2021年河南省九师联盟高考数学联考试卷（理科）（2月份）.docx

1、第 1 页（共 24 页） 2021 年河南省九师联盟高考数学联考试卷（理科） （年河南省九师联盟高考数学联考试卷（理科） （2 月份）月份） 一、选接题：本题共一、选接题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1（5 分） 已知 a， bR， 复数 z1a+i， z22bi （i 为虚数单位） ， 若1= 2， 则 a+b （ ） A1 B2 C3 D4 2 （5 分） 已知全集 UR， 集合 Ax|x3， Bx|x26x+50， 则 （RA） B （

2、 ） A1，3 B （3，5 C3，5） D1，3） 3 （5 分）若双曲线2 2 2 = 1(0)的虚轴长为3，则其渐近线的方程是（ ） Ay3x By3x Cy3 2x Dy 3 2 x 4 （5 分）下列说法正确的是（ ） A “1， 1 1”的否定为“0 1， 1 0 1” B “AB”是“sinAsinB”的必要条件 C若 x1，则 x21 的逆命题为真命题 D若“xa”是“log2x2”的充分条件，则 a4 5 （5 分）已知 f（x）是定义域为 R 的奇函数，当 x0 时，f（x）2x1若 f（x0） 1，则 x0的取值范围是（ ） A （2，+） B （，2） C （1，+）

3、D （，1） 6 （5 分）为了计算 S3+33+333+3333+33333，设计了如图所示的程序框图，则和处 的框内可以分别填入（ ） 第 2 页（共 24 页） ASS+310i 1 和 ii+2 BSS+（10i1）3 和 ii+1 CSS+310i和 ii+3 DSS+（10i 11）3 和 ii+1 7 （5 分） “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒” ，这首 二十四节气歌， 记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧“二四节气” 已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录我国古代天文学和数学 著作周牌算经中记载：一年有二十四个节

4、气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照 日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度） 二十四节气及晷长变化如图所示， 相邻两个节气晷长减少或增加的量相同， 周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸， 夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸） ，则晷长为七尺五寸时，对应的 节气为（ ） 第 3 页（共 24 页） A春分、秋分 B雨水、处暑 C立春、立秋 D立冬、立夏 8 （5 分）函数 f（x）ln|x+1|x22x 的图象大致为（ ） A B C D 9 （5 分）在ABC 中， = 2，AC3，BC4，点 D，G 分别在边 AC，BC 上，点 E， F 在 AB 上， 且四边形

5、DEFG 为矩形 （如图所示） ， 当矩形 DEFG 的面积最大时， 在ABC 内任取一点，该点取自矩形 DEFG 内的概率为（ ） A1 2 B2 3 C3 4 D4 5 10 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+）+b（A0，0，| 2）的部分图象如图所 第 4 页（共 24 页） 示，给出下列结论： A2，1，b1； A2，b1； 点（2 3 ，1）为 f（x）图象的一个对称中心； f（x）在 23 12 ， 17 12 上单调递减 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 11 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线与抛物线 C

6、 交于点 A，B，与 l 交于点 D，若 = 4 ，|AF|4，则 p（ ） A2 B3 C4 D6 12 （5 分） 九章算术卷五商功中描述，几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直 于底面的四棱锥” 现有阳马 PABCD（如图） ，PA平面 ABCD，PAAB1，AD3， 点 E，F 分别在 AB，BC 上，当空间四边形 PEFD 的周长最小时，直线 PA 与平面 PFD 所成角的正切值为（ ） A35 5 B 5 5 C33 2 D23 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13（5 分） 已知向量 ， 满足| |1， | |

7、2， 当|2 |23时， 向量 ， 的夹角为 14 （5 分）已知（1+x） （2x）9a0+a1x+a2x2+a10 x10，则 a1+a2+a9 15 （5 分）已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，底面半径为3，高为 1，E 和 F 是底面圆 第 5 页（共 24 页） 周上两点， 则圆锥PO 的侧面展开图的圆心角为 ； PEF面积的最大值为 16 （5 分）已知数列an是公差为 d 的等差数列，设= 21+ 22+ 23+ + 2，若存 在常数 m，使得数列cn+m为等比数列，则 m 的值为 三三.解答题， 共解答题， 共 70 分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第分。

