福建省泉州市2021届高三下学期毕业班3月质量监测（三）（一模）数学试题含答案.zip

泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 1 页（共页（共 2 页）页） 泉州市泉州市 20212021 届高中毕业班质量监测（三）届高中毕业班质量监测（三）参考答案与评析参考答案与评析 高三数学填空题部分高三数学填空题部分 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 6 (2)x展开式中，二项式系数最大的项的系数为 （用数字填写答案） 【命题意图】本小题主要考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，体现基础性，导向对发展数学 运算等核心素养的关注 【试题简析】依题意，二项式系数最大项为 3333 46 2160TC xx，其系数为160 故答案为160 14甲问乙： “您有几个孩子” ，乙说： “四个” 此时，一男孩过来乙对甲说： “这是我小孩” ，接着乙对 该男孩说： “去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校” 根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的 正确性别情况；第 3 次才猜对的概率为 （第一空 2 分；第二空 3 分） 【命题意图】本小题主要考查古典概型等基础知识；考查阅读理解并提取信息进行推理论证的能力；体现 基础性、创新性、应用性，导向对发展理性思维与数学应用等核心素养的关注 【试题简析】 记 i A为乙的第i个孩子是男性，依题意，四个孩子从长到幼的性别情况有 1234 (,)A A A A， 1234 (,)A A A A， 1234 (,)A A A A， 1234 (,)A A A A， 1234 (,)A A A A， 1234 (,)A A A A，共 6 种，最多需要猜测 5 次，便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第 3 次就猜 对的概率为 1 6 故答案为5； 1 6 15圆锥曲线光学性质（如图 1 所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用如图 2，一 个光学装置由有公共焦点 12 ,F F的椭圆C与双曲线 C 构成，一光线从左焦点 1 F发出，依次经过 C 与 C的反射，又回到点 1 F历时m秒；若将装置中的 C 去掉，则该光线从点 1 F发出，经过C两次反射 后又回到点 1 F历时n秒若C与 C 的离心率之比为 1 3 ，则 m n 保密使用前 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 2 页（共页（共 2 页）页） 图 1图 2 【命题意图】本题考查椭圆定义、双曲线定义、离心率等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考 查数形结合、化归与转化等思想；体现综合性、创新性，导向对发展数学运算、逻辑推理、 直观想象等核心素养的关注 【试题简析】设椭圆的长半轴长为 1 a，双曲线的实半轴长为 2 a， 在图 2 左图中，由椭圆定义可得 121 2BFBFa 由双曲线定义可得 212 2AFAFa -得 1112 22AFABBFaa， 所以 1 ABF的周长为 12 22aa 在图 2 右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点， 即直线ED过点 2 F，所以 1 EDF的周长为 1 4a， 又因为椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为 1 3 ， 所以 12 3aa，又两次所用时间分别为,m n， 而光线速度相同，所以 1222 12 22621 4123 aaaam naa 16若正数, x y满足216xy xy，则xy的最小值为_________ 【命题意图】本小题主要考查不等式、函数与导数等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；考查函 数与方程、化归与转化等思想；导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注 【试题简析】令txy，则 22 16ty y tyy ty 所以 22 16 ty y ，令 2 16 ( )f yy y ，由 2 16 ( )20fyy y ，解得2y . 