（新教材）高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题33 二项分布与超几何分布（学生版+解析版）.doc

1、专题专题 33 二项分布与超几何分布二项分布与超几何分布 一、单选题一、单选题 1 （2020 山西应县一中高二期中（理） ）盒中有 10 个螺丝钉,其中有 3 个是坏的,现从盒中随机地抽取 4 个, 那么概率是 3 10 的事件为( ) A恰有 1 个是坏的 B4 个全是好的 C恰有 2 个是好的 D至多有 2 个是坏的 2 （2020 天山 新疆实验高二期末）有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取两件，若 X 表示取得次品的 个数，则 P(X2)等于（ ） A 7 15 B 8 15 C14 15 D1 3 （2020 江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度

2、贫困，现从中任意选3个村， 下列事件中概率等于 6 7 的是（ ） A至少有1个深度贫困村 B有1个或2个深度贫困村 C有2个或3个深度贫困村 D恰有2个深度贫困村 4 （2020 辉县市第二高级中学高二月考（理） ）在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正 品数比次品数少的概率为（ ） A 5 42 B 4 35 C 19 42 D 8 21 5 （2020 营口市第二高级中学高二期末）荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去（每 次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶） ，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图 所示.假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三

3、次之后停在A荷叶上的概率是（ ） A 2 3 B 1 4 C 1 3 D 3 4 6 （2020 科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末 （理） ） 已知随机变量服从二项分布 1 4, 3 B ， 则(3)P（ ） A 32 81 B16 81 C 24 81 D 8 81 7 （2020 青铜峡市高级中学高二期末（理） ）有 8 件产品，其中 4 件是次品，从中有放回地取 3 次（每次 1 件） ，若 X 表示取得次品的次数，则(2)P X （ ） A 3 8 B 13 14 C 4 5 D 7 8 8 （2020 山西运城 高二期末（理） ）经检测有一批产品合格率为 3 4 ，现从这批产

4、品中任取 5件，设取得合 格产品的件数为，则()Pk取得最大值时k的值为（ ） A2 B3 C4 D5 二、多选题二、多选题 9 （2020 江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为 0.5 和 0.4，且 互不影响，现甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ） A目标恰好被命中一次的概率为 0.5+0.4 B目标恰好被命中两次的概率为 0.5 0.4 C目标被命中的概率为 0.5 0.6+0.5 0.4 D目标被命中的概率为 10.5 0.6 10 （2020 江苏泰州 高一期末）下列叙述正确的是（ ） A某人射击 1次，射中 7 环”与射中 8 环是互斥事

5、件 B甲、乙两人各射击 1 次，至少有 1人射中目标“与没有人射中目标是对立事件 C抛掷一枚硬币，连续出现 4次正面向上，则第 5次出现反面向上的概率大于 1 2 D抛掷一枚硬币 4次，恰出现 2 次正面向上的概率为 1 2 11 （2020 山东任城 济宁一中高二期中）如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均每 100 个家庭有 75 个家庭 拥有小汽车，若从如城镇中任意选出 5个家庭，则下列结论成立的是( ) A这 5 个家庭均有小汽车的概率为 243 1024 B这 5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 27 64 C这 5个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车 D这 5 个家庭中

6、，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 81 128 12 （2020 江苏亭湖 盐城中学高二月考）设火箭发射失败的概率为 0.01，若发射 10次，其中失败的次数为 X，则下列结论正确的是（ ） A ()0.1E X B 10 ()0.010.99 kk P Xk C ()0.99V X D 10 10 ()0.010.99 kkk P XkC 三、填空题三、填空题 13在含有 3件次品的 10件产品中，任取 4件，X表示取到的次品数，则 P(X2)_. 14 （2019 哈尔滨市第一中学校高二期中（理） ）李明参加中央电视台同一首歌大会的青年志愿者选拔， 在已知备选的 10道题中，

7、李明能答对其中的 6 道，规定考试从备选题中随机地抽出 3题进行测试，至少答 对 2题才能入选.则李明入选的概率为_. 15 （2020 四川省遂宁市第二中学校高三其他（理） ）3月 5 日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精 神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从 6 名女生和 3 名男生中选出 5 名学生参赛，要求每人回答一个 问题，答对得 2分，答错得 0分，已知 6 名女生中有 2人不会答所有题目，只能得 0分，其余 4 人可得 2分， 3 名男生每人得 2分的概率均为 1 2 ，现选择 2 名女生和 3 名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为 6 分的概率_. 16（2

