（新教材）高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题03 空间向量的应用（学生版+解析版）.doc

1、专题专题 03 空间向量的应用空间向量的应用 一、单选题一、单选题 1 （2020 贵州省铜仁第一中学高二开学考试）已知两个异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|b|1， a 1 2 b ，则两直线的夹角为（ ） A30 B60 C120 D150 2 （2019 穆棱市第一中学高二期末） 若平面, 的法向量分别为 1 , 1,3 ,( 1,2, 6) 2 ab ， 则 （ ） A / / B与相交但不垂直 C D/ /或与重合 3（2020 北京高二期末） 已知直线l的方向向量为m ,平面的法向量为n,则“0m n ”是“l”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不

2、充分也不必要条件 4（2019 山东省济南一中高二期中） 在平面 ABCD 中， (0,1,1)A ，(1,2,1)B，( 1,0, 1)C ， 若( 1 , , )ayz ， 且a为平面 ABCD 的法向量，则 2 y等于（ ） A2 B0 C1 D无意义 5 （2019 四川省双流中学高三月考）已知点P是正方体 1111 ABCDABC D的棱CD的中点，给出以下结 论： 11 A PC D； 1 APBD； 11 APBC； 1 AP 平面 1 BC D 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 6 （2019 穆棱市第一中学高二期末） 如图， 在正方体 ABCD 1111 ABC D

3、中， 以 D 为原点建立空间直角坐标系， E 为 B 1 B的中点，F 为 11 AD的中点，则下列向量中，能作为平面 AEF 的法向量的是( ) A(1，2，4) B(4,1，2) C(2，2，1) D(1，2，2) 7（2019 包头市第四中学高二期中） 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为棱 1 AA、 1 BB 的中点，M为棱 11 AB上的一点，且 1 (02)AM，设点N为ME的中点，则点N到平面 1 DEF的 距离为（ ） A3 B 2 2 C 2 3 D 5 5 8 （2020 湖南省高二期末）已知直三棱柱 111 ABCABC中，底面边长和侧棱

4、长都相等，则异面直线 1 AB与 1 BC所成的角的余弦值为（ ） A 1 2 B 1 8 C 1 4 D 3 4 9 （2018 山西省山西大附中高二期中）过正方形ABCD的顶点A，作PA 平面ABCD，若PABA， 则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是 A30 B45 C60 D90 10 （2020 山东省章丘四中高二月考） 在正方形 1111 ABCDABC D中， 棱AB， 11 AD的中点分别为E，F， 则直线 EF 与平面 11 AAD D所成角的余弦值为（ ） A 5 5 B 2 5 5 C 6 6 D 30 6 二、多选题二、多选题 11 （2020 山东省高二期末

5、）已知 为直线 l 的方向向量， 1 n, 2 n分别为平面 ， 的法向量（， 不重合） ， 那么下列选项中，正确的是（ ） A 12 / / /nn B 12 nn C 1 / / /nl D 1 / /nl 12 （2019 山东省高三）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，,E F G分别为 11 ,BC CC BB的中点则 （ ） A直线 1 DD与直线AF垂直 B直线 1 AG与平面AEF平行 C平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 8 D点C和点G到平面AEF的距离相等 13 （2020 福建省高二期末）正方体 1111 ABCDABC D中，E、F、G、H 分别为

6、1 CC、BC、CD、BB、 1 BB 的中点，则下列结论正确的是（ ） A 1 BGBC B平面AEF平面 111 AADDAD C 1 / /AH面 AEF D二面角E AFC的大小为 4 三、填空题三、填空题 14 （2019 山东省济南一中高二期中）若平面的一个法向量为(3,1,1)n ，直线 l 的一个方向向量为 ( 3,1,1)a ，则 l 与所成角的正弦值为_. 15（2019 陕西省西北大学附中高二期中） 如图， 在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2,ABACAA ,E F 分别是,BA 11 AC的中点.设D是线段 11 BC上的（包括两个端点 ）动点，当直线BD与E

