（新教材）高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题09 直线与圆、圆与圆的位置关系（学生版+解析版）.doc

1、专题专题 09 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单选题一、单选题 1 （2020 北京高三零模）圆心为2,1且和x轴相切的圆的方程是（ ） A 22 211xy B 22 211xy C 22 215xy D 22 215xy 2 （2019 甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）直线3440 xy被圆 22 (3)9xy截得的弦长为 （ ） A2 2 B4 C4 2 D2 3（2020 湖南省高三一模 （文） ） 已知直线 yxm 与圆 22 230 xxy 交于AB、两点， 且| 2 2AB ， 则m（ ） A1 或 3 B C3 D1 或3 4 （2020 全国高

2、三月考（文） ）已知圆C经过两点 (0,2)A ，(4,6)B，且圆心C在直线:230lxy上， 则圆C的方程为（ ） A 22 6160 xyy B 22 2280 xyxy C 22 6680 xyxy D 22 22560 xyxy 5 （2019 全国高二月考（文） ）圆心在圆 22 2xy上，与直线40 xy相切，且面积最大的圆的方 程为（ ） A 22 (1)(1)2xy B 22 (1)(1)2xy C 22 ()()118xy1 D 22 111)8()(xy 6 （2019 全国高二月考（文） ）已知点 (2,1)P 为圆 22 80Cxyx：的弦MN的中点，则弦MN所在直

3、线的方程为（ ） A2 50 xy B240 xy C230 xy D20 xy 7（2020 河南省高二月考 （文） ） 已知圆 22 :4230P xyxy 与直线3 0()xmymR 相交于,A B 两点，且90APB，则m的值为( ) A0 B4 C0 或 4 D0 或1 8 （2019 甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）点 P 在圆 C1：x2+y28x4y+11=0 上，点 Q 在圆 C2： x2+y2+4x+2y+1=0 上，则|PQ|的最小值是（ ） A5 B3 5 C3 5 5 D3 5 5 9 （2020 宜宾市叙州区第二中学校高三月考（理） ）已知圆 22 1:( 2)

4、9Cxy与圆 222 2:( 1)(4)(0)Cxyrr有公共点，则r的取值范围是（ ） A2,8 B2,13 C(0,13 D(0,8 10 （2019 全国高二月考（文） ）若圆 22 ()()90 xayaa上总存在两点到原点O的距离为 1，则 实数a的取值范围是（ ） A0,1 B2,2 C 2,2 2 D2,4 二、多选题二、多选题 11 （2019 辽宁省高二月考） 已知,P Q分别为圆M： 22 (6)(3)4xy-+-=与圆N： 22 (4)(2)1xy 上的动点，A为x轴上的动点，则|APAQ的值可能是（ ） A7 B8 C9 D10 12 （2020 江苏省启东中学高一开学

5、考试）设有一组圆 224* :(1)()() k CxykkkN.下列四个命题 正确的是（ ） A存在k，使圆与x轴相切 B存在一条直线与所有的圆均相交 C存在一条直线与所有的圆均不相交 D所有的圆均不经过原点 13 （2020 辽宁省高二期末）若P是圆C： 22 331xy上任一点，则点P到直线1ykx距离 的值可以为（ ） A4 B6 C3 2 1 D8 三、填空题三、填空题 14 （2019 浙江省高二期中）过原点且倾斜角为60的直线与圆 22 40 xyy相交，则圆的半径为 _直线被圆截得的弦长为_ 15（2019 江苏省高二期末 （文） ） 已知圆 22 4xy， 过点1,1P的直线

6、与圆交于 A， B 两点且2APPB， 则弦 AB 的长为_ 16 （2020 吉林省高三月考（理） ）已知点2,0A ，0,4B，点P在圆 22 :345Cxy上，则 使90APB的点P的个数为_. 17 （2018 江苏省高三月考）已知过点2, 3的直线l被圆 22 2450 xyxy截得的弦长为6，则 直线l的方程是_. 四、解答题四、解答题 18（2019 陕西省高二竞赛） 已知平面直角坐标系中的点 ( , )P x y的坐标 x， y 满足 22 6440 xyxy， 记 22 24xyxy的最大值为 M，最小值为 m. （1）请说明 P 的轨迹是怎样的图形； （2）求Mm值. 19