8、020 天津南开 高三一模） 甲、 乙两名枪手进行射击比赛， 每人各射击三次， 甲三次射击命中率均为 4 5 ； 乙第一次射击的命中率为 7 8 ，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为 3 4 ，如果又未中， 则乙进行第三次射击，射击的命中率为 1 2 乙若射中，则不再继续射击则甲三次射击命中次数的期望为 _，乙射中的概率为_ 四、解答题四、解答题 17 （2020 辽宁沈阳 高二期中）甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为 1 3 ， 乙、丙做对该题的概率分别为()mn mn，且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该 题的人数，其分布列为：

9、X 0 1 2 3 P 1 3 a b 1 36 （1）求m n，的值； （2）求X的数学期望 18 （2020 青海西宁 高二期末（理） ）在 10 件产品中,有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品从这 10 件 产品中任取 3 件求： （1）取出的 3 件产品中一等品件数X的分布列； （2）取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率 19 （2020 通榆县第一中学校高二期末（理） ）某工厂在试验阶段大量生产一种零件这种零件有 A、B两 项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响若 A 项技术指标达标的概率为 3 4 ，B项技术指 标达标的概率为 8 9 ，按质量检验

10、规定：两项技术指标都达标的零件为合格品 （1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率； （2）任意依次抽取该种零件 4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及 E 20 （2020 长春市第一中学高二期中（理） ）从某小组的 5 名女生和 4 名男生中任选 3 人去参加一项公益活 动. (1)求所选 3 人中恰有一名男生的概率 (2)求所选 3 人中男生人数 的分布列及数学期望 21 （2020 全国高三其他（理） ）为了比较传统粮食与新型粮食的产量是否有差别，研究人员在若干亩 土地上分别种植了传统粮食与新型粮食， 并收集统计了的亩产量， 所得数据如下图所示.已知传统粮 食的产量约为 760

11、公斤/亩. （1）通过计算比较传统粮食与新型粮食的平均亩产量的大小关系； （2）以频率估计概率，若在 4块不同的 1亩的土地上播种新型粮食，记亩产量不低于 785公斤的土地块 数为X，求X的分布列以及数学期望E X. 22 （2020 湖南茶陵三中高三月考） 全国中小学生的体质健康调研最新数据表明我国小学生近视眼发病率为 22.78%，初中生为 55.22%，高中生为 70.34%影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原 因是环境因素 学生长时期近距离的用眼状态， 加上不注意用眼卫生、 不合理的作息时间很容易引起近视 除 了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育

12、活动，都是造成近视情况日益严重的 原因为了解情况，现从某地区随机抽取 16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这 16名学生的视力状 况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶） ，如图： （1）写出这组数据的众数和中位数； （2）若视力测试结果不低于 5.0，则称为“好视力” 从这 16 名学生中随机选取 3名，求至少有 2名学生是“好视力”的概率； 以这 16 名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率若从该地区学生（人数较多） 中任选 3名，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望 专题专题 33 二项分布与超几何分布二项分布与超几何分

13、布 一、单选题一、单选题 1 （2020 山西应县一中高二期中（理） ）盒中有 10 个螺丝钉,其中有 3 个是坏的,现从盒中随机地抽取 4 个, 那么概率是 3 10 的事件为( ) A恰有 1 个是坏的 B4 个全是好的 C恰有 2 个是好的 D至多有 2 个是坏的 【答案】C 【解析】 对于选项 A， 概率为 13 37 4 10 1 2 C C C .对于选项 B， 概率为 4 7 4 10 1 6 C C .对于选项 C， 概率为 22 37 4 10 3 10 C C C .对于选项 D， 包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据 A选项，恰好有一个坏的概率已经是 13 2

14、10 ，故 D选 项不正确.综上所述，本小题选 C. 2 （2020 天山 新疆实验高二期末）有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取两件，若 X 表示取得次品的 个数，则 P(X2)等于（ ） A 7 15 B 8 15 C14 15 D1 【答案】C 【解析】 由题意，知 X 取 0，1，2，X 服从超几何分布， 它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式， 即 P(X0) 2 7 2 10 7 15 C C ，P(X1) 11 73 2 10 7 15 CC C ，P(X2) 2 3 2 10 1 15 C C ， 于是 P(X2)P(X0)P(X1) 7714 151515 故选