7、F所成角的余弦值 为 10 4 ，则线段BD的长为_ 16 （2019 浙江省宁波市鄞州中学高二期中）正方体 1111 ABCDABC D中，,E F分别是 1, AA AB的中点， 则EF与直线 1 AC所成角的大小为_ ；EF与对角面 11 BDD B所成角的正弦值是 _ 17 （2019 江西省会昌中学高二月考）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a，点 E，F，G 分别为棱 AB， 1 AA， 11 C D的中点，下列结论中，正确结论的序号是_. 过 E，F，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； 11/ / B D平面 EFG； 1 BD 平面 1 ACB； 异面直

8、线 EF 与 1 BD所成角的正切值为 2 2 ； 四面体 11 ACB D的体积等于 3 1 2 a. 四、解答题四、解答题 18 （2019 广西壮族自治区田东中学高二期中）已知三棱柱 111 ABCABC的侧棱垂直于底面， 90BAC， 1 2ABAA， 1AC ，M，N分别是 11 AB，BC的中点 （1）求证： 1 ABAC ； （2）求证：/MN平面 11 ACC A. 19 （2020 陕西省高二期末）如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中 E，F 分别为 AB， 1 AC的中 点. （1）求EF； （2）求证：/ /EF平面 11 AAD D 20.（20

9、20 北京高二期末）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中， 3AC ，4BC ，5AB， 1 4AA ， 点D是AB的中点 （1）求异面直线AC与 1 BC所成的角； （2）求证： 1/ AC平面 1 CDB 21（2020 银川三沙源上游学校高二期末） 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，AB AC，2ABAC， 1 2 2AA ，D为棱BC的中点. （1）求直线 1 DB与平面 11 AACC所成角的正弦值； （2）求平面 11 AACC与平面 1 ADB所成二面角的余弦值. 22 （2019 江苏省苏州实验中学高一月考）直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 2ABBC，

10、90ABC， E、F 分别为棱 AB、 11 BC上的点， 2AEEB， 11 2C FFB.求证： （1）/ /EF平面 11 AACC； （2）线段 AC 上是否存在一点 G，使面EFG 面 11 AACC.若存在，求出 AG 的长；若不存在，请说明理由. 23 （2020 北京高二期末）如图，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD， 2APAB， ,E F G是,BC PC CD的中点. （1）求证：BG平面PAE； （2）在线段BG上是否存在点H，使得/FH平面PAE？若存在，求出 BH BG 的值；若不存在，说明理由. 专题专题 03 空间向量的应用空间向量的应用 一

11、、单选题一、单选题 1 （2020 贵州省铜仁第一中学高二开学考试）已知两个异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|b|1， a 1 2 b ，则两直线的夹角为（ ） A30 B60 C120 D150 【答案】B 【解析】 设两直线的夹角为 ，则由题意可得 1 1 cosa， 1 2 b ，cosa， 1 2 b ， a， 2 3 b ， 3 ， 故选：B 2 （2019 穆棱市第一中学高二期末） 若平面 , 的法向量分别为 1 , 1,3 ,( 1,2, 6) 2 ab ， 则 （ ） A / / B与相交但不垂直 C D/ /或与重合 【答案】D 【解析】 因为 1 2 ab ，所以平面

12、, 的法向量共线，故/ /或与重合. 故选：D. 3（2020 北京高二期末） 已知直线l的方向向量为m ,平面的法向量为n,则“0m n ”是“l”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 0m n m n 0m n ,即mn ,不一定有l,也可能l “ 0m n ”是“l”的不充分条件 l,可以推出m n , “ 0m n ”是“l”是必要条件, 综上所述, “ 0m n ”是“l”必要不充分条件. 故选:B. 4（2019 山东省济南一中高二期中） 在平面 ABCD 中， (0,1,1)A ，(1,2,1)B，( 1,0, 1

