2021版 几何最值36问 - 答案详解.pdf

1、1 几何最值 36 问解析版 条件条件 如图，ABC 中，过 C 作 CDAB 于点 D，E 是直线 CD 上的动点，连接 AE 问题问题 (01)若 AB6，CD4，求ABC 周长的最小值； 【答案】16 【解析】如图，过点 C 作 MNAB，CD4， 点 C 在定直线 MN 上运动，产生“将军饮马”模型， 作 A 关于 MN 的对称点 E，连接 CE，BE，AE， AE2CD8， AB6，BE10， ACBCECBCBE10， ABC 的周长最小值为 16 (02)若 AD6，CD4，求 2AECE 的最小值； 【答案】463 【解析】如图，过点 C 在 CD 右侧作直线 CF，使得DCF

2、30， 过点 E 作 EGCF 于点 G，则 EG1 2CE， 过点 A 作 AHCF 于点 H，交 CD 于点 I， 2AECE2(AE1 2CE)2(AEEG)2AH， AD6，CD4，DAIICH30， DI 323，AI2DI43，IC423， IH1 2IC2 3， AHAIIH233 2AECE2AH463 (03)若 AD6，CD4，求 2AECE 的最小值； 【答案】63 4 【解析】如图，过点 C 在 CD 左侧作直线 CF，使得ECF30， CF 交 AE 于点 H，交 AB 于点 I，则SAIICD30， 过点 E 作 EGCF 于 G，过点 A 作 ASCF 于 S，则

3、 EG1 2CE， ASEGAE， AEEGAS， AD6，CD4， ID 34 3 3， AIADID64 3 3， AS 3 2AI3 32， 2AECE2(AE1 2CE)2(AEEG)2AS6 3 4 E DBA C N M E D C BA F I H G E D C BA I S H G E D C B A F 2 (04)若 AD6，求 2EAED 的最小值； 【答案】63 【解析】如图，过点 D 在 CD 左侧作直线 DF 使CDF30，DF 交 AE 于点 H， 过点 E 作 EGDF 于点 G，过点 A 作 ASDF 于点 S， 则 EG1 2ED，AS 3 2AD3 3，

4、 且 ASEGEA， EAEGAS， 则 2EAED2(EA1 2ED)2(EAEG)2AS6 3 (05)若 ADCD4，CE2DB，求 AE2BC 的最小值； 【答案】410 【解析】“乾坤大挪移”，如图，过 C 注意 CFAB，且 AB2CD， 则ECFBDC， 2， EF2BC， AE2BCAEEFAF， 过 A 作 AGCF 于点 G， 则 AGCG4，CF8，FG12， AF410， AE2BCAF410 (06)若 AB6，ACB60，求 CD 的最大值； 【答案】33 【解析】如图，定角对定长取ABC 的外心 O，则AOB120， OAOBOC 323， OF1 2OB 3，

5、CDCOOF33 (07)若 AB6，ACB60，求 CA2CB 的最大值； 【答案】421 【解析】如图，加权系数，定角对定长，延长 AC 至 F，使 CF2BC， 则FCB120，过 B 作 BGAF 于点 G， 设 BC2x，则 GCx，BG3，FC4x， FG5x，tanBFA 3 5，ABF 定角对定长， 设 O 为ABF 的外心，则 OAOBOF，AOB2BFA， 过 O 作 OHAB 于点 H，则AOHBOHBFA， 又 AHHB3， OH53， OA221， CA2CBCACFAFOAOF421 S H G F E C DBA O C E DFBA H G O F E D C

6、BA G F B DA C E 3 (08)若 AB6，ACB60，求 AD2DC 的最大值； 【答案】323215 【解析】如图，取ABC 的外心 O，由（6）可知 OAOBOC23， 延长 CD 至 F，使 DF1 2AD，连接 AF， 过点 O 作 OGAF 于点 G，ONAB 交 AB 于点 M，交 AF 于点 N， 过点 C 作 CHAF 于点 H，则易得 ON 5 2OG， 而 OM1 2 3，AM3，MN1 2AM 3 2，ON 323 2 ， CF 5 2CH 5 2(COOG) 5 2COON 15323 2 ， AD2DC2(1 2ADDC)2(DFDC)2CF32 321

