2022年新高考数学模拟试卷（1）.docx

1、第 1 页（共 22 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 2 |23AxZ xx，0B ，1，3，则(AB ) A 1，0，1，2，3 B0，1，2 C0，1，3 D0，1 2 （5 分）复数( 3 i i i 为虚数单位）的虚部是( ) A 1 10 B 1 10 i C 3 10 i D 3 10 3 （5 分）已知函数 2 ( )f xaxx， 2, 0 ( ) 2 ,0 axxx g x ax x ，若方程( ( )0g f x有四个不等的

2、 实数根，则实数a的取值范围是( ) A( 4,0) B(0,4) C(，4)(0，) D(，0)(4，) 4 （5 分）武汉疫情爆发后，某医院抽调 3 名医生，5 名护士支援武汉的三家医院，规定每 家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有( ) A900 种 B1200 种 C1460 种 D1820 种 5 （5 分）在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 上平面ABC，记ABC和四边形 11 ACC A的外 接圆圆心分别为 1 O， 2 O，若2AC ，且三棱柱外接球体积为 32 3 ，则 22 12 O AO A的值为( ) A 8 3 B3 C 11 3 D5 6 （5

3、 分）在平行四边形ABCD中，1AD ， 1 2 AB ，60BAD，E为CD的中点，则 (AC BE ) A2 B1 C1 D2 7 （5 分）下列命题中正确的个数为( ) 如果()baR，那么b与a方向相同； 若非零向量AB与CD共线，则A、B、C、D四点共线； ABC中，若90B ，则0AC CB ； 第 2 页（共 22 页） 四边形ABCD是平行四边形，则必有ABDC A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 8 （5 分）已知函数 1 ( )1(0,1) x f xaaa 的图象恒过点A，下列函数图象不经过点A的 是( ) A12yx B|2| 1yx C 2 log (2 )1yx

4、 D 1 2xy 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知等比数列 n a中，满足 1 1a ，2q ，则( ) A数列 1 n a 是等差等列 B数列 1 n a 是递减数列 C数列 2 log n a是等差数列 D数列 2 log n a是递减数列 10 （5 分）如图是正态分布(0,1)N的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有( ) A 1 () 2 P Xt B 1 (1) 2 P Xt C 1 () 2 P Xt D 1 () 2 P Xt 11 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，

5、点E在棱 1 DD上，且 1 2DEED，F是线 段 1 BB上一动点，则下列结论正确的有( ) AEFAC B存在一点F，使得 1 / /AEC F C三棱锥 1 DAEF的体积与点F的位置无关 第 3 页（共 22 页） D直线 1 AA，与平面AEF所成角的正弦值的最小值为 3 10 10 12 （5 分）已知函数 2 ( )24(3)5f xaxax，下列关于函数( )f x的单调性说法正确的是 ( ) A函数( )f x在R上不具有单调性 B当1a 时，( )f x在(,0)上递减 C若( )f x的单调递减区间是(，4，则a的值为1 D若( )f x在区间(,3)上是减函数，则a的

6、取值范围是 3 0, 4 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）计算：(27 ) | 34 |5 12 |34iii ii 14 （5 分）已知函数 2 ( ) 21 x x b f x 为定义在区间 2a，31a 上的奇函数，则a ， b 15 （5 分）已知直三棱柱 111 ABCABC中，120ABC，2ABBC， 1 1CC ，则异面 直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为 16 （5 分）一个直三棱柱容器 111 ABCABC中，ABAC，8ABcm，6ACcm，能放 进容器内最大的水晶彩色实心球可放置 3

7、个， 然后再向容器内注满透明液体， 即可制作一个 漂亮的儿童玩具，则向容器内注入的透明液体体积是 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）正项数列 n a的前n项和 n S满足： 222 (1)()0 nn SnnSnn （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2） 令 22 1 (2) n n n b na ， 求数列 n b的前n项和 n T， 证明： 对于任意的 * nN， 都有 5 64 n T 18 （12 分）2018 年 1 月 8 日，中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技 界引发热烈反响， 自主创新正成为引领经济

8、社会发展的强劲动力 某科研单位在研发新产品 的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x时，y是x的二次函数；当6x时， 1 ( ) 3 x t y 测得数据 如表（部分）: x（单位：克） 0 1 2 9 第 4 页（共 22 页） y 0 7 4 3 1 9 （1）求y关于x的函数关系式( )yf x； （2）当该产品中的新材料含量x为何值时，产品的性能指标值最大 19 （12 分）如图，正方形ABCD边长为 1，ED 平面ABCD，FB 平面ABCD，且 1(EDFBE，F在平面ABCD同侧） ，G为线段EC上的动点 （）