13、)C ， 若( 1 , , )ayz ， 且a为平面 ABCD 的法向量，则 2 y等于（ ） A2 B0 C1 D无意义 【答案】C 【解析】 由题得，(1,1,0)AB ，( 1, 1,2)AC ，又a为平面 ABCD 的法向量，则有 0 0 a AB a AC ，即 10 120 y yz ，则1y ，那么 2 1y . 故选：C 5 （2019 四川省双流中学高三月考）已知点P是正方体 1111 ABCDABC D的棱CD的中点，给出以下结 论： 11 A PC D； 1 APBD； 11 APBC； 1 AP 平面 1 BC D 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【答案】C

14、 【解析】 设正方体边长为 2,建立如图空间直角坐标系.则 1 2,1, 2AP . 对, 1 0, 2, 2C D ,因为 11 0242AP C D ,故错误. 对, 2, 2,0BD ,因为 1 422AP BD,故错误. 对, 1 2,0,2BC ,因为 1 440AP BD,故正确. 对,由有 1 APBD不成立,故 1 AP 平面 1 BC D不成立.故错误. 故选：C 6 （2019 穆棱市第一中学高二期末）如图，在正方体 ABCD- 1111 ABC D中，以 D 为原点建立空间直角坐标 系，E 为 B 1 B的中点，F 为 11 AD的中点，则下列向量中，能作为平面 AEF

15、的法向量的是( ) A(1，2，4) B(4,1，2) C(2，2，1) D(1，2，2) 【答案】B 【解析】 设正方体棱长为 2，则 A（2，0，0） ，E（2，2，1） ，F（1，0，2） ， AE=（0，2，1） ，AF=（1，0，2） 设向量n=（x，y，z）是平面 AEF 的一个法向量 则 20 20 n AEyz n AFxz ，取 y=1，得 x=4，z=2 n=（4，1，2）是平面 AEF 的一个法向量 因此可得：只有 B 选项的向量是平面 AEF 的法向量 故选：B 7（2019 包头市第四中学高二期中） 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为

16、棱 1 AA、 1 BB 的中点，M为棱 11 AB上的一点，且 1 (02)AM，设点N为ME的中点，则点N到平面 1 DEF的 距离为（ ） A3 B 2 2 C 2 3 D 5 5 【答案】D 【解析】 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 M（2，2） ，D1（0，0，2） ，E（2，0，1） ，F（2，2，1） ， 1 ED（2，0，1） ，EF（0，2，0） ，EM（0，1） ， 设平面 D1EF 的法向量n（x，y，z） ， 则 1 20 20 n EDxz n EFy ，取 x1，得n（1，0，2） ， 点 M 到平面

17、D1EF 的距离为： d 22 5 55 EM n n ，N 为 EM 中点，所以 N 到该面的距离为 5 5 ，选 D 8 （2020 湖南省高二期末）已知直三棱柱 111 ABCABC中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线 1 AB与 1 BC所成的角的余弦值为（ ） A 1 2 B 1 8 C 1 4 D 3 4 【答案】C 【解析】 立空间坐标系如图，设边长为 2，得到 A（2，0，0） ， 1 B（1， 3，2） ， B（1，3，0） ， 1 C（0，0，2） 向量 11 1, 3,2 ,- 1,3,2ABBC 设异面直线夹角为，则 11 11 cos= | AB BC AB BC

18、1 4 故答案为 C 9 （2018 山西省山西大附中高二期中）过正方形ABCD的顶点A，作PA 平面ABCD，若PABA， 则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是 A30 B45 C60 D90 【答案】B 【解析】 法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面 APB 与平面 PCD 的法向量分别为 n1(0,1,0)，n2 (0,1,1)，故平面 ABP 与平面 CDP 所成二面角的余弦值为 12 12 n n n n 2 2 ，故所求的二面角的大小是 45 . 法二： 将其补成正方体 如图(2)， 不难发现平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角就是平面 ABQP

19、和平面 CDPQ 所成的二面角，其大小为 45 . 10 （2020 山东省章丘四中高二月考） 在正方形 1111 ABCDABC D中， 棱AB， 11 AD的中点分别为E，F， 则直线 EF 与平面 11 AAD D所成角的余弦值为（ ） A 5 5 B 2 5 5 C 6 6 D 30 6 【答案】D 【解析】 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 则2,1,0E， 1,0,2F ， 1, 1,2EF ， 平面 11 AAD D的法向量 0,1,0n ， 设直线EF与平面 11 AAD D所成角为

