极坐标与参数方程1 运用极坐标解题.ppt

1、运运用极坐标解题：用极坐标解题： 涉及涉及与曲线的交点，求交点到原点距离与曲线的交点，求交点到原点距离有关问题有关问题时，时， 考虑用极坐标解题考虑用极坐标解题 A B 直角坐标系xOy中，直线: 30lxyb。在以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 1 :2sinC， 2 2 :4 3 cos30C 1若4b ，直线 3 分别与l， 1 C交于AB、两点，求AB 2 直线l经过 1 C与 00 ,3)（tan异于原点的公共点，求b A B 直角坐标系xOy中，直线: 30lxyb。在以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 1 :2sinC， 2 2 :4 3

2、 cos30C 4 6 与 2 C交于AB、两点，求 11 OAOB 3 (0,) 2 与 2 C相切于点A，求点A的极坐标。 5 (0,) 2 与 2 C相交于AB、两点，且=2 6AB，求 A 直角坐标系xOy中，直线: 30lxyb。在以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 1 :2sinC， 2 2 :4 3 cos30C 题组二 1(0,) 2 分别与l， 1 C交于AB、两点，求 OB OA 的最大值 直角坐标系xOy中，直线: 30lxyb。在以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 1 :2sinC， 2 2 :4 3 cos30C 题组二 2(0

3、, ) 分别与 1 C、 3 C :2 3cos交于AB、两点， 求AB的最大值 A B 直角坐标系xOy中，直线: 30lxyb。在以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 1 :2sinC， 2 2 :4 3 cos30C 题组二 3AB、是曲线 1 C上两点，且 3 AOB ，求+OAOB的最大值 A B 问题一已知圆的极坐标方程为 sin4,且圆上点的极角 为 3 ，求点到极点的距离 P 问题二直线l的极坐标方程为 2) 4 sin( ,直线上点 M 的极角 为 4 ，求点到极点的距离 M 利用极坐标解题利用极坐标解题（高考题高考题最近最近模拟题评讲模拟题评讲） ： 涉及

4、涉及与曲线的交点，求交点到原点距离与曲线的交点，求交点到原点距离有关问题有关问题时，时， 考虑用极坐标解题考虑用极坐标解题 sin4 2) 4 sin( 例三（2011 国家卷）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的 参数方程为 2cos , 22sin x y （为参数） ， ()求曲线 1 C的极坐标方程； ()在以O为极点，x轴的正 半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与 1 C的异于极点的交点为A， 与 2 C：8sin的异于极点的交点为B，求AB. 4sin 8sin 3 ) 3 , 32 ( A ) 3 , 34 (B 21 2 3AB 2020 届江门调研（理）在平面直角坐标系中，曲

5、线 1 C的参数方程为 2cos 22sin x y (为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4cos (1)求曲线 1 C的极坐标方程； (2)射线0 3 与曲线 1 C， 2 C分别交于A，B两点(异于原点O)， 定点2,0M，求MAB的面积. 曲线 1 C的极坐标方程为4sin O M A B 4 sincos231 33 BA AB 33 3 sin2 2 1 ABMAB S （2015 全国 1）在直角坐标系xOy 中，直线 1 :2Cx ，圆 22 2 :121Cxy， 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求

6、12 ,C C的极坐标方程. （II）直线 3 C极坐标方程为 R 4 ，设 23 ,C C的交点为,M N，求 2 C MN 面积. 试题解析： （）因为cos ,sinxy， 1 C的极坐标方程为cos2 ， 2 C的极坐标方程为 2 2 cos4 sin40 （）将= 4 代入 2 2 cos4 sin40，得 2 3 240 ， 解得 1 =2 2， 2 =2，|MN|= 1 2 =2， 因为 2 C的半径为 1，则 2 C MN的面积 o 1 2 1 sin45 2 = 1 2 . N M 2 C 2、 （20162016 全国全国 1 1 卷）卷）直角坐标系xOy中，曲线 1 C的

7、参数方程为 ,sin1 ,cos tay tax t (为参数，)0a在以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线cos4: 2 C （）说明 1 C是哪一种曲线，并将 1 C的方程化为极坐标方程； （）直线 3 C的极坐标方程为 0 ，其中 0 满足2tan 0 ， 若曲线 1 C与 2 C的公共点都在 3 C上，求a 22 2 sin10a 000 12 tan2cos,sin 55 将 0 代入cos4: 2 C,得 0 4 4cos= 5 将 0 4 5 （，）代入 3 C： 2 1642 210 555 a 【解析】 ： （）由 ,sin1 ,cos tay tax t