9、求证：AGDF； （）求 22 AGBG的最小值，并求取得最小值时二面角BAGC的余弦值 20 （12 分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全 国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况， 对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表： 月份 2017.8 2017.9 2017.10 2017.11 2017.12 2018.1 月份代码x 1 2 3 4 5 6 市场占有率 (%)y 11 13 16 15 20 21 （1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场 占有率y与月

10、份代码x之间的关系； （2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司 2018 年 2 月份的市场占有率； （3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为 1000 元/辆 和 800 元/辆的A，B两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先 对两款单车各 100 辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下： 报废年限 车型 1 年 2 年 3 年 4 年 总计 第 5 页（共 22 页） A 10 30 40 20 100 B 15 40 35 10 100 经测算， 平均每辆单车每年可以为公司带来收入 500 元 不考虑除采购成本之外的其他成本

11、， 假设每辆单车的使用寿命都是整数年， 且用频率估计每辆单车使用寿命的概率， 以每辆单车 产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？ 参考数据： 6 2 1 ()17.5 i i xx ， 6 1 ()()35 ii i xxyy ，133036.5 参考公式：相关系数 11 222222 1111 ()() ()()() )() ) nn iiii ii nnnn iiii iiii x ynxyxxyy r xnxynyxxyy ， 回归直线方程为 ybxa 其中： 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx 21 （12

12、 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 的离心率为 6 3 ，焦距为2 2斜率为k的 直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B （）求椭圆M的方程； （）若1k ，求|AB的最大值； 22 （12 分）已知函数 3 1 ( )() 3 f xxlnxRkk 第 6 页（共 22 页） （）求函数( )f x的最值； （）若( )sin(0)g xxlnx xk，求方程( )( )f xg x的根的个数 第 7 页（共 22 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分

13、40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 2 |23AxZ xx，0B ，1，3，则(AB ) A 1，0，1，2，3 B0，1，2 C0，1，3 D0，1 【解答】解：| 130AxZx ，1，2，0B ，1，3， 0AB，1 故选：D 2 （5 分）复数( 3 i i i 为虚数单位）的虚部是( ) A 1 10 B 1 10 i C 3 10 i D 3 10 【解答】解： (3)1313 3(3)(3)101010 iiii i iii ，虚部为： 3 10 故选：D 3 （5 分）已知函数 2 ( )f xaxx， 2, 0 ( ) 2 ,0 axxx g x

14、 ax x ，若方程( ( )0g f x有四个不等的 实数根，则实数a的取值范围是( ) A( 4,0) B(0,4) C(，4)(0，) D(，0)(4，) 【解答】解：由题意，当0a 时，由( )0g t ，解得0t 或ta， 又由( ( )0g f x可得( )0f x 或( )f xa， 此时方程( )0f x 有 2 解，方程( )f xa要有 2 解时，则 2 40aa，解得4a ， ； 当0a 时，由( ( )0g f x可得( )0f x ，可得 2 0 x 只有 1 解； 当0a 时，由( )0t ，解得0t 或 2 a t ， 又由( ( )0g f x可得( )0f x

15、 或( ) 2 a f x ， 此时方程( )0f x 有 2 解，方程( ) 2 a f x 要有 2 解时，则 2 20aa，解得0a ， 综上，实数a的取值范围为(，0)(4，) 第 8 页（共 22 页） 故选：D 4 （5 分）武汉疫情爆发后，某医院抽调 3 名医生，5 名护士支援武汉的三家医院，规定每 家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有( ) A900 种 B1200 种 C1460 种 D1820 种 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 将 3 名医生安排到三家医院，有 3 3 6A 种安排方法， 将 5 名护士分为 3 组，安排到三家医院，有 22 335

16、3 53 2 2 ()150 C C CA A 种安排方法， 则有6 150900种不同的安排方案， 故选：A 5 （5 分）在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 上平面ABC，记ABC和四边形 11 ACC A的外 接圆圆心分别为 1 O， 2 O，若2AC ，且三棱柱外接球体积为 32 3 ，则 22 12 O AO A的值为( ) A 8 3 B3 C 11 3 D5 【解答】解：三棱柱 111 ABCABC中，设外接球的半径为r， 则： 3 432 33 r V ，解得2r 设AC的中点为M，三棱柱 111 ABCABC中的外接球的球心为O， 由 1 OO 平面ABC与 2 O

