（新教材）高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题18 等比数列（学生版+解析版）.doc

1、专题专题 18 等比数列等比数列 一、单选题一、单选题 1 （2020 陕西省高三三模（理） ）已知等比数列 n a的前n项和为 n S， 34 2aa， 1 1a ，则 4 S （ ） A31 B15 C8 D7 2.（2020 毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列 n a中，已知 1 3 11 8a a a ，那么 28 a a （ ） A4 B6 C12 D16 3 （2020 江西省高三三模（文） ）已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S，若 1 1a ， 32 40aS，则 10 a （ ） A512 B512 C1024 D1024 4 （2020 河南省高三月考（文） ）

2、在等比数列 n a中，已知 13 4a a ， 9 256a ，则 8 a （ ） A128 B64 C64 或64 D128 或128 5 （2020 毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列 n a的公差为3,若 134 ,a a a成等比数列,则 2 a等于 () A9 B3 C-3 D-9 6 （2020 湖北省高三三模（理） ）设等比数列 n a的前n项和为 n S， 1234 2,20aaaa，则 5 S （ ） A2 B0 C2 D4 7 （2020 福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家 杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和

3、方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓 库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层 1 件，以后每一层比上一层多 1 件，最后一层 是 n 件，已知第一层货物单价 1 万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 4 5 .若这堆货物总价是 4 2565 5 n 万元，则 n 的值为（ ） A7 B8 C9 D10 8 （2020 黑龙江省铁人中学高一期中）等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 1232 2,aaa S 是 1 S与 3 mS的等 比中项，则m的值为（ ） A1 B 9 7 C 6 7 D 1 2 二、多选题二、多选题 9 （2018 山东省山东师范大

4、学附中高二学业考试）设等比数列 n a的公比为q，其前n项和为 n S，前n项 积为 n T，并且满足条件 1 1a ， 6 67 7 1 1,0 1 a a a a ，则下列结论正确的是（ ） A0 1q B 68 1a a C n S的最大值为 7 S D n T的最大值为 6 T 10 （2019 临沭第一中学高二开学考试）已知数列 n a是公比为(1)q q的等比数列，则以下一定是等比 数列的是（ ） A2 n a B 2 n a C 1nn aa D 1nn aa 11 （2020 山东省曲阜一中高三月考）在增删算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健 步不为难；次日脚痛减

5、一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A此人第二天走了九十六里路 B此人第三天走的路程站全程的 1 8 C此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D此人后三天共走了 42 里路 12 （2019 山东省高三月考）已知 1 a， 2 a， 3 a， 4 a成等比数列，满足 2 1234234 aaaaaaa， 且 4 1a ，下列选项正确的是（ ） A 13 aa B 34 aa C 12 aa D 24 aa 三、填空题三、填空题 13（2018 平遥县综合职业技术学校高二期中） 两个数等差中项是20， 等比中项是12， 则这两个数是_. 14 （2020 毕节市实验高级中学高一

6、期中）在等比数列 n a中， 12 1aa， 34 2aa，则 5678 aaaa_. 15 （2020 湖南省高三三模（理） ）在数列 n a中， 4 4a ，且 2 2 nn aa ，则 2 1 n i i a _. 16 （2020 进贤县第一中学高一月考）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲（水生植物名） 生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何 日而长等？”意思是：今有蒲生长 1 日，长为 3 尺；莞生长 1 日，长为 1 尺蒲的生长逐日减半，莞的生长 逐日增加 1 倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_日 （结果保留一位小数，

7、参考数据： lg20.30， lg30.48） 四、解答题四、解答题 17（2020 江西省高二月考 （理） ） 已知数列 n a是公差为 2的等差数列， 它的前 n项和为 n S， 且 1+1 a， 3 1a ， 7 1a 成等比数列。 (1)求 n a的通项公式。 (2)求数列 1 n S 的前 n 项和 n T。 18 （2020 湖北省江夏实验高中高一期中）已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 * 27 3,49,aSnN (1)求数列 n a的通项公式； (2)设 1 (1) 2n n n a b n ，求数列 n b的前 n 项和 Tn. 19 （2020 江苏省如皋中

