2021届福建省泉州市高三质量监测一模数学试题及答案.pdf
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1、泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测(三)数学届高中毕业班质量检测(三)数学试题试题第第 1 页(共页(共 2 页)页) 泉州市泉州市 20212021 届高中毕业班质量监测(三)届高中毕业班质量监测(三)参考答案与评析参考答案与评析 高三数学填空题部分高三数学填空题部分 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 6 (2)x展开式中,二项式系数最大的项的系数为 (用数字填写答案) 【命题意图】本小题主要考查二项式定理等基础知识,考查运算求解能力,体现基础性,导向对发展数学 运算等核心素养的关注 【试题简析】依题意,二项
2、式系数最大项为 3333 46 2160TC xx,其系数为160 故答案为160 14甲问乙: “您有几个孩子” ,乙说: “四个” 此时,一男孩过来乙对甲说: “这是我小孩” ,接着乙对 该男孩说: “去把哥哥姐姐都叫过来,你们四人一起跟甲去趟学校” 根据上述信息,结合正确的推理,最多需要猜测次,才可以推断乙的四个小孩从长到幼的 正确性别情况;第 3 次才猜对的概率为 (第一空 2 分;第二空 3 分) 【命题意图】本小题主要考查古典概型等基础知识;考查阅读理解并提取信息进行推理论证的能力;体现 基础性、创新性、应用性,导向对发展理性思维与数学应用等核心素养的关注 【试题简析】 记 i A
3、为乙的第i个孩子是男性,依题意,四个孩子从长到幼的性别情况有 1234 (,)A A A A, 1234 (,)A A A A, 1234 (,)A A A A, 1234 (,)A A A A, 1234 (,)A A A A, 1234 (,)A A A A,共 6 种,最多需要猜测 5 次,便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况;第 3 次就猜 对的概率为 1 6 故答案为5; 1 6 15圆锥曲线光学性质(如图 1 所示)在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用如图 2,一 个光学装置由有公共焦点 12 ,F F的椭圆C与双曲线 C 构成,一光线从左焦点 1 F发出,依次经
4、过 C 与 C的反射,又回到点 1 F历时m秒;若将装置中的 C 去掉,则该光线从点 1 F发出,经过C两次反射 后又回到点 1 F历时n秒若C与 C 的离心率之比为 1 3 ,则 m n 保密使用前 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测(三)数学届高中毕业班质量检测(三)数学试题试题第第 2 页(共页(共 2 页)页) 图 1图 2 【命题意图】本题考查椭圆定义、双曲线定义、离心率等基础知识;考查推理论证、运算求解等能力;考 查数形结合、化归与转化等思想;体现综合性、创新性,导向对发展数学运算、逻辑推理、 直观想象等核心素养的关注 【试题简析】设椭圆的长半轴长为 1 a,双曲线的实半
5、轴长为 2 a, 在图 2 左图中,由椭圆定义可得 121 2BFBFa 由双曲线定义可得 212 2AFAFa -得 1112 22AFABBFaa, 所以 1 ABF的周长为 12 22aa 在图 2 右图中,光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点, 即直线ED过点 2 F,所以 1 EDF的周长为 1 4a, 又因为椭圆与双曲线焦点相同,离心率之比为 1 3 , 所以 12 3aa,又两次所用时间分别为,m n, 而光线速度相同,所以 1222 12 22621 4123 aaaam naa 16若正数, x y满足216xy xy,则xy的最小值为_ 【命题意图】本
6、小题主要考查不等式、函数与导数等基础知识;考查逻辑推理、运算求解等能力;考查函 数与方程、化归与转化等思想;导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注 【试题简析】令txy,则 22 16ty y tyy ty 所以 22 16 ty y ,令 2 16 ( )f yy y ,由 2 16 ( )20fyy y ,解得2y . 0,2y时,( )0fy ,( )f y单调递减,2,y时,( )0fy ,( )f y单调递增; 所以( )f y的最小值为(2)12f,又对正数, x y有0txy,所以 min 2 3t 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测(三)数学届高中毕业班质量检测
7、(三)数学试题试题第第 1 页(共页(共 5 页)页) 泉州市泉州市 20212021 届高中毕业班质量监测(三)届高中毕业班质量监测(三)参考答案与评析参考答案与评析 高三数学解答题高三数学解答题 17-1917-19 题部分题部分 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17 (10 分) 已知数列 n a, n b满足 1 9a , 1 109 nn aa ,1 nn ba (1)证明: n b是等比数列; (2)求数列( 1) lg n n b的前n项和 n S 【命题意