8、 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 a2，b= 5，B2A （1）求 sinA； （2）求ABC 的面积 18 （12 分）如图是 M 市旅游局宣传栏中标题为“20122019 年我市接待游客人次”的统 计图根据该统计图提供的信息解决下列问题 （1）求 M 市所统计的 8 年中接待游客人次的平均值和中位数； （2）由统计图可看出，从 2016

9、年开始，M 市接待游客的人次呈直线上升趋势，请你用 线性回归分析的方法预测 2021 年 M 市接待游客的人次 参考公式：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，其回归直线 = x+ 的 斜率和截距的最小二乘法估计分别为： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ， = 参考数据： xx2016 0 1 2 3 yy630 300 120 90 330 第 6 页（共 24 页） 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是梯形，ABCD，CD2AB， 点 E 是棱 PC 上的动点（不含端点） ，F，Q 分别为 BE，AD

10、 的中点 （1）求证：QF平面 PCD； （2）若 PD平面 ABCD，ADDC，PDADAB1， = 3 ，求二面角 PBD E 的余弦值 20 （12 分）已知点 A（2，0） ，B（2，0） ，动点 S（x，y）满足直线 AS 与 BS 的斜率之 积为 3 4记动点 S 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程，并说明曲线 C 是什么样的曲线； （2）设 M，N 是曲线 C 上的两个动点，直线 AM 与 NB 交于点 P，且MAN90 求证：点 P 在定直线上； 求证：直线 NB 与直线 MB 的斜率之积为定值 21 （12 分）已知函数 f（x）ex2ae x（2+a）x（aR） （

11、1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）求证：当2 5 1 2时，函数 f（x）有且只有三个零点 （参考数据：e2.72，e27.39，e320.01） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做两题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分。 （本小题满分的第一题计分。 （本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l 过点 P（4，0） ，倾斜角为 以直角坐标系的坐 标原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极

12、坐标方程为 8sin （1）写出直线 l 的一个参数方程，并求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于不同两点 M，N，求|PM|+|PN|的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23设不等式|x1|+2|x+1|x+7 的解集为 M （1）求集合 M； 第 7 页（共 24 页） （2）设 m 是 M 中元素的最大值，正数 a，b，x，y 满足 + = 3 ， + = 求证： + 第 8 页（共 24 页） 2021 年河南省九师联盟高考数学联考试卷（理科） （年河南省九师联盟高考数学联考试卷（理科） （2 月份）月份）

13、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选接题：本题共一、选接题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1（5 分） 已知 a， bR， 复数 z1a+i， z22bi （i 为虚数单位） ， 若1= 2， 则 a+b （ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：复数 z1a+i，z22bi（i 为虚数单位） ，1= 2， a+i2+bi， = 2 = 1， a+b3， 故选：C 2 （5 分） 已知全集 UR， 集合 Ax|x3， Bx|x26x+

14、50， 则 （RA） B （ ） A1，3 B （3，5 C3，5） D1，3） 【解答】解：全集 UR，集合 Ax|x3，所以RAx|x3， 又 Bx|x26x+50 x|1x5， 所以（RA）Bx|3x5（3，5 故选：B 3 （5 分）若双曲线2 2 2 = 1(0)的虚轴长为3，则其渐近线的方程是（ ） Ay3x By3x Cy3 2x Dy 3 2 x 【解答】解：双曲线2 2 2 = 1(0)的渐近线方程为：ybx， 虚轴长为3， 所以 b= 3 2 ， 所以其渐近线的方程：y 3 2 x 故选：D 4 （5 分）下列说法正确的是（ ） A “1， 1 1”的否定为“0 1， 1

15、0 1” B “AB”是“sinAsinB”的必要条件 第 9 页（共 24 页） C若 x1，则 x21 的逆命题为真命题 D若“xa”是“log2x2”的充分条件，则 a4 【解答】解：A “1， 1 1”的否定为“x01， 1 0 1“，因此不正确； B取 A2+ 6，B= 3，满足 AB，但是 sinAsinB； 由 sinAsinB，可取 A= 3，B2+ 6，而 AB， 因此“AB”与“sinAsinB”相互推不出，因此不正确： C若 x1，则 x21 的逆命题为：若 x21，则 x1，是真命题，因此正确； Dlog2x2x4由“xa”是“log2x2”的充分条件，则 a4，因此不