15、 C 3 （2020 江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村， 下列事件中概率等于 6 7 的是（ ） A至少有1个深度贫困村 B有1个或2个深度贫困村 C有2个或3个深度贫困村 D恰有2个深度贫困村 【答案】B 【解析】 用X表示这3个村庄中深度贫困村数，X服从超几何分布， 故 3 34 3 7 kk C C P Xk C ， 所以 30 43 3 7 4 0 35 C C P X C ， 21 43 3 7 18 1 35 C C P X C ， 12 43 3 7 12 2 35 C C P X C ， 03 43 3 7 1 3 35 C

16、 C P X C ， 6 12 7 P XP X. 故选：B 4 （2020 辉县市第二高级中学高二月考（理） ）在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正 品数比次品数少的概率为（ ） A 5 42 B 4 35 C 19 42 D 8 21 【答案】A 【解析】 分析：根据超几何分布，可知共有 4 10 C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为 0 个正 品 4个次品，1 个正品 3个次品，分别求其概率即可。 详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品 4个次品，1 个正品 3 个次品， 由超几何分布的概率可知，当 0 个正品 4个次品时 4 4 4 10 1

17、 210 C P C 当 1个正品 3 个次品时 13 64 4 10 244 21035 C C P C 所以正品数比次品数少的概率为 145 2103542 所以选 A 5 （2020 营口市第二高级中学高二期末）荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去（每 次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶） ，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图 所示.假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是（ ） A 2 3 B 1 4 C 1 3 D 3 4 【答案】C 【解析】 设按照顺时针跳的概率为 p，则逆时针方向跳的概率为 2p，则 p+2p=3p=1，

18、解得 p= 1 3 ，即按照顺时针跳的概率为 1 3 ，则逆时针方向跳的概率为 2 3 ， 若青蛙在 A叶上，则跳 3次之后停在 A 叶上， 则满足 3次逆时针或者 3次顺时针， 若先按逆时针开始从 AB，则对应的概率为 2 3 2 3 2 3 = 8 27 ， 若先按顺时针开始从 AC，则对应的概率为 1 3 1 3 1 3 = 1 27 ， 则概率为 8 27 + 1 27 = 9 27 = 1 3 ， 故选：C. 6 （2020 科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末 （理） ） 已知随机变量服从二项分布 1 4, 3 B ， 则(3)P（ ） A 32 81 B16 81 C 24

19、81 D 8 81 【答案】D 【解析】 1 4, 3 B 表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为 1 3 ， 则 31 3 4 1228 (3)4 338181 PC 选D 7 （2020 青铜峡市高级中学高二期末（理） ）有 8 件产品，其中 4 件是次品，从中有放回地取 3 次（每次 1 件） ，若 X 表示取得次品的次数，则(2)P X （ ） A 3 8 B 13 14 C 4 5 D 7 8 【答案】D 【解析】 因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为 41 82 从中取 3次，X为取得次品的次数，则 1 3, 2 XB , 3 10 23 2 333 1 (2)(

20、2)(1)0 1117 22228 P XP XP XP XCCC ,选择 D答案 8 （2020 山西运城 高二期末（理） ）经检测有一批产品合格率为 3 4 ，现从这批产品中任取 5件，设取得合 格产品的件数为，则()Pk取得最大值时k的值为（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】C 【解析】 由题意，随机变量 3 (5,) 4 B， 5 5 31 ()( )( ) 44 kkk PkC ， 若()Pk取得最大值时，则: ()(1) ()(1) PkPk PkPk 5114 55 5116 55 3131 ( ) ( )( )( ) 4444 3131 ( ) ( )( )( ) 4444

21、 kkkkkk kkkkkk CC CC 则 1113 5414 1311 464 kk kk ，解得 * 3.54.5,kkN剟，则4k 故选：C 二、多选题二、多选题 9 （2020 江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为 0.5 和 0.4，且 互不影响，现甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ） A目标恰好被命中一次的概率为 0.5+0.4 B目标恰好被命中两次的概率为 0.5 0.4 C目标被命中的概率为 0.5 0.6+0.5 0.4 D目标被命中的概率为 10.5 0.6 【答案】BD 【解析】 由题意，甲、乙两人射击是否命中相互独立， 目标