0,2y时，( )0fy ，( )f y单调递减，2,y时，( )0fy ，( )f y单调递增； 所以( )f y的最小值为(2)12f，又对正数, x y有0txy，所以 min 2 3t泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 1 页（共页（共 5 页）页） 泉州市泉州市 20212021 届高中毕业班质量监测（三）届高中毕业班质量监测（三）参考答案与评析参考答案与评析 高三数学解答题高三数学解答题 17-1917-19 题部分题部分 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 已知数列 n a， n b满足 1 9a ， 1 109 nn aa ，1 nn ba （1）证明： n b是等比数列； （2）求数列( 1) lg n n b的前n项和 n S 【命题意图】本小题主要考查等比数列的定义与前n项和等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方 程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等体现基础性和综合性，导向对发展数学运算 等核心素养的关注 【试题解析】 解法一解法一： （1）依题意， 11 1 1 nn nn ba ba 1 分 109 11010 10 11 nn nn aa aa （非零常数） 2 分 又 11 110ba 故 n b为首项 1 10b ，公比10q 的等比数列3 分 （2） （1）由可知 1 1 10 nn n bbq 4 分 所以( 1) lg( 1) lg10( 1) nnnn nn cbn 5 分 当n为偶数时，( 12)( 34) (1) 2 n n Snn ； 7 分 当n为奇数时， 1 ( 12)( 34) (2)(1) 2 n n Snnn 9 分 故 , 2 1, . 2 n n n S n n 为偶数， 为奇数 （结论分）10 分 解法二解法二： （1）同解法一； （2）由（1）可知 1 1 10 nn n bbq （通项公式分）4 分 所以( 1) lg( 1) lg10( 1) nnnn nn cbn （运算分）5 分 保密使用前 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 2 页（共页（共 5 页）页） 21 1 ( 1)2 ( 1)(1) ( 1)( 1) nn n Snn 231 ( 1)1 ( 1)2 ( 1)(1) ( 1)( 1) nn n Snn （方法分）6 分 -得 21 2( 1)( 1)( 1)( 1) nn n Sn （方法分）7 分 1 ( 1)1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) n n n （等比数列求和公式分）9 分 1 11 ( 1)( 1)11 ( 1)() ( 1) 222 n nn nn 故 1 11 () ( 1) 442 n n n S （结论分）10 分 18 （12 分） 脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造 的又一个彪炳史册的人间奇迹 某地区有一贫困村坐落于半山平 台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯”往返村子，因而 被称为“悬崖村” 当地政府把“藤梯”改成钢梯，使之成为村 民的“脱贫天梯” ，实现了“村民搬下来，旅游搬上去” ，做到了 长效脱贫 如图，为得到峭壁上的,A B两点的距离，钢梯的设计团队 在崖底的,P Q两点处分别测得 1 APQ， 1 BPQ， APB， 2 AQP， 2 BQP，且PQs （1）用 12 ,s 表示AP； （2）已知 1 17， 2 150，90.0s 米，51.3，又经计算得250.0AP 米，求AB 参考数据：sin130.225 ，cos130.974 ，sin51.30.780 ，cos51.30.625 【命题意图】本小题以“悬崖村”的脱贫事件为背景，以修建钢梯的测量为问题情境，考查正弦定理、余 弦定理，解三角形等基础知识；考查抽象概括能力，空间想象能力，运算求解能力与应用意 识和创新意识；考查转化与化归思想，函数与方程思想；考查基本活动经验；导向对数学抽 象，数学建模，数学运算核心素养的关注 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 3 页（共页（共 5 页）页） 【试题解析】 （1）如图，在APQ中，根据正弦定理得 212 sinsin APPQ ，3 分 化简得 2 12 sin sin s AP ；5 分 （2）在BPQ中，根据正弦定理得 212 sinsin BPPQ ，6 分 可得 2 12 sin90 0.5 200 sin 1800.225 s BP ，7 分 又在ABP中，根据余弦定理得 222 2cosABAPBPAP BP10 分 代入得 2 40000625002 200 250 0.62540000AB ， 所以200AB 米 12 分 19 （12 分） 永春老醋以其色泽鲜艳、 浓香醇厚的独特风味， 与山西陈醋、 镇江香醋、 保宁药醋并称中国四大名醋 为 提高效率、改进品质，某永春老醋生产公司于 2018 年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研究2020 