（新教材）高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题21 数列（单元测试卷）（学生版+解析版）.doc

1、专题专题 21 数列单元测试卷数列单元测试卷 一、单选题一、单选题 1 （2020 安徽师范大学附属中学高一期中）若数列 n a满足 1nn naa ， 1 2a ，则 4 a （ ） A8 B9 C10 D11 2 （2020 巴楚县第一中学高二期中（文） ）数列-1，3，-5，7， -9， 11，x，15， -17中的 x 等于（ ） A12 B-13 C14 D-15 3 （2020 合肥市第十一中学高一期中）已知数列 n a中， 1 3 nn aa ， 1 2a ，则 4 a等于( ) A18 B54 C36 D72 4 （2020 北京五十五中高二月考）设等差数列 n a的前n项和为

2、 n S，若 1 11a ， 2d ，则当 n S取最 小值时，n等于( ) A6 B7 C8 D9 5 （2020 新疆维吾尔自治区高三其他（理） ） 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、 立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬 至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为 31.5 尺，前九个节气日影长度之和为 85.5 尺，则谷雨这一天 的日影长度（ ） A5.5 尺 B4.5 尺 C3.5 尺 D2.5 尺 6 （2020 安徽省高三一模（理） ）已知数列 n a的前 n 项和为 n S，满足21 nn Sa，则 5 a的

3、值为（ ） A8 B16 C32 D81 7 （2019 全国高二期中（文） ）设数列 n a的首项 1 1a ，且满足 2121 21 nn aa ， 221 1 nn aa ，则数 列 n a的前20项和为( ). A2032 B2033 C4082 D4086 8（2019 全国高二期中 （文） ） 已知是等比数列的前 项和， 若存在， 满足， 则数列的公比为（ ） A B C2 D3 二、多选题二、多选题 9 （2020 江苏省如皋中学高一开学考试）已知 n a是等差数列，其前n项和为 n S，满足 126 3aaS，则 下列四个选项中正确的有（ ） A 7 0a B 13 0S C

4、7 S最小 D 58 SS 10 （2020 河北省沧州市一中高一月考）已知数列的前 n 项和为，且满足 ，则下列说法正确的是（ ） A数列的前 n 项和为 B数列的通项公式为 C数列为递增数列 D数列为递增数列 11 （2020 河北省高一期中）在公比q为整数的等比数列 n a中， n S是数列 n a的前n项和， 若 14 18aa， 23 12aa，则下列说法正确的是（ ） A 2q = B数列2 n S 是等比数列 C 8 510S D数列lg n a是公差为 2 的等差数列 12 （2020 江苏省如皋中学高一月考）已知数列 n a不是常数列，其前n项和为 n S，则下列选项正确的是

5、 （ ） A若数列 n a为等差数列，0 n S 恒成立，则 n a为递增数列 B若数列 n a为等差数列， 1 0a ， 310 SS，则 n S的最大值在 6n或 7 时取得 C若数列 n a为等比数列，则 20212021 0Sa恒成立 D若数列 n a为等比数列，则2 n a 也为等比数列. 三、填空题三、填空题 13 （2020 北京五十五中高二月考）等比数列an的前 n 项和为 n S已知 14 2,2aa ，则an的通项公 式 n a _， 9 S _ 14（2020 辽宁省高三二模 （理） ） 已知数列 n a为等差数列， 125 ,?a a a成公比不为 1 的等比数列， 且

6、 9 4a ， 则公差d _. 15已知等差数列 n a的公差 324 0,3,5daa a ，记 n a的前n项和为 n S，则 n S的最小值为_. 16 （2020 全国高三其他（理） ）已知 n a是公差不为零的等差数列， n S为其前n项和若 124 ,S SS成等 比数列，且 5 9a ，则数列 n a的前n项和为_ 四、解答题四、解答题 17 （2020 河北省高三其他（理） ）设等差数列anbn的公差为 2，等比数列an+bn的公比为 2，且 a12， b11 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列2an+2n的前 n 项和 Sn 18 （2019 全国高二期中（文） ）