17、 M 平面ABC，得到：四边形 12 OO MO为矩形 所以： 222222 12 213OMO MOMAOAM ， 所以： 222222 1212 5O AO AOMAMO MAM 故选：D 6 （5 分）在平行四边形ABCD中，1AD ， 1 2 AB ，60BAD，E为CD的中点，则 (AC BE ) A2 B1 C1 D2 【解答】解：如图， 1 1,60 2 ADABBAD， 第 9 页（共 22 页） 又ACABAD， 1 2 BEBCCEADAB， 2211111 () ()11 22288 AC BEABADADABABADAB AD 故选：C 7 （5 分）下列命题中正确的个

18、数为( ) 如果()baR，那么b与a方向相同； 若非零向量AB与CD共线，则A、B、C、D四点共线； ABC中，若90B ，则0AC CB ； 四边形ABCD是平行四边形，则必有ABDC A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【解答】解：对于，()baR，那么b与a方向相同或相反，故错误， 对于，非零向量AB与CD共线，则A，B，C，D四点共线或AB与CD平行，故错 误， 对于，ABC中，若90B ，则0AC CB ，故正确， 对于，四边形ABCD是平行四边形，则必有ABDC，故正确 故选：C 8 （5 分）已知函数 1 ( )1(0,1) x f xaaa 的图象恒过点A，下列函数图象不

19、经过点A的 是( ) A12yx B|2| 1yx C 2 log (2 )1yx D 1 2xy 【解答】解：函数 1 ( )1(0,1) x f xaaa 的图象恒过点A， 即10 x ，可得1x ， 那么：f（1）2 第 10 页（共 22 页） 恒过点(1,2)A 把1x ，2y 带入各选项， 经考查各选项，只有D没有经过A点 故选：D 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知等比数列 n a中，满足 1 1a ，2q ，则( ) A数列 1 n a 是等差等列 B数列 1 n a 是递减数列 C数列 2 log

20、n a是等差数列 D数列 2 log n a是递减数列 【解答】解：在等比数列 n a中，由 1 1a ，2q ，得 1 2n n a ， 则 1 11 ( ) 2 n n a ，由 1 1 1 1 1 2 nn n n aa a a ，可得数列 1 n a 是递减等比数列， 故A错误，B正确； 又 1 22 log21 n n alogn ， 212 loglog(1)1 nn aann ， 数列 2 log n a是递增的等差数列， 故C正确，D错误 故选：BC 10 （5 分）如图是正态分布(0,1)N的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有( ) A 1 () 2 P Xt B

21、1 (1) 2 P Xt C 1 () 2 P Xt D 1 () 2 P Xt 【解答】解：由标准正态分布的对称性，可得()()P XtP Xt剠， 则图中阴影部分可表示为 1 () 2 P Xt或 1 () 2 P Xt 或 1 () 2 P Xt 故选：ACD 第 11 页（共 22 页） 11 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点E在棱 1 DD上，且 1 2DEED，F是线 段 1 BB上一动点，则下列结论正确的有( ) AEFAC B存在一点F，使得 1 / /AEC F C三棱锥 1 DAEF的体积与点F的位置无关 D直线 1 AA，与平面AEF所成角的正

22、弦值的最小值为 3 10 10 【解答】 解： 如图， 连接BD， 可得BDAC， 1 BDBB， 则AC 平面BDEF， 所以ACEF， 故A正确； 在 1 AA上取一点H，使得 1 2HAAH，连接 1 EC，EH， 1 HB， 由 1 2DEED，可得 11 / /EHBC， 11 EHBC， 四边形 11 BC EH为平行四边形，则 11 / /C EB H， 11 C EB H 若 1 2BFB F，易证四边形 1 AHB F为平行四边形， 则 1 / /AFB H， 1 AFB H， 从而 1 / /AFC E， 1 AFC E， 故四边形 1 AEC F为平行四边形， 于是 1

23、/ /AEC F，故B正确； 设ABa，三棱锥 1 DAEF的体积与三棱锥 1 FAD E的体积相等， 则 11 3 112 3239 DAEFFAD E aa VVaa ， 即三棱锥 1 DAEF的体积与正方体的棱长有关，与点F的位置无关，故C正确； 以 1 C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 1 Cxyz， 设3AB ，则(3A，3，3)， 1(3 A，3，0)，(3E，0，2)，(0F，3，) t， 从而 1 (0,0, 3),(0, 3, 1),( 3,0,3)AAAEAFt 第 12 页（共 22 页） 设平面AEF的法向量( , , )nx y z，则 30 3(3)0 n A