7、 （2019 全国高二月考（文） ）已知点(2, )Aa，圆 22 :(1)5Cxy （1）若过点 A 只能作一条圆 C 的切线，求实数 a 的值及切线方程； （2）设直线 l 过点 A 但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3，求实 数 a 的值. 20 （2019 浙江省高二期中）已知圆 C： 22 420 xyxya，点 () 1,0P为圆内的一点，直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且点 P 恰好为弦AB的中点. （1）求实数 a 的取值范围以及直线 l 的方程； （2）若以AB为直径的圆过原点 O，求圆 C 的方程 21 （2019 吉林

8、省长春外国语学校高二月考）已知圆 22 :2270C xyxy内有一点( 1,2)P ，AB 为过点P且倾斜角为的弦 （1）当 4 时，求弦长|AB； （2）当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程. 22 （2019 甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）在平面直角坐标xOy中，圆 22 :4O xy与圆 22 :(3)(1)8Cxy相交与PQ两点 （I）求线段PQ的长 （II）记圆O与x轴正半轴交于点M，点N在圆 C 上滑动，求MNC面积最大时的直线NM的方程 23 （2019 江苏省高二期末（文） ）如图，已知圆 O： 22 1xy，过2,0M 的直线 l 与圆交于 P，Q 两 点，点1,0

9、A （1）若点 O 到直线 l 的距离为 2 2 ，求直线 l 的方程； （2）若 1 2 PA ，求 MOQ S 专题专题 09 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单选题一、单选题 1 （2020 北京高三零模）圆心为2,1且和x轴相切的圆的方程是（ ） A 22 211xy B 22 211xy C 22 215xy D 22 215xy 【答案】A 【解析】 圆心为2,1且和x轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为 22 211xy. 故选：A. 2 （2019 甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）直线34 40 xy 被圆 22 (3)9xy截得的弦长为 （

10、 ） A2 2 B4 C4 2 D2 【答案】C 【解析】 因为圆心为（3,0） ，半径为 3，那么利用圆心到直线的距离公式 3 34 04 1 5 d ，利用勾股定理可知弦长为 22 22 84 2rd 选 C 3 （2020 湖南省高三一模（文） ）已知直线y xm 与圆 22 230 xxy 交于AB、两点，且 | 2 2AB ，则m（ ） A1 或 3 B C3 D1 或3 【答案】D 【解析】 圆的方程可化为： 2 2 14xy，圆心是1,0，半径2r =， 设圆心(1,0)到直线y xm 的距离为d， |1| 2 m d ， 2 1 24 2 m ，12,1mm 或3. 故选：D.

11、 4 （2020 全国高三月考（文） ）已知圆C经过两点 (0,2)A ，(4,6) B ，且圆心C在直线:230lxy上， 则圆C的方程为（ ） A 22 6160 xyy B 22 2280 xyxy C 22 6680 xyxy D 22 22560 xyxy 【答案】C 【解析】 因为线段AB的中点坐标为(2,4)，直线AB的斜率为 62 1 40 ，所以线段AB的垂直平 分线方程为4(2)yx ，即6yx与直线l方程联立，得圆心坐标为(3,3).又圆 的半径 22 (30)(32)10r ，所以，圆C的方程为 22 (3)(3)10 xy， 即 22 6680 xyxy. 故选：C.

12、 5 （2019 全国高二月考（文） ）圆心在圆 22 2xy上，与直线40 xy相切，且面积最大的圆的方 程为（ ） A 22 (1)(1)2xy B 22 (1)(1)2xy C 22 ()()118xy1 D 22 111)8()(xy 【答案】C 【解析】 如图，过圆 22 2xy的圆心(原点)作直线 40 xy 的垂线y x ， 垂线与圆 22 2xy的交点为 , .A B 易知当圆心在点B时，所求圆的半径最大，圆的面积也最大.联立y x 和 22 2xy， 求得,1, 1B 所以圆的半径最大时，圆心为1, 1B ， 又由点到直线的距离公式求得点B到直线 4 0 xy的距离为 22

13、1 1 4 3 2 11 ， 即所求圆的半径 3 2r ，所以所求面积最大的圆的方程为 22 1118.xy 故选：C. 6 （2019 全国高二月考（文） ）已知点 (2,1)P 为圆 22 80Cxyx：的弦MN的中点，则弦MN所在直 线的方程为（ ） A2 50 xy B240 xy C230 xy D20 xy 【答案】C 【解析】 圆 22 :80C xyx的标准方程为 2 2 416,xy则圆心为4 ,0C， 直线PC的斜率 1 0 24 PC k = 1 2 ，又PCMN，所以1 PCMN kk，所以2 MN k， 故弦 MN 所在直线的方程为122yx 即230 xy. 故选：