20、，0, 2 ， 则 |16 sin 6| |6 EF n EFn 所以 2 30 cos1sin 6 直线EF与平面 11 AAD D所成角的余弦值为 30 6 故选：D 二、多选题二、多选题 11 （2020 山东省高二期末）已知 为直线 l 的方向向量， 1 n, 2 n分别为平面 ， 的法向量（， 不重合） ， 那么下列选项中，正确的是（ ） A 12 / / /nn B 12 nn C 1 / / /nl D 1 / /nl 【答案】AB 【解析】 A 选项，平面 ， 不重合，所以平面 ， 的法向量平行等价于平面 ， 平行，正确； B 选项，平面 ， 不重合，所以平面 ， 的法向量垂直

21、等价于平面 ， 垂直，正确； C 选项，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，错误； D 选项，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，错误. 故选：AB 12 （2019 山东省高三）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，,E F G分别为 11 ,BC CC BB的中点则 （ ） A直线 1 DD与直线AF垂直 B直线 1 AG与平面AEF平行 C平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 8 D点C和点G到平面AEF的距离相等 【答案】BC 【解析】 对选项 A： （方法一）以D点为坐标原点，DA、DC、 1 DD所在的直线分别为x、y

22、、z轴，建立空间直 角坐标系， 则(0,0,0)D、(1,0,0)A、 1(1,0,1) A、 1 ,1,0 2 E 、 1 0,1, 2 F 、 1 1,1, 2 G .从而 1 (0,0,1)DD ， 1 1,1, 2 AF ，从而 1 1 0 2 DDAF，所以 1 DD与直线AF不垂直，选项 A 错误； （方法二） 取 1 DD的中点N，连接AN，则AN为直线AF在平面 11 ADD A内的射影，AN与 1 DD不垂直， 从而AF与 1 DD也不垂直，选项 A 错误； 取BC的中点为M，连接 1 AM、GM，则 1 AMAE，GMEF，易证 1 AMGAEF平面平面， 从而 1 AGA

23、EF平面，选项 B 正确； 对于选项 C，连接 1 AD， 1 D F，易知四边形 1 AEFD为平面AEF截正方体所得的截面四边形（如图所示） ， 且 1 5DHAH， 1 2AD ，所以 1 2 2 123 2( 5) 222 AD H S ，而 11 39 48 AD HAEFD SS 四边形 ，从而选项 C 正确； 对于选项 D： （方法一）由于 1111111 1 2222224 GEFEBGBEFG SSS 梯形 ，而 1111 2228 ECF S，而 1 3 A GEFEFG VSAB ， 1 3 A ECFECF VSAB ，所以2 A GEFA ECF VV ，即 2 G

24、AEFC AEF VV ，点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍.从而 D 错误. （方法二）假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中 点，连接CG交EF于点O，易知O不是CG的中点，故假设不成立，从而选项 D 错误. 13 （2020 福建省高二期末）正方体 1111 ABCDABC D中，E、F、G、H 分别为 1 CC、BC、CD、BB、 1 BB 的中点，则下列结论正确的是（ ） A 1 BGBC B平面AEF平面 111 AADDAD C 1 / /AH面 AEF D二面角EAFC的大小为 4 【答案】BC 【解析】 由题可

25、知， 1 BG在底面上的射影为BG，而BC不垂直BG， 则 1 BG不垂直于BC，则选项A不正确； 连接 1 AD和 1 BC，E、F、G、H 分别为 1 CC、BC、CD、BB、 1 BB的中点， 可知 11 /EFBCAD，所以 AEF平面 1 AD EF， 则平面AEF平面 111 AADDAD，所以选项B正确； 由题知，可设正方体的棱长为 2， 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴， 则各点坐标如下： 1 2,0,0 ,0,2,0 ,0,2,1 ,2,0,2 ,2,2,1 ,1,2,0ACEAHF 11 0,2, 1 ,1,2,0 ,1,0, 1 ,0,0,2AHAFE