24、Eyz n AFxtz ， 令3z ，得(3, 1,3)nt， 从而 1 1 2 1 3 cos, | (3)10 AA n AA n AAn t ， 即直线 1 AA与平面AEF所成角的正弦值为 2 3 (3)10t ， 因为03t剟， 所以 2 10 (3)10 19t 剟， 所以 2 3 1933 10 1910 (3)10t 剟， 即直线 1 AA与平面AEF所成角的正弦值的最大值为 3 10 10 ，故D错误 故选：ABC 12 （5 分）已知函数 2 ( )24(3)5f xaxax，下列关于函数( )f x的单调性说法正确的是 ( ) A函数( )f x在R上不具有单调性 B当1

25、a 时，( )f x在(,0)上递减 C若( )f x的单调递减区间是(，4，则a的值为1 D若( )f x在区间(,3)上是减函数，则a的取值范围是 3 0, 4 【解答】解：对于A，当0a 时，( )125f xx 在R上单调递减，故A错误； 对于B，当1a 时， 2 ( )285f xxx，对称轴为2x ，单调递减区间为(,2)，故B正 第 13 页（共 22 页） 确； 对于C，若( )f x的单调递减区间是(，4，则 4(3) 4 4 a a ，且0a ，无解，故C错 误； 对于D，当0a 时，满足( )f x在区间(,3)上是减函数； 当0a ，若( )f x在区间(,3)上是减函

26、数，则0a 且 4(3) 3 4 a a ，解得 3 0 4 a ， 所以若( )f x在区间(,3)上是减函数，则a的取值范围是 3 0, 4 ，故D正确 故选：BD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）计算：(27 ) | 34 |5 12 |34iii ii 16i 【解答】解：27 ) | 34 |5 12 |34iii ii 2222 53( 3)45( 12)ii 53513ii 16i 故答案为：16i 14 （5 分）已知函数 2 ( ) 21 x x b f x 为定义在区间 2a，31a 上的奇函数，

27、则a 1 ， b 【解答】解：因为函数 2 ( ) 21 x x b f x 为定义在区间 2a，31a 上的奇函数， 所以2310aa ，解得1a ， 因为( )f x为奇函数， 所以( 1)ff （1） ，即 1 1 22 212 1 bb ， 解得1b 故答案为：1；1 15 （5 分）已知直三棱柱 111 ABCABC中，120ABC，2ABBC， 1 1CC ，则异面 直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为 3 5 【解答】解：连接 1 B C，交 1 BC于点O，则点O为 1 B C的中点，取AC的中点D，连接BD、 OD， 1 / /ODAB，BOD即为异面直线 1 AB与

28、1 BC所成角 第 14 页（共 22 页） 120ABC，2ABBC， 1 1CC ， 1BD， 1 15 22 ODAB， 1 15 22 OBBC， 在BOD中，由余弦定理知， 222 55 1 3 44 cos 2555 2 22 OBODBD BOD OB OD 故答案为： 3 5 16 （5 分）一个直三棱柱容器 111 ABCABC中，ABAC，8ABcm，6ACcm，能放 进容器内最大的水晶彩色实心球可放置 3 个， 然后再向容器内注满透明液体， 即可制作一个 漂亮的儿童玩具，则向容器内注入的透明液体体积是 3 32(9)cm 【解答】解：由题意知，三棱柱的底面是直角三角形，且

29、斜边长为10cm， 放进去最大球即为该几何体的内切球， 则球的半径等于该三棱柱底面直角三角形的内切圆的 半径， 设半径为r，则8 6(8610)r，解得2rcm， 能放进去 3 个这样的球，则该容器的高为(22)312cm 透明液体的体积为 33 14 6 8 12232883232(9) 23 cm 故答案为： 3 32(9)cm 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）正项数列 n a的前n项和 n S满足： 222 (1)()0 nn SnnSnn （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2） 令 22 1 (2) n n n b na