年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参考现从改良前、后两种发酵工艺生 产的成品醋中，各随机抽取 100 件进行指标值M的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格，若合格， 再进一步检测是否为一等品因检测设备问题，改良后的成品醋有 20 件只进行第一步检测且均为合格， 已完成检测的 180 件成品醋的最终结果如下表所示 指标区 间 2, 1) 1,0)0,1)1,2)2,3)3,4) 来源 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 个数315230263134241572 附：成品醋的品质采用指标值M进行评价，评价标准如下表所示 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 4 页（共页（共 5 页）页） 0,1)M 1,3)M 0,3)M 一等品二等品三等品 合格不合格 （1）现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为X，求X的分布列； （2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润y（单位：元）与指标值M的关系为 5,0,1), 3,1,3), 2,0,3). M yM M 若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”， 则 20 件还未进一步 检测的样本中，至少需要几件一等品？ 【命题意图】本小题主要考查条件概率、独立性检验、数学期望等基础知识；考查数据处理能力、应用意 识和创新意识等；考查统计与概率思想；导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据 分析等核心素养的关注 【试题解析】 （1）依题意，已检测的不合格品样本共有 20 个， 其中改良前的有 15 个，改良后的有 5 个2 分 0,1,2X 3 分 20 155 2 20 21 (0) 38 CC P X C ； 4 分 11 155 2 20 15 (1) 38 CC P X C ； 5 分 02 155 2 20 1 (2) 19 CC P X C 6 分 故X的分布列为： X012 P 21 38 15 38 1 19 （2）由样本估计总体的思想由样本估计总体的思想，7 分分 改良前成品醋利润的数学期望 305515 53( 2)2.85 100100100 ；8 分 若要使“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”， 则改良后的利润至少应为2.85 (120%)3.42. 9 分 假设改良后 20 个还未进行进一步检测的样本中，一等品有x个， 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 5 页（共页（共 5 页）页） 则，改良后的一等品有26x个，二等品有69x个. 改良后成品醋利润的数学期望 26695 53( 2) 100100100 xx 10 分 依题意， 26695 53( 2)3.42 100100100 xx 11 分 求得7.5x， 又xN，故 20 个还未进行进一步检测的样本中，一等品至少需要 8 个12 分泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 1 页（共页（共 11 页）页） 泉州市泉州市 20212021 届高中毕业班质量监测（三）届高中毕业班质量监测（三）参考答案与评析参考答案与评析 高三数学解答第高三数学解答第 2020 至至 2222 题部分题部分 20 （12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，二面角PADC是直二面角，AD为等腰直角三角形PAD的斜 边，2ADCD，1ABBC， 5BD ，M为线段PC上的动点 （1）当PMMC时，证明：PA/平面MBD； （2）若平面MBD 平面ABCD，求二面角BMDC的余弦值 【命题意图】本题考查空间几何点线面位置关系、线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定、点面距离的 求法等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化的思 想；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养 【试题解析】 （1） 连结AC交BD于N，连结MN，1 分 因为2ADCD，1ABBC， 所以BD为AC的垂直平分线，则ANCN，2 分 又因为PMMC，所以MN为PAC的中位线，则PA/MN，3 分 又因为PA平面MBD，MN 平面MBD，.4 分 所以PA/平面MBD 4 分 保密使用前 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 