7、5 (09)若 AB6，CA2CB，求ABC 面积的最大值； 【答案】12 【解析】如图，延长 AB 至 O，连接 OC，使得OCBOAC， 则OBCOCA， CA2CB， OC2OB， 设 OBx，则 OC2x， OC2OBOA， 即：4x2x(x6)， x2，OC4， SABC1 2ABCD 1 2ABCO 1 26412 (10)若 AB6，AD4DB，DE8 5，平面内的 P 点满足 PA2PB，F 是 AB 中点，求 4PF5PE 的最大值； 【答案】8 【解析】如图，延长 AB 至 O，连接 OP，使得OPBOAP， 由（9）可知，OB2，PO4，而 AFFB3， OF5，OD16

8、 5， 而 OP216516 5OFOD， DOPPOF， PD4 5PF 4PF5PE5 (4 5PFPE）5(PDPE)5DE8 (11)若 ADCD4，P 是平面内一点，且 PA1，求 PC2PD 的最大值； 【答案】1 【解析】如图，把APD 绕点 D 顺时针旋转 90至CQD， 则 QCAP1，QDPQ， 且PDQ 为 dyRt， PQ2PD， PC2PDPCPQQC1 N M H G O F AB C D O D BA C O P E C DFBA Q P D C BA 4 (12)若 ADCD4，过 E 作 EFAE 交 AC 于点 F，求 AF 的最小值； 【答案】1682 【

9、解析】如图，取 AF 中点 O，连接 OE，过点 O 作 OGCD 于点 G， 设 OEOFOAx，则 CO42x， OG 24 2， 由“斜垂大法”可知 OEOG， x4 2，解得 x842， AF2x1682 (13)若CAB45，作 DFAC 于点 F，P 是平面内一点，且 PA4，求2PFPD 最小值； 【答案】4 【解析】如图，把PFA 绕点 F 逆时针旋转 90至QFD， 则 DQAP4，PFFQ，PFQ90， PQ2PF，PQPDDQ4， 2PFPDPQPDDQ4 或由托勒密不等式可得： PFADAFPDAPDF，而 AD2AF2DF， 2PFPDAP4 (14)若CAE30，A

10、D4，过 E 作 EFAD 交 AC 于点 F，求 EF 的最小值； 【答案】8 3 【解析】如图，取AEF 的外心 O，连接 OA、OF、OE， 则 OAOEOF，且FOE2FAE60， OEF 为等边三角形， 过 O 作 OGEF 于点 G，交 AB 于点 H， 设 EF2x，则 HDGEx，AH4x，而 OA2x， 由“斜垂大法”可知 OAAH， 则 2x4x，x4 3， EF2x8 3 (15)若CAD45，AD4，M、N 是 AC 上的点，且 MN22，求 tanMDN 的最大值； 【答案】4 3 【解析】如图，过点 D 作 DEAC 于点 E，则 DE22， 取MDN 的外心 O，

11、连接 OM、ON、OD，则 OMONOD， 过点 O 作 OFAC 于点 F， 则MOFMDN，且 MFFN2， 设 OFx，则 ODOM22 又 DOOFDE，22 22， 解得 x3 2 4 ， tanMDNtanMOF 2 4 3 Q P F D C BA H G O F E D C BA O N M F E D C BA G O F E D C BA 5 (16)若CAD45，AD4，P 是平面内一点，求 PAPDPC 的最小值； 【答案】2622 【解析】如图，把DPC 绕点 D 顺时针旋转 60至DQR，连接 PQ，AR， 则 QRPC，且PDQ 为等边三角形， PQPD， PAP

12、DPCPAPQQRAR， 过 R 作 RSAB 于点 S， 则 RS1 2RD2，DS 3RS23， AS423，从而 AR2622， PAPDPC2622 (17)若CAD45，AD4，P 是平面内一点，求 PA2PD5PC 的最小值； 【答案】410 【解析】如图，把CPD 绕点 C 逆时针旋转 90并且放大 2 倍至CQR， 连接 PPQ、AR，则 CQ2PC，QR2PD，PD5PC， PA2PD5PCPAQRPQAR， 过 A 作 ASRC 于点 S， 则 ASSC4， 而 RC2CD2AD8， RS12， AS410 (18)若 P 是平面内一点，且 PAPC5，PD2，求 AC 的

