湖北省2021届高三下学期3月十一校第二次联考试题 数学含答案（可编辑）.zip

2021 届高三湖北十一校第二次联考数学试题 第 1 页 共 2 页 鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 龙泉中学 武汉二中 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 宜昌一中 夷陵中学 2021 届高三湖北十一校第二次联考 数数 学学 试试 题题 命题学校：武汉二中命题人：赖海燕 江峰审题人：邹建华 审题学校：襄阳四中审题人：程孟良 杨超 考试时间：3 月 24 日 15:0017:00 考试用时：120 分钟 全卷满分：150 分 祝考试顺利祝考试顺利 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1已知(12 )2zii，则复数 z =（） A1Bi CiD2i 2已知, 4 2 ，且sin 4 54 ，则tan（） A7B 4 3 C 1 7 D 12 5 3已知等差数列 n a的第 5 项是 6 1 (2 )xy x 展开式中的常数项，则 28 aa=（） A20B20C40D40 4下列命题错误 的是（） A两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 1 B设 2 1,N，且(0)0.2P，则(12)0.2P C线性回归直线 y bxa一定经过样本点的中心( , )x y D在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高 5. 设,A B C D是同一个半径为 6 的球的球面上四点，且ABC是边长为 9 的正三角形，则三棱锥DABC体 积的最大值为（） A 81 2 4 B 81 3 4 C 243 2 4 D 243 3 4 6已知非空集合 A，B 满足以下两个条件： （1） = 1,2,3,4AB ，AB； （2）A 的元素个数不是 A 中的元素，B 的元素个数不是 B 中的元素. 则有序集合对,A B的个数为 （） A1B2C3D4 7 直线 10 xy 经过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左焦点F， 交椭圆于 A, B 两点， 交 y 轴于 C 点， 若 2FCAC ， 则该椭圆的离心率是（） A 102 2 B 31 2 C2 2 2 D 21 8已知函数 23ln ,1 1,1 x x fx xx ，若mn，且 4f mf n，则 m+n 的最小值是（） A2B1eC43ln3D33ln2 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求全部选对全部选对 的得的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9. 一个口袋中有大小形状完全相同的 3 个红球和 4 个白球，从中取出 2 个球.下面几个命题中正确的是（） A. 如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件 B. 如果是不放回地抽取，那么第 2 次取到红球的概率一定小于第 1 次取到红球的概率 C. 如果是有放回地抽取，那么取出 1 个红球 1 个白球的概率是 24 49 D. 如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第 2 次取出红球的概率是 7 11 10设函数 sincos f xxx （0，| 2 ）的最小正周期为，且过点 0,2，则下列正确的 为（） A. 4 B. ( )0, 2 f x 在单调递减 C. fx的周期为 D. 把函数 f x的图像向左平移 2 个长度单位得到的函数 g x的解析式为 2cos2g xx 11正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，,E F G分别为 11 ,BC CC BB的中点则（） A直线 1 DD与直线AF垂直 B直线 1 AG与平面AEF平行 C平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 2 D点 1 A和点D到平面AEF的距离相等 12数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品 的主要几何元素. 如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”.经研究发现，在平面直角坐标 系 xOy 中， 到定点 (,0), ( ,0)AaB a 距离之积等于 2 0aa的点的轨迹 C 是“曲线”.若点 00 ,P x y是轨迹 C 上一 点，则下列说法中正确的有（） A曲线 C 关于原点 O 中心对称； B 0 x的取值范围是, a a； C曲线 C 上有且仅有一个点 P 满足PAPB； D 22 POa的最大值为 2 2a 2021 届高三湖北十一校第二次联考数学试题 第 2 页 共 2 页 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知单位向量a ，b 满足2abab ，则a 与 b 的夹角为________. 14. 从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其 用电量都在 50 到 350 度之间，频率分布直方图如图所示， 则直方图中的 x 值为________. 15. 写出一个渐近线的倾斜角为60且焦点在 y 轴上的双曲 线标准方程________. 16已知不等式 2 2ln110axxxax 对任意0 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是______ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题 10 分）在平面四边形ABCD中，90ADC ,45A,AB=2, BD=5. （1）求cos ADB； （2）若2 2DC ，求BC. 18 （本小题 12 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB= 2，BC=2， 4 ABC ，四边形ACEF为矩形，平面 ACEF 平面ABCD，AF=1，点 M 在线段 EF 上运动. （1）当 AEDM 时，求点 M 的位置； （2）在（1）的条件下，求平面 MBC 与平面 ECD 所成锐二面角的余弦值. 