2 页（共页（共 11 页）页） （2） 解法解法一一：取AD的中点O，因为平面PAD 平面ABCD， 所以OP 平面ABCD， 5 分 过O作AD的垂线作为x轴，分别以,OD OP所在的直线为y轴，z轴建立如图空间直角 坐标系， 则(0,0,1)P，(0, 1,0)A，(0,1,0)D， 6 分 由已知 222 14ABADBD ，得ABAD，故(1, 1,0)B，7 分 假 设( , ,0)C x y， 因 为( ,1,0)ACx y ，( 1,2,0)BD ，(1,1,0)BCxy ， ( ,1,0)DCx y ， 由 0 0 AC BD BC DC ，得 22 220 10 xy xxy ，解得 81 ( ,0) 55 C，8 分 8186 , 1 ,( ,0) 5555 PCDC ，9 分 假设平面MCD的一个法向量是 1111 ,x y zn则 1 1 0 0 PC DC n n ， 即 111 11 850 430 xyz xy ，令 111 3,4,4,xyz取 1 3,4,4 ,n 10 分 因为平面MBD 平面ABCD，且ACBD， 所以平面MBD的一个法向量是 8 4 ,0 , 5 5 AC 取 2 2,1,0 ,n11 分 假设二面角BMDC的平面角为， 因为二面角BMDC的平面角为锐角， 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 3 页（共页（共 11 页）页） 则二面角BMDC的余弦值 12 12 102 205 cos 41415 n n nn .12 分 解法解法二二 ：（1）同解法一； （2）因为 222 14ABADBD ，得ABAD， 又因为平面PAD 平面ABCD，5 分 故以点A为原点，AB，AD所在的直线为x轴，y轴， 在平面PAD内过点A作AD的垂线为z 轴建立如图空间直角坐标系， 则0,0,0A，1,0,0B，0,2,0D，0,1,1P，6 分 8 4 ,0 5 5 C ，7 分 于是 8 4 ,0 5 5 AC ，0,1, 1PD ， 86 ,0 55 DC ，8 分 假设平面MCD的一个法向量是 1111 ,x y zn则 1 1 0 0 PD DC n n ， 即 11 11 0 430 yz xy ，令 111 3,4,4,xyz取 1 3,4,4 ,n10 分 因为平面MBD 平面ABCD，且ACBD， 所以平面MBD的一个法向量是 8 4 ,0 , 5 5 AC 取 2 2,1,0 ,n11 分 假设二面角BMDC的平面角为， 则 12 12 102 205 cos 41415 n n nn 因为二面角BMDC的平面角为锐角，所以其大小的余弦值 2 205 41 12 分 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 4 页（共页（共 11 页）页） 解法解法三三： （1）同解法一； （2）以PA所在直线为x轴，PD所在的直线为y轴，过P作AB平行线为z轴， 5 分 则2,0,0A，0,2,0D，0,0,0P，2,0,1B，6 分 3 2 2 2 8 , 555 C ，7 分 于是 2 2 2 2 8 , 555 AC ，0,2,0PD ， 3 2 3 2 8 , 555 PC ，8 分 假设平面MCD的一个法向量是 1111 ,x y zn则 1 1 0 0 PD PC n n ， 即 1 111 0 334 20 y xyz ，令 111 4 2,0,3,xyz 取 1 4 2,0, 3 ,n10 分 因为平面MBD 平面ABCD，且ACBD， 所以平面MBD的一个法向量是 2 2 2 2 8 , 555 AC ，取 2 1,1,2 2 , n11 分 假设二面角BMDC的平面角为， 则 12 12 4 26 2 2 205 cos 414110 n n nn 因为二面角BMDC的平面角为锐角，所以其大小的余弦值 2 205 41 12 分 解法解法四四： （1）同解法一； （2）取AD的中点O，因为平面PAD 平面ABCD，所以OP 平面ABCD，过O作AD的 垂线作为x轴，分别以,OD OP所在的直线为y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，5 分 由已知 222 14ABADBD ，得ABAD，故(1, 1,0)B， 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 5 页（共页（共 11 页）页） 又(0,0,1)P，(0, 1,0)A，(0,1,0)D，( 1,2,0)BD ，6 分 假设 00 (,0)C xy，因为 00 (,1,0) ACxy， 00 (1,1,0) BCxy， 00 (,1,0) DCxy， 由 0 0 AC BD BC DC ，得 00 22 000 220 10 xy xxy ，解得 81 ( ,0) 55 C， 8186 , 1 ,( ,0) 5555 PCDC ，7 分 假设, ,M x y z，, ,1 PMx y z，设 81 , 55 PMPC， 解得 81 ,1 