16、正确 故选：C 5 （5 分）已知 f（x）是定义域为 R 的奇函数，当 x0 时，f（x）2x1若 f（x0） 1，则 x0的取值范围是（ ） A （2，+） B （，2） C （1，+） D （，1） 【解答】解：根据题意，设 x0，则x0，则 f（x）2 x1， 又由 f（x）为 R 上为奇函数， 则 f（x）f（x）12 x， 则 f（x）= 2 1， 0 1 2;，0， 对于 f（x0）1，有2 0 1 1 0 0 或1 2 ; 1 00 ， 解可得：x01， 即不等式的解集为（1，+） ， 故选：C 6 （5 分）为了计算 S3+33+333+3333+33333，设计了如图所示的

17、程序框图，则和处 的框内可以分别填入（ ） 第 10 页（共 24 页） ASS+310i 1 和 ii+2 BSS+（10i1）3 和 ii+1 CSS+310i和 ii+3 DSS+（10i 11）3 和 ii+1 【解答】解：对于 A，S0，i1 S3，i3 S3+303，i5 S3+303+30003，故 A 错误； 对于 B，S0，i1 S3，i2 S3+33，i3 S3+33+333，i4 S3+33+333+3333，故 B 正确； 对于 C，S0，i1， S30，i4， S30+30000， 故 C 错误； 第 11 页（共 24 页） 对于 D，S0，i1， S0，i2， S

18、3，i3， S3+33，i4 S3+33+333，i5 S3+33+333+3333，i6 故 D 错误 故选：B 7 （5 分） “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒” ，这首 二十四节气歌， 记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧“二四节气” 已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录我国古代天文学和数学 著作周牌算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照 日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度） 二十四节气及晷长变化如图所示， 相邻两个节气晷长减少或增加的量相同， 周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，

19、 夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸） ，则晷长为七尺五寸时，对应的 节气为（ ） A春分、秋分 B雨水、处暑 C立春、立秋 D立冬、立夏 【解答】解：先取上半年进行研究，设晷影长为等差数列an，公差为 d， 则 a1135，a1315，d= 15135 131 = 10， an13510（n1）14510n， 令 an75，得 n7， 第 12 页（共 24 页） 由图知，n7 对应的是春分，又因春分与秋分晷影长相同， 故选：A 8 （5 分）函数 f（x）ln|x+1|x22x 的图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：函数的定义域为x|x1，故选项 C 错误； 当 x

20、1 时，f（1）ln230，故选项 A 错误； 当 x1 时，ln|x+1|，x2+2x1，则 f（x），故选项 B 错误 综上，选项 D 符合题意 故选：D 9 （5 分）在ABC 中， = 2，AC3，BC4，点 D，G 分别在边 AC，BC 上，点 E， F 在 AB 上， 且四边形 DEFG 为矩形 （如图所示） ， 当矩形 DEFG 的面积最大时， 在ABC 内任取一点，该点取自矩形 DEFG 内的概率为（ ） A1 2 B2 3 C3 4 D4 5 【解答】解：由题意知 AB5，AB 边上的高为12 5 ，设 DEx，0 x 12 5 ， DGAB， 12 5 ; 12 5 = 5

21、 ，DG= 5(125) 12 ， 矩形 ABCD 的面积为： 第 13 页（共 24 页） S= 5(125) 12 = (125)5 12 1 12 (125+5 2 )2=3， 当且仅当 125x5x，即 x= 6 5时，取等号， ABC 的面积为 SABC= 1 2 3 4 =6， 当矩形 DEFG 的面积最大时，在ABC 内任取一点， 该点取自矩形 DEFG 内的概率为 P= 3 6 = 1 2 故选：A 10 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+）+b（A0，0，| 2）的部分图象如图所 示，给出下列结论： A2，1，b1； A2，b1； 点（2 3 ，1）为 f（x）图象的