26、FAA ， 设平面AEF的法向量为, ,nx y z， 则 0 0 n AF n EF ，即 20 0 xy xz ，令1y ，得2,2xz， 得平面AEF的法向量为2,1,2n ， 所以 1 0AH n，所以 1 / /AH平面AEF，则C选项正确； 由图可知， 1 AA 平面AFC，所以 1 AA是平面AFC的法向量， 则 1 1 1 2 cos, 3 AA n AA n AAn . 得知二面角EAFC的大小不是 4 ，所以D不正确. 故选：BC. 三、填空题三、填空题 14 （2019 山东省济南一中高二期中）若平面的一个法向量为(3,1,1)n ，直线 l 的一个方向向量为 ( 3,1

27、,1)a ，则 l 与所成角的正弦值为_. 【答案】 1 5 【解析】 由题，设 l 与所成角为，可得 22 | 3 1 1|1 sin 5| (3)1 1( 3)1 1 n a n a . 故答案为： 1 5 15（2019 陕西省西北大学附中高二期中） 如图， 在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2,ABACAA ,E F 分别是,BA 11 AC的中点.设D是线段 11 BC上的（包括两个端点 ）动点，当直线BD与EF所成角的余弦值 为 10 4 ，则线段BD的长为_ 【答案】2 2 【解析】 以 E 为原点，EA,EC 为 x,y 轴建立空间直角坐标系，如下图 3 1 (0,0,

28、0),(,2),(0, 1,0),(0, ,2)( 11) 22 EFBDtt 3 1 (,2),(0,1,2) 22 EFBDt 2 (1) 4 10 2 cos 4 5(1)4 t EF BD EF BD t 解得 t=1，所以 2 2BD ，填2 2 点睛： 利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”： 第一， 破“建系关”， 构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应 用公式关”. 16 （2019 浙江省宁波市鄞州中学高二期中）正方体 1111 ABCDABC D中，,E F分别是 1, AA A

29、B的中点， 则EF与直线 1 AC所成角的大小为_ ；EF与对角面 11 BDD B所成角的正弦值是 _ 【答案】 2 1 2 【解析】 如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2， 则2,0,1E，2,1,0F，2,0,0A， 1 0,2,2C，故0,1, 1EF ， 1 2,2,2AC . 故 1 0EF AC，故EF与直线 1 AC所成角的大小为 2 . 易知对角面 11 BDD B的一个法向量为1, 1,0n ，设EF与对角面 11 BDD B所成角为， 故 1 sincos, 2 EF n EF n EFn . 故答案为： 2 ； 1 2 . 17 （2019 江西省会昌中学高二

30、月考）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a，点 E，F，G 分别为棱 AB， 1 AA， 11 C D的中点，下列结论中，正确结论的序号是_. 过 E，F，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； 11/ / B D平面 EFG； 1 BD 平面 1 ACB； 异面直线 EF 与 1 BD所成角的正切值为 2 2 ； 四面体 11 ACB D的体积等于 3 1 2 a. 【答案】 【解析】 延长 EF 分别与 1l B A， 1 B B的延长线交于 N，Q，连接 GN 交 11 AD于 H，设 HG 与 11 BC的延长线交于 P， 连接 PQ 交 1 CC于I，交 BC 于

31、 M，连 FH，HG，GI，IM，ME,EF, 如图: 则截面六边形 EFHGIM 为正六边形，故正确： 因为 11 B D与 HG 相交，故 11 B D与平面 EFG 相交，所以不正确： 1 ,BDACBDAC(三垂线定理)， 1111 ,BCBCBDBC(三垂线定理)， 且 AC 与 1 BC相交， 所以 1 BD 平面 1 ACB，故正确； 以D为原点, 1 ,DA DC DD分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系, 则 1 (0,0,0),( ,0),( ,0,), ( , ,0),(0,0, ) 22 aa DE aF aB a aDa, 则(0,) 2 2 a a EF ,

