小六数学第3讲：等积变形（学生版）.docx

1、第三讲 等积变形 1.1.等积模型等积模型 2.2.鸟头定理鸟头定理 3.3.蝶形定理蝶形定理 4.4.相似模型相似模型 5.5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）共边定理（燕尾模型和风筝模型） 1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。 2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。 例例 1 1：如图，正方形：如图，正方形ABCD的边长为的边长为 6，AE 1. .5，CF 2长方形长方形EFGH的面积为的面积为 例例 2 2：长方形：长方形ABCD的面积为的面积为 36 2 cm，E、F、G为各边中点，为各边中点，H为为AD边上任意一边上任意一点，点， 问阴影部分面积是多少问阴

2、影部分面积是多少？ 例例 3 3：如图所示，长方形如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为内的阴影部分的面积之和为 70，8AB ，15AD ，四边形，四边形 EFGO的面积为的面积为 例例 4 4：已知已知ABC为等边三角形，面积为为等边三角形，面积为 400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、分别为三边的中点，已知甲、乙、 丙面积和为丙面积和为 143，求阴影五边形的面积，求阴影五边形的面积( (丙是三角形丙是三角形HBC) ) 例例 5 5：如图，已知如图，已知5CD ，7DE ，15EF ，6FG ，线段，线段AB将图形分成两部分，左边将图形分成两部分，左边 部分面积是部

3、分面积是 38，右边部分面积是，右边部分面积是 65，那么三角形，那么三角形ADG的面积是的面积是 H G F E D C B A O G F E D CB A G FEDC B A A B CDEF G 例例 6 6：如图在如图在ABC中，中，,D E分别是分别是,AB AC上的点，且上的点，且:2:5AD AB ，:4:7AE AC ， 16 ADE S 平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积 例例 7 7：如图在如图在ABC中，中，D在在BA的延长线上，的延长线上，E在在AC上，且上，且:5:2AB AD ， :3:2AE EC ，12 ADE S 平方厘米，求平方厘米，求ABC的面

4、积的面积 例例 8 8：如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四，平行四 边形边形ABCD的面积是的面积是2， 求平行四边形求平行四边形ABCD与四边形与四边形EFGH的面积比的面积比 例例 9 9：如图所示的四边形的面积等于多少？如图所示的四边形的面积等于多少？ E D C B A E D CB A E D CB A E D CB A H G A B C D E F H G A B C D E F O D C B A 13 13 12 12 13 13 12 12 例例 1010：如图所示，如图所示，ABC中，中，90ABC，3AB ，5

5、BC ，以，以AC为一边向为一边向ABC外作外作 正方形正方形ACDE，中心为，中心为O，求，求OBC的面积的面积 A A 1.1.如如图所示，正方形图所示，正方形ABCD的边长为的边长为8厘米，长方形厘米，长方形EBGF的长的长BG为为10厘米，那么长方形的厘米，那么长方形的 宽为几厘米？宽为几厘米？ 2.2.在边长为在边长为 6 6 厘米的正方形厘米的正方形ABCD内任取一点内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对，将正方形的一组对边二等分，另一组对 边三等分，分别与边三等分，分别与P点连接点连接, ,求求阴影阴影部分面积部分面积 3.3.如图，长方形如图，长方形ABCD的面积是的

6、面积是 36，E是是AD的三等分点，的三等分点，2AEED，则阴影部分的面积，则阴影部分的面积 为为 5 3 O A BC D E F 5 3 O A BC D E P D C B AA B C D(P) P D C B A O A BC D E N M O A BC D E _ A _ B _ G _ C _ E _ F _ D _ A _ B _ G _ C _ E _ F _ D 4.4.如图，三角形如图，三角形ABC中，中，AB是是AD的的 5 倍，倍，AC是是AE的的 3 倍，如果三角形倍，如果三角形ADE的面积的面积 等于等于 1，那么三角形，那么三角形ABC的面积是多少？的面积是

7、多少？ 5.5.如图，三角形如图，三角形ABC被分成了甲被分成了甲( (阴影部分阴影部分) )、乙两部分，、乙两部分，4BDDC，3BE ，6AE ， 乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙部分面积是甲部分面积的几倍？ B B 6.6.如图，以正方形的边如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB，AC、BD 交于交于O已知已知AE、BE的长分别为的长分别为3cm、5cm，求三角形，求三角形OBE的面积的面积 7.7.如下图， 六边形如下图， 六边形ABCDEF中，中，ABED，AFCD，BCEF， 且有， 且有AB平行于平行于ED，AF 平行于平

