大题专练训练48：随机变量的分布列（决策类）-2021届高三数学二轮复习.doc

1、二轮大题专练二轮大题专练 48随机变量的分布列（决策类）随机变量的分布列（决策类） 1在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的 概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备” （即正在 使用的设备出故障时才启动的设备） 已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备” （即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算 机网络就不会断掉设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响 （1）要使系统的可靠度不低于 0.992，求r的最小值； （2）当0.9r 时，求能正常工作的设备数X的分布列； （3） 已知某

2、高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是 0.7， 根据以往经验可知， 计算机网络断掉可能给该产业园带来约 50 万的经济损失为减少对该产业园带来的经济损 失，有以下两种方案： 方案 1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在 0.9，更新设备硬件总费用为 8 万元； 方案 2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在 0.8，设备维护总费用为 5 万元 请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？ 解： （1）要使系统的可靠度不低于 0.992， 则 3 (1)1(1)1(0)1 (1)0.992P XP XP Xr 厖， 解得0.8r，故r的最小值为 0.8 （2）X正

3、常工作的设备数，由题意可知，(3, )XBr， 003 3 (0)0.9(1 0.9)0.001P XC， 112 3 (1)0.9(1 0.9)0.027P XC， 221 3 (2)0.9(1 0.9)0.243P XC， 330 3 (3)0.9(1 0.9)0.729P XC， 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 （3）设方案 1、方案 2 的总损失分别为 1 X， 2 X， 采用方案 1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到 0.9，由（2）可知计算机网络断掉 的概率为 0.001，不断掉的概率为 0.999， 因为 1 ()8

4、00000.001 50000080500E X元 采用方案 2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在 0.8，由（1）可知计算机网络 断掉的概率为 0.008， 2 ()500000.008 50000054000E X元， 因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案 2 2为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造、智能制造，把我国制造业和实 体经济搞上去， 推动我国经济由量大转向质强， 许多企业致力于提升信息化管理水平 一 些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时要进行调查统计某一小型工厂自己没有 管理软件的高级技术员，欲购买软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管

5、理 软件服务公司提供了如下两种方案： 方案一： 管理软件服务公司每月收取工厂 4800 元， 每次提供软件服务时， 再另外收取 200 元 方案二：管理软件服务公司每月收取工厂 7600 元，若每月提供的软件服务不超过 15 次， 不另外收费；若超过 15 次，超过部分的软件服务每次的收费标准为 500 元 （1）设该管理软件服务公司月收费为 y 元，每月提供软件服务的次数为 x，试写出两种 方案中 y 与 x 的函数关系式 （2）该工厂对该管理软件服务公司近 20 个月每个月为另一个工厂提供软件服务的次数 进行了调查统计，得到如图所示的条形图该工厂要调查服务质量，服务次数为 13 次和 16

6、 次的月份中任选 3 个月，求这 3 个月中恰好有 1 个月的服务次数为 13 次，2 个月的服 务次数为 16 次的概率 （3）依据条形图中统计的数据，从节约服务成本的角度考虑，以一个月管理服务费的平 均值为决策依据，从两种方案中选择一种，该工厂选择哪种方案更合适？请说明理由 解： （1）由题意知方案一中管理软件服务公司的月收费 y 与 x 的函数关系式为： y200 x+4800，xN 方案二中管理软件服务公司的月收费 y 与 x 的函数关系为： y （2）记选择的 3 个月中，恰好有 1 个月的服务次数为 13 次，2 个月的服务次数为 16 次 为事件 A， 由题中条形图得服务次数为

7、13 次的 2 个月份，分别记为 A，B， 服务次数分别为 16 次的 4 个月份记为 a，b，c，d， 从这 6 个月中随机选择 3 个月，所有可能的情况有 20 种，分别为： （A，B，a） ， （A，B，b） ， （A，B，c） ， （A，B，d） ， （A，a，b） ， （A，a，c） ， （A，a，d） ， （A，b，c） ， （A，b，d） ， （A，c，d） ， （B，a，b） ， （B，a，c） ， （B，a，d） ， （B，b，c） ， （B，b，d） ， （B，c，d） ， （a，b，c） ， （a，b，d） ， （a，c，d） ， （b，c，d） ， 这 3 个月中恰好有

8、 1 个月的服务次数为 13 次， 2 个月的服务次数为 16 次包含的基本事件 有 12 种，分别为： （A，a，b） ， （A，a，c） ， （A，a，d） ， （A，b，c） ， （A，b，d） ， （A，c，d） ， （B，a，b） ， （B，a，c） ， （B，a，d） ， （B，b，c） ， （B，b，d） ， （B，c，d） ， 这 3 个月中恰好有 1 个月的服务次数为 13 次，2 个月的服务次数为 16 次的概率为 P （3）设方案一中管理软件服务公司的平均收费为， 由已知和（1）中的结果可得（74002+76008+78002+80004+82004） 7800（元） ，