30、， 求数列 n b的前n项和 n T， 证明： 对于任意的 * nN， 都有 5 64 n T 【解答】解： （1） 222 (1)()0 nn SnnSnn， 2 ()(1)0 nn SnnS， 第 15 页（共 22 页） 2 n Snn，或1 n S （舍去） ， 故正项数列 n a为等差数列， 其中 1 1 12a ， 221 4aSS， 故22(1)2 n ann； （2） 2222 1111 () 4(2)16(2) n n b n nnn ， 22 11111111 (1) 169416925(2) n T nn 22 1111 (1) 164(1)(2)nn 22 5111 (

31、) 6416 (1)(2)nn ； 故 5 64 n T 18 （12 分）2018 年 1 月 8 日，中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技 界引发热烈反响， 自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力 某科研单位在研发新产品 的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x时，y是x的二次函数；当6x时， 1 ( ) 3 x t y 测得数据 如表（部分）: x（单位：克） 0 1 2 9 y 0 7 4 3 1 9 （1）求y关于x的函数关系式( )yf x； （2）当该产品中的新材料含量x为何值时，产品的性能指

32、标值最大 【解答】解： （1）当06x 时，由题意，设 2 ( )f xaxbxc (0a )， 由表格数据得 (0)0 7 (1) 4 (2)423 fc fabc fabc ，解得 1 4 2 0 a b c ， 所以，当06x 时， 2 1 ( )2 4 f xxx ， 当6x 时， 1 ( )( ) 3 x t f x ，由表格数据可得f（9） 9 11 ( ) 39 t ，解得7t ， 所以当6x 时， 7 1 ( )( ) 3 x f x ， 第 16 页（共 22 页） 综上， 2 7 1 2 ,06 4 ( ) 1 ( ),6 3 x xxx f x x ； （2）当06x 时

33、， 22 11 ( )2(4)4 44 f xxxx ， 可知4x 时，( )maxf xf（4）4， 当6x 时， 7 1 ( )( ) 3 x f x 单凋递减， 可知6x 时，( )maxf xf（6） 6 7 1 ( )3 3 ， 综上可得，当4x 时，产品的性能指标值最大 19 （12 分）如图，正方形ABCD边长为 1，ED 平面ABCD，FB 平面ABCD，且 1(EDFBE，F在平面ABCD同侧） ，G为线段EC上的动点 （）求证：AGDF； （）求 22 AGBG的最小值，并求取得最小值时二面角BAGC的余弦值 【解答】 （）证明：正方形ABCD边长为 1，ED 平面ABCD

34、，FB 平面ABCD， 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系， 1(EDFBE，F在平面ABCD同侧） ，G为线段EC上的动点， (0D，0，0)，(1F，1，1)，(0E，0，1)，(1A，0，0)，(0C，1，0)，(1B，1，0)， (1DF ，1，1)，( 1AE ，0，1)，( 1AC ，1，0)， 1 10DF AE ，1 10DF AC ， DFAE，DFAC， AEACA，AE 平面ACE，AC 平面ACE， DF平面ACE， 第 17 页（共 22 页） AG 平面ACE，AGDF （）解：设(0G，t，1)(01)tt剟， 则 22222222

35、 311 1(1)1(1)(1)4654() 44 AGBGttttttt ， 当 3 4 t 时，取得最小值 11 4 ， 此时(0G， 3 4 ， 1 ) 4 ，( 1AG ， 3 4 ， 1 ) 4 ，(0ABC，1，0)，( 1AC ，1，0)， 设平面ABG的一个法向量为(nx，y，) z， 则 0 31 0 44 n ABy n AGxyz ，取1x ，可得(1n ，0，4)， 由（1）可知平面AGC的一个法向量为(1mDF，1，1)， 则cosm， 55 51 |51317 m n n m n ， 故二面角BAGC的余弦值为 5 51 51 20 （12 分）基于移动互联技术的共

36、享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全 国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况， 对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表： 月份 2017.8 2017.9 2017.10 2017.11 2017.12 2018.1 月份代码x 1 2 3 4 5 6 第 18 页（共 22 页） 市场占有率 (%)y 11 13 16 15 20 21 （1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场 占有率y与月份代码x之间的关系； （2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司 2018 年 2 月份的市场占

37、有率； （3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为 1000 元/辆 和 800 元/辆的A，B两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先 对两款单车各 100 辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下： 报废年限 车型 1 年 2 年 3 年 4 年 总计 A 10 30 40 20 100 B 15 40 35 10 100 经测算， 平均每辆单车每年可以为公司带来收入 500 元 不考虑除采购成本之外的其他成本， 假设每辆单车的使用寿命都是整数年， 且用频率估计每辆单车使用寿命的概率， 以每辆单车 产生利润的期望值为决策依据如果你是该