22、恰好被命中一次的概率为0.51 0.40.41 0.50.5 0.60.4 0.5，即 A错误； 目标恰好被命中两次的概率为0.5 0.4，即 B正确； 目标被命中包含恰好命中一次和恰好命中两次，即目标被命中的概率为0.5 0.60.4 0.50.5 0.4， 即 C 错误； 两人都没有命中的概率为1 0.5 1 0.4，则目标被命中的概率又可以表示为 11 0.5 1 0.41 0.5 0.6 ，即 D正确. 故选：BD. 10 （2020 江苏泰州 高一期末）下列叙述正确的是（ ） A某人射击 1次，射中 7 环”与射中 8 环是互斥事件 B甲、乙两人各射击 1 次，至少有 1人射中目标“

23、与没有人射中目标是对立事件 C抛掷一枚硬币，连续出现 4次正面向上，则第 5次出现反面向上的概率大于 1 2 D抛掷一枚硬币 4次，恰出现 2 次正面向上的概率为 1 2 【答案】AB 【解析】 A.某人射击 1 次，“射中 7环”和“射中 8环”是两个不可能同时发生的事件，所以是互斥事件，故 A正确； B.甲、乙两人各射击 1 次，“至少有 1人射中目标”包含“1 人射中，1 人没有射中”和“2 人都射中目标”，所以 根据对立事件的定义可知，至少有 1人射中目标“与没有人射中目标是对立事件，故 B 正确； C.抛掷一枚硬币， 属于独立重复事件， 每次出现正面向上的概率都是 1 2 ， 每次出

24、现反面向上的概率也是 1 2 ， 故 C 不正确； D.抛掷一枚硬币，恰出现 2 次正面向上的概率 4 2 4 13 28 PC ，故 D不正确. 故选：AB 11 （2020 山东任城 济宁一中高二期中）如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均每 100 个家庭有 75 个家庭 拥有小汽车，若从如城镇中任意选出 5个家庭，则下列结论成立的是( ) A这 5 个家庭均有小汽车的概率为 243 1024 B这 5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 27 64 C这 5个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车 D这 5 个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 81 128 【答

25、案】ACD 【解析】 由题得小汽车的普及率为 3 4 ， A. 这 5个家庭均有小汽车的概率为 5 3 ( ) 4 243 1024 ，所以该命题是真命题； B. 这 5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 332 5 31135 ( ) ( ) 44512 C,所以该命题是假命题； C. 这 5个家庭平均有 3.75个家庭拥有小汽车，是真命题； D. 这 5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 445 5 313 ( ) ( )( ) 444 C= 81 128 ,所以该命题是 真命题. 故选：ACD. 12 （2020 江苏亭湖 盐城中学高二月考）设火箭发射失败的概率

26、为 0.01，若发射 10次，其中失败的次数为 X，则下列结论正确的是（ ） A ()0.1E X B 10 ()0.010.99 kk P Xk C ()0.99V X D 10 10 ()0.010.99 kkk P XkC 【答案】AD 【解析】 (10,0.01)XB， ()100.010.1E X ，()100.01 0.990.099V X . 10 10 ()0.010.99 kkk P XkC . 故选：AD 三、填空题三、填空题 13在含有 3件次品的 10件产品中，任取 4件，X表示取到的次品数，则 P(X2)_. 【答案】 3 10 【解析】 X满足超几何分布，所以 22

27、 37 4 10 3 2 10 C C P X C . 故答案为： 3 10 14 （2019 哈尔滨市第一中学校高二期中（理） ）李明参加中央电视台同一首歌大会的青年志愿者选拔， 在已知备选的 10道题中，李明能答对其中的 6 道，规定考试从备选题中随机地抽出 3题进行测试，至少答 对 2题才能入选.则李明入选的概率为_. 【答案】 2 3 【解析】 设所选 3 题中李明能答对的题数为 X,则 X 服从参数为10,6,3NMn的超几何分布，且 3 64 3 10 C C ()(0,1,2,3) C kk P Xkk ， 故所求概率为 2130 6464 33 1010 C CC C60202

28、 (2)(2)(3) CC1201203 P XP XP X， 故答案为： 2 3 . 15 （2020 四川省遂宁市第二中学校高三其他（理） ）3月 5 日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精 神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从 6 名女生和 3 名男生中选出 5 名学生参赛，要求每人回答一个 问题，答对得 2分，答错得 0分，已知 6 名女生中有 2人不会答所有题目，只能得 0分，其余 4 人可得 2分， 3 名男生每人得 2分的概率均为 1 2 ，现选择 2 名女生和 3 名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为 6 分的概率_. 【答案】 43 120 【解析】 依题意