22、一个对称中心； f（x）在 23 12 ， 17 12 上单调递减 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【解答】解：根据函数的图像， + = 1 + = 3 ，解得 = 2 = 1 由于 x= 3时，y1 为对称中心的纵坐标， 函数 f（x）的最小正周期 T= 4 ( 3 12) = ， 故 2，故错误，正确； 第 14 页（共 24 页） 由于函数的对称中心为（ 3 ， 1） ， 故函数的对称中心为（ 3 + 2 ， 1） ， 当 k1 时，函数的对称中心为（5 6 ， 1） ，故错误； 根据函数的图像函数在 12 ， 7 12上单调递减， 故函数的单调递减区间为（kZ） ， 当

23、 k2 时，得到函数在 23 12 ， 17 12 上单调递减，故正确 故选：D 11 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，与 l 交于点 D，若 = 4 ，|AF|4，则 p（ ） A2 B3 C4 D6 【解答】解：如图所示： 过点 A 作 AN准线 l 于 N，过点 B 作 BM准线 L 于 M， 则|AF|AN|，|BM|BF|， 又因为 = 4 ，即| | = 4| | = 4| |， 所以 cos = = 1 4，所以 cos = 1 4， 过 F 作 FHAN，则 cos = = 1 4， 由 AF4

24、可得：AH1， 又因为 ANAF4，所以 NH413， 即点 F 到准线的距离为 3， 所以由抛物线定义可得 p3， 故选：B 第 15 页（共 24 页） 12 （5 分） 九章算术卷五商功中描述，几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直 于底面的四棱锥” 现有阳马 PABCD（如图） ，PA平面 ABCD，PAAB1，AD3， 点 E，F 分别在 AB，BC 上，当空间四边形 PEFD 的周长最小时，直线 PA 与平面 PFD 所成角的正切值为（ ） A35 5 B 5 5 C33 2 D23 【解答】解：把平面 PAB 沿 AB 展开到与平面 ABCD 共面的 PAB 的位置，延长 DC

25、到 D，使得 CD1，则 DFDF， PD 的长度为定值，要使空间四边形 PEFD 的周长最小，只需 PE+EF+FD PE+EF+FD最小， 当 P，E，F，D四点共线时，PE+EF+FD最小 过点 A 作 AGDF 的延长线于点 G，连接 PG， PA平面 ABCD，PADF， 又 AGPAA，AG、PA平面 PAG， DF平面 PAG， DF平面 PFD，平面 PAG平面 PFD， 第 16 页（共 24 页） 过点 A 作 AHPG 于 H， 平面 PAG平面 PFDPG，AH平面 PAG， AH平面 PFD， APG 为直线 PA 与平面 PFD 所成的角， PDPA+AD4，DD2

26、， = = 1 2， CF2，DF= 5， AG= = 31 5 = 35 5 ， tanAPG= = 35 5 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13（5 分） 已知向量 ， 满足| |1， | |2， 当|2 |23时， 向量 ， 的夹角为 2 3 【解答】解：根据题意，设向量 ， 的夹角为 ， 向量 ， 满足| |1，| |2，且|2 |23， 则（2 ）24 2+ 2 4 =88cos12， 解可得 cos= 1 2， 又由 0，则 = 2 3 ， 故答案为：2 3 14 （5 分）已知（1+x） （2x）9

27、a0+a1x+a2x2+a10 x10，则 a1+a2+a9 509 【解答】解：因为（1+x） （2x）9a0+a1x+a2x2+a10 x10， 令 x0 时，则 29a0，即 a0512， 令 x1 时，则 2a0+a1+a2+a10， 又展开式的含 x10的项为 C 9 9()9 = x10， 第 17 页（共 24 页） 所以 a101， 则 a1+a2+a92a0a102512（1）509， 故答案为：509 15 （5 分）已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，底面半径为3，高为 1，E 和 F 是底面圆 周上两点， 则圆锥 PO 的侧面展开图的圆心角为 3 ； PEF 面积的最