9、 设方案二中管理软件服务公司的平均月收费为 （760012+81004+86004） 7900（元） ， ，从节约服务成本的角度考虑，记工厂选择方案一更合适 3为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造、智能制造，把我国制造业和实 体经济搞上去， 推动我国经济由量大转向质强， 许多企业致力于提升信息化管理水平 一 些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计某一小型工厂自己没 有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某 一管理软件服务公司有如下两种收费方案 方案一：管理软件服务公司每月收取工厂 4800 元，对于提供的软件服务，每次另外收费

10、200 元； 方案二：管理软件服务公司每月收取工厂 7600 元，若每月提供的软件服务不超过 15 次， 不另外收费，若超过 15 次，超过部分的软件服务每次另外收费 500 元 （1）设管理软件服务公司月收费为 y 元，每月提供的软件服务的次数为 x，试写出两种 方案中 y 与 x 的函数关系式； （2）该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去 20 个月提供的软件服务的次数进 行了统计，得到如图所示的条形统计图，该工厂要调查服务质量，现从服务次数为 13 次 和 14 次的月份中任选 3 个月求这 3 个月， 恰好是 1 个 13 次服务、 2 个 14 次服务的概率； （3）依据条形统

11、计图中的数据，把频率视为概率从节约成本的角度考虑该工厂选择哪种 方案更合适，请说明理由 解： （1）由题意知，方案一中管理软件服务公司的月收费 y 与 x 的函数关系式为 y 200 x+4800，xN， 方案二中管理软件服务公司的月收费 y 与 x 的函数关系为： y （2）记选择的 3 个月恰好是 1 个 13 次服务、2 个 14 次服务为事件 A， 则 P（A） （3）对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为 元， 由条形统计图得 的取值为 7400，7600，7800，8000，8200， P（7400）0.1， P（7600）0.4， P（7800）0.1， P（8000）0.2，

12、 P（8200）0.2， 的分布列为： 7400 7600 7800 8000 8200 P 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2 E（）74000.1+76000.4+78000.1+80000.2+82000.27800 对于方案二，设管理软件服务公式的月收费为 元， 由条形统计图得 的可能取值为 7600，8100，8600， P（7600）0.6， P（8100）0.2， P（8600）0.2， 的分布列为： 7600 8100 8600 P 0.6 0.2 0.2 E（）76000.6+81000.2+86000.27900 E（）E（） ， 从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一

13、更合适 4小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案甲 方案：底薪 100 元，每派送一单奖励 1 元；乙方案：底薪 140 元，每日前 54 单没有奖励， 超过 54 单的部分每单奖励 20 元 （1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 y（单位：元）与送货单数 n 的函数关系式； （2）根据该公司所有派送员 100 天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下 条件：在这 100 天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 （，（n1，2，3，4，5）时，日平均派送量为 50+2n 单，若将频率视为概率， 回答下列问题： 估计这 100

14、 天中的派送量指标的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） ： 根据以上数据，设每名派送员的日薪为 X（单位：元） ，试分别求出甲、乙两种方案的 日薪 X 的分布列及数学期望请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合 适？并说明你的理由 解：（1） 甲方案中派送员日薪y （单位： 元） 与送单数n的函数关系式为： y100+n， nN， 乙 方 案 中 派 送 员 日 薪 y （ 单 位 ： 元 ） 与 送 单 数 n 的 函 数 关 系 式 为 ： y ，nN （2）（0.11+0.31.5+0.51+0.71+0.90.5）0.20.44 所以 X甲的分布列为： X甲

15、152 154 156 158 160 P 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 所以 E（X甲）1520.2+1540.3+1560.2+1580.2+1600.1155.4， 所以 X乙的分布列为： X乙 140 180 220 260 P 0.5 0.3 0.2 0.1 所以 E（X乙）1400.5+1800.3+2200.2+2600.1176， 由以上的计算结果可以看出，E（X甲）E（X乙） ， 即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案 5某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投 3 次，每次投篮的结果相互 独立在 A 处每投进一球得 3 分，在 B

16、 处每投进一球得 2 分，否则得 0 分将学生得分 逐次累加并用 X 表示，如果 X 的值不低于 3 分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则 应继续投篮，直到投完三次为止现有两种投篮方案： 方案 1：先在 A 处投一球，以后都在 B 处投； 方案 2：都在 B 处投篮 已知甲同学在 A 处投篮的命中率为，在 B 处投篮的命中率为 （）若甲同学选择方案 1，求他测试结束后所得总分 X 的分布列和数学期望 E（X） ； （）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由 解： （）设甲同学在 A 处投中为事件 A，在 B 处第次 i 投中为事件 Bi（i1，2） ， 由已知X 的取值为 0

17、，2，3，4 则， ， ， X 的分布列为： X 0 2 3 4 P X 的数学期望为：， （）甲同学选择方案 1 通过测试的概率为 P1，选择方案 2 通过测试的概率为 P2， 则， ， P2P1， 甲同学选择方案 2 通过测试的可能性更大 6 2017 年 11 月河南省三门峡市成功入围 “十佳魅力中国城市” ， 吸引了大批投资商的目光， 一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中某投资公司准备在 2018 年年初将 四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中 项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实 物见证现准备投资建设 20 个天坑院，每个天坑