7、n S为正项数列 n a的前n项和已知 2 22 nnn aaS, (1)求 n a的通项公式； (2)设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 19 （2019 全国高三二模（文） ）已知数列 n a的前n项和为,239 nnn SSa (1)求数列 n a的通项公式； (2)若 3 1log n nn ba ，求数列 n b的前n项和 n T 20 （2020 黑龙江省铁人中学高一期中）已知公差不为零的等差数列 n a中， 1 1a ，且 139 ,a a a成等比数 列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设2 n a n bn，求数列 n b的前n项和 n S

8、. 21 （2020 毕节市实验高级中学高二期中（文） ）已知数列 n a的首项 1 2 3 a ， 11 2 nnnn aaaa * (0,) n anN. （1）证明：数列 1 1 n a 是等比数列； （2）数列 n n a 的前n项和 n S. 22已知数列 n a中， * 1 1 1 1 nn nn aa n n aa N ， 2 6a 1求 1 a， 3 a， 4 a 2猜想 n a的表达式并给出证明； 3记 12 111 n n S aaa ，证明： 3 2 n S 专题专题 21 数列单元测试卷数列单元测试卷 一、单选题一、单选题 1 （2020 安徽师范大学附属中学高一期中）

9、若数列 n a满足 1nn naa ， 1 2a ，则 4 a （ ） A8 B9 C10 D11 【答案】A 【解析】 因为 1nn naa ， 1 2a ， 所以 21 13aa ， 32 25aa， 43 38aa . 故选：A. 2 （2020 巴楚县第一中学高二期中（文） ）数列-1，3，-5，7， -9， 11，x，15， -17中的 x 等于（ ） A12 B-13 C14 D-15 【答案】B 【解析】 记该数列为 n a.观察数列，可得 123456 2aaaaaa， 152,13xx . 故选：B. 3 （2020 合肥市第十一中学高一期中）已知数列 n a中， 1 3 n

10、n aa ， 1 2a ，则 4 a等于( ) A18 B54 C36 D72 【答案】B 【解析】 数列 n a中， 1 3 nn aa ， 1 2a ， 数列 n a是等比数列，公比3q 则 3 4 2354a 故选：B 4 （2020 北京五十五中高二月考）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1 11a ，2d ，则当 n S取最 小值时，n等于( ) A6 B7 C8 D9 【答案】A 【解析】 依题意 1 1213 n aandn，由213 0n得 13 6.5 2 n ，由于 * nN，所以6n时， n S取最 小值. 故选：A 5 （2020 新疆维吾尔自治区高三其他（理

11、） ） 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、 立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬 至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为 31.5 尺，前九个节气日影长度之和为 85.5 尺，则谷雨这一天 的日影长度（ ） A5.5 尺 B4.5 尺 C3.5 尺 D2.5 尺 【答案】A 【解析】 设等差数列 n a，首项为 1 a，公差为d， 根据题意得 1471 3931.5aaaad， 91 93685.5Sad， 解得 1 13.5,1ad ， 所以 91 85.5aad. 故选：A 6 （2020 安徽省高三一模（理） ）已

12、知数列 n a的前 n 项和为 n S，满足21 nn Sa，则 5 a的值为（ ） A8 B16 C32 D81 【答案】B 【解析】 当1n 时， 111 21aSa，解得 1 1a ， 当2n时， 11 22 nnnnn aSSaa 即 1 2 nn aa ， 所以数列 n a是以 1 为首项，公比为2q =的等比数列， 所以 4 51 16aa q. 故选：B. 7 （2019 全国高二期中（文） ）设数列 n a的首项 1 1a ，且满足 2121 21 nn aa ， 221 1 nn aa ，则数 列 n a的前20项和为( ). A2032 B2033 C4082 D4086