8、(为参数，)0a可得 cos , 1sin , xat yat 所以 22 22 ( cos ) (1)( sin ) xat yat ，即 222 (1)xya 故曲线 1 C是以(0,1)为圆心，半径为a的圆.一般方程为 222 210(*)xyya 将 222 sin xy y 代入(*)式子可得 1 C的极坐标方程为 22 2 sin10a . （）由题意联立 22 2 2 sin10 4cos a 可得曲线 1 C与 2 C的公共点所在的方程为 2 4 cos2 sin10a ， 因为曲线 1 C与 2 C的公共点都在 30 :C上， 所以 2 00 4 cos2 sin10a ，又

9、 0 0 0 sin tan2 cos 故 2 00 4cos22cos10a ，因此 2 10a 又 0a ，所以1a . （2015 全国 2）在直角坐标系xOy中,曲线 1 cos , : sin, xt C yt （t 为参数,且0t ）,其中0,在以 O 为极点,x 轴正半轴为 极轴的极坐标系中,曲线 23 :2sin ,:2 3cos .CC （I）求 2 C与 3 C交点的直角坐标； （II）若 1 C与 2 C相交于点 A, 1 C与 3 C相交于点 B,求AB最大值. 曲线曲线 2 C的直角方程为的直角方程为02 22 yyx，曲线，曲线 3 C的直角方程的直角方程 为为03

10、2 22 yyx，联立两方程解得：，联立两方程解得： 0 0 y x 或或 2 3 2 3 y x A B （2）曲线 1 C的极坐标方程为，其中0, 所以点 A 的极坐标为),sin2( 点 B 的极坐标为),cos32( 所以) 3 sin(4cos32sin2 AB， 当 6 5 时，AB取最大值，最大值为 4. A B 1 2 12 22.,:340, cos :(), 1sin ,. (1),; xOyCxy x COx y C C （佛佛山山）在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中 曲曲线线曲曲 线线为为参参数数 以以坐坐标标原原点点 为为极极点点轴轴 正正半半轴轴为为极极轴轴 建建

11、立立极极坐坐标标系系 求求曲曲线线的的极极坐坐标标方方程程 222 1 (1)cos ,sin , 3 cossin40 xyxy C 因因为为 的的极极坐坐标标方方程程为为 2222 2 (1)1,20, 2sin Cxyxyy 的的普普通通方方程程为为即即 对对应应的的极极坐坐标标方方程程为为 3 12 cos (2):(,0,0) sin2 ,. xt Ctt yt OB C CA B OA 曲曲线线为为参参数数分分别别交交 于于两两点点 当当 取取何何值值时时取取得得最最大大值值 3 (2)= (0) 2 C 曲曲线线的的极极坐坐标标方方程程为为 12 12 (,),(,), 4 =,

12、2sin 3cossin AB 设设则则 2 1 1 2sin3cossin 4 11 3sin2cos212sin 21 446 OB OA B A 5 0,2, 2666 3 2=, 6234 OB OA 又又 所所以以当当即即时时取取得得最最大大值值 在极坐标系中，曲线 C：2acos (a0)，l：cos 3 3 2， C 与 l 有且只有一个公共点(1)求 a； (2)O 为极点，A，B 为 C 上的两点，且AOB 3，求|OA|OB|最大值 解：(1)曲线 C 是以(a,0)为圆心，以 a 为半径的圆；l 的直角坐标方程 为 x 3y30. 由直线 l 与圆 C 相切可得|a3|

13、2 a，解得 a1. 6、在极坐标系中，曲线 C：2acos (a0)，l：cos 3 3 2， C 与 l 有且只有一个公共点(1)求 a； (2)O 为极点，A，B 为 C 上的两点，且AOB 3，求|OA|OB|最大值 (2)不妨设 A 的极角为 ， B 的极角为 3， 则|OA|OB|2cos 2cos 3 3cos 3sin 2 3cos 6 ， 当 6时，|OA|OB|取得最大值 2 3. B A O 22、在平面直角坐标系xOy中，直线 1 l： cos sin xt yt ， （t为参数， 0 2 ） ， 曲线 1 C： 2cos 4+2sin x y ， （为参数） ， 1

14、l与 1 C相切于点A，以坐标原点为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求 1 C的极坐标方程及点A的极坐标； （2）已知直线 2 l： = 6 R()与圆 2 C ： 2 4 3 cos20交于B，C两点， 记AOB的面积为 1 S ， 2 COC 的面积为 2 S ，求 12 21 SS SS 的值. A A C O 2 C B 1 C C O A cos 2 4 320 6 代入 6 2 20 12 +=6 12=2 1 3 Ssin 1 1 1 2 3 262 2 22 3 Ssin 1 2 3 262 222 1212121221 21212121 SS+ +=16 SS