14、C. 7（2020 河南省高二月考 （文） ） 已知圆 22 :4230P xyxy 与直线3 0()xmymR 相交于,A B 两点，且90APB，则m的值为( ) A0 B4 C0 或 4 D0 或1 【答案】C 【解析】 P为圆 22 4230 xyxy 的圆心， (2, 1)P ，圆半径 2 2r ， 又90APB，圆心到直线30 xmy的距离 22 |3 2| 2 3 m d m ， 解得0m或 4， 故选：C. 8 （2019 甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）点 P 在圆 C1：x2+y28x4y+11=0 上，点 Q 在圆 C2： x2+y2+4x+2y+1=0 上，则|PQ

15、|的最小值是（ ） A5 B3 5 C3 5 5 D3 5 5 【答案】C 【解析】 圆 22 84110 xyxy化为标准方程为 22 429xy， 圆心为 C1(4,2)，半径为 3； 圆 22 4210 xyxy 化为标准方程为 22 214xy, 圆心为 C2(2,1)，半径为 2， 两圆的圆心距为 22 12 241 2369453 55CC ， 两圆外离， |PQ|的最小值是两圆的圆心距减去半径的和,即 3 5 5， 故选：C. 9 （2020 宜宾市叙州区第二中学校高三月考（理） ）已知圆 22 1:( 2)9Cxy与圆 222 2:( 1)(4)(0)Cxyrr有公共点，则r的

16、取值范围是（ ） A2,8 B2,13 C(0,13 D(0,8 【答案】A 【解析】 圆 22 1:( 2)9Cxy的圆心 1 2,0 ,C 半径 1 3R ， 圆 222 2:( 1)(4)(0)Cxyrr的圆心 2 1,4 ,C半径 2 Rr，且两圆的圆心距为 22 12 2 10 45CC ， 要使两个圆有公共点，则需满足353rr ，解得28r，所以r的取值范围是28r， 故选：A. 10 （2019 全国高二月考（文） ）若圆 22 ()()90 xayaa上总存在两点到原点O的距离为 1，则 实数a的取值范围是（ ） A0,1 B2,2 C 2,2 2 D2,4 【答案】C 【解

17、析】 由题意，圆 22 ()()90 x ay aa +上总存在两点到原点O的距离为 1， 即为圆 22 9xaya和圆 22 1xy相交， 又由两圆圆心距 22 00 2daaa ， 则3 1 23 1a ，解得 22 2a ， 即实数a的取值范围是2,2 2. 故选：C. 二、多选题二、多选题 11 （2019 辽宁省高二月考） 已知,P Q分别为圆M： 22 (6)(3)4xy-+-=与圆N： 22 (4)(2)1xy 上的动点，A为x轴上的动点，则|APAQ的值可能是（ ） A7 B8 C9 D10 【答案】CD 【解析】 圆 22 N (4)(2)1xy+-=：，关于x轴对称的圆为圆

18、 22 N (4)(2)1xy+=：， 则+APAQ的最小值为 22 1 210535 53MN -=+-=-，又 () 5 538,9-?， 故选：CD. 12 （2020 江苏省启东中学高一开学考试）设有一组圆 224* :(1)()() k CxykkkN.下列四个命题 正确的是（ ） A存在k，使圆与x轴相切 B存在一条直线与所有的圆均相交 C存在一条直线与所有的圆均不相交 D所有的圆均不经过原点 【答案】ABD 【解析】 根据题意得圆的圆心为（1，k） ，半径为 2 k， 选项 A,当 k= 2 k，即 k=1 时，圆的方程为 22 111xy，圆与 x 轴相切，故正确； 选项 B，

19、直线 x=1 过圆的圆心（1，k） ，x1 与所有圆都相交，故正确； 选项 C,圆 k：圆心（1，k） ，半径为 k2，圆 k+1：圆心（1，k+1） ，半径为（k+1）2， 两圆的圆心距 d1，两圆的半径之差 Rr2k+1， （Rrd） ，k含于 Ck+1之中， 若 k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误； 选项 D,将（0，0）带入圆的方程，则有 1+k2k4，不存在 kN*使上式成立， 即所有圆不过原点，正确 故选 ABD 13 （2020 辽宁省高二期末）若P是圆C： 22 331xy上任一点，则点P到直线1ykx距离 的值可以为（ ） A4 B6 C3 2 1 D8 【答

