2021年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、第 1 页（共 16 页） 2021 年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）在每小题给出的四个选项中，只分）在每小题给出的四个选项中，只 有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑 1 （5 分）已知集合 Ax|2x2，Bx|x23x40，则 AB（ ） Ax|2x4 Bx|1x2 Cx|1x4 Dx|2x2 2 （5 分）已知命题 p： “xR，ax2+bx+c0”

2、，则p 为（ ） Ax0R，ax02+bx0+c0 Bx0R，ax02+bx0+c0 Cx0R，ax02+bx0+c0 Dx0R，ax02+bx0+c0 3 （5 分）已知等比数列an满足 a11，4a4a1a740，则 a7（ ） A4 B1 4 C8 D1 8 4 （5 分）刘徽（约公元 225 年295 年） ，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠 基人之一他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体，而无所失矣” ，这可视为中国古代极限观念的佳作割圆术的核心思想是将 一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形（如图所示） ，当 n 变得很大

3、时，这 n 个等 腰三角形的面积之和近似等于圆的面积 运用割圆术的思想， 估计 sin4的值为 （ ） A0.0524 B0.0628 C0.0785 D0.0698 5 （5 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，满足 a33a1，a23a11，则数列* +的前 10 项和为（ ） A55 2 B55 C65 2 D65 6 （5 分）已知 alog23，b0.23，clog34，则 a、b、c 的大小关系为（ ） Acba Bbac Ccab Dacb 7 （5 分）已知 F 为双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使直线 PF 与圆 x2+y

4、2a2相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ） 第 2 页（共 16 页） A(1，2) B(2，+ ) C(1， 2 2 ) D( 2 2 ，+ ) 8 （5 分）若 2 1;2 = ，则( + 4)等于（ ） A1: 1; B1; 1: C:1 ;1 D;1 :1 9 （5 分）函数 f（x）ln2: 2;cosx 的图象大致为（ ） A B C D 10 （5 分）已知函数() = (2 + 3) + (2 6)，给出下列结论： f（x）的最小正周期为 ； 点( 6 ，0)，是函数 f（x）的一个对称中心； f（x）在( 4 ， 12)上是增函数； 把 y2sin2x 的图象向左平移 3个

5、单位长度就可以得到 f（x）的图象 则正确的是（ ） A B C D 11（5 分） 已知() = (2+ 1) 1 2 2， 若 f （x） k 有四个零点， 则 k 的取值范围为 （ ） A(0，2 1 2) B(，2 1 2) C(2 1 2 ，2 + 1 2) D(2 + 1 2 ，+ ) 12 （5 分）已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且侧面 PAD底面 ABCD，AB2，若四棱锥 PABCD 外接球的体积为82 3 ，则该四棱锥的表 面积为（ ） A43 B63 C83 D103 第 3 页（共 16 页） 二、填空题（本大题共二、填空

6、题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若向量 、 、 满足 + + = 0 ，| | |1，则（ ） = 14 （5 分）已知曲线 yx3+ax2 与 x 轴相切，则 a 15 （5 分） 已知直线 l： xmy+1 过抛物线 C： y22px 的焦点 F， 交抛物线 C 于 A、 B 两点， 若 = 2 ，则直线 l 的斜率为 16 （5 分）如图，已知梭长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动， 给出下列结论： 异面直线 AP 与 DD1所成的角范围为, 3 ， 2-； 平面 PBD1平面 A1C

7、1D； 点 P 到平面 A1C1D 的距离为定值23 3 ； 存在一点 P，使得直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角为 3 其中正确的结论是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17 （10 分）设 a 为实数，函数() = | + | （1）若 a1，求 f（x）的定义域； （2）若 a0，且 f（x）a 有两个不同的实数根，求 a 的取值范围 18 （12 分）数列an满足 a12，:1= +2 2 （1）求证：数列* (+1)+为等比数列； （2）设= +1，求