38、公司的负责人，你会选择采购哪款车型？ 参考数据： 6 2 1 ()17.5 i i xx ， 6 1 ()()35 ii i xxyy ，133036.5 参考公式：相关系数 11 222222 1111 ()() ()()() )() ) nn iiii ii nnnn iiii iiii x ynxyxxyy r xnxynyxxyy ， 回归直线方程为 ybxa 其中： 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx 第 19 页（共 22 页） 【解答】解： （1）散点图如图所示 1 (11 1316152021)16 6 y ， 6 2 1 ()76

39、 i i yy ， 35 0.96 175 76 r ， 所以两变量之间具有较强的线性相关关系， 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系 （2） 35 2 17.5 b ， 第 20 页（共 22 页） 又 1 (123456)3.5 6 x ， 9aybx， 回归直线方程为29yx， 2018 年 2 月的月份代码7x ， 23y， 所以估计 2018 年 2 月的市场占有率为23% （3）用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为： X 500 0 500 1000 P 0.1 0.3 0.4 0.2 ()500 0.10 0.3500 0.41000 0.2350E X （元) B款单车

40、的利润Y的分布列为： Y 300 200 700 1200 P 0.15 0.4 0.35 0.1 ( )300 0.15200 0.4700 0.35 1200 0.1400E Y （元) 以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 的离心率为 6 3 ，焦距为2 2斜率为k的 直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B （）求椭圆M的方程； （）若1k ，求|AB的最大值； 【解答】解： （）由题意得22 2c ，所以2c ， 又 6 3 c e a ，所以3a ，所以 222 1bac， 所以椭圆M的标准方程为

41、 2 2 1 3 x y （）设直线AB的方程为yxm， 由 2 2 1 3 yxm x y 消去y可得 22 46330 xmxm， 则 222 364 4(33)48 120mmm ，即 2 4m ， 第 21 页（共 22 页） 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 3 2 m xx ， 2 12 33 4 m x x ， 则 2 222 121212 64 |1|1()4 2 m ABkxxkxxx x ， 易得当 2 0m 时，|6 max AB，故|AB的最大值为6 22 （12 分）已知函数 3 1 ( )() 3 f xxlnxRkk （）求函数(

42、 )f x的最值； （）若( )sin(0)g xxlnx xk，求方程( )( )f xg x的根的个数 【解答】解： （） 3 1 ( ) 3 f xxlnx k， 3 2 ( ) x fxx xx kk 当0k?时，( )0fx，函数在(0,)上单调递增，无最值； 当0k时，令( )0fx，即 3 0 x k，得3x k， 当(0, 3 )xk时，( )0fx，( )f x单调递减， 当( 3xk，)时，( )0fx，( )f x单调递增， ( )f x有极小值也是最小值为 3 11 ( 3 )( 3 )( 3 ) 33 e flnlnkkkkk k 综上可得，当0k?时，函数( )f

43、x在(0,)上无最值； 当0k时，( )f x的最小值为 1 3 e lnk k ，无最大值 （）( )sin(0)g xxlnx xk， 3 1 ( )() 3 f xxlnxRkk 由( )( )f xg x，得 3 1 sin(0) 3 xlnxxlnx xkk， 求方程( )( )f xg x的根的个数，即求 3 1 sin0(0) 3 xxx的根的个数， 令 3 1 ( )sin (0) 3 h xxx x，则 2 ( )cos (0)h xxx x， 令 2 ( )cos (0)m xxx x，则( )2sin (0)m xxx x， 令( )2sin (0)n xxx x，则(

44、)2cos0n xx在(0,)上成立 ( )n x在(0,)上单调递增， 又( )(0)0n xn，( )0m x ，即( )m x在(0,)上单调递增， 也就是( )h x在(0,)上单调递增， 第 22 页（共 22 页） 又(0)10m ， 2 ( )0 24 m ， 在(0,) 2 上存在一个 0 x，使得 0 ()0m x，即 0 ()0h x， 当 0 (0,)xx时，( )0h x，( )h x单调递减； 当 0 (xx，)时，( )0h x，( )h x单调递增 又(0)0h，且 0 ()0h x，( )0h， ( )h x在 0 (x，)上只有一个零点，即函数( )h x在(0,)只有一个零点 方程( )( )f xg x有且只有一个根