13、【答案】C 【解析】 由 2121 21 nn aa 得 2121 12(1) nn aa ，数列 21 1 n a 为等比数列，首项为 2，又数列 21n a 的 前 10 项恰为数列 n a的前20项中的奇数项， 其和为 10 2 21 102036 2 1 ， 又 221 1 nn aa ，由数列 21 1 n a 为等比数列，数列 n a的前20项中的偶数项和为 10 2 21 2046 2 1 ， 则 S202036 20464082 故选：C 8（2019 全国高二期中 （文） ） 已知是等比数列的前 项和， 若存在， 满足， 则数列的公比为（ ） A B C2 D3 【答案】D

14、【解析】 设等比数列公比为 当时，不符合题意， 当时， 得，又， 由，得， ，故选 D. 二、多选题二、多选题 9 （2020 江苏省如皋中学高一开学考试）已知 n a是等差数列，其前n项和为 n S，满足 126 3aaS，则 下列四个选项中正确的有（ ） A 7 0a B 13 0S C 7 S最小 D 58 SS 【答案】ABD 【解析】 因为 n a是等差数列， 126 3aaS 所以 111 5361dadaa，所以 1 2120ad 即 1 60ad，即 7 0a 所以 137 130Sa 678785 30aaSSaa 所以正确的有 ABD 故选：ABD 10 （2020 河北省

15、沧州市一中高一月考）已知数列的前 n 项和为，且满足 ，则下列说法正确的是（ ） A数列的前 n 项和为 B数列的通项公式为 C数列为递增数列 D数列为递增数列 【答案】AD 【解析】 因此数列为以为首项， 为公差的等差数列，也是递增数列，即 D 正确； 所以，即 A 正确； 当时 所以，即 B，C 不正确； 故选：AD 11 （2020 河北省高一期中）在公比q为整数的等比数列 n a中， n S是数列 n a的前n项和， 若 14 18aa， 23 12aa，则下列说法正确的是（ ） A 2q = B数列2 n S 是等比数列 C 8 510S D数列lg n a是公差为 2 的等差数列

16、【答案】ABC 【解析】 14 18aa， 23 12aa且公比q为整数， 3 11 18aa q， 2 11 12a qa q， 1 2a ，2q =或 1 2 q （舍去）故 A 正确， 1 2 1 2 22 1 2 n n n S ， 8 510S ，故 C 正确； 1 22n n S ，故数列2 n S 是等比数列，故 B 正确； 而lglg2lg2 n n an，故数列lg n a是公差为 lg2 的等差数列，故 D 错误 故选：ABC. 12 （2020 江苏省如皋中学高一月考）已知数列 n a不是常数列，其前n项和为 n S，则下列选项正确的是 （ ） A若数列 n a为等差数列

17、，0 n S 恒成立，则 n a为递增数列 B若数列 n a为等差数列， 1 0a ， 310 SS，则 n S的最大值在 6n或 7 时取得 C若数列 n a为等比数列，则 20212021 0Sa恒成立 D若数列 n a为等比数列，则2 n a 也为等比数列. 【答案】ABC 【解析】 对于 A：若数列 n a为等差数列，0 n S 恒成立，则公差0d ，故 n a为递增数列，故 A 正确； 对于 B：若数列 n a为等差数列， 1 0a ，设公差为d，由 310 SS，得 11 3 210 9 310 22 adad ，即 1 6ad ，故7 n and， 所以，当7n时，0 n a ，

18、 7 0a ，故 n S的最大值在 6n或 7 时取得，故 B 正确； 对于 C：若数列 n a为等比数列， 则 2021 2021 1 202022020 2021202111 1 1 0 11 aq q Saa qaq qq 恒成立，故 C 正确； 对于 D：若数列 n a为等比数列，则 1 1 22 n n aa q ， 所以 11 1 1 2 22 2 nnn nn n a aqq aa a 不是常数，故 2 n a 不是等比数列，故 D 错误. 故选：ABC. 三、填空三、填空题题 13 （2020 北京五十五中高二月考）等比数列an的前 n 项和为 n S已知 14 2,2aa ，