28、大值为 2 【解答】 解： 圆锥的顶点为 P， 高为 1， 底面半径为3， 所以母线长为 l=(3)2+12=2， 如图所示： 所以圆锥侧面展开图是扇形，且扇形的圆心角为 = 2 = 23 2 = 3 由于 E 和 F 为底面圆周上两个动点，由于 PEPF，所以PEF 为等腰三角形， 计算PEF 的面积为 S= 1 2 22sinEPF2sinEPF， 由于EPF（0，2 3 ，所以当EPF= 2时，三PEF 面积的最大值为 2 故答案为：3，2 16 （5 分）已知数列an是公差为 d 的等差数列，设= 21+ 22+ 23+ + 2，若存 在常数 m，使得数列cn+m为等比数列，则 m 的

29、值为 21 2;1 【解答】解：数列an是公差为 d 的等差数列， 可得 danan1， = 21+ 22+ 23+ + 2= 21(12) 12 ， cn+m= 21(12) 12 +mm+ 21 12 212 121 ， 由于数列cn+m为等比数列， 所以 m+ 21 12 =0，即 m= 21 21 故答案为： 21 2;1 第 18 页（共 24 页） 三三.解答题， 共解答题， 共 70 分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2

30、2、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 a2，b= 5，B2A （1）求 sinA； （2）求ABC 的面积 【解答】解： （1）由正弦定理知， = ， 因为 B2A，所以 2 = 5 2 = 5 2，所以 cosA= 5 4 ， 因为 A（0，） ，所以 sinA= 1 2 = 11 4 （2）由余弦定理知，a2b2+c22bccosA，所以22= (5)2+ 2 25 5 4 ， 整理得，2c25c+20，解得 c2 或1 2 当 c2a 时，有 AC，因为 B2A，所以 AC= 4

31、，所以 sinA= 2 2 ，与（1）中结论 相矛盾，不符合题意，故 c= 1 2 所以ABC 的面积= 1 2 = 1 2 5 1 2 11 4 = 55 16 18 （12 分）如图是 M 市旅游局宣传栏中标题为“20122019 年我市接待游客人次”的统 计图根据该统计图提供的信息解决下列问题 （1）求 M 市所统计的 8 年中接待游客人次的平均值和中位数； （2）由统计图可看出，从 2016 年开始，M 市接待游客的人次呈直线上升趋势，请你用 线性回归分析的方法预测 2021 年 M 市接待游客的人次 参考公式：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，其回

32、归直线 = x+ 的 斜率和截距的最小二乘法估计分别为： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ， = 参考数据： xx2016 0 1 2 3 yy630 300 120 90 330 第 19 页（共 24 页） 【解答】 解：（1） 平均数 （110+150+180+250+330+510+720+960） 832108401.25， 中位数（250+330）2290； （2） =（0+1+2+3）41.5， =（300120+90+330）40， 则 = =1 ()() =1 ()2 =210， = =02101.5315， 所以线性回归方程为 y210 x315，所

33、以在 2021 年时 x202120165， 所以 y2105315735，预测 2021 年 M 市接待游客的人次为 735+6301365 万 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是梯形，ABCD，CD2AB， 点 E 是棱 PC 上的动点（不含端点） ，F，Q 分别为 BE，AD 的中点 （1）求证：QF平面 PCD； （2）若 PD平面 ABCD，ADDC，PDADAB1， = 3 ，求二面角 PBD E 的余弦值 【解答】 （1）证明：取 BC 中点 M，取 AD 中点 Q，连接 MF、MQ， 所以 MFPC， 又因为四边形 ABCD 是梯形，ABCD

34、，所以 MQCD， MFMQM，MFMQ平面 MFQ， 第 20 页（共 24 页） PCDCC，PC、DC平面 PCD， 所以平面 MFQ平面 PCD，因为 QF平面 MFQ， 所以 QF平面 PCD （2）解：因为 PD平面 ABCD，所以 PDAD，PDCD，又因为 ADDC， 所以 DA、DC、DP 两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得各点坐如下： D（0，0，0） ，B（1，1，0） ，P（0，0，1） ，E（0，2 3， 2 3） =（1，1，0） ， =（0，0，1） ， =（0，2 3， 2 3） ， 设平面 BDP 与平面 BDE 法向量分别为 =（x，y