8、行于CD，BC平行于平行于EF，对角线，对角线FD垂直于垂直于BD，已知，已知24FD 厘米，厘米，18BD 厘米，请厘米，请 问六边形问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ 8.8.如图，三角形如图，三角形ABC的面积是的面积是1，E是是AC的中点，点的中点，点D在在BC上，且上，且:1:2BD DC ，AD 与与BE交于点交于点F则四边形则四边形DFEC的面积等于的面积等于 E D CB A A BC D E 乙 甲 E D CB AA BC D E 甲 乙 A BC D O E F A BC D O E F E A B D C G F E A B D C F E

9、 D C B A 9.9.如图，长方形如图，长方形ABCD的面积是的面积是2平方厘米，平方厘米，2ECDE，F是是DG的中点阴影部分的面的中点阴影部分的面 积是多少平方厘米积是多少平方厘米? ? 10.10.四边形四边形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O( (如图所示如图所示) )如果三角形如果三角形ABD的面积等于三的面积等于三 角形角形BCD的面积的的面积的 1 3 ， 且， 且2AO ，3DO ， 那么， 那么CO的长度是的长度是DO的长度的的长度的_倍倍 C C 11.11.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的对角线交于的对角线交于O点，点，CEF、OEF、ODF

10、、BOE的面的面 积依次是积依次是 2、4、4 和和 6求：求求：求OCF的面积；求的面积；求GCE的面积的面积 12.12.如图，长方形如图，长方形ABCD中，中，:2:3BE EC ，:1:2DF FC ，三角形，三角形DFG的面积为的面积为2平方平方 厘米，求长方形厘米，求长方形ABCD的面积的面积 13.13.如图， 正方形如图， 正方形ABCD面积为面积为3平方厘米，平方厘米，M是是AD边上的中点 求图中阴影部分的面积边上的中点 求图中阴影部分的面积 x y y x A BC D EF G G FE D CB A A BC D O O G F E D CB A A BC D E F

11、G A BC D E F G 14.14.在下图的正方形在下图的正方形ABCD中，中，E是是BC边的中点，边的中点，AE与与BD相交于相交于F点，三角形点，三角形BEF的的 面积为面积为 1 平方厘米，那么正方形平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米面积是平方厘米 15.15.已知已知ABCD是平行四边形，是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形，三角形ODE的面积为的面积为 6 平方厘米则阴影平方厘米则阴影 部分的面积是平方厘米部分的面积是平方厘米 1.1.右图中右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形， 已知三角形面积如图所示是平行四边形， 已知三角形面积如图所示( (单位

12、： 平方厘米单位： 平方厘米) )， 阴影部分的面积是平方厘米阴影部分的面积是平方厘米 2.2.右图中右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形， 已知三角形面积如图所示是平行四边形， 已知三角形面积如图所示( (单位： 平方厘米单位： 平方厘米) )， 阴影部分的面积是平方厘米阴影部分的面积是平方厘米 G M D C B A A BC D E F O E A BC D O E A BC D 21 A BC D E 9 4 21 A BC D E O 9 4 3.3.如图，长方形如图，长方形ABCD被被CE、DF分成四块，已知其中分成四块，已知其中 3 块的面积分别为块的面积分别为 2

13、、5、8 平方厘平方厘 米，那么余下的四边形米，那么余下的四边形OFBC的面积为的面积为_平方厘米平方厘米 4.4.如图，如图，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段是正方形，线段AB与与CD相交于相交于K点已知正点已知正 方形方形DEFG的面积的面积 48，:1:3AK KB ，则，则BKD的面积是多少？的面积是多少？ 5.5.下图中，四边形下图中，四边形ABCD都是边长为都是边长为 1 的正方形，的正方形，E、F、G、H分别是分别是AB，BC，CD， DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积

14、之比是最简分数 m n ，那么，那么， ()mn的值等于的值等于 16 8 2 A BC D E O 16 8 2 A BC D E ? 8 5 2 O AB CD EF ? 8 5 2 O AB CD EF K G FE D CB A M K G FE D CB A A BC D E F G HH G F E D CB A 1.1.用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形 2 2. .用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 134 3 3. .如右图， 在梯形 ABCD 中，AC 与 BD 是对角线，其交点 O，求证：AOB 与COD 面积相等

15、 4.4.如右图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形 5.5.如右图，已知在ABC 中，BE=3AE，CD=2AD若ADE 的面积为 1 平方厘米求三角形 ABC 的面积 6.6.如下页图，在ABC 中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC= 1 3 BC，求阴影部分面积占三角形 ABC 面积的几分之几？ 7.7.如右图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果ADE 的面积为 4 平方厘米求三角形 CDF 的面积 8.8.如右图， 四边形 ABCD 面积为 1， 且 AB=AE， BC=BF， DC=CG， AD=DH 求四边形 EFGH 的面积 9.9.如右图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E，交 DA 延长线于 F，若 SADE=1，求 BEF 的面积