19. （本小题 12 分） 已知数列 n a 1 1a ， 1 21() nn aannN . （1）求 n a的通项公式； （2）数列 n b满足 1 1 n n n a b a ，nS为数列 n b的前 n 项和，是否存在正整数 m，(1)kmk，使得 2 4 km SS? 若存在，求出 m，k 的值；若不存在，请说明理由 20.（本小题 12 分）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型， 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的 空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在 下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的 某一球槽内如图 1 所示的高尔顿板有 7 层小木块，小球从通道口落下，第一次与第 2 层中间的小木块碰撞，以 1 2 的概率向左或向右滚下，依次经过 6 次与小木块碰撞，最后 掉入编号为 1，2，7 的球槽内例如小球要掉入 3 号球槽，则在 6 次碰撞中有 2 次 向右 4 次向左滚下 （）如图 1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入 5 号球槽的概率； （）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利 性 “抽奖” 活动. 小红使用 图 1 所示的高尔顿板， 付费 6 元可以玩一次游戏， 小球掉入m 号球槽得到的奖金为元，其中|164|m.小明改进了高尔顿板(如图 2)，首先将小木 块减少成 5 层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 1 3 的概率向左， 2 3 的概率 向右滚下，最后掉入编号为 1，2，5 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费 4 元就可 以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中 2 4n.两位同学的高尔顿 板游戏火爆进行， 很多同学参加了游戏， 你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由。 21 （本小题 12 分）已知动点 P 在 ? 轴及其上方，且点 P 到点 F（0,1）的距离比到 ? 轴的距离大 1. （1）求点 P 的轨迹 C 的方程； （2）若点 Q 是直线 ? ? ? 上任意一点，过点 Q 作点 P 的轨迹 C 的两切线 QA、QB，其中 A、B 为切点，试 证明直线 AB 恒过一定点，并求出该点的坐标. 22. （本小题 12 分）已知函数 2 ( ) x axb f x e 在2x 时取到极大值 2 4 e . （1）求实数 a、b 的值； （2）用 1 min,( )min( ),(0)m nm ng xf x xx x 表示中的最小值，设函数，若函数 2 ( )( )h xg xtx为 增函数，求实数 t 的取值范围. 图 1 图 22021 届高三湖北十一校第二次联考 数学参考答案 第 1 页 共 3 页 2021 届高三湖北十一校第二次联考数学参考答案届高三湖北十一校第二次联考数学参考答案 123456789101112 CADBDBACCDBCBCDAC 13. 14. 15. （答案不唯一） 16. 3 0.0044 2 2 1 3 y x 1 ,1 2e 17.（1）在中，由正弦定理得 . ABDsinsin BDAB AADB 由题设知，所以. 52 sin45sin ADB o 2 sin 5 ADB 由题设知，所以；5 分90ADB 223 cos1 255 ADB （2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得 2 cossin 5 BDCADB BCD 222 2 2cos258252 2=25. 5 BCBDDCBD DCBDC 所以 BC=5. 10 分 18.（1）， 2,2, 4 ABBCADABC 2,AC 又， 222, ,ABACBCABACAFAC 平面平面，平面平面， ACEF ABCDACEF ABCDAC 平面， 平面， AF ACEFAF ABCD 以 AB，AC，AF 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图， (0,0,0), ( 2,0,0),(0, 2,0),(2, 2,0),(0, 2,1),(0,0,1),ABCDEF 设 (0, ,1),02.Myy 则， (0, 2,1),( 2,2,1)AEDMy ，解得， AEDM 2(2) 10AE DMy 2 2 y 1 2 FM FE 当 AEDM 时，点 M 为 EF 的中点6 分 （2）由（1） ，,设平面的一个法向量为，则 2 (2,1),(2, 2,0) 2 BMBC MBC111 ( ,)mx y z ，取，则， 111 11 2 20 2 220 m BMxyz m BCxy 1 2y (2,2, 2)m 易知平面 ECD 的一个法向量为， (0,1,0)n ， 210 coscos, 5442 m n m n m n 平面 MBC 与平面 ECD 所成二面角的余弦值为.12 分 10 5 19.（1）将代入 1n 12 213 12. nn aana 得 由，可以得到， 1 21 nn aan 12 23 nn aan 得，所以数列的奇数项、偶数项都是以 2 为公差的等差数列， - 2 2 nn aa n a 当时， 2nk2 2(1)2 n aakkn 当时， 21nk1 2(1)21 n aakkn .6 分 * , n an nN （2） 111 (1)1 n b n nnn . 