8、学高一月考）已知数列 n a的前n项和 n S满足1 1 nn a Sa a ，(a为常数，且 0a，1a ). （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 1 n n n S b a ，若数列 n b为等比数列，求a的值. 20 （2020 广东省高三一模（文） ）已知数列 n a的前 n 项和为 Sn，且满足 nn anS，设1 nn ba （1）求 123 ,a a a； （2）判断数列 n b是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列 n a的前 n 项和 Sn 21 （2019 福建省莆田一中高三月考（文） ）设数列 n a前n项和为S，且满足 * 11 11 , 3232 nn

9、 aSanN （1）证明 n a为等比数列，并求数列 n a的通项公式； （2）在（1）的条件下，设 2 log nn ba，求数列 n b的前n项和 n T 22 （2020 宁夏回族自治区银川九中高三二模 （文） ） 在数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ， 11 320 nnn aaa （n N且2n）. （1）证明：数列 1nn aa 是等比数列； （2）求数列 n a的通项公式. 专题专题 18 等比数列等比数列 一、单选题一、单选题 1 （2020 陕西省高三三模（理） ）已知等比数列 n a的前n项和为 n S， 34 2aa， 1 1a ，则 4 S （ ） A31 B1

10、5 C8 D7 【答案】B 【解析】 由于数列是等比数列，故 32 11 2a qa q，由于 1 1a ，故解得2q =，所以 4 1 4 1 15 1 aq S q . 故选：B. 2.（2020 毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列 n a中，已知 1 3 11 8a a a ，那么 28 a a （ ） A4 B6 C12 D16 【答案】A 【解析】 由 3 210433 13 1111115 82a a aa a qa qa qa, 所以 5 2a , 则 22 285 24a aa. 故选 A. 3 （2020 江西省高三三模（文） ）已知等比数列 n a的前 n 项和为 n

11、S，若 1 1a ， 32 40aS，则 10 a （ ） A512 B512 C1024 D1024 【答案】A 【解析】 132 1,40aaS. 2 111 40aqaaq. 2 440qq.解得: 2q . 1 99 10 1 ( 2)512aa q . 故选:A 4 （2020 河南省高三月考（文） ）在等比数列 n a中，已知 13 4a a ， 9 256a ，则 8 a （ ） A128 B64 C64 或64 D128 或128 【答案】D 【解析】 设等比数列 n a的公比为q， 由 2 132 4a aa，解得 2 2a ， 当 2 2a 时， 7 9 2 128 a q

12、 a ，得2q =，则 9 8 128 2 a a ； 当 2 2a 时， 7 9 2 128 a q a ，得2q ，则 9 8 128 -2 a a .综上 8 128a 或128， 故选：D. 5 （2020 毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列 n a的公差为3,若 134 ,a a a成等比数列,则 2 a等于 () A9 B3 C-3 D-9 【答案】D 【解析】 因为 134 ,a a a成等比数列， 所以 2 111 32aadad， 所以 2 1 40a dd， 又因为 3d ， 所以 1 12a ， 则 21 9aad ， 故选：D. 6 （2020 湖北省高三三模（理

13、） ）设等比数列 n a的前n项和为 n S， 1234 2,20aaaa，则 5 S （ ） A2 B0 C2 D4 【答案】A 【解析】 1234 2,20aaaa 23 111 20qqqaaa, 23 20qqq; 0q 或1q ；等比数列公比不能为 0， 1q 5 5 21 ( 1) 2 1+1 S 故选：A 7 （2020 福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家 杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓 库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层 1 件，以后每一层比上一层

14、多 1 件，最后一层 是 n 件，已知第一层货物单价 1 万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 4 5 .若这堆货物总价是 4 2565 5 n 万元，则 n 的值为（ ） A7 B8 C9 D10 【答案】B 【解析】 由题意，可知这堆货物的总价为 n S，则 21 444 123. 555 n n Sn 4 5 n S 21 4444 2.1 5555 nn nn ， 两式相减可得： 21 14444 1. 55555 nn n Sn 4 1 445 55 4 55 1 5 n nn nn ， 所以 4 2555 5 n n Sn ， 当 44 25552565 55 nn n Sn

