成立?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【来源】 【区级联考】数学试题 【答案】 (1)m=1;n=-9; (2)最大值为75 8 ; (3)存在,P 点坐标为(334;9 5 ,0)或(3 4,0) 【解析】 (1)抛物线的解析式为
15、y=-3 5 (x-2)2+n=- 3 5(x-2)2- 3 5n, 抛物线的对称轴为直线 x=2, 点 A 和点 B 为对称点, 2-(m-2)=2m+3-2,解得 m=1, A(-1,0) ,B(5,0) , 把 A(-1,0)代入 y=-3 5 (x-2)2+n得 9+n=0,解得 n=-9; (2)作 NDy 轴交 BC 于 D,如图 2, 抛物线解析式为 y=-3 5 (x-2)2-9=- 3 5x2+ 12 5 x+3, 当 x=0 时,y=3,则 C(0,3) , 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b, 把 B(5,0) ,C(0,3)代入得5 + 0 3 ,解得 3 5 3
16、, 直线 BC 的解析式为 y=-3 5x+3, 设 N(x,-3 5x2+ 12 5 x+3) ,则 D(x,-3 5x+3) , ND=-3 5x2+ 12 5 x+3-(-3 5x+3)=- 3 5x2+3x, SNBC=SNDC+SNDB=1 2 5 ND=- 3 2x2+ 15 2 x=-3 2(x- 5 2)2+ 75 8 , 当 x=5 2时,NBC 面积最大,最大值为 75 8 ; (3)存在 B(5,0) ,C(0,3) , BC=32+ 52=34, 当PMB=90 ,则PMC=90 ,PMC 为等腰直角三角形,MP=MC, 设 PM=t,则 CM=t,MB=34-t, M
17、BP=OBC, BMPBOC, = = ,即 3 = 34; 5 = 34 ,解得 t=334 8 ,BP=17 4 , OP=OB-BP=5-17 4 =3 4, 此时 P 点坐标为(3 4,0) ; 当MPB=90 ,则 MP=MC, 设 PM=t,则 CM=t,MB=34-t, MBP=CBO, BMPBCO, = = ,即 3 = 34; 34 = 5 ,解得 t=102;934 25 ,BP=34;334 5 , OP=OB-BP=5-34;334 5 =334;9 5 , 此时 P 点坐标为(334;9 5 ,0) ; 综上所述,P 点坐标为(334;9 5 ,0)或(3 4,0)
18、 针对训练针对训练 1(河北省 2019 届九年级毕业生升学文化课考试模拟) 如图, 已知在平面直角坐标系中, 四边形是 矩形, = 4, = 3,动点从点出发,沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动;同时动点从 点出发,沿轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点,点的运动时间为(). (1)当 = 1时,按要求回答下列问题 tan =_; 求经过, , 三点的抛物线的解析式, 若将抛物线在轴上方的部分图象记为1, 已知直线 = 1 2 + 与1有两个不同的交点,求的取值范围; (2)连接,点,在运动过程中,记与矩形重叠部分的面积为,求与的函数解析式. 【答案】 (1)3;y=-3 4x
19、2+3x; 0b 25 12; (2)当 0t2 时,S=3t;当 2t4 时,S=24- 24 -3t;当 t4 时, S=24 . 【解析】解: (1)过 Q 作 QMBC,tanQPC= =3; A(4,0)O(0,0)P(2,3)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c, 把 A(4,0)O(0,0)P(2,3)代入 y=ax2+bx+c 得 16 + 4 + = 0 = 0 4 + 2 + = 3 , 解得 = 3 4 = 3 = 0 .y=3 4x2+3x. 联立直线 y=1 2x+b 与 y=- 3 4x2+3x,得 = 1 2 + = 3 4 2 + 3 则-3 4x2+3x=
20、 1 2x+b, 直线1 2x+b 与 G1 有 两 个 不 同 交 点, 方程-3 4x2+3x= 1 2x+b 有 2 个不同解, 0 即25 4 -3 0, b25 12, 又由直线与 G1 交于 x 轴上方,b0, b 的范围为0 25 12. (2)当 0t2 时,S=3t;当 2t4 时,S=24 24 3t;当 t4 时,S=24 . 当 0t2 时,如图 1,由题意可知 CP=2t,S=SPCQ=1 2 2t 3=3t; 当 2t4 时,如图 2: 过 Q 作 QHCP 于 H,BP=2t-4,HP=HC=t,HQ=3, BMHQ, PBMPHQ, = . 即 3 = 2;4
21、, BM=3(2;4) , AM=3- BM=12;3 , = 矩形 OABC = 4 3 1 2 3 1 2 (4 ) 12 3 = 243t 24 (2 4 时,如图 3, CQ 与 AB 交于 M 点,过 Q 做 , 则 , = 即 3 = 4 ,故有 = 12 . 面积为: = 1 2 = 1 2 4 12 = 24 (t 4) 2 (重庆一中 2019 届九年级(上)期中数学试卷)在平面直角坐标系中,二次函数 yax2+bx8 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,直线 ykx+5 3(k0)经过点 A,与抛物线交于另一点 R,已知 OC 2OA,OB3OA (1
22、)求抛物线与直线的解析式; (2)如图 1,若点 P 是 x 轴下方抛物线上一点,过点 P 做 PHAR 于点 H,过点 P 做 PQx 轴交抛物线于 点 Q,过点 P 做 PHx 轴于点 H,K 为直线 PH上一点,且 PK23PQ,点 I 为第四象限内一点,且在直 线 PQ 上方,连接 IP、IQ、IK,记 l13 2 PH 1 4PQ,mIP+IQ+IK,当 l 取得最大值时,求出点 P 的坐标, 并求出此时 m 的最小值 (3)如图 2,将点 A 沿直线 AR 方向平移 13 个长度单位到点 M,过点 M 做 MNx 轴,交抛物线于点 N, 动点 D 为 x 轴上一点,连接 MD、DN
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