8、图】本小题主要考查等比数列的定义与前n项和等基础知识;考查运算求解能力;考查函数与方 程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等体现基础性和综合性,导向对发展数学运算 等核心素养的关注 【试题解析】 解法一解法一: (1)依题意, 11 1 1 nn nn ba ba 1 分 109 11010 10 11 nn nn aa aa (非零常数) 2 分 又 11 110ba 故 n b为首项 1 10b ,公比10q 的等比数列3 分 (2) (1)由可知 1 1 10 nn n bbq 4 分 所以( 1) lg( 1) lg10( 1) nnnn nn cbn 5 分 当n为偶数时,( 12
9、)( 34) (1) 2 n n Snn ; 7 分 当n为奇数时, 1 ( 12)( 34) (2)(1) 2 n n Snnn 9 分 故 , 2 1, . 2 n n n S n n 为偶数, 为奇数 (结论分)10 分 解法二解法二: (1)同解法一; (2)由(1)可知 1 1 10 nn n bbq (通项公式分)4 分 所以( 1) lg( 1) lg10( 1) nnnn nn cbn (运算分)5 分 保密使用前 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测(三)数学届高中毕业班质量检测(三)数学试题试题第第 2 页(共页(共 5 页)页) 21 1 ( 1)2 ( 1)(1
10、) ( 1)( 1) nn n Snn 231 ( 1)1 ( 1)2 ( 1)(1) ( 1)( 1) nn n Snn (方法分)6 分 -得 21 2( 1)( 1)( 1)( 1) nn n Sn (方法分)7 分 1 ( 1)1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) n n n (等比数列求和公式分)9 分 1 11 ( 1)( 1)11 ( 1)() ( 1) 222 n nn nn 故 1 11 () ( 1) 442 n n n S (结论分)10 分 18 (12 分) 脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造 的又一个彪炳史册的人间奇迹 某地区有一贫困村坐落于半山平
11、台,村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯”往返村子,因而 被称为“悬崖村” 当地政府把“藤梯”改成钢梯,使之成为村 民的“脱贫天梯” ,实现了“村民搬下来,旅游搬上去” ,做到了 长效脱贫 如图,为得到峭壁上的,A B两点的距离,钢梯的设计团队 在崖底的,P Q两点处分别测得 1 APQ, 1 BPQ, APB, 2 AQP, 2 BQP,且PQs (1)用 12 ,s 表示AP; (2)已知 1 17, 2 150,90.0s 米,51.3,又经计算得250.0AP 米,求AB 参考数据:sin130.225 ,cos130.974 ,sin51.30.780 ,cos51.30.625 【
12、命题意图】本小题以“悬崖村”的脱贫事件为背景,以修建钢梯的测量为问题情境,考查正弦定理、余 弦定理,解三角形等基础知识;考查抽象概括能力,空间想象能力,运算求解能力与应用意 识和创新意识;考查转化与化归思想,函数与方程思想;考查基本活动经验;导向对数学抽 象,数学建模,数学运算核心素养的关注 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测(三)数学届高中毕业班质量检测(三)数学试题试题第第 3 页(共页(共 5 页)页) 【试题解析】 (1)如图,在APQ中,根据正弦定理得 212 sinsin APPQ ,3 分 化简得 2 12 sin sin s AP ;5 分 (2)在BPQ中,根据正弦
13、定理得 212 sinsin BPPQ ,6 分 可得 2 12 sin90 0.5 200 sin 1800.225 s BP ,7 分 又在ABP中,根据余弦定理得 222 2cosABAPBPAP BP10 分 代入得 2 40000625002 200 250 0.62540000AB , 所以200AB 米 12 分 19 (12 分) 永春老醋以其色泽鲜艳、 浓香醇厚的独特风味, 与山西陈醋、 镇江香醋、 保宁药醋并称中国四大名醋 为 提高效率、改进品质,某永春老醋生产公司于 2018 年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研究2020 年底,技术团队进行阶段试验成果检验,为下阶段的