15、 时， 解得：8n . 故选：B 8 （2020 黑龙江省铁人中学高一期中）等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 1232 2,aaa S 是 1 S与 3 mS的等 比中项，则m的值为（ ） A1 B 9 7 C 6 7 D 1 2 【答案】B 【解析】 设数列 n a的公比为 q ， 则由 123 2aaa ， 得 2 1112 a a qa q， 易知 1 0a ， 所以 2 210qq 解得 1q 或 1 2 q ，当1q 时， 2 0S ，这与 2 S是 1 S与 3 mS的等比中项矛盾， 当 1 2 q 时， 112131 37 , 24 Sa Sa mSa m由 2 S是

16、1 S与 3 mS的等比中项，得 2 213 SSmS，即 22 11 97 44 ama， 所以 9 7 m ， 故选：B. 二、多选题二、多选题 9 （2018 山东省山东师范大学附中高二学业考试）设等比数列 n a的公比为q，其前n项和为 n S，前n项 积为 n T，并且满足条件 1 1a ， 6 67 7 1 1,0 1 a a a a ，则下列结论正确的是（ ） A0 1q B 68 1a a C n S的最大值为 7 S D n T的最大值为 6 T 【答案】AD 【解析】 67 1,1aa, 与题设 6 7 1 0 1 a a 矛盾. 67 1,1,aa符合题意. 67 1,1

17、,aa与题设 6 7 1 0 1 a a 矛盾. 67 1,1,aa与题设 1 1a 矛盾. 得 67 1,1,01aaq，则 n T的最大值为 6 T. B，C，错误. 故选：AD. 10 （2019 临沭第一中学高二开学考试）已知数列 n a是公比为(1)q q的等比数列，则以下一定是等比 数列的是（ ） A2 n a B 2 n a C 1nn aa D 1nn aa 【答案】BC 【解析】 因为数列 n a是公比为(1)q q的等比数列,则 1n n a q a , 对于选项 A, 1 1 2 2 2 n nn n a aa a ,因为 1nn aa 不是常数,故 A 错误； 对于选项

18、 B, 2 2 2 11 2 nn nn aa q aa ,因为 2 q为常数,故 B 正确； 对于选项 C, 2 2121 11 nnnn nnnn aaaa q aaaa ,因为 2 q为常数,故 C 正确； 对于选项 D,若 1 0 nn aa ,即1q 时,该数列不是等比数列,故 D 错误. 故答案为:BC 11 （2020 山东省曲阜一中高三月考）在增删算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健 步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A此人第二天走了九十六里路 B此人第三天走的路程站全程的 1 8 C此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D

19、此人后三天共走了 42 里路 【答案】ACD 【解析】 设此人第n天走 n a里路，则数列 n a是首项为 1 a，公比为 1 2 q 的等比数列， 因为 6 378S ，所以 1 6 6 1 (1) 2 =378 1 1 2 a S ，解得 1 192a ， 对于 A，由于 2 1 19296 2 a ，所以此人第二天走了九十六里路，所以 A 正确； 对于 B，由于 3 1481 19248, 43788 a ，所以 B 不正确； 对于 C，由于378 192186,192 1866，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以 C 正确； 对于 D，由于 456 111 19242

20、81632 aaa ，所以 D 正确， 故选：ACD 12 （2019 山东省高三月考）已知 1 a， 2 a， 3 a， 4 a成等比数列，满足 2 1234234 aaaaaaa， 且 4 1a ，下列选项正确的是（ ） A 13 aa B 34 aa C 12 aa D 24 aa 【答案】AD 【解析】 1234 ,a a a a成等比数列，设公比为q. 2 2 44444 123423444 322 , aaaaa aaaaaaaaa qqqqq ， 22 44 322322 1111111111 11,1,11aa qqqqqqqqqq ， 整理得 432 1121 0 qqqq

21、，即 32 210qqq . 令 32 21f xxxx ，则 2 341311fxxxxx . 由 0fx ，得 1 3 x 或1x；由 0fx ，得 1 1 3 x ， f x在, 1 上单调递增，在 1 1, 3 上单调递减，在 1 , 3 上单调递增. f x的极大值为11f ，极小值为 123 0 327 f . 又210f ， f x在区间2, 1上有一个零点 0 x. 即 32 210qqq 时， 0 1qx ， 2 1q. 4 1a ，等比数列 1234 ,a a a a中， 13 ,a a均为负数， 24 ,a a均为正数. 2 31221 2 4 ,aqa aa qaa.