19、则an的通项公 式 n a _， 9 S _ 【答案】 1 2 ( 1)n 2 【解析】 9 31 4 9 1 2(1 ( 1) ) 112( 1),2. 1 ( 1) n n a qqaS a 14（2020 辽宁省高三二模 （理） ） 已知数列 n a为等差数列， 125 ,?a a a成公比不为 1 的等比数列， 且 9 4a ， 则公差d _. 【答案】 8 17 【解析】 由数列 n a为等差数列， 1 a， 2 a， 5 a成公比不为 1 的等比数列， 可得 2 125 a aa，即 2 111 (4 )()a adad，且0d ， 化为 1 2ad， 由 9 4a ，可得 1 8

20、4ad ， 解方程可得 1 4 17 a ， 8 17 d ， 故答案为： 8 17 15已知等差数列 n a的公差 324 0,3,5daa a ，记 n a的前n项和为 n S，则 n S的最小值为_. 【答案】16 【解析】 设数列 n a的首项为 1 a，由题意得 1 23, ( 3) ( 3)5, ad dd 解得 1 7, 2, a d 所以 72(1)29 n ann ；由290n，解得 9 2 n，所以 45 0,0aa，所以 n S的最小值为 4 753 116S . 故答案为：16. 16 （2020 全国高三其他（理） ）已知 n a是公差不为零的等差数列， n S为其前

21、n项和若 124 ,S SS成等 比数列，且 5 9a ，则数列 n a的前n项和为_ 【答案】 2 n 【解析】 设等差数列 n a的公差为()d d 0，则 1 94Sd， 2 187Sd， 4 36 10Sd， 2 214 SS S，所 以 2 (18 7 )(94 )(36 10 )ddd，整理得 2 9180dd0d ，2d 51 49aad， 则 1 1a ， 2 1 (1) 2 n n n Snadn 故答案为： 2 n 四、解答题四、解答题 17 （2020 河北省高三其他（理） ）设等差数列anbn的公差为 2，等比数列an+bn的公比为 2，且 a12， b11 （1）求数

22、列an的通项公式； （2）求数列2an+2n的前 n 项和 Sn 【答案】 （1） 2 1 (21)3 2 2 n n an ， （2） 2 5 25 n n Sn 【解析】 （1） 11 1ab， 11 3ab ， 1 2(1)21 nn abnn ， 1 3 2n nn ab . 联立解得： 2 1 (21)3 2 2 n n an . （2） 11 22(21)3 22(21)5 2 nnnn n ann 数列22 n n a 的前n项和 2 (21 1)1 2 55 25 21 2 n n n nn Sn . 18 （2019 全国高二期中（文） ） n S为正项数列 n a的前n项和

23、已知 2 22 nnn aaS, (1)求 n a的通项公式； (2)设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 【答案】 （1）1 n an； （2） 2(2) n n 【解析】 (1)由 2 22 nnn aaS， 可知 2 111 22 nnn aaS ，得 11 +10 nnnn aaaa 由0 n a ，得 1 1 nn aa 又 2 111 22aaa，解得 1 1a (舍去)或 1 2a . 所以 n a是首项为 2，公差为 1 的等差数列，通项公式为1 n an. (2)由 1 n an可知 1 1 n nn b a a 111 (1)(2)12nnnn 设数

24、列 n b前n项和为 n T， 则 n12 . n Tbbb 111111 233412nn 11 222(2) n nn . 19 （2019 全国高三二模（文） ）已知数列 n a的前n项和为,239 nnn SSa (1)求数列 n a的通项公式； (2)若 3 1log n nn ba ，求数列 n b的前n项和 n T 【答案】 （1） 1 3n n a ； （2） , 2 3 , 2 n n n T n n 为偶数 为奇数 【解析】 （1）当1n 时， 11 239Sa. 因为 11 Sa，所以 11 239aa，所以 1 9a . 因为239 nn Sa，所以 11 239 nn