8、bn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 2ab2ccosB 第 4 页（共 16 页） （1）求角 C； （2）若 a2，D 在边 AB 上，且 =2 ，CD= 3，求 b 20 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，ABCD，BCCD，侧面 SCD 为等边三角形， ABBC4，CD2， = 25 （1）求证：BCSD； （2）求二面角 BASD 的余弦值 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）过点 A（1， 6 3 ） ，B（0，1） （1）求 C 的方程； （2）经过 D（2，1） ，且斜

9、率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点（均异于点 B） ，证明： 直线 BP 与 BQ 的斜率之和为定值 22 （12 分）已知函数() = ( ) （1）若 f（x）0，求实数 a 的取值范围； （2）求证： 1 1 (2+) + 1 1( ) 第 5 页（共 16 页） 2021 年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）在每小题给出的四个选项中，只分）在每小题给出的四个选项中，只 有一项是最符合题目要求

10、的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑 1 （5 分）已知集合 Ax|2x2，Bx|x23x40，则 AB（ ） Ax|2x4 Bx|1x2 Cx|1x4 Dx|2x2 【解答】解：Ax|2x2，Bx|1x4， ABx|1x2 故选：B 2 （5 分）已知命题 p： “xR，ax2+bx+c0” ，则p 为（ ） Ax0R，ax02+bx0+c0 Bx0R，ax02+bx0+c0 Cx0R，ax02+bx0+c0 Dx0R，ax02+bx0+c0 【解答】解：由全称命题的否定为特称命题， 由命题 p： “xR，ax2+bx+c

11、0” ， 得p 为“x0R，ax02+bx0+c0” 故选：C 3 （5 分）已知等比数列an满足 a11，4a4a1a740，则 a7（ ） A4 B1 4 C8 D1 8 【解答】解：因为 4a4a1a740， 所以4 2 44+ 4 = 0，所以 a42， 再由 a11 得 q32，7= 16= 4 故选：A 4 （5 分）刘徽（约公元 225 年295 年） ，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠 基人之一他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体，而无所失矣” ，这可视为中国古代极限观念的佳作割圆术的核心思想是将 一个圆的内接正 n 边形等分

12、成 n 个等腰三角形（如图所示） ，当 n 变得很大时，这 n 个等 腰三角形的面积之和近似等于圆的面积 运用割圆术的思想， 估计 sin4的值为 （ ） 第 6 页（共 16 页） A0.0524 B0.0628 C0.0785 D0.0698 【解答】解：将一个单位圆平均分成 90 个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为 360 904， 因为这 90 个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积， 所以 90 1 2 11sin445sin4， 所以 sin4 45 0.0698 故选：D 5 （5 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，满足 a33a1，a23a11，则数列* +

13、的前 10 项和为（ ） A55 2 B55 C65 2 D65 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，则1 + 2 = 31 1+ = 31 1， 所以 a11，d1，Sn= (+1) 2 ， 所以 = :1 2 ，数列* +的前 10 项和10= 10(1+10+1 2 ) 2 = 65 2 ， 故选：C 6 （5 分）已知 alog23，b0.23，clog34，则 a、b、c 的大小关系为（ ） Acba Bbac Ccab Dacb 【解答】解：由题知 0b1， 3 2 = 22 3 2= 2829 = 23 = ， = 34 = 316327 = 33 3 2= 3 2， a 3

14、 2，1c 3 2， acb， 故选：D 第 7 页（共 16 页） 7 （5 分）已知 F 为双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使直线 PF 与圆 x2+y2a2相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A(1，2) B(2，+ ) C(1， 2 2 ) D( 2 2 ，+ ) 【解答】解：直线 PF 与圆 x2+y2a2相切，则直线 PF 的斜率 = ， 又点 P 在双曲线的右支上，所以| ，即 ， 所以 2 2 1，所以2= 1 + 2 2 2，即2， 故选：B 8 （5 分）若 2 1;2 = ，则( + 4)等于（ ） A1: 1; B1;