20、案】ABC 【解析】 如图， 圆C： 22 331xy的圆心坐标为3,3，半径为1， 直线1ykx过定点0, 1，由图可知， 圆心C到直线1ykx距离的最大值为 22 ( 30)(3 1)5 ， 则点P到直线1ykx距离的最大值为5 16 . ABC 中的值均不大于6，只有 D 不符合. 故选：ABC. 三、填空题三、填空题 14 （2019 浙江省高二期中）过原点且倾斜角为60的直线与圆 22 40 xyy相交，则圆的半径为 _直线被圆截得的弦长为_ 【答案】2;2 3 【解析】 将圆 22 40 xyy 的方程化为标准式为 22 (2)4xy ，所以该圆圆心为（0,2）的半径为 2；过原点

21、 且倾斜角为60的直线方程为 30 xy ，该直线与圆心的距离 | 2| 1 3 1 d ，直线被圆截得的弦长为 2 2 212 3 15（2019 江苏省高二期末 （文） ） 已知圆 22 4xy， 过点1,1P的直线与圆交于 A， B 两点且2APPB， 则弦 AB 的长为_ 【答案】3. 【解析】 如图：取 AB 的中点 M，则由2APPB可得 1 6 MPAB， 1 2 MBAB， 在直角三角形 OMB 中有： 222 OBMBOM ，即 22 1 4 4 ABOM， 在直角三角形 OMP 中有： 222 OPMPOM ，即 22 1 2 36 ABOM， 联立解得3AB ， 故答案为

22、：3 16 （2020 吉林省高三月考（理） ）已知点2,0A ，0,4B，点P在圆 22 :345Cxy上，则 使90APB的点P的个数为_. 【答案】1 【解析】 由题意可得，若90APB，则点P在以AB为直径的圆上， 此时点P的轨迹是 22 125xy， 且点P在圆 22 :345Cxy上， 即点 P 为圆 22 125xy与圆 22 345xy的交点， 考查两圆的圆心距： 22 3 1422 5d ， 两圆的半径： 12 5,5rr，满足： 12 drr， 即两圆外切，据此可得：点P的个数为 1 个. 17 （2018 江苏省高三月考）已知过点2, 3的直线l被圆 22 2450 xy

23、xy截得的弦长为6，则 直线l的方程是_. 【答案】12590 xy或2x 【解析】 圆的标准方程为 22 1210 xy，圆心坐标为1,2，半径为 10r ， 由题意可知，圆心到直线l的距离为 2 2 6 1 2 dr . 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x，此时圆心到直线l的距离1d ，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为32yk x ，即 230kxyk ， 圆心到直线l的距离为 2 5 1 1 k d k ，解得 12 5 k ， 此时，直线l的方程为 12 32 5 yx，即12590 xy. 综上所述，直线l的方程为12590 xy或2x. 故答案为：1259

24、0 xy或2x. 四、解答题四、解答题 18（2019 陕西省高二竞赛） 已知平面直角坐标系中的点 ( , )P x y的坐标 x， y 满足 22 6440 xyxy， 记 22 24xyxy的最大值为 M，最小值为 m. （1）请说明 P 的轨迹是怎样的图形； （2）求Mm值. 【答案】 （1）以 1(3,-2) C为圆心，3 为半径的圆； （2）72 【解析】 （1）由 22 6440 xyxy知， 22 (3)(2)9xy.因此，点 P 的轨迹是以 1 C 3,-2为圆心，3 为半径的圆. （2） 2222 24(1)(2)5xyxyxy， 设 2 C (-1,2)，则 2 2 5C

25、P. 22 21 1 3224 2C C 221 m a x 3423C PC C， 221 min 34 23C PC C . 2 ( 423)5M ， 2 (4 23)5m ，72Mm. 19 （2019 全国高二月考（文） ）已知点(2, )A a，圆 22 :(1)5Cxy （1）若过点 A 只能作一条圆 C 的切线，求实数 a 的值及切线方程； （2）设直线 l 过点 A 但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3，求实 数 a 的值. 【答案】 （1）2a，切线方程：260 xy或2a ，切线方程：260 xy； （2）1a 或3a 【解析】

26、（1）过点A只能作一条圆C的切线 A在圆C上 2 15a ，解得：2a 当2a时，2,2A，则切线方程为：2 1125xy，即260 xy 当2a 时，2, 2A，则切线方程为：2 1125xy，即260 xy （2）设直线l方程为：0 xyb b 2ab 直线l方程为：20 xya 圆C的圆心到直线距离 1 021 22 aa d 2 2 1 2 52 52 3 2 a d ，解得：1a 或3a 点睛：直线与圆问题的常用结论： 1.过圆 22 2 xaybr上一点 00 ,x y的切线方程为： 2 00 xaxaybybr； 2.直线被圆截得的弦长等于 22 2 rd . 20 （2019