25、 Sa . 两式相减，得 11 233 nnn aaa ，即 1 3 nn aa 又因为 1 9a ，所以0 n a . 所以数列 n a是以9为首项，3为公比的等比数列. 所以 11 9 33 nn n a . （2）由（1）可知 3 1log11 nn nn ban 故当n为偶数时， 23451 2 n n Tnn 当n为奇数时， 1 2345111 2 n n Tnnnn 3 2 n 所以 , 2 3 , 2 n n n T nn 为偶数 为奇数 20 （2020 黑龙江省铁人中学高一期中）已知公差不为零的等差数列 n a中， 1 1a ，且 139 ,a a a成等比数 列. （1）求

26、数列 n a的通项公式； （2）设2 n a n bn，求数列 n b的前n项和 n S. 【答案】(1) n an;(2) 1 (1) 22 2 n n n n S . 【解析】 （1）设数列 n a公差为d 139 ,a a a成等比数列 2 319 aa a 2 1211 8dd 0d（舍）或1d n an. （2）令22 n an n bnn 123nn Sbbbb 123 2122232nn 123 2222123 2 1 2 1 1 22 n n n n n 1 1 22 2 n n n 1 1 22 2 n n n n S . 21 （2020 毕节市实验高级中学高二期中（文）

27、）已知数列 n a的首项 1 2 3 a ， 11 2 nnnn aaaa * (0,) n anN. （1）证明：数列 1 1 n a 是等比数列； （2）数列 n n a 的前n项和 n S. 【答案】 （1）证明见详解； （2） 12 2 22 n n n nn S 【解析】 （1） * 11 20, nnnnn aaaaanN Q， 1 11111 222 n nnn a aaa ， 1 111 11 2 nn aa ， 又 1 2 3 a ， 1 11 1 2a ， 数列 1 1 n a 是以 1 2 首项， 1 2 为公比的等比数列. （2）由（1）知 1 1111 1 2 22

28、nn n a ， 即 11 1 2n n a ， 2n n nn n a . 设 23 123 2222 n n n T =+， 则 231 1121 22222 n nn nn T L， 由得 21 1111 22222 n nn n T L 11 11 1 122 1 1 222 1 2 n nnn nn ， 1 1 2 22 n nn n T .又 1 1 23 2 n n n . 数列 n n a 的前n项和 12 2 22 n n n nn S . 22 （2017 浙江省高三其他）已知数列 n a中， * 1 1 1 1 nn nn aa n n aa N ， 2 6a 1求 1

29、a， 3 a， 4 a 2猜想 n a的表达式并给出证明； 3记 12 111 n n S aaa ，证明： 3 2 n S 【答案】 1 1 1a ， 3 15a ， 4 28a ； 221 n ann，证明见解析； 3证明见解析. 【解析】 11n 时， 211 211 161 1 161 aaa aaa ， 1 1a ； 2n时， 32 32 1 2 1 aa aa ， 3 15a ； 3n时， 43 43 1 3 1 aa aa ， 4 28a ， 1 1a； 3 15a ； 4 28a 2猜想21 n ann 证明：1n 时， 1 12 1 11a 成立， 2n时， 2 2 36a

30、成立； 不妨设2nk k时成立，即21 k akk， 下证1nk时成立， 即证 1 1211 k akk 1 21kk 由题意， 1 1 11 2111 1211 k kk kkk akkaa k aaakk ， 322 11 221 kk akkkkkak ， 322 1 1221 k kakkkkk 32 221kkk 11 21kkk， 10k ， 1 1 21 k akk ，即1nk时成立， 21 n ann 3当1n 时， 3 1 2 n S ； 当2n时， 111 2122 n annnn 11 21nn 111 21nn ， 111111 11 22231 n S nn 113 11 22n