15、1: C:1 ;1 D;1 :1 【解答】解： 2 1;2 = 2 1;(1;22) = = 1 =m， tan= 1 ， 则 t( + 4) = +1 1 = +1 1， 故选：C 9 （5 分）函数 f（x）ln2: 2;cosx 的图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，函数 f（x）ln2: 2;cosx，必有 2: 2; 0，解可得2x2， 即函数的定义域为（2，2） ， 有() = 2 2+() = ()，则 f（x）为奇函数，可排除 BD； 第 8 页（共 16 页） 又由 f（1）ln3cos11，排除 C， 故选：A 10 （5 分）已知函数() = (2 +

16、 3) + (2 6)，给出下列结论： f（x）的最小正周期为 ； 点( 6 ，0)，是函数 f（x）的一个对称中心； f（x）在( 4 ， 12)上是增函数； 把 y2sin2x 的图象向左平移 3个单位长度就可以得到 f（x）的图象 则正确的是（ ） A B C D 【解答】解：函数() = (2 + 3) + (2 6)， = 2(2 + 3)， 对于，由题知() = 2(2 + 3)，则周期 T，故正确； 对于，由于( 6) = 0，故正确； 对于，当 ( 4 ， 12)时，2 + 3 ( 6 ， 2)，故正确； 对于， 把 y2sin2x 的图像向左平移 6个单位长度就可以得到 f

17、（x） 的图像， 故错误， 故选：C 11（5 分） 已知() = (2+ 1) 1 2 2， 若 f （x） k 有四个零点， 则 k 的取值范围为 （ ） A(0，2 1 2) B(，2 1 2) C(2 1 2 ，2 + 1 2) D(2 + 1 2 ，+ ) 【解答】解：() = 2 2+1 = (12) 2+1 ， 由 f（x）0，得 x0 或 x1 或 x1， 可知 f（x）在 x0 处取极小值，x1 或 x1 处取极大值， 因 f（0）0，(1) = 2 1 2，( 2 1) = 2 1 2 2 + 1 20， 所以02 1 2时，f（x）k 有四个零点， 第 9 页（共 16

18、页） 故选：A 12 （5 分）已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且侧面 PAD底面 ABCD，AB2，若四棱锥 PABCD 外接球的体积为82 3 ，则该四棱锥的表 面积为（ ） A43 B63 C83 D103 【解答】解：如图， 设矩形 ABCD 的中心为 F，三角形 PAD 的外心为 E，分别过 F、E 作所在平面的垂线， 交于 O， 则 O 为四棱锥 PABCD 外接球的球心， 设 ADa，又 AB2，可得 OF= 1 3 2 ( 2) 2 = 3 6 ，AF= ( 2) 2+ 1 =2 4 + 1， OA=( 3 6 )2+ 2 4 +

19、1 = 2 3 + 1 四棱锥 PABCD 外接球的体积为82 3 ，4 3 ( 2 3 + 1)3= 82 3 ， 解得：a= 3 = 1 2 3 7 3 4 = 5 43， 该四棱锥的表面积为 S= 2 3 + 1 2 3 3 3 2 + 2 1 2 2 3 + 53 4 = 63 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若向量 、 、 满足 + + = 0 ，| | |1，则（ ） = 0 【解答】解：因为 + + = 0 ，| | = | | = 1， 所以( ) = ( ) ( + ) = 2

20、 2 = 0 故答案为：0 第 10 页（共 16 页） 14 （5 分）已知曲线 yx3+ax2 与 x 轴相切，则 a 3 【解答】解：设曲线上切点坐标为(0，0 3 + 2)， 因为 y3x2+a，所以 = 30 2 + = 0 0 3 + 0 2 = 0，解得 x01，a3 故答案为：3 15 （5 分） 已知直线 l： xmy+1 过抛物线 C： y22px 的焦点 F， 交抛物线 C 于 A、 B 两点， 若 = 2 ，则直线 l 的斜率为 22 【解答】解：由直线 xmy+1 过（1，0） ，所以 p2， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 = 2 ，可得 y12y