18、院投资 0.2 百万元，假设每个天坑院是 否盈利是相互独立的，据市场调研，到 2020 年底每个天坑院盈利的概率为 p（0p1） ， 若盈利则盈利投资额的 40%，否则盈利额为 0 项目二： 天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、 文化和人文地理于一体的自然山水景区 据 市场调研，投资到该项目上，到 2020 年底可能盈利投资额的 50%，也可能亏损投资额的 30%，且这两种情况发生的概率分别为 p 和 1p （1）记 X（单位：百万元）为投资项目一盈利额，求 E（X） （用 p 表示） ； （2）试以项目盈利的期望为依据，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项 目，并说明理由 解： （1）

19、由题意，记为盈利的田坑院个数，则 X1B（20，p） ， 则盈利的田坑院数的均值 E（X1）20p， 故盈利的均值为 E（X）E（0.08X1）0.08E（X1）0.0820p1.6p； （2）记 X2为投资项目二盈利额，则 X2的分布列为： X2 2 1.2 P P 1p 盈利的均值 E（X2）2p1.2（1p）3.2p1.2 当 E（0.08X1）E（X2）时，1.6p3.2p1.2， 解得 p，故两个项目均可投资； 当 E（0.08X1）E（X2）时，1.6p3.2p1.2， 解得 0p，此时选择项一； 当 E（0.08X1）E（X2）时，1.6p3.2p1.2， 解得 p，此时选择项二

20、 7某智能机器人生产企业对一次性购买 4 台机器人的客户，推出了 3 种超过质保期后延期 2 年内维修优惠方案： 方案 1：不交维修延保金，维修 1 次费用 6000 元； 方案 2：交纳延保金 3000 元，维修费用每次 3000 元； 方案 3： 交纳延保金 5000 元， 在延保期内总共免费维修 2 次， 超过 2 次每次维修费用 2000 元 通过大数据得知，每台智能机器人在 2 年延保期内没有故障的概率为，每台机器人出 现 1 次故障的概率为 记 X 表示这 4 台智能机器人超过质保期后延保的 2 年内，共需维修的次数 （1）求 X 的分布列； （2）以 3 个方案所需费用（所交延保

21、金及维修费用之和结果，保留为整数）的期望值作 为决策依据，客户选择哪种延保方案更合算？请说明理由 解： （1）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4 则 P（X0）， P（X1）， P（X2）（）2， P（X3）（）3， P（X4）， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P （2）选择延保方案 1，所需费用 Y1元的分布列为： Y1 0 6000 12000 18000 24000 P E（Y1）0+6000+12000+18000+240008000， 选择延保方案 2，所需费用 Y2元的分布列为： Y2 3000 6000 9000 12000 15000 P 选择延保方案 3

22、，所需费用 Y3元的分布列为： Y3 5000 7000 9000 P E（Y3）5000+7000+90005247， E（Y3）E（Y2）E（Y1） ， 所以客户选择第 3 种延保方案更合算 8经过多年的努力，天水市秦安县白凤桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为部分农 民脱贫致富的好产品为了更好地销售，现从某村的白凤桃树上随机摘下了 100 个白凤 桃进行测重，其质量分布在区间200，500内（单位：克） ，统计质量的数据作出其频率 分布直方图如图所示： （）按分层抽样的方法从质量落在350，400） ，400，450）的白凤桃中随机抽取 5 个， 再从这 5 个白凤桃中随机抽 2 个，

23、记这 2 个白凤桃质量落在350，400）间的个数为随机 变量 X，求 X 的分布列； （）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的 白凤桃树上大约还有 100000 个白凤桃待出售，某电商提出两种收购方案： A所有白凤桃均以 20 元/千克收购； B低于 350 克的白凤桃以 5 元/个收购，高于或等于 350 克的以 9 元/个收购 请你通过计算为该村选择收益最好的方案 （参考数据：2250.05+2750.16+3250.240.3+4250.2+4750.05354.5） （）由题得白凤桃质量在350，400）和400，450）的比例为 3：2， 应分别在

24、质量为350，400）和400，450）的白凤桃中各抽取 3 个和 2 个 记抽取质量在350，400）的白凤桃为 A1，A2，A3，质量在400，450）的白凤桃为 B1， B2， 则从这 5 个白凤桃中随机抽取 2 个的情况共有以下 10 种： A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2， 其中质量至少有一个不小于 400 克的 7 种情况，故所求概率为 （）方案 B 好，理由如下： 由频率分布直方图可知，白凤桃质量在200，250）的频率为 500.0010.05， 同理，白凤桃质量在250，300） ，300，350） ，350，

25、400） ，400，450） ，450，500）的 频率依次为 0.16，0.24，0.3，0.2，0.05 若按方案 B 收购： 白凤桃质量低于 350 克的个数为（0.05+0.16+0.24）10000045000 个 白凤桃质量不低于 350 克的个数为 55000 个 收益为 450005+550009720000 元 若按方案 A 收购： 根据题意各段白凤桃个数依次为 5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收 益为（2255000+27516000+32524000+37530000+42520000+47520000+475 5000）201000709000（元） 方案 B 的收益比方案 A 的收益高，应该选择方案 B