22、故选：AD. 三、填空题三、填空题 13（2018 平遥县综合职业技术学校高二期中） 两个数等差中项是20， 等比中项是12， 则这两个数是_. 【答案】4,36 【解析】 设这两个数为, a b， 因为两个数等差中项是 20，等比中项是 12， 所以 404 14436 aba abb 或 36 4 a b ， 即这两个数为4,36， 答案为：4,36 14 （2020 毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列 n a中， 12 1aa， 34 2aa，则 5678 aaaa_. 【答案】12 【解析】 设等比数列 n a公比为q,则 12 1212 2 2 34 2 qaaa aaa a q

23、 a . 故 42 56781234 23 12aaaaqaaaa . 故答案为：12 15 （2020 湖南省高三三模（理） ）在数列 n a中， 4 4a ，且 2 2 nn aa ，则 2 1 n i i a _. 【答案】 1 22 n 【解析】 因为 2 2 nn aa ， 4 4a ，所以 2 2a ， 故数列 2n a是以 2 为首项、2 为公比的等比数列， 由等比数列前 n 项和公式可得， 1 2 1 2 1 2 22 1 2 n n n i i a . 故答案为： 1 22 n 16 （2020 进贤县第一中学高一月考）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲（水生植物名

24、） 生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何 日而长等？”意思是：今有蒲生长 1 日，长为 3 尺；莞生长 1 日，长为 1 尺蒲的生长逐日减半，莞的生长 逐日增加 1 倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_日 （结果保留一位小数，参考数据： lg20.30， lg30.48） 【答案】2.6 【解析】 解： 设蒲 （水生植物名） 的长度组成等比数列 n a ， 其 1 3a ， 公比为 1 2 ， 其前n 项和为 n A 莞 （植物名）的长度组成等比数列 n b ，其 1 1b ，公比为2 ，其前n 项和为 n B 则 1 3 1 212 ,

25、1 2 1 1 2 nn nn AB ， 令 nn AB ， 化为： 6 27 2 n n ， 解得26 n 或21 n （舍去） 即： lg6lg3 12.6 lg2lg2 n . 所需的时间约为2.6 日. 四、解答题四、解答题 17（2020 江西省高二月考 （理） ） 已知数列 n a是公差为2的等差数列， 它的前n 项和为 n S， 且 1+1 a， 3 1a ， 7 1a 成等比数列。 (1)求 n a的通项公式。 (2)求数列 1 n S 的前 n 项和 n T。 【答案】 （1）21 n an； （2） 323 4212 n nn 【解析】 （1）由题意，得 31 15aa ，

26、 71 113aa ， 所以由 2 317 111aaa， 得 2 111 5113aaa， 解得 1 3a ， 所以321 n an ， 即21 n an。 （2）由（1）知21 n an， 则2 n Sn n， 11 11 22 n Snn ， 11111111 1 2324352 n T nn 1111 1 2212nn 323 4212 n nn 。 18 （2020 湖北省江夏实验高中高一期中）已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 * 27 3,49,aSnN (1)求数列 n a的通项公式； (2)设 1 (1) 2n n n a b n ，求数列 n b的前 n 项和

27、 Tn. 【答案】(1)21 n an;(2) 1 22 n n T 【解析】 (1)设公差为 d，则 1 1 3 7 6 749 2 ad ad 解得： 1 1 2 a d 1 (1)21() n aandnnN* * 所以数列 n a的通项公式为 * 21() n annN; (2)由(1)得 11 (1) 2(21 1) 2 2 nn n n n an b nn 1* 1(1 )2(1 2 ) 22() 11 2 nn n n bq TnN q 19 （2020 江苏省如皋中学高一月考）已知数列 n a的前n项和 n S满足1 1 nn a Sa a ，(a为常数，且 0a，1a ).