21、2， 直线 xmy+1 与抛物线 y24x 联立得，y24my+4， 所以 y1y24，可得2= 2， 所以 = 2 21 = 2 1 21 = 22 故答案为：22 16 （5 分）如图，已知梭长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动， 给出下列结论： 异面直线 AP 与 DD1所成的角范围为, 3 ， 2-； 平面 PBD1平面 A1C1D； 点 P 到平面 A1C1D 的距离为定值23 3 ； 存在一点 P，使得直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角为 3 其中正确的结论是 【解答】解：对于，当 P 在 C 点时，DD1AC， 第 11 页（共 1

22、6 页） 异面直线 AC 与 DD1所成的角最大为 2， 当 P 在 B1点时，异面直线 AB1与 DD1所成的角最小为1 = 4， 异面直线 AP 与 DD1所成的角的范围为, 4 ， 2-，故错误； 对于，因为 BD1平面 A1C1D，所以平面 PBD1平面 A1C1D，故正确； 对于，B1C平面 A1C1D，所以点 P 到平面 A1C1D 的距离为定值，且等于 BD1的1 3， 即23 3 ，故正确； 对于，直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角为APB， = ， 当 BPB1C 时，BP 最小，tanAPB 最大，最大值为2 3，故不正确， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题

23、（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17 （10 分）设 a 为实数，函数() = | + | （1）若 a1，求 f（x）的定义域； （2）若 a0，且 f（x）a 有两个不同的实数根，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a1 时，对任意的 x，函数 f（x）= | + 1| 1 x 成立， 所以|x+1|10，即|x+1|1， 所以 x+11 或 x+11， 解得 x2 或 x0， 所以 f（x）的定义域为（，20，+） （2）由 f（x）a，得| + | =x+a， 设 x+at，t0，

24、所以 =t 有 2 个不同的实数根 整理得 att2， 设 f（t）tt2，t0，则 0f（t） 1 4， 第 12 页（共 16 页） 由题意知，a 的取值范围是（0，1 4） 18 （12 分）数列an满足 a12，:1= +2 2 （1）求证：数列* (+1)+为等比数列； （2）设= +1，求bn的前 n 项和 Tn 【解答】 （1）证明：由:1= +2 2 ，得 +1 (:2)(:1) = 1 2 (:1)， 又 1 12 = 1，所以* (+1)+为首项为 1，公比为 1 2的等比数列 （2）解：由（1）得， (:1) = 1 21，即 = +1 = 21 所以 Tn= 1 20

25、+ 2 21 + 3 22 + + 21， 1 2 = 1 21 + 2 22 + 3 23 + + 2， 由得，1 2 = 1 + 1 2 + 1 22 + 1 23 + + 1 21 2， 1 2 = 1; 1 2 1;1 2 2 = 2 :2 2 ， 所以= 4 +2 21 19 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 2ab2ccosB （1）求角 C； （2）若 a2，D 在边 AB 上，且 =2 ，CD= 3，求 b 【解答】解： （1）根据题意，若 2ccosB2ab， 则有：2c 2+22 2 =2ab， 整理得：a2+b2c2ab， 可得：

26、cosC= 2+22 2 = 2 = 1 2， 又在ABC 中，0C180， C60 （2）设 BDx，可得 AD2x， 因为 cosBDCcosADC，DC= 3，a2， 第 13 页（共 16 页） 由余弦定理可得： 2:3;4 23 = 42:3;2 43 ，解得 b26x21， 又 cosACB= 2+492 4 = 1 2，解得 b 29x22b4， 联立，解得 b2+4b110，解得 b= 15 2， （负值舍去） 20 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，ABCD，BCCD，侧面 SCD 为等边三角形， ABBC4，CD2， = 25 （1）求证：BCSD； （2）求二面角