29、设该班所选队员得分之和为 6 分记为事件 A， 则可分为下列三类：女生得 0分男生得 6分，设为事件 1 A；女生得 2 分男生得 4 分，设为事件 2 A；女生得 4 分男生得 2 分，设为事件 3 A， 则： 3 2 32 13 2 6 11 2120 C P AC C ， 2 11 224 23 2 6 11241 221205 C C P AC C ， 2 2 1 4 33 2 6 11183 2212020 C P AC C ， 123 43 120 P AP AP AP A. 故答案为： 43 120 16（2020 天津南开 高三一模） 甲、 乙两名枪手进行射击比赛， 每人各射击

30、三次， 甲三次射击命中率均为 4 5 ； 乙第一次射击的命中率为 7 8 ，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为 3 4 ，如果又未中， 则乙进行第三次射击，射击的命中率为 1 2 乙若射中，则不再继续射击则甲三次射击命中次数的期望为 _，乙射中的概率为_ 【答案】 12 5 63 64 【解析】 甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为 4 5 ， 则甲击中的次数 4 3, 5 XB ， 甲三次射击命中次数的期望为 412 3 55 E X ， 乙第一次射击的命中率为 7 8 ， 第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为 3 4 ， 如果又未中，

31、则乙进行第三次射击，射击的命中率为 1 2 ， 乙若射中，则不再继续射击， 则乙射中的概率为： 71311163 88484264 P 故答案为： 12 5 ， 63 64 四、解答题四、解答题 17 （2020 辽宁沈阳 高二期中）甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为 1 3 ， 乙、丙做对该题的概率分别为()mn mn，且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该 题的人数，其分布列为： X 0 1 2 3 P 1 3 a b 1 36 （1）求mn，的值； （2）求X的数学期望 【答案】(1) 1 3 m , 1 . 4 n (2) ()E X 1471

32、11 0123. 39363612 【解析】 分析： （1）根据已知列方程组解之即得 m,n 的值. （2）先计算出 a,b 的值再求X的数学期望 详解： （1）由题意，得 11 111, 33 11 . 336 mn mn 又mn，解得 1 3 m ， 1 . 4 n （2）由题意， 1232132214 . 3343343349 a 1417 10131. 393636 bP XP XP X 所以E X 147111 0123. 39363612 点睛：本题第 1 问，可能部分学生找方程比较困难，要注意观察已知的图表信息.表中说明三个都没有做对 的概率是 1 3 ，所以 11 111 33

33、 mn .表中说明三个都做对的概率是 1 36 ，所以 11 336 mn . 18 （2020 青海西宁 高二期末（理） ）在 10 件产品中,有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品从这 10 件 产品中任取 3 件求： （1）取出的 3 件产品中一等品件数X的分布列； （2）取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率 【答案】 （1）详见解析； （2） 31 120 . 【解析】 （1）题意知 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 X 服从参数为 10N ，3M ，3n 的超几何分布， 因此 3 37 3 10 C C 0,1,2,3 C kk P Xkk 所以 03 3

34、7 3 10 C C357 0 C12024 P X ； 12 37 3 10 C C6321 1 C12040 P X ； 21 37 3 10 C C217 2 C12040 P X ； 30 37 3 10 C C1 3 C120 P X 故 X 的分布列为 : X 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 （2） 设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A， “恰好取出1件一等品和2件三等品”为事 件 1 A， “恰好取出2件一等品”为事件 2 A，“恰好取出3件一等品”为事件 3 A， 由于事件 1 A， 2 A， 3 A彼此互斥，且 123 AAA

35、A， 而 12 33 1 3 10 C C3 C40 P A， 2 7 2 40 P AP X， 3 1 3 120 P AP X， 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为： 123 37131 4040120120 P AP AP AP A 19 （2020 通榆县第一中学校高二期末（理） ）某工厂在试验阶段大量生产一种零件这种零件有 A、B两 项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响若 A 项技术指标达标的概率为 3 4 ，B项技术指 标达标的概率为 8 9 ，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品 （1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率； （2

36、）任意依次抽取该种零件 4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及 E 【答案】 （1） 35 36 ； （2）分布列见解析， 8 3 . 【解析】 （1）设 M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标， 则M：A，B 都不达标； 故 6 1 1 43 35 1 9 1 P MP M ， 所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为 35 36 ； （2）依题意两项技术指标都达标的概率为 382 493 ， 所以 2 4 3 B ， ， 4 11 0 381 P ， 13 1 4 218 1 3381 PC ， 22 2 4 218 2 3327 PC ， 3 3 4 2132 3 3381