13、最小值； 【答案】46 2 【解析】如图，构造矩形 ADCF，连接 PF，DF，则 ACDF， 由经典结论可知： PF2PD2PA2PC2， PF46， 而 PDDFPF， ACDFPFPD46 2 (19)若 AC7，AB5，BC42，M、N、P 分别是 AB、BC、CA 上的动点，求MNP 周长的最小值； 【答案】28 5 2 【解析】如图， 过点 B 作 BHAC 于点 H， 易得 HCBH4，AH3， 易得ACB45，作 M 分别关于 BC，AC 的对称点 E、F， 连接 CE、CF、NE、PF、EF， 则ECF90，且 CFCECD， ECF 为 dyRt， EF2CE2CM， CM

14、NPMPPNNM FPPNNEEF2CM2CD， 而 CD 28 5， CMNP2CD28 5 2 Q S R P D C BA A B C D P R S Q P F D C B A H P N M F E D C BA 6 (20)若CAD45，AD4，E 是 CD 中点，F 是 AD 中点，P 是ADC 内部一点，作 PGAD 于点 G，PHEF 于点 H，若PGD 的面 积为 1，求2PHPE 的最小值； 【答案】2 【解析】如图，PGD 的面积为 1，则 PGGD2， 设 GDm，PGn，则 mn2， F、E 分别是 AD、CD 的中点， DFDE2， 过 P 作 PQAD 于点 Q

15、， 则 PQ2PH，FRQRPGn， RDFDFR2n， PQGRGDRDm(2n)mn2， PQ2(mn2)2m2n242mn4m4n m24mn24n8(m2)2(n2)2， 取 AC 中点 O，连接 OE，则 OE2， 过 O 作 OSPQ 于点 S， 则 PO2PS2OS2(m2)2(2n)2(m2)2(n2)2 PQ2， POPQ2PH， 2PHPEPOPEOE2 (21)若CAD45，AD4，E 是 CD 中点，M、N 是 CA 上的动点，M 在 CN 之间，且 MN2，P 是 AD 上的动点，求 EMMNNP 1 2PD 的最小值； 【答案】33 322 2 【解析】如图，过点

16、D 在 AD 下方作直线 DF 与 AD 的夹角为 30， 过点 P 作 PGDF 于点 G，则 PG1 2PD， 作 E 关于 AC 的对称点 H，连接 HM， 过 H 作 HIMN，且 HIMN2， 连接 NI，则四边形 MHIN 为平行四边形， NIHMME， 过 I 作 IJDF 于点 J，交 AD 于点 K，则 INNPPGIJ， EMMNNP1 2PD 2EMNPPG 2(INNPPJ)2IJ， 根据对称，补全如图剩余部分辅助线， CAD45，AD4，E 为 CD 中点， CHCE2，RHI 为 dyRt， RIRH 21， SDRC3， ISRSRICDRI413，SIKKDJ3

17、0， SK 33，IK2SK23，KDSDSK33， KJ1 2KD 33 2 ， IJIKKJ233 3 2 333 2 ， EMMNNP1 2PD 2IJ33322 2 S R Q O P H G F E DB C A R S K J I P N M H G E F D C BA 7 (22)若CAD60，AD4，AE 平分CAD，过 E 的直线 PQ 分别交射线 AC 于点 P、交射线 AB 于点 Q，求 1 1 的最大值； 【答案】3 4 【解析】如图，过点 A 作 AFPQ 于点 F，设EAPEAQ， SAPQSAPESAQE， 即：1 2APAQsin2 1 2APAEsin 1

18、2AQAEsin， 2cos AE 1 AQ 1 AP，又 1 2AEAPsin 1 2PEAF， 1 PE AF AEAPsin，同理可得： 1 EQ AF AEAQsin， 1 EP 1 EQ AF AEsin 1 AP 1 AQ AF AEsin 2cos AE 2cot AE ， CAD260，30，AE 2 3AD8 3 3， 1 EP 1 EQ 2cot AE 23 8 3 33 4 (23)若CAD45，AD4，P 是平面内一点，求 PA2PD2PC2的最小值； 【答案】64 3 【解析】如图，取ACD 的重心 G，连接 PG， 则由莱布尼兹公式可知： PA2PD2PC23PG2