32、 1 (, )BDaa a , 所以 1 1 1 cos, | EF BD EF BD EFBD 22 222 0 ()() () 22 0 44 aa aaa aa aaa 2 2 6 36 2 a a , 所以 2 11 6 sin,1 cos,1 9 EF BDEF BD 3 3 , 所以 1 1 1 sin, tan, cos, EF BD EF BD EF BD 3 2 3 26 3 , 所以异面直线 EF 与 1 BD的夹角的正切值为 2 2 ，故正确； 因为四面体 11 ACB D的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积， 即为 333 111 4 323 aaa，故不正确

33、故答案为： 四、解答题四、解答题 18 （2019 广西壮族自治区田东中学高二期中）已知三棱柱 111 ABCABC的侧棱垂直于底面， 90BAC， 1 2ABAA，1AC ，M，N分别是 11 AB，BC的中点 （1）求证： 1 ABAC ； （2）求证：/MN平面 11 ACC A. 【答案】(1)证明见解析 (2) 证明见解析 【解析】 三棱柱为直三棱柱 1 AA平面ABC 1 AAAC， 1 AAAB 又90BAC，则 1 ,AB AC AA两两互相垂直，可建立如下图所示的空间直角坐标系 则0,0,0A，0,2,0B，1,0,0C ， 1 1,0,2C ，0,1,2M， 1 ,1,0

34、2 N （1）0,2,0AB ， 1 1,0,2AC 1 012 00 20AB AC 1 ABAC （2）由题意知：AB是平面 11 ACC A的一个法向量 0,2,0AB ， 1 ,0, 2 2 MN 1 02 0020 2 AB MN ABMN MN 平面 11 ACC A / /MN平面 11 ACC A 19 （2020 陕西省高二期末）如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中 E，F 分别为 AB， 1 AC的中 点. （1）求EF； （2）求证：/ /EF平面 11 AAD D 【答案】 （1） 2； （2）证明见解析 【解析】 （1）由题知,(2,1,0)E

35、,(1,1,1)F, ( 1,0,1)EF , 222 |( 1)012EF （2）由题知,(2,0,0)A, 1(0,0,2) D, 1 ( 2,0,2)AD , 1 2ADEF,故/ADEF, 又 1 AD 平面 11 AAD D,EF 平面 11 AAD D EF平面 11 AAD D. 20.（2020 北京高二期末）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，3AC ，4BC ， 5AB， 1 4AA ， 点D是AB的中点 （1）求异面直线AC与 1 BC所成的角； （2）求证： 1/ AC平面 1 CDB 【答案】 （1） 2 （2）证明见解析 【解析】 （1）因为3AC ，4BC

36、，5AB， 所以 222 ACBCAB，所以ABC是直角三角形， 所以 2 ACB ，所以ACBC 因为三棱柱 111 ABCABC为直三棱柱，所以 1 CC 平面ABC， 所以 1 CCAC， 1 C CBC 以C为原点，分别以CA、CB、 1 CC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则 (0C ，0，0)， (3A ，0，0)， (0B ，4，0)， 1(0 C，0，4) 所以直线AC的方向向量为(3,0,0)CA，直线 1 BC的方向向量为 1 (0, 4,4)BC ， 设异面直线AC与 1 BC所成的角为， 因为 1 0CA BC ， 所以cos0， 所以异面直线AC与 1 BC

37、所成的角为 2 （2）由（1）可知 3 ,2,0 2 D ， 1(0 B ，4，4)，则 3 ,2,0 2 CD ， 1 (0,4,4)CB 设平面 1 CDB的法向量为( , , )nx y z，则 1 0 0 CDn CB n ，所以 3 20 2 440 xy yz 令4x，则3y ，3z ，所以(4, 3,3)n 直线 1 AC的方向向量为 1 ( 3,0,4)AC ， 因为 1 0AC n ， 1 AC 平面 1 CDB， 所以 1/ AC平面 1 CDB 21（2020 银川三沙源上游学校高二期末） 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，2ABAC， 1 2 2AA