55 M， 81 ,1,1 55 DM， 因为平面MBD 平面ABCD，且ACBD，则ACDM， 又因为 8 4 ,0 5 5 AC， 所以 8 481604 ,0,1,10 5 555255 AC DM， 解得 1 3 ，于是 812 , 1515 3 M，则 816 2 , 1515 3 DM，8 分 假设平面MCD的一个法向量是 1111 ,x y zn则 1 1 0 0 DC DM n n ， 即 11 111 430 4850 xy xyz ，令 111 3,4,4,xyz取 1 3,4,4 ,n 10 分 依题意可取平面MBD的一个法向量为 8 4 ,0 , 5 5 AC 取 2 2,1,0 ,n11 分 假设二面角BMDC的平面角为， 则 12 12 102 205 cos 41415 n n nn 因为二面角BMDC的平面角为锐角，所以其大小的余弦值 2 205 41 12 分 21 （12 分） 已知椭圆 22 :1 43 xy C的左、右顶点分别为,A B，右焦点为F，折线1(0)xmy m与C交于 ,M N两点 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 6 页（共页（共 11 页）页） （1）当2m 时，求MFNF的值； （2）直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上 【命题意图】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、弦长计算、两直线的位置关系等基础知识；考查运算 求解能力、应用意识和创新意识等；考查数形结合、化归与转化等思想；体现综合性、创新 性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养的关注 【试题解析】 解法一： （1）由已知可得(1,0)F，设点M关于x轴的对称点为 1 M， 则 1 MFM F，1 分 如图，不妨设直线21xy与椭圆相交于 1, MN两点， 设 11122 ( ,),(,)Mx yN xy， 联立 22 21 1 43 xy xy ，可得 22 3(21)4120yy，即 2 161290yy， 3 分 所以 1212 39 , 416 yyy y ， 4 分 故 22 111212 ()()MFNFM FNFM Nxxyy 22 1212 915 12()45 5 164 yyy y 5 分 （2） 由已知可得( 2,0), (2,0)AB， 111 ( ,)Mx y， 1122 ( ,),(,)M xyN xy， 不妨设直线1 myx与椭圆相交于点NM , 1 ， 联立 22 1 1 43 xmy xy ，可得 22 3(1)4120myy，即 22 (34)690mymy，6 分 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 7 页（共页（共 11 页）页） 所以 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm ，7 分 且)( 2 3 2121 yyymy.8 分 直线 1 1 :(2) 2 y AMyx x ， 直线 2 2 :(2) 2 y BN yx x ，9 分 联立两直线方程，消去y可得 ) 1( )3( )2( )2( 2 2 21 12 21 12 myy myy xy xy x x ，10 分 即3 3)( 2 3 3)( 2 3 3 3 2 2 121 221 112 221 yyy yyy yymy yymy x x ，11 分 所以23(2)xx ，1x ， 即点P在定直线1x 上12 分 解法二： （1）同上. （2）由已知可得( 2,0), (2,0)AB， 111 ( ,)Mx y， 1122 ( ,),(,)M xyN xy， 不妨设直线1 myx与椭圆相交于点NM , 1 ， 联立 22 1 1 43 xmy xy ，可得 22 3(1)4120myy，即 22 (34)690mymy，6 分 所以 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm ，7 分 直线 1 1 :(2) 2 y AMyx x ， 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 8 页（共页（共 11 页）页） 直线 2 2 :(2) 2 y BN yx x ， 8 分 由点M在椭圆上，可知 22 11 3 (4) 4 yx ， 所以 11 11 23 24 yx xy ， 所以直线 1 1 23 :(2) 4 x AMyx y ，9 分 联立两直线方程，消去y可得 12 12 23 (2)(2) 42 xy xx yx ， 即 12 12 32 42(2)(2) y yx xxx ，10 分 即 121212 2 12121212 32 42(2)(2)(1)(1)() 1 y yy yy yx xxxmymym y ym yy ， 所以 222 3299 4296344 x xmmm ，11 分 所以23(2)xx ，1x ， 即点P在定直线1x 上12 分 解法三： （1）同上 （2）由已知可得( 2,0), (2,0)AB， 111 ( ,)Mx y， 1122 ( ,),(,)M xyN xy， 不妨设直线1 myx与椭圆相交于点NM , 1 ， 联立 22 1 1 43 xmy xy ，可得 22 3(1)4120myy，即 22 (34)690mymy，6 分 所以 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm ，7 分 设直线 1, AMAN的斜率分别为 12 ,k k，则 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 9 页（共页（共 11 页）页） 12121212 12 2 1212121212 22(2)(2)(3)(3)3 ()9 yyy yy yy y kk xxxxmymym y ym yy 222 91 91827364mmm ， 8 分 所以直线,AM AN的斜率满足 12 1 4 kk， 又设直线BN的斜率为 3 k，则 2 222 23 2 222 3 2244 yyy kk xxx 9 分 所以直线,AM BN的斜率满足 1 3 1 3 k k 10 分 故直线 33 1 :(2),:(2) 3 AMyk xBN yk x 11 分 联立解得1x ， 即点P在定直线1x 上12 分 22 （12 分） 已知函数( )esin x f xaxx （1）若( )f x在(0,2)单调递减，求实数a的取值范围； （2）证明：对任意整数a，( )f x至多 1 个零点 【命题意图】本小题主要考查函数与方程，不等式，导数的应用等基础知识，考查逻辑推理，运算求解能 力，体现综合性，导向对发展数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注 【试题解析】解法一： （1）( )ecos1 x fxax .1 分 【当0a时，( )0fx 显然成立. 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 10 页（共页（共 11 页）页） （无持续求解，只写这一结论，可补这 1 分.)2 分】 ( )f x在(0,2)单调递减对(0,2)x，恒有( )0fx (0,2)x，恒有ecos1 x ax ，2 分 令( )ecos1 x g xx（0,2x） ， 3 分 则 ( )ecos1 sine2sin1 4 xx g xxxx ， 令( )0g x ，解得 3 0,2 2 xxx （或或 4 分 则当 3 0, 2 x 时，( )0g x ，( )g x单调递减； 当 3 ,2 2 x 时， 0gx ，( )g x 单调递增. 5 分 又(0)(2)0gg，所以当0,2x时， max ( )0g x. 所以0a. 6 分 （2）令( )sinxxx，则( )cos1 0 xx ，所以( )x单调递减， 又因为(0)0， 所以0 x时，sin0 xx ；0 x 时，sin0 xx. 7 分 令( )e (sin) x F xaxx，则( )F x与( )f x零点一致.8 分 当0 x时，( )e(sin)cos10 x F xxxx， 所以( )F x递减，( )(0)F xFa.9 分 当0 x 时，有e (sin)e (1) xx aaxxax， 令( )e (1)0 x G xaxx， 因为( )e0 x G xx ，( )(,0)G x在递增， 所以 0 ( )(0)e (1 0)1G xGaa.10 分 故( )1aF xa. 综上，当0a时，( )F x在0 x有唯一零点，在0 x 恒正不存在零点； 11 分 当1a时，( )1 0F xa ，不存在零点.12 分 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测（三）数学届高中毕业班质量检测（三）数学试题试题第第 11 页（共页（共 11 页）页） 即对任意整数a，( )F x至多 1 个零点，所以( )f x至多 1 个零点 解法二： （1）同解法一 （2）当0a时，( )ecos10 x fxax 恒成立，( )f x为递减函数， 所以( )f x至多 1 个零点.7 分 令( )sinxxx，则( )cos10 xx ，所以( )x单调递减， 又因为(0)0 则0 x时，sin0 xx ；0 x 时，sin0 xx. 8 分 当1a时，( )esinesin xx f xaxxxx . 9 分 令( )esin x xxx 当0 x时，( )esinsin0 x xxxxx . 10 分 当0 x 时，( )ecos1 x xx ；( )esin1 sin0 x xxx , 所以( ) x在0 x 时单调递减，此时( )(0)1x ， 所以( ) x在0 x 时单调递增， 所以( )(0)= 1x. 综上所述，当1a时，( )0 x.11 分 所以当1a时，( )esin0 x f xxx .12 分 所以，对任意整数a，函数( )f x至多 1 个零点