大题专练训练45:随机变量的分布列(二项分布2)-2021届高三数学二轮复习.doc
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1、二轮大题专练二轮大题专练 45随机变量的分布列(二项分布随机变量的分布列(二项分布 2) 12019 年 9 月 1 日央视开学第一课播出后,社会各界反响强烈,全国人民爱国主义热 情空前高涨,在新中国成立 70 周年前夕,上演了一次小高潮某兴趣小组为了了解某校 学生对开学第一课的喜欢程度,从该校随机抽取了 100 名学生对该节目进行打分, 并把相关的统计结果记录如表: 喜欢程 度 不喜欢 喜欢 非常喜欢 分数段 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 频数 1 9 18 32 40 以喜欢程度位于各区间的频率代替喜欢程度位于该区间的概率 (1)试估计这 100 名
2、学生对节目打分的中位数和平均数; (2)为了感谢学生对该次调查统计的支持,兴趣小组决定从全校随机抽取 3 名学生进行 奖励,X 表示所抽取的学生中来自“非常喜欢”的人数,求 X 的分布列和数学期望 解: (1)0.01+0.09+0.180.5,0.01+0.09+0.18+0.320.5, 中位数 x80,90) , 由 0.01+0.09+0.18+(x80)0.5,解得 x86.875, 故中位数为 86.875; 由 55+6585.1, 得平均数为 85.1; (2)从该校随机抽取 1 名学生,该学生对节目喜欢程度为“非常喜欢”的概率为 X 的可能取值为 0,1,2,3, 则 P(X
3、0), P(X1), P(X2), P(X3) X 的分布列为: X 0 1 2 3 P E(X)0 22020 年初,新冠肺炎袭击全国,某省由于人员流动性较大,成为湖北外疫情最严重的省 份之一,截止 2 月 29 日,该省已累计确诊 1349 例患者(无境外输入病例) (1)为了了解新冠肺炎的相关特征,研究人员统计了他们的年龄数据,可以大致认为, 该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 N(54.8,15.22) ,请估计该省新冠肺炎患者年 龄在 70 岁以上的患者比例; (2) 截至 2 月 29 日, 该省新冠肺炎的密切接触者 (均已接受检测) 中确诊患者约占 10%, 以这些密切接触
4、者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率,每名密切接触者是 否确诊相互独立,现有密切接触者 20 人,为检测出所有患者,设计了如下方案:将这 20 名密切接触者随机地按 n(n 可以取 2,4,5,10)个人一组平均分组,并将同组 n 个人 每人抽取的一半血液混合在一起化验,若发现新冠病毒,则对该组的 n 个人抽取的另一 半血液逐一化验,以化验次数的期望值为决策依据,试确定使得 20 人的化验总次数最少 的 n 的值 参考数据:若 ZN(,2) ,则 P(Z+)0.6826,P(2Z+2 )0.9544,P(3Z+3)0.9973.0.940.66,0.950.59,0.9100.35
5、 解: (1)P(54.815.2X54.8+15.2)P(39.6X70)0.6826 P(Z70)0.158715.87% 所以该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上(70)的患者比例为 15.87% (2)由题意,每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为, n 的可能取值为 2,4,5,10且 XnB(n,) 对于某组 n 个人,化验次数 Y 的可能取值为 1,n+1 P(Y1),P(Yn+1)1 所以 E(Y)1+(n+1)1n+1n, 则 20 人的化验总次数为 f(n)n+1n201+, 经计算 f(2)13.8,f(4)11.8,f(5)12.2,f(10)15 所以,当 n4 时符
6、合题意,即按 4 人一组检测,可是化验总次数最少 3 某学校为了了解同学们现阶段的视力情况, 对全校高三 1000 名学生的视力情况进行了调 查,从中随机抽取了 100 名学生的体检表,绘制了频率分布直方图如图: 前 50 名 后 50 名 近视 42 32 不近视 8 18 (1)求 a 的值,并估计这 1000 名学生视力的中位数(精确到 0.01) ; (2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关,对本年级名次在前 50 名与后 50 名的学 生进行了调查,得到如上图表格数据:根据表中数据,能否有 95%把握认为视力与学习 成绩有关? (3)若报考某高校某专业的资格为:视力不低于 5.0,
7、以该样本数据来估计全市高三学 生的视力, 现从全市视力在 4.8 以上的同学中随机抽取 4 名同学, 这 4 名同学中有资格报 该校该专业的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 P(K2k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 其中 解: (1)由频率分布直方图的性质得: (0.25+0.5+2a+1+1.75)0.21, 解得 a0.75 视力在 4.4 以下的频率为: (0.5+0.75)0.20.25, 视力在 4.6 以下的频率为: (0.5+0.75+1.75)0.20.6, 中位数在 4.4 至
8、4.6 之间,设中位数为 x, 则(x4.4)1.750.50.25,解得 x4.54, 中位数为 4.54 (2)K25.23.841, 有 95%把握认为视力与学习成绩有关 (3)视力在 4.8 以上的同学中,视力在 5.0 以上的同学所占有比例为: , 从全市视力在 4.8 以上的同学中随机抽取 4 名同学, 这 4 名同学中有资格报该校专业的人数 XB(4,) , P(X0), P(X1), P(X2), P(X3), P(X4)()4, X 的分布列为: X 0 1 2 3 4 P E(X)41 42019 年“非洲猪瘟”过后,全国生猪价格逐步上涨,某大型养猪企业,欲将达到养殖周 期
9、的生猪全部出售,根据去年的销售记录,得到销售生猪的重量的频率分布直方图(如 图所示) (1)根据去年生猪重量的频率分布直方图,估计今年生猪出栏(达到养殖周期)时,生 猪重量达不到 270 斤的概率(以频率代替概率) ; (2) 若假设该企业今年达到养殖周期的生猪出栏量为 5000 头, 生猪市场价格是 8 元/斤, 试估计该企业本养殖周期的销售收入是多少万元; (3)若从本养殖周期的生猪中,任意选两头生猪,其重量达到 270 斤及以上的生猪数为 随机变量 Y,试求随机变量 Y 的分布列及方差 解:(1) 估计生猪重量达不到 270 斤的概率为 (0.0005+0.002) 40+0.00530
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