27、 BASD 的余弦值 【解答】 （1）证明：由已知 BC4，SC2， = 25得，SB2BC2+SC2， 所以BCS90，所以 BCSC， 又 BCCD，CD平面 SCD，SC平面 SCD， 所以 BC平面 SCD， 又 SD平面 SCD，所以 BCSD （2）解：以 D 为坐标原点，取 AB 中点 E， ， 的方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立 如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 第 14 页（共 16 页） 则 B（4，2，0） ，A（4，2，0） ，(0，1，3) 所以 = (4， 2，0)， = (0，1，3)， = (0，4，0)， = (4， 1，3) 平面 DAS 的法向量为

28、 = (，)， 则 = 0 = 0 ，即4 2 = 0 + 3 = 0， 即 x1，则 y2， = 23 3 ， 所以 = (1，2， 23 3 ) 平面 BAS 的法向量为 = (，)， 则 = 0 = 0 ，即4 = 0 4 + 3 = 0，得 b0， 取 = 3，则 c4，所以 = (3，0，4)， 从而 ， = | |= 383 3 1+4+4 316+3 = 5 19 因二面角 BASD 为锐角，故二面角 BASD 的余弦值为 5 19 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）过点 A（1， 6 3 ） ，B（0，1） （1）求 C 的方程； （2）经过

29、D（2，1） ，且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点（均异于点 B） ，证明： 直线 BP 与 BQ 的斜率之和为定值 【解答】解： （1）因为椭圆 C 过点 A（1， 6 3 ） ，B（0，1） ， 所以 b1， 1 2 + ( 6 3 )2 1 =1，解得 a23， 第 15 页（共 16 页） 所以椭圆的方程为 2 3 +y21 （2）证明：根据题意设直线 l 的方程为 yk（x2）+1，即 ykx2k+1， 联立 2 3 + 2= 1 = 2 + 1 ，得（1+3k2）x2+（12k2+6k）x+12k212k0， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 所以

30、x1+x2= 1226 1+32 ，x1x2= 12212 1+32 ， y1y2（kx12k+1） （kx22k+1）k2x1x2+（2k+1）k（x1+x2）+（2k+1）2 k212 2;12 1:32 +（2k+1） k （12 2;6 1:32 ）+（2k+1）2， kBP+kBQ= 1+1 1 + 2+1 2 = (12)+2 1 + (22)+2 2 = (12)2+22+(22)1+21 12 = 212+(22)(1+2) 12 2k+（22k） 1226 1+32 12212 1+32 =2k+（22k） 122;6 122;12 =1 22 （12 分）已知函数() =

31、( ) （1）若 f（x）0，求实数 a 的取值范围； （2）求证： 1 1 (2+) + 1 1( ) 【解答】解法 1： （1）因为() = 1 2 = 2 2 ，x0， 当 a0 时，() = 0，符合题意， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减， 而( 1 ) = 1 1 0，不合题意， 当 a0 时，令 f（x）0，得 0 x4a2， 令 f（x）0，得 x4a2， 即 f（x）在（0，4a2）上单调递增，在（4a2，+）上单调递减， 所以()= (42) = 42 42 0，解得0 2 综上，实数 a 的取值范围为,0， 2- 解法 2：由已知若 f（x）0，即

32、 对x0 恒成立， 当 x0 时，01，不等式显然成立； 第 16 页（共 16 页） 当 x1 时，由 得 ， 设() = ，则() = 2 22， 由 g（x）0 得 xe2，由 g（x）0，得 0 xe2， 即 g（x）在（0，e2）单调递减，在（e2，+）单调递增， 所以()= (2) = 2，所以 2 当 0 x1 时，由 ，得 ， 由() = 2 22，因为 0 x1，所以 g（x）0， 即 g（x）在（0，1）上单调递减，且当 x0 时，g（x）0， 所以，g（x）0，所以 a0 综上， ,0， 2- 证明： （2）由（1）知，当 a1 时， 0，即， 所以(2+ ) = ( + 1) + + 1 + ， 所以 1 (2:) 1 :1: = + 1 ， 所以 1 1 (2+) (2 1) + (3 2) + + ( + 1 + ) = + 1 1，即证