12 111111 .(1)().()1 223111 nn n Sbbb nnnn 若，即，得. 2 2 2 4 4, 1(1) km km SS km 则 2 2 1(1) 1 4 m km 2 2 1321 4 mm km .1mk 11 01 km 2 2 3211 01 4 mm mm 解得，矛盾. 2 2 3210 3210 1 mm mm m 1 1 3 1 m m 不存在 m,k 满足题意.12 分 20.（1）设这个小球掉入 5 号球槽为事件掉入 5 号球槽，需要向右 4 次向左 2 次，所以（A）AP 所以这个小球掉入 5 号球槽的概率为4 分 24 6 2 11 ( ) ( 5 ) 22 1 64 C 15 64 （2）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为 0，4，8，12 ， 333 6 115 (0)(4)( ) ( ) 2216 PP mC ， 224442 66 111115 (4)(3)(5)=( ) ( )( ) ( ) 222232 PP mP mCC ， 1555 66 11113 (8)(2)(6)( )( )( ) ( ) 222216 PP mP mCC 0666 66 111 (12)(1)(7)( )( ) 2232 PP mP mCC 04812 P 5 16 15 32 3 16 1 32 2021 届高三湖北十一校第二次联考 数学参考答案 第 2 页 共 3 页 一次游戏付出的奖金，则小红的收益为. 8 分 5153115 04812 163214632 E 159 6 44 小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为 0，1，4，9 ， 4 33 1 (0) 232 3 (4)( )( ) 381 PP nC ， 2224 4 4 4 1 (1)(3)(5)=( 2240 3) ( ( ) 3381 )PP nP nCC ， 4 13 21 (4)(2)( ) ( ) 8 3381 PP nC 4 11 (9)(1 38 )( 1 )PP n 0149 P 32 81 40 81 8 81 1 81 一次游戏付出的奖金,则小明的收益为 4-1=3. 32408 81818181 1 01491E 小明的盈利多.12 分 9 3 4 21.（1）设点，则，即( , )P x y1PFy 22 (1)1xyy 化简得 . 2 22xyy0y 2 4xy 点的轨迹方程为. 4 分P 2 4xy （2）对函数 2 11 . 42 yxyx求导数 设切点，则过该切点的切线的斜率为， 2 00 1 (,) 4 xx 0 1 2 x 切线方程为即 2 000 11 (). 42 yxx xx 2 00 11 24 yx xx 设点，由于切线经过点 Q，( ,4)Q t t 2 00 11 4 24 tx tx 即 2 00 24160 xtxt 设 ，则是方程的两个实数根， 22 1122 11 (,), (,) 44 A xxB xx 12 ,x x 2 24160 xtxt ， 8 分 12 2xxt 12 416x xt 设 M 为 AB 中点，. 12 2 M xx xt 22222 121212 1 11111 ()()242(416)4 2 44882 M yxxxxx xtttt 点 又 2 1 ( ,4) 2 M ttt 22 12 12 12 11 44 42 AB xx xxt k xx 直线 AB 的方程为，即 2 1 (4)() 22 t yttxt (2)820(*)t xy 当时，方程（*）恒成立.2,4xy 对任意实数 t，直线 EF 恒过定点(2,4).12 分 22.（1） 22 2 2()2 ( ) () xx xx ax eeaxbaxaxb fx ee 在 x=2 时取得极大值( )f x 2 4 e 222 (2)0440 444 (2) faab ab f eee 即 解得 a=1, b=0.4 分 （2）设 2 2 11(2)1 ( )( )(),0( )=1,0. xx xxx F xf xxxxF xx xexex ，则 当2( )0.xF x 时，恒成立 2 222 (2)1111 02(2)1,( )11 10. 2 x xx xxxF x exxx 当时，从而 ( )0(0,)( )(0,).F xyF x在上恒成立，故在上单调递减 2 143 (1)0,(2)0,(1)(2)0.( )1,2 2 FFFFyF x ee 所以又曲线在上连续 不间断，故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的 00 (1,2),()0,xF x使得 当 0 (0,)xx时， 0 ( )0,(,)( )0.F xxxF x当时， 0 2 0 1 ,0, 1 ( )min( ), ,. x xxx x g xf x x xx xx e 8 分 2 0 2 2 0 1 ,0 ( ) , x xtxxx x h x x txxx e 故 0 2 0 1 12 ,0, ( ) (2) 2 ,. x txxx x h x xx tx xx e 由于函数 2 ( )( )( )(0,+ )h xg xtxyh x为增函数，且曲线在上连续不间断， 00 ( )0(0,)(,).h xxx 在和上恒成立 ， 000 (2)22 20(,)2(,)( ) xxx xxxx xxtxxtxu x eee 当时，在上恒成立, 即在上恒成立, 记 则单调递减， 0, xx 000 3 ( ).,3( )0,3( )0,( )(,3) x x u xxxxxu xxu xu xx e 当时,当时,所以在上 2021 届高三湖北十一校第二次联考 数学参考答案 第 3 页 共 3 页 在 333min 111 (3,).( )= (3).2,. 2 u xutt eee 上单调递增所以故-解得 当 00 2 1 0( )12 ,0, ( )0(0,).xxh xtxth xx x 时,当时在上恒成立 综合、知，12 分 33 11 ( )(,. 22 th xt ee 当时,为增函数, 故的取值范围是