14、试验提供数据参考现从改良前、后两种发酵工艺生 产的成品醋中,各随机抽取 100 件进行指标值M的检测,检测分两个步骤,先检测是否合格,若合格, 再进一步检测是否为一等品因检测设备问题,改良后的成品醋有 20 件只进行第一步检测且均为合格, 已完成检测的 180 件成品醋的最终结果如下表所示 指标区 间 2, 1) 1,0)0,1)1,2)2,3)3,4) 来源 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 个数315230263134241572 附:成品醋的品质采用指标值M进行评价,评价标准如下表所示 泉州市泉州市 2
15、021 届高中毕业班质量检测(三)数学届高中毕业班质量检测(三)数学试题试题第第 4 页(共页(共 5 页)页) 0,1)M 1,3)M 0,3)M 一等品二等品三等品 合格不合格 (1)现从样本的不合格品中随机抽取2件,记来自改良后的不合格品件数为X,求X的分布列; (2)根据以往的数据,每销售一件成品醋的利润y(单位:元)与指标值M的关系为 5,0,1), 3,1,3), 2,0,3). M yM M 若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”, 则 20 件还未进一步 检测的样本中,至少需要几件一等品? 【命题意图】本小题主要考查条件概率、独立性检验、数学期望等基础知识;考查数据
16、处理能力、应用意 识和创新意识等;考查统计与概率思想;导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据 分析等核心素养的关注 【试题解析】 (1)依题意,已检测的不合格品样本共有 20 个, 其中改良前的有 15 个,改良后的有 5 个2 分 0,1,2X 3 分 20 155 2 20 21 (0) 38 CC P X C ; 4 分 11 155 2 20 15 (1) 38 CC P X C ; 5 分 02 155 2 20 1 (2) 19 CC P X C 6 分 故X的分布列为: X012 P 21 38 15 38 1 19 (2)由样本估计总体的思想由样本估计总体的思想,7 分分
17、 改良前成品醋利润的数学期望 305515 53( 2)2.85 100100100 ;8 分 若要使“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”, 则改良后的利润至少应为2.85 (120%)3.42. 9 分 假设改良后 20 个还未进行进一步检测的样本中,一等品有x个, 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测(三)数学届高中毕业班质量检测(三)数学试题试题第第 5 页(共页(共 5 页)页) 则,改良后的一等品有26x个,二等品有69x个. 改良后成品醋利润的数学期望 26695 53( 2) 100100100 xx 10 分 依题意, 26695 53( 2)3.42 10010
18、0100 xx 11 分 求得7.5x, 又xN,故 20 个还未进行进一步检测的样本中,一等品至少需要 8 个12 分 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测(三)数学届高中毕业班质量检测(三)数学试题试题第第 1 页(共页(共 11 页)页) 泉州市泉州市 20212021 届高中毕业班质量监测(三)届高中毕业班质量监测(三)参考答案与评析参考答案与评析 高三数学解答第高三数学解答第 2020 至至 2222 题部分题部分 20 (12 分) 如图,在四棱锥PABCD中,二面角PADC是直二面角,AD为等腰直角三角形PAD的斜 边,2ADCD,1ABBC, 5BD ,M为线段PC上的
19、动点 (1)当PMMC时,证明:PA/平面MBD; (2)若平面MBD 平面ABCD,求二面角BMDC的余弦值 【命题意图】本题考查空间几何点线面位置关系、线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定、点面距离的 求法等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查化归与转化的思 想;考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养 【试题解析】 (1) 连结AC交BD于N,连结MN,1 分 因为2ADCD,1ABBC, 所以BD为AC的垂直平分线,则ANCN,2 分 又因为PMMC,所以MN为PAC的中位线,则PA/MN,3 分 又因为PA平面MBD,MN 平面MBD,.4 分 所以PA/平
20、面MBD 4 分 保密使用前 泉州市泉州市 2021 届高中毕业班质量检测(三)数学届高中毕业班质量检测(三)数学试题试题第第 2 页(共页(共 11 页)页) (2) 解法解法一一:取AD的中点O,因为平面PAD 平面ABCD, 所以OP 平面ABCD, 5 分 过O作AD的垂线作为x轴,分别以,OD OP所在的直线为y轴,z轴建立如图空间直角 坐标系, 则(0,0,1)P,(0, 1,0)A,(0,1,0)D, 6 分 由已知 222 14ABADBD ,得ABAD,故(1, 1,0)B,7 分 假 设( , ,0)C x y, 因 为( ,1,0)ACx y ,( 1,2,0)BD ,(
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