37、PC ， 4 216 4 381 P ， 的概率分布为： 0 1 2 3 4 P 1 81 8 81 8 27 32 81 16 81 8832162168 234 81278181813 E ， 故的期望值为 8 3 20 （2020 长春市第一中学高二期中（理） ）从某小组的 5 名女生和 4 名男生中任选 3 人去参加一项公益活 动. (1)求所选 3 人中恰有一名男生的概率 (2)求所选 3 人中男生人数 的分布列及数学期望 【答案】 （1） 10 21 ； （2）见解析. 【解析】 （1）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人，共有 3 9 84C 种， 所选3人中恰有一名男生，有

38、21 54 40C C 种， 故所选3人中恰有一名男生的概率为 4010 8421 ； （2）随机变量的可能取值有0、1、2、3， 3 5 3 9 5 0 42 C P C ， 21 54 3 9 10 1 21 C C P C ， 12 54 3 9 5 2 14 C C P C ， 3 4 3 9 1 3 21 C P C . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 P 5 42 10 21 5 14 1 21 因此，随机变量的数学期望为 510514 0123 422114213 E . 21 （2020 全国高三其他（理） ）为了比较传统粮食与新型粮食的产量是否有差别，研究

39、人员在若干亩 土地上分别种植了传统粮食与新型粮食， 并收集统计了的亩产量， 所得数据如下图所示.已知传统粮 食的产量约为 760公斤/亩. （1）通过计算比较传统粮食与新型粮食的平均亩产量的大小关系； （2）以频率估计概率，若在 4块不同的 1亩的土地上播种新型粮食，记亩产量不低于 785公斤的土地块 数为X，求X的分布列以及数学期望E X. 【答案】 （1）传统粮食的平均亩产量低于新型粮食的平均亩产量； （2）分布列见解析；期望为 8 5 . 【解析】 （1）依题意，所求新型粮食的平均亩产量为 750 0.05 760 0.1 770 0.2 780 0.25 790 0.2 800 0.1

40、 810 0.05 820 0.05 37.576 154 195 158 8040.5 41782（公斤） ； 因为782760，故传统粮食的平均亩产量低于新型粮食的平均亩产量； （2）任取 1块土地新型粮食不低于 785公斤的概率为 2 5 ， 故 2 4, 5 XB ，故 4 381 0 5625 P X ， 3 1 4 23216 1 55625 P XC ， 22 2 4 23216 2 55625 P XC ， 3 3 4 2396 3 55625 P XC ， 4 216 4 5625 P X ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 81 625 216 625 216

41、 625 96 625 16 625 故 28 4 55 E X . 22 （2020 湖南茶陵三中高三月考） 全国中小学生的体质健康调研最新数据表明我国小学生近视眼发病率为 22.78%，初中生为 55.22%，高中生为 70.34%影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原 因是环境因素 学生长时期近距离的用眼状态， 加上不注意用眼卫生、 不合理的作息时间很容易引起近视 除 了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的 原因为了解情况，现从某地区随机抽取 16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这 16名学生的视力状 况的茎叶图（以

42、小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶） ，如图： （1）写出这组数据的众数和中位数； （2）若视力测试结果不低于 5.0，则称为“好视力” 从这 16 名学生中随机选取 3名，求至少有 2名学生是“好视力”的概率； 以这 16 名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率若从该地区学生（人数较多） 中任选 3名，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望 【答案】 （1）众数为 4.6和 4.7，中位数为 4.75（2） 19 140 见解析， 3 () 4 E X = 【解析】 （1）由题意知众数为 4.6和 4.7， 中位数为 4.74.8 4.75

43、 2 （2）设事件 i A，表示“所选 3名学生中有i名是好视力”(0,1,2,3)i ，设事件A表示“至少有 2 名学生 是好视力” 则 213 1124 23 33 1616 ( ) C CC P AP AP A CC 19 140 因为这 16名学生中是“好视力”的频率为 1 4 ，所以该地区学生中是“好视力”的概率为 1 4 由于该地区学生人数较多，故X近似服从二项分布 1 3, 4 B 3 327 (0) 464 P X ， 2 1 3 1327 (1) 4464 P XC ， 2 2 3 139 (2) 4464 P XC ， 3 11 (3) 464 P X ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 X的数学期望为 13 ()3 44 E X