28、（1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 1 n n n S b a ，若数列 n b为等比数列，求a的值. 【答案】 （1） n n aa.（2） 1 3 a 【解析】 （1）因为 111 1 1 a Saa a ，所以 1 aa. 当2n时， 1 1 nnn a aSS a 1nn aa ， 整理得 1 n n a a a ，即数列 n a是以a为首项，a为公比的等比数列. 所以 1nn n aa aa - = ?. （2）由（1）知， 21 312 1 1 1 n n n nn a a aaa a b aaa (*) 由数列 n b是等比数列，则 2 213 bb b， 所以 2

29、2 2 32322 3 aaa aa ，解得 1 3 a ， 再将 1 3 a 代入(*)式得3n n b ，故数列 n b为等比数列， 所以 1 3 a . 20 （2020 广东省高三一模（文） ）已知数列 n a的前 n 项和为 Sn，且满足 nn anS，设1 nn ba （1）求 123 ,a a a； （2）判断数列 n b是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列 n a的前 n 项和 Sn 【答案】 （1） 123 137 , 248 aaa； （2）数列 n b是等比数列，理由见解析； （3） 1 1 2 n n Sn 【解析】 （1） 11 ,1 nn anSaa ，解得

30、1 1 2 a 22 1 2 2 aa ，解得 2 3 4 a 33 31 3 42 aa ，解得 3 7 8 a （2）,2 nn anS n时， 11 1 nn anS ，相减可得： 1 21 nn aa ， 变形为： 1 1 11 2 nn aa 由1 nn ba可得： 1 1 2 nn bb 11 1 1 2 ba 数列 n b是等比数列，首项为 1 2 ，公比为 1 2 （3）由（2）可得： 1 111 222 nn n b 则 1 11 2 n nn ab 1 1 2 n nn Snan 21 （2019 福建省莆田一中高三月考（文） ）设数列 n a前n项和为S，且满足 * 11

31、 11 , 3232 nn aSanN （1）证明 n a为等比数列，并求数列 n a的通项公式； （2）在（1）的条件下，设 2 log nn ba，求数列 n b 的前n项和 n T 【答案】 （1）证明见解析， 6 2n n a ； （2） 2 2 11 ,6 2 11 30,6 2 n nn n T nn n 【解析】 （1）当1n 时， 12 1 32 Sa， 21 1 32 aa， 当2n时， 1 1 32 nn Sa ，与已知式作差得 1nnn aaa ，即 1 22 nn aan ， 又 21 1 32 aa， 2 1 16 a ， 2 1 2 a a ， 故数列 n a是以

32、1 32 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 6 2n n a （2）由（1）知6 n bn， 6,6 6,6 n n n b nn ， 若6n， 2 12 11 2 nn nn Tbbb ， 若6n， 2 1256 11 30 2 nn nn Tbbbbb ， 2 2 11 ,6 2 11 30,6 2 n nn n T nn n 22 （2020 宁夏回族自治区银川九中高三二模 （文） ） 在数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ， 11 320 nnn aaa （n N且2n）. （1）证明：数列 1nn aa 是等比数列； （2）求数列 n a的通项公式. 【答案】 （1）见解析； （2）21 n n a . 【解析】 （1）证明： 11 320 nnn aaa ， 11 2 nnnn aaaa ， 又 1 1a ， 2 3a ， 21 20aa ； 1 1 2 nn nn aa aa （n N，且2n） ， 故数列 1nn aa 是首项和公比都是 2 的等比数列； （2）解：由（1）可得 1 2n nn aa ， 则 1 1 2n nn aa （n N，且2n） ， 故 11223211nnnnnnn aaaaaaaaaa 123 22221 nnn 1 2 21 1 2 n n （n N，且2n） ， 当1n 时， 1 a1满足上式， 21 n n a .