人教A版高中数学必修第一册3.2.1《单调性与最大(小)值》教案.docx
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1、3.2.1 3.2.1 单调性与最大(小)值单调性与最大(小)值 函数的单调性与最大 (小) 值 是高中数学新教材第一册第三章第 2 节的内容。 在此之前, 学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。学生在 初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图象,在此基础上学生对增减性有一个初步的 感性认识,所以本节课是学生数学思想的一次重要提高。函数单调性是函数概念的延续和拓展,又 是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础,对进一步研究闭区间上的连续函数最大值和最小值 的求法和实际应用,对解决各种数学问题有着广泛作用。 课程目标课程目标 1、理解增函数、减函
2、数 的概念及函数单调性的定义; 2、会根据单调定义证明函数单调性; 3、理解函数的最大(小)值及其几何意义; 4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象:用数学语言表示函数单调性和最值; 2.逻辑推理:证明函数单调性; 3.数学运算:运用单调性解决不等式; 4.数据分析:利用图像求单调区间和最值; 5.数学建模:在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题。 重点:重点:1、函数单调性的定义及单调性判断和证明; 2、利用函数单调性或图像求最值. 难点:难点:根据定义证明函数单调性 教学方法:教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练。 教学工具
3、:教学工具:多媒体。 一、一、 情景导入情景导入 观察下列各个函数的图象,并探讨下列变化规律: 随 x 的增大,y 的值有什么变化?能否看出函数的最大、最小值? 要求:让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、二、 预习课本,引入新课预习课本,引入新课 阅读课本 76-80 页,思考并完成以下问题 1.增函数、减函数的概念是什么?2.如何表示函数的单调区间? 3.函数的单调性和单调区间有什么关系?4.函数最大(小)值的定义是什么? 5.从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么? 要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。 三、三、 新知探究
4、新知探究 1增函数、减函数定义 2、单调性与单调区间 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 那么就说函数 yf(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,区间 D 叫做 yf(x)的单调区间 点睛 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“”连接,而应该用“,”连接如 函数 y 1 x 在(,0),(0,)上单调递减,却不能表述为:函数 y 1 x 在(,0)(0, )上单调递减 3、函数的最大(小)值 最大值 最小值 增函数 减函数 定 义 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1x2时,都有
5、 f(x1)f(x2) 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 是增函数 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图 象 特 征 函数 f(x)在区间 D 上的图象是 上升的 函数 f(x)在区间 D 上的图象 是下降的 图 示 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 利用图象确定函数的单调区间利用图象确定函数的单调区间 例例 1 1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数: (1)y=3x-2; (2)y=-1 . 【解析】(1)函数 y=3x-2 的单调区间为 R,其在 R 上是增函数. (2)函数 y=- 1 x 的单调区间为(-,0),(0
6、,+),其在(-,0)及(0,+)上均为增函数. 解题技巧:解题技巧:(利用图象确定函数的单调区间) 1.函数单调性的几何意义:在单调区间上,若函数的图象 “上升” ,则函数为增区间;若函数的图象 “下 降” ,则函数为减区间.因此借助于函数图象来求函数的单调区间是直观且有效的一种方法.除这种方 法外,求单调区间时还可以使用定义法,也就是由增函数、 减函数的定义求单调区间.求出单调区间后, 若单调区间不唯一,中间可用“,”隔开. 2.一次、二次函数及反比例函数的单调性: (1)一次函数 y=kx+b(k0)的单调性由系数 k 决定:当 k0 时,该函数在 R 上是增函数;当 k0 时,该 函数
7、在 R 上是减函数. (2)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的单调性以对称轴 x=- 2 b a 为分界线. a 的符号 单 调 性 a0 在 -,- b 2a 上是减函数,在 - b 2a , + 上是增函数 (3)反比例函数 y= (k0)的单调性如下表所示. k 的符号 单 调 性 k0 在(-,0),(0,+)上是减函数 k0 在(-,0),(0,+)上是增函数 跟踪训练一跟踪训练一 条件 一般地,设函数 yf(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: 对于任意的 xI,都有 f(x)M 存在 x0I,使得 0 f xM 结论 称 M 是函数 yf(x)的最大 值 称 M 是
8、函数 yf(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐 标 f(x)图象上最低点的纵坐标 1. 已知 xR,函数 f(x)=x|x-2|,试画出 y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间. 【答案】单调增区间为(-,1,2,+);单调减区间为1,2 【解析】f(x)=x|x-2|=x(x 2),x 2, x(2 x),x 2,图象如下图所示. 由图象可知,函数的单调增区间为(-,1,2,+);单调减区间为1,2. 题型二题型二 利用函数的图象求函数的最值利用函数的图象求函数的最值 例例 2 2 已知函数 y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.
9、【答案】最大值为 2,没有最小值.所以其值域为(-,2 【解析】y=-|x-1|+2=3 x,x 1, x + 1,x 1,函数图象如图所示 由图象知,函数 y=-|x-1|+2 的最大值为 2,没有最小值.所以其值域为(-,2 解题技巧:解题技巧:(用图象法求最值的 3 个步骤) 跟踪训练二跟踪训练二 1. 已知函数 f(x)= 1 x ,0 x1, x,1 x 2. (1)画出 f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值. 【解析】(1)函数 f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知 f(x)的最小值为 f(1)=1,无最大值. 题型三题型三 证明函数的单调性证明函数的单调
10、性 例例 3 3 求证:函数 f(x)=x+ 1 x 在区间(0,1)内为减函数. 【解析】证明:设 x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且 x1x2, 则 f(x1)-f(x2)= x1+ 1 x1 x2 + 1 x2 =(x1-x2)+ x2-x1 x1x2 =(x1-x2) 1- 1 x1x2 = (x1-x2)(x1x2-1) x1x2 . 0 x1x20,x1x2-10,x1-x20,即 f(x1)f(x2). 故函数 f(x)=x+1 在区间(0,1)内为减函数. 解题技巧:解题技巧:(利用定义证明函数单调性的 4 个步骤) 特别提醒 作差变形的常用技巧: (1) 因 式
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