35、，z） ， =（u，v，w） ， = + = 0 = = 0 ，令 y1， =（1，1，0） ， = + = 0 = 2 3 + 2 3 = 0 ，令 v1， =（1，1，1） ， cos ， = | | | |= 2 23 = 6 3 ， 所以二面角 PBDE 的余弦值为 6 3 20 （12 分）已知点 A（2，0） ，B（2，0） ，动点 S（x，y）满足直线 AS 与 BS 的斜率之 积为 3 4记动点 S 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程，并说明曲线 C 是什么样的曲线； （2）设 M，N 是曲线 C 上的两个动点，直线 AM 与 NB 交于点 P，且MAN90 求证：点

36、P 在定直线上； 求证：直线 NB 与直线 MB 的斜率之积为定值 第 21 页（共 24 页） 【解答】1 解： （1）由题意可得： :2 ;2 = 3 4 ( 2)， 化简可得： 2 4 + 2 3 = 1( 2） ， 所以曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含 A，B 两点； （2）证明：由题设知，直线 MA，NB 的斜率存在且不为 0， 设直线 AM 的方程为 xty2（t0） ， 由 AMAN，可知直线 NA 的斜率为 kNAt，方程为 x= 1 2， 联立方程 = 1 2 2 4 + 2 3 = 1 ，消去 x 整理可得： （4t2+3）y2+12ty0， 解得 y

37、= 12 3+42， 则 x = 1 ( 12 3+42) 2 = 682 3+42， 即 N （ 6;82 3:42 ， 12 3:42） ， 所以直线 NB 的斜率为 k = 12 3+420 682 3+422 = 3 4， 则直线 NB 的方程为：y= 3 4( 2)，代入 xty2，解得 x14， 故点 P 在直线 x14 上； 由（1） ，得 k = 3 4，k = 3 4， 所以 k = ( 3 4) ( 3 4) = 9 16， 结合 kNAkMA1，得 k = 9 16为定值， 即直线 NB 与直线 MB 的斜率之积为定值 21 （12 分）已知函数 f（x）ex2ae x（

38、2+a）x（aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）求证：当2 5 1 2时，函数 f（x）有且只有三个零点 （参考数据：e2.72，e27.39，e320.01） 【解答】解： （1）f（x）ex+2ae x（2+a）=(2)() ， 若 a0，由 ex20，解得：xln2，由 f（x）0，解得：xln2，由 f（x）0， 解得：xln2， 故 f（x）在（，ln2）递减，在（ln2，+）递增， 若 a0，由 f（x）+0，解得：xln2 或 xlna， 第 22 页（共 24 页） 当 0a2 时，由 f（x）0，解得：lnaxln2，由 f（x）0，解得：xln2 或 x ln

39、a， 故 f（x）在（lna，ln2）递减，在（，lna） ， （ln2，+）递增， 当 a2 时，f（x）0 在 R 上恒成立，故 f（x）在 R 上单调递增， 当 a2 时，由 f（x）0，解得：ln2xlna，由 f（x）0，解得：xlna 或 x ln2， 故 f（x）在（ln2，lna）递减，在（，ln2） ， （lna，+）上单调递增； 综上：当 a0，f（x）在（，ln2）递减，在（ln2，+）递增， 当 0a2 时，f（x）在（lna，ln2）递减，在（，lna） ， （ln2，+）递增， 当 a2 时，f（x）在 R 上单调递增， 当 a2 时，f（x）在（ln2，lna）递

40、减，在（，ln2） ， （lna，+）上单调递增 （2）证明：由（1）知，当2 5 a 1 2时，f（x）在（lna，ln2）递减，在（，lna） ， （ln2， +）递增， 故 f（x）的极大值是 f（lna） ，f（x）的极小值是 f（ln2） ， 而 f（x）极大值f（lna）a2（2+a）lna， 令 g（a）a2（2+a）lna（2 5 a 1 2） ，则 g（a）= 2+ ， 令 m（a）2+alna（2 5 a 1 2） ，则 m（a）1+lna1+ln 2 5 =ln2 5 ln10， 故 m（a）在2 5， 1 2上单调递增， 故 m（a）m（2 5）2+ 2 5ln 2 5

