一类无理函数最大值求法.docx
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1、1 一类无理函数最大值求法一类无理函数最大值求法 提出问题提出问题 求求( )12 3f xxx的最大值的最大值 方法方法 1.1.求导法求导法. . 通性通法通性通法, ,求函数最值大多可以通过求导研究函数单调性求函数最值大多可以通过求导研究函数单调性, ,极值极值 来研究来研究。 ' 31 ( ) 2 1232 fx xx , , '( ) 0fx 时时1x 0,1, ( )1,4, (
2、)xf xxf x递增;递减, ,所以所以( )f x的最大值在的最大值在1x 时取得时取得, , 最大值为最大值为(1)f= = 4 4。这是解这是解决决函数最值问题最常见的方法函数最值问题最常见的方法, ,但求导但求导 过程以及求极值点时计算量大过程以及求极值点时计算量大。 方法方法 2.2.三角三角换换元元 把代数问题转化为三角函数最值问题把代数问题转化为三角函数最值问题, ,利用辅助角公式利用辅助角公式。令令 2 4cos,0, 2 x , ,则函数可化为则函数可化为 22 12 12cos4cosy 2 3 sin2 cos, ,因为因为0, 2 所以所以2
3、3sin2cos4sin() 6 y , , 当当 3 时取最大值时取最大值, ,值为值为 4,4,即即1x 时取得时取得。 方法方法 3.3.数形结合数形结合+ +换换元元 ( ( 1 1) ) 令令12 3x,x可得可得, 的关系的关系 22 312,即,即 22 10,0 124 所以点所以点(, )的轨的轨迹迹为第一为第一象象限的椭圆限的椭圆。 问题转化为问题转化为zu ,z 与椭圆相关的线性规划问题,与椭圆相关的线性规划问题, 斜斜率为率为- -1 1 的直线与椭圆在第一的直线与椭圆在第一象象限相限相切切时截距最大,即时截距最大,即 z z 最最 大,联立直线
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