38、 ，D为棱BC的中点. （1）求直线 1 DB与平面 11 AACC所成角的正弦值； （2）求平面 11 AACC与平面 1 ADB所成二面角的余弦值. 【答案】 （1） 10 10 ； （2） 10 5 . 【解析】 则 (0,0,0)A ， 1(0,0,2 2) A， (2,0,0)C ， (0,2,0)B ，(1,1,0)D， 1(0,2,2 2) B，所以(2,0,0)AC ， 1 (0,0,2 2)AA ，(1,1,0)AD ， 1 ( 1,1,2 2)DB ，如下图： （1）设平面 11 AACC的一个法向量为 ( , , )mx y z， 则 1 0 0 AC m AA m ，即

39、 20 2 20 x z ，取(0,1,0)m ， 所以 1 1 1 110 cos, 10110 DB m DB m DBm ， 所以直线 1 DB与平面 11 AACC所成角的正弦值为 10 10 ； （2）设平面 1 ADB的一个法向量为 111 ( ,)nx y z， 则 1 0 0 AD n DB n ，即 11 111 0 2 20 xy xyz ，取 2 (1, 1,) 2 n ， 所以 110 cos, 55 1 2 m n m n mn ， 所以求平面 11 AACC与平面 1 ADB所成二面角的余弦值 10 5 . 22 （2019 江苏省苏州实验中学高一月考）直四棱柱 1

40、111 ABCDABC D中，2ABBC， 90ABC， E、F 分别为棱 AB、 11 BC上的点， 2AEEB， 11 2C FFB.求证： （1）/ /EF平面 11 AACC； （2）线段 AC 上是否存在一点 G，使面EFG 面 11 AACC.若存在，求出 AG 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）证明见解析（2）存在， 2 2 3 AG 【解析】 （1）如图所示：以 1 A为原点， 11 AD， 11 AB， 1 A A分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系： 则 1(0,0,0) A， 1(0,2,0) B， 1(2,2,0) C，设(0,0, )Aa，则 4

41、(0, ) 3 Ea， 2 ( ,2,0) 3 F， 所以 2 2 ( ,) 3 3 EFa， 1 (0,0, )AAa， 11 (2,2,0)AC ， 因为 111 1 3 EFA AAC ，所以EF， 1 AA， 11 AC共面，又EF不在平面 11 AACC内， 所以/ /EF平面 11 AACC （2）线段 AC 上存在一点 G，使面EFG 面 11 AACC，且 2 2 3 AG ， 证明如下：在三角形AGE中，由余弦定理得 22 2cos 4 EGAGAEAGAE 8162 242 2 99332 82 2 93 ， 所以 222 AGEGAE，即EGAG， 又 1 A A平面AB

42、CD，EG 平面ABCD， 所以 1 A AEG，而 1 AGA AA， 所以EG平面 11 AACC， 因为EG 平面EFG， 所以EFG 面 11 AACC. 23 （2020 北京高二期末）如图，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD， 2APAB， ,E F G是,BC PC CD的中点. （1）求证：BG平面PAE； （2）在线段BG上是否存在点H，使得/FH平面PAE？若存在，求出 BH BG 的值；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）证明见解析； （2）存在， 3 5 . 【解析】 （1）证明：因为四棱锥PABCD底面是正方形，且PA 平面ABCD， 以点A为坐

43、标原点，,AB AD AP 所在直线分别为 , ,x y z轴建立如图 所示空间直角坐标系. 则(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),ABP， (2,2,0),(0,2,0)CD ， 因为,E F G是,BC PC CD的中点， 所以 (2,1,0),(1,1,1),(1,2,0)EFG ， 所以( 1,2,0)BG ，(0,0,2),(2,1,0),APAE 所以 0BG AP ，且 0BG AE . 所以BGAP，BGAE，且AEAPAI. 所以BG平面PAE. （2）假设在线段BG上存在点H，使得FH/平面PAE. 设BH BG (01) ， 则(1,21, 1)FHFBBHABAFBG. 因为FH/平面PAE，BG平面PAE， 所以( 1) (12(21)0 ( 1)530FH GB . 所以 3 5 . 所以，在线段BG上存在点H，使得FH/平面PAE.其中 3 5 BH BG .