41、 2 2 5lne0， 故 g（a）0，故 g（a）在2 5， 1 2上单调递减， 故 g（a）g（1 2）= 3 2 5 2ln 1 2 = 32;3 2 0，即 f（lna）0， 又当2 5 a 1 2时，1ln 2 2 ln2 5 lnaln1 2 0，即 lna（1，0） ， 又 f（2）e 22ae2+2（2+a）2（1e2）a+e2+4，该式关于 a 单调递减， 故 2 （1e2） a+e 2+42 （1e2） 2 5 +e 2+4=2442 5 + 1 2 2442 5 + 1 5 = 2542 5 0， 故 f（2）0， f（x）在（，lna）单调递增，且 f（2）f（lna）

42、0， 故函数 f（x）在区间（，lna）上有且只有 1 个零点， 第 23 页（共 24 页） f（x）极小值f（ln2）2a（2+a）ln2（1+ln2）a+22ln2， 令 h（a）（1+ln2）a+22ln2（2 5 a 1 2） ，显然 h（a）单调递减， 故 h（a）2 2 5 （2+ 2 5）ln2= 8 5（1 3 2ln2） 8 5（1ln 2）0， 故 f（ln2）0， f（x）在（lna，ln2）单调递减，且 f（lna）f（ln2）0， 函数 f（x）在区间（lna，ln2）上有且只有 1 个零点， f（2）e22ae 2（2+a）22（e2+1）a+e24，该式关于 a

43、 单调递减， 故2（e 2+1）a+e242（e2+1）1 2 +e24e2 1 2 5e260， f（x）在（ln2，+）上单调递增，且 f（ln2）f（2）0， 故函数 f（x）在（ln2，+）上有且只有 1 个零点， 综上：当2 5 a 1 2时，函数 f（x）有且只有 3 个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做两题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分。 （本小题满分的第一题计分。 （本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面

44、直角坐标系中，直线 l 过点 P（4，0） ，倾斜角为 以直角坐标系的坐 标原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 8sin （1）写出直线 l 的一个参数方程，并求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于不同两点 M，N，求|PM|+|PN|的最大值 【解答】 解：（1） 直线 l 过点 P （4， 0） ， 倾斜角为 ， 转换为参数方程为： = 4 + = （t 为参数） ， 曲线 C 的极坐标方程为 8sin，整理得 28sin， 根据 = = 2+ 2= 2 ，转换为直角坐标方程为 x2+（y4）216 （2）把直线 l 的参数方程

45、为： = 4 + = （t 为参数） ，代入 x2+（y4）216， 得到 t2+8（cossin）t+160， （M 和 N 点对应的参数为 t1和 t2） ， 所以 t1+t28（sincos） ，t1t216， 由于直线 l 与曲线交于两点 M 和 N，得到 2 ， 所以 t10，t20， 第 24 页（共 24 页） 故|PM|+|PN|= |1+ 2| = 1+ 2= 82( 4)， 当 = 3 4 时，|PM|+|PN|的最大值为82 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23设不等式|x1|+2|x+1|x+7 的解集为 M （1）求集合

46、 M； （2）设 m 是 M 中元素的最大值，正数 a，b，x，y 满足 + = 3 ， + = 求证： + 【解答】 （1）解：|x1|+2|x+1|= 3 1， 1 + 3， 1 1 3 + 1，1 ， 当 x1 时，原不等式化为3x1x+7，得2x1； 当1x1 时，原不等式化为 x+3x+7，得1x1； 当 x1 时，原不等式化为 3x+1x+7，得 1x3 综上，不等式|x1|+2|x+1|x+7 的解集 M2，3； （2）证明：由（1）得，m3，则 a+b1，x+y3， 由 a，b，x，y 都是正数及基本不等式， 可得 3 + 3 2 ， 3 + 3 2 ，当且仅当 a= 3，b= 3，等号成立， 以上两式相加，可得 3 + 3 + 3 2 + + 3 2 ， a+b1， 3 + 3 = 1， : 3 2 + : 3 2 = :+ 3 2 = 1:1 2 = 1， 即 3 + 3 1， 故 + 3 =