19、1 3(AD 2DC2CA2)， CAD45，AD4， CD4，AC42， PA2PD2PC21 3(AD 2DC2CA2)64 3 (24)若 CA6，CB4，O 为ABC 的外心，求 ABCO 的最小值； 【答案】10 【解析】如图，过点 C 作 CEAB 交O 于点 E，连接 EA，EB， 易得 AEBC4，BEAC6， 由托勒密定理可得：ABECAEBCACBE， ABEC4466， ABEC20， 又 ECEOOC2OC， 20ABECAB2OC， ABOC10 (25)若CAD45，P 是平面内一点，且APD105，且 PCkPD，求 k 的最小值； 【答案】 6 2 【解析】CA

20、D45，ADC 为 dyRt， 如图，把APD 绕点 D 顺时针旋转 90至CQD，连接 QP， 则PDQ 为 dyRt，DQP45， PQ2PD， CQDAPD105， CQP60， sin60 3 2， 2 3 2， k 6 2 F Q P E D C B A G P D C BA D O EC B A D Q P C BA 8 (26)若CAD45，AD3，DB2，P 是平面内一点，且 PC2PD2PB2，求 22PB5PC 的最大值； 【答案】6 【解析】如图，补全矩形 BDCE，连接 PE，则由 Classic Conclusion： PC2PB2PD2PE2，又 PC2PD2PB2

21、，PE2PC， 延长 EC 至 O，连接 OP，使得OPCOEP， OCPOPE，设 OCx，则 OP2x， OP2OCOE， 2x2x(x2)，x2， OC2，OP22， P 点在O 上运动，半径为 OP， 连接 OB，CAD45，CDAD2，OB5， 在 OB 上取一点 G，使得 OP2OGOB，OG8 5， OGPOPB， PG PB 22 5 PB， 22PB5PC5(2 2 5 PBPC)5(PGPC)5GC， 易得OG OC 4 5 OE OB， OGCOEB， OGC90，GC6 5 22PB5PC5GC6 (27)若CAE30，AD4，求 CE 的最小值； 【答案】1683 【

22、解析】如图，CAE30，AD4，满足“定角定高”，注意 E、C 是直线 CD 上的动点， 取CAE 的外心 O，连接 OA、OE、OC，过点 O 作 OFCD 于点 F， 则COE2CAE60， COE 为 db， 设 OAOEECr，则 OF 3 2r， OAOFAD， r 3 2r4，解得 r168 3，当 A、O、F 三点共线时取等号 即 CE 的最小值是 1683 (28)若CAD45，AD4，F 是 AC 上的点，C 点关于 EF 的对称点在 AD 上，求 CF 的最小值； 【答案】842 【解析】如图，设 C 点关于 EF 的对称点为 C，过点 F 作 FGAB 于点 G， CAD

23、45，AD4， DC4，AC42， 设 CFx，则 CFx，AF42x，FG 24 2 2x， 由“斜垂大法”可知 CFFG， 即 x4 2 2x，解得：x84 2 (29)若 CACB10，AB6，求ABC 面积的最大值； 【答案】12 【解析】如图，设 ACx，则 BC10 x， 显然：p(CACBAB/2)8, 由海伦公式得：SABC( )( )( ) 4(8 )( 2)4 82 2 12 当且仅当 8xx2，即 x5 时，ABC 取得面积的最大值 12 G P E O C DBA O F E D C BA CG F E C DBA D C BA 9 (30)若 DE4，CE5，求 ta

24、nCAE 的最大值； 【答案】5 12 【解析】如图，由已知 E、C 是定点，A 是动点，这就经典的“MMAP”问题， 当CEA 的外接圆与 AD 相切时，CAE 最大， 由切割线定理可知： DA2DEDC4936，DA6， AC313，cosDCA 3 13，sinDCA 2 13， 过点 E 作 EFCA 于点 F， 则 CFCEcosDCA 15 13， 从而 EFCEsinDCA 10 13， AF313 15 13 24 13， tanCAE 5 12 (31)若CAD45，ABC75，AD4，C 关于 AB 的对称点是 P，连接 PA、PB，M、N 分别是 AP、BC 上的动点，且