27、浙江省高二期中）已知圆 C： 22 420 xyxya，点 () 1,0P为圆内的一点，直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且点 P 恰好为弦AB的中点. （1）求实数 a 的取值范围以及直线 l 的方程； （2）若以AB为直径的圆过原点 O，求圆 C 的方程 【答案】 （1）5a；330 xy（2） 22 4260 xyxy 【解析】 （1）圆的标准方程为 22 215xya，则圆心2,1C ，半径5ra（5a ） ， 弦AB的中点为1,0P，点 P 在圆内部，即 22 1 20 15a， 510a，即5a. 弦的中点为1,0P，直线CP的斜率为 1 01 2 13 ，则直线 l 的斜

28、率3k . 则直线 l 的方程为031yx，即330 xy. （2）由圆 C： 22 420 xyxya，与3 30 xy ， 联立得： 22 420 330 xyxya xy ，即 2 1020150 xxa， 设 11 ,31A xx ， 22 ,31B xx ，故 12 2xx， 12 15 10 a x x . 由 12121212 911109960OA OBx xxxx xxxa. 得：6a ，故 C： 22 4260 xyxy. 21 （2019 吉林省长春外国语学校高二月考）已知圆 22 :2270C xyxy内有一点 ( 1,2)P ，AB 为过点P且倾斜角为的弦 （1）当

29、4 时，求弦长|AB； （2）当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程. 【答案】 （1）3 2； （2）240 xy 【解析】 圆C的方程可化为： 22 (1)(1)9xy， 则(1,1)C，半径3r ， 当 4 时，直线AB的斜率为 1， 则直线方程为3yx=+， 则圆心到直线的距离 |3|3 2 21 1 d ， 所以弦长 22 18 | 22 93 2 4 ABrd； （2）设直线AB的斜率为k，根据条件可知CPAB， 则 121 1 12 CP k ， 所以2 AB k， 则直线AB的方程为 2(1)2yx ， 即240 xy 22 （2019 甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）在平

30、面直角坐标xOy中，圆 22 :4O xy与圆 22 :(3)(1)8Cxy相交与PQ两点 （I）求线段PQ的长 （II）记圆O与x轴正半轴交于点M，点N在圆 C 上滑动，求MNC面积最大时的直线NM的方程 【答案】 （I） 310 5 ； （II）360 xy或320 xy 【解析】 （I）由圆 O 与圆 C 方程相减可知，相交弦 PQ 的方程为330 xy 点（0，0）到直线 PQ 的距离 3 10 d ， 2 3310 2 4 510 PQ （） 2MC ，2 2NC . 1 sin2sin 2 MNC SMC NCMCNMCN 当90MCN时， MNC S取得最大值 此时MCNC，又1

31、 CM k则直线 NC 为4yx 由 22 4 (3)(1)8 yx xy ，1,3N或5, 1N 当点1,3N时，3 MN k ，此时 MN 的方程为360 xy 当点5, 1N时， 1 3 MN k ，此时 MN 的方程为320 xy MN 的方程为360 xy或320 xy 23 （2019 江苏省高二期末（文） ）如图，已知圆 O： 22 1xy，过2,0M 的直线 l 与圆交于 P，Q 两 点，点1,0A （1）若点 O 到直线 l 的距离为 2 2 ，求直线 l 的方程； （2）若 1 2 PA ，求 MOQ S 【答案】 （1）720 xy； （2） 15 4 MOQ S . 【

32、解析】 （1）根据题意，圆 O： 22 1xy的圆心为0,0，半径1r ， 若点 O 到直线 l 的距离为 2 2 ，则设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程为2yk x，即20kxyk，则有 2 22 2 1 k k ， 解可得 7 7 k ，直线 l 的方程为 7 2 7 yx ，即720 xy； （2）根据题意， 1 2 PA ，则 O 到 AP 的距离 115 1 164 d ， 设 AP 的方程为1yk x，则有 2 15 4 1 k k ，解可得15k ， 则 AP 的方程为151yx，与圆 O 的方程联立，可得 2 2 1511xx， 解可得1x或 7 8 ，则 7 8 P x ，则 15 8 p y ，则 P 的坐标为 715 , 88 ， 直线 MP 的方程为 15 2 9 yx，与圆 O 的方程联立可得 2 2 15 21 81 xx， 解可得 7 8 x 或 1 4 ，则 1 4 Q x ， 15 4 Q y ，即 Q 的坐标为 115 , 44 ， 则 811596 16164 MQ ，O 到直线 MP 的距离 2 15 96 d ， 故 115 24 MOQ Sd MQ