15、 2（） 3、在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的极坐标方程； （2）已知为锐角，直线与曲线的交点为（异于极点） ，与曲线的 交点为，若，求的直角坐标方程。 xOy 2 22 xcos ysin （ 为参数） xM 2 232 (0) 2 sin C :(R)l CAlM B| | 16 2OAOBl 22已知直线l的参数方程为 cos sin xt yt （t为参数） ，以原点为极点，x轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 22 cos4 sin4 （1）若 4 ，求直线l的极坐标

16、方程以及曲线C的直角坐标方程； （2） 若直线l与曲线C交于,M N两点，且12MN ，求直线l的斜率 （1）依题意，直线 2 2 : 2 2 xt l yt ，可知直线l是过原点的直线， 故其极坐标方程为 4 R；曲线 22 :cos4 sin4C， 故曲线C的直角坐标方程为 2 44xy （5 分） 22已知直线l的参数方程为 cos sin xt yt （t为参数） ，以原点为极点，x轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 22 cos4 sin4 （1）若 4 ，求直线l的极坐标方程以及曲线C的直角坐标方程； （2） 若直线l与曲线C交于,M N两点，且12MN ，求直

17、线l的斜率 （2）依题意，直线l的极坐标方程为 R； 设,M N对应的极径分别为 12 , ，将 R 代入曲线C的极坐标可得 22 cos4 sin40； 故 1212 22 4sin4 , coscos ， 故 2 121212 2 4 4 cos MN ，故 2 4 12 cos ，则 2 1 cos 3 ， 2 tan2，故直线l的斜率为2 （10 分） 22、在直角坐标系xOy中,直线 1: 3Cyx,圆 22 2 :125Cxy,以坐标原点为极点,x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 12 ,C C的极坐标方程; (2)若直线 3 C的极坐标方程为R 6 ,设 1 C与 2

18、C的交点为, ,O A圆 2 C与 3 C的交点为,O B, 求OAB的面积. 22.解： （1）因为cosx，siny，-1 分 所以 1 C的极坐标方程为sin3cos0，即 3 R，-3 分 2 C的极坐标方程为 2 2 cos4 sin0. -4 分 即2cos4sin0-5 分 （2） 3 代入2cos4sin0，解得 1 1 2 3 .-7 分 6 代入2cos4sin0，解得 2 23.-8 分 故OAB的面积为 5 3 12 323sin2 1 264 .-10 分 22.在直角坐标系xOy中，直线 1 :2lx ，曲线 2cos : 22sin x C y （为参数）.以O为

19、极点，x轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为(3,) 6 . （1）求直线 1 l和曲线C的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知射线 2 :(0) 2 l 与 1 l,C的公共点分别为A,B，且8 3OA OB，求MOB的面积 22、解： （1） cos sin x y ， 直线 1: 2lx 的极坐标方程是cos2 曲线 2 C的普通方程为 22 (2)4xy，即 22 40 xyy 所以曲线 2 C的极坐标方程为4sin （2）将分别代入cos2，4sin得： 2 cos A OA ，4sin B OB 8tan8 3OA OB tan3 0 2 ， 3 2 3OB ，3OM

20、 ， 6 MOB 所以 1113 3 sin3 2 3 2222 MOB SOM OBMOB 即AOB的面积为 3 3 2 22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 12cos , 32sin x y （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 1 l的极坐标方程为 0 2 ， 将直线 1 l绕极点O逆时针旋转 3 个单位得到直线 2 l （1）求C和 2 l的极坐标方程； （2）设直线 1 l和曲线C交于,O A两点，直线 2 l和曲线C交于,O B两点，求OAOB的最大值 22、解： （1）将C的参数方程化为普通方程得 2 2 134xy， 将cos ,s

21、inxy代入，并化简得C的极坐标方程为2cos2 3sin. 2 l的极坐标方程为 R 3 4 分 （2）依题意可得 2cos2 3sin,A ，即4sin, 6 A 2cos2 3sin, 333 B ，即 4cos, 3 B 4sin4cos4 3sin 63 OAOB 8 分 因为 0 2 ，所以 5 336 ，当 , 326 即时， OAOB取得最大值4 3.10 分 已知曲线 C 的参数方程为 C： 12cos 12sin x y （为参数） 以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程 (1)求曲线 C 的极坐标方程； （2） 若直线 l：=（0，） ，R）与曲线 C 相交于 A，B 两点， 设线段 AB 的中点为 M，求|OM|的最大值 A B M O （1） 曲线 C 的普通方程为 （x+1）2+（y1）2=4， 由 x=cos，y=sin， 得 2+2cos2sin2=0 （2）解：联立 = 和 2+2cos2sin2=0， 得 2+2（cossin）2=0， 设 A（1 ， ） ，B（2 ， ） ， （1）解：曲线 C 的普通方程为（x+1）2+（y1）2=4， 由 x=cos，y=sin，得 2+2cos2sin2=0 则 1+2=2（cossin）=2 ， 由|OM|= ，得|OM|= ， 当 = 时，|OM|取最大值