25、 PMCN，求 MN 的最小值； 【答案】4 【解析】如图，由已知易得ACB60，AC42，PC8， 作ACB 的角平分线 CE 交 AB 于点 E， 连接 PE，EM、EN，PD， 由已知易得PMECNE， 从而MENPEC， ， MN8 ， 过点 E 作 EFAP 于点 F，则 EMEF， 而 RtPEF 中，FPE30， MN8 8 8sin304 (32)若DAE20，AD4，M，N 是 AE 上的动点，P 是 AD 上的动点，求 DMMPPN 的最小值； 【答案】23 【解析】如图，作 D 关于 AE 的对称点 D，连接 DM，AD，则 ADAD4， 作 N 关于 AD 的对称点 N

26、，连接 PN， 则由已知易得DAN32060， 过点 D作 DFAN于点 F， 则 DFADsin6023， DMMPPNDMMPPNDF23 F E C DBA F E N M P D C B A M P N N F D E D C BA 10 (33)若CAD45，P 是平面内一点，且 PA2，PC3，求 PD 的最大值和最小值； 【答案】最小值是 2 2，最大值是 5 2 2 【解析】如图，由已知易得ADC 为 dyRt， DCDA， 把DAP 绕点 D 顺时针旋转 90至DCQ， 则PDQ 为 dyRt， PQ2PD，CQAP2， PCQCPQPCCQ，即：1PQ5， 12PQ5， 2

27、 2PD 5 2 2 PD 的最小值是 2 2，最大值是 5 2 2 (34)若 AB4，BC4，M 是 BC 的中点，P 是平面内一点，且 PC1，AMP120，求 AP 的最大值； 【答案】7 【解析】如图，作 B 关于 AM 的对称点 B，作 C 关于 PM 的对称点 C， 连接 AB、BC、CP， AMP120， BMACMP60， AMBPMC60，BMC1206060， BMC为 db， BC2， 显然 APABBCCP4217 当 A、B、C、P 四点共线， 也即ABMPCMAMP120时取等 (35)若CAD45，AD4，D 关于 AC 的对称点为 P，连接 CP，点 D 关于

28、 AE 的对称点是 M，点 M 关于 PC 的对称点是 N，连接 DN， 求 DN 的最小值； 【答案】454 【解析】如图，由已知易得四边形 ADCP 是边长为 4 的正方形， 连接 AM，由对称可知，AMAD4， 作 A 关于 PC 的对称点 A，连接 AN， 则 ANAM4， 连接 AD，则 ANNDAD， 易得 AA2PA8，AD4， AD45， DNADAN454 当 A、N、D 三点共线时取等号 Q ABD P C C B M P C DBA A N M E C BDA P 11 (36)若CAD45，AD4，D 关于 AC 的对称点为 P，连接 AP、PD，过 D 作 DFAE

29、于点 F，Q 在线段 AF 上，且 QFDF，M、N 分 别是 AP、DP 上的点，求 QMMNNQ 的最小值 【答案】454 【解析】如图，由已知易得PAD 为 dyRt，APAD4， 易得DQF 为 dyRt，FQD45， 从而AQD135，又 AD4（定角定长）， 又 E 在直线 CD 上运动，Q 点在两段弧上运动， 设圆心为 O，连接 OA、OQ、OD，则AOD90， 从而 OAODOQ22， 作 Q 关于 PA 的对称点 Q，作 Q 关于 PD 的对称点 Q， 连接 PQ、QM、NQ、PQ、QQ， 从而QPQ90， QPQ为 dyRt， QQ2PQ2PQ， QMMNNQQMMNNQQQ2PQ， 要求 QMMNNQ 的最小值，只需求 PQ 的最小值， 显然当 Q 在 AD 上边部分的弧上运动时，PQ 能取到最小值， 作 OGPA 于点 G，则 AGGO2， PG426，PO210， 显然 OQPQOP，PQOPOQ21022， QMMNNQ2PQ454 CP Q Q GO M Q N F E BDA