2022年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（5）.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合UR， 2 |3 Ax xx， |2Bx x，则()( UA B ) A |02xx B |02xx剟 C |0 x x D |23xx 2 （5 分）ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A，2sinB，sinC 成等差数列，且tan15A ，则( a b ) A 1 2 B 2 3 C2 D2 3 （5 分）函数( )(33 )| xx

2、f xlg x 的图象大致为( ) A B C D 4 （5 分）下列命题中正确的是( ) A若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行 B若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面 C若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行 D不共线的四点可以确定一个平面 5 （5 分）在平行四边形ABCD中，E，F分别满足 1 3 BEBC， 1 2 DFDC，则(AF ) A 59 88 BDAE B 51 82 BDAE C 13 44 BDAE D 1 4 BDAE 6 （5 分）如图为某班 35 名学生的投篮成绩（每人投一次的条形统计图，其中上面部分 第 2 页（共 21 页） 数据破损

3、导致数据不完全已知该班学生投篮成绩的中位数是 5则根据统计图，则下列说 法错误的是( ) A3 球以下（含 3 球）的人数为 10 B4 球以下（含 4 球）的人数为 17 C5 球以下（含 5 球）的人数无法确定 D5 球的人数和 6 球的人数一样多 7 （5 分）已知复数 1 z、 2 z满足 12 |(0)zzr r，复数(1,*) i i n nN剟满足 1 | i zr或 者 2 | i zr，且| ij r对任意1 ij n剟成立，则正整数n的最大值为( ) A6 B8 C10 D12 8 （5 分）某中学举行了科学防疫知识竞赛经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角 逐 他们还将

4、进行四场知识竞赛 规定： 每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，( c abc， 且a，b， *) cN；选手总分为各场得分之和四场比赛后，已知甲最后得分为 16 分，乙 和丙最后得分都为 8 分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是( ) A每场比赛的第一名得分a为 4 B甲至少有一场比赛获得第二名 C乙在四场比赛中没有获得过第二名 D丙至少有一场比赛获得第三名 9 （5 分）已知 22 :2220C xyxy，直线:220l xy，M为直线l上的动点， 过点M作C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线 AB的方程为( ) 第 3 页（共 21 页

5、） A210 xy B210 xy C210 xy D210 xy 10 （5 分） 已知函数( )3xf xx， 3 ( )logg xxx， 3 ( )h xxx的零点分别为a，b，c， 则a，b，c的大小顺序为( ) Aabc Bbca Ccab Dbac 11 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线将圆 22 :(2)(4)4Cxy分 成面积相等的两部分，则双曲线的离心率为( ) A3 B5 C 3 2 2 D2 12 （5 分）已知函数( )2cossin2f xxx，则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B( )f x的最大

6、值为 3 3 2 C( )f x的图象关于( ,0)对称 D( )f x的图象关于 2 x 对称 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若x，y满足约束条件 0 4 0 1 xy xy y ，则zxy的最大值为 14 （5 分）已知 1 (2) (0) n axa x 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，若展开式中所 有项的系数和为 1，则正确命题的序号是 8n ； 1a ； 展开式中常数项为 1200； 展开式中含 6 x的项为 6 1024x 15 （5 分）已知数列 n a的通项公式 2 1 n a nn ，

7、n S为其前n项的和，则 99 S 16 （5 分）三棱柱 111 ABCABC的所有棱长均为 2，且 1 AA 平面ABC，M为AC的中点， N为棱 1 AA上的点， 且 1 CNBC， 若点A、B、M、N在同一球面上， 则该球的表面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC中，60A ，求证： 113 abacabc 18（12分） 如图， 已知多面体ABCDEF的底面ABCD是边长为2的正方形，FA底面ABCD， 2AF ，且(01)DEAF 第 4 页（共 21 页） （1）求证：/ /CE平面ABF

8、； （2）若钝二面角BCFE的正弦值为 57 19 ，求的值 19 （12 分）某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试受新冠疫 情影响，初试采取线上考核的形式，共考核A、B、C三项技能，其中A必须过关，B、C 至少有一项过关才能进入面试现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过 初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如表，且每一项考核能否 过关相互独立 考核技能 A B C 过关率 2 3 1 2 1 2 （）求甲应聘者能进入面试的概率； （）用X表示三位应聘者中能进面试的人数，求X的分布列及期望EX 20 （12 分）已知函数 2 ( )(1

9、)(f xaxxb lnx a、)bR （1）当1a ，4b 时，求( )yf x的单调区间； （2）当2b ，1x时，求( ) |( )|g xf x的最小值 21 （12 分）已知动点M到直线20 x 的距离比到点(1,0)F的距离大 1 （1）求动点M所在的曲线C的方程； （2）已知点(1,2)P，A、B是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率 互为相反数，证明直线AB的斜率为定值，并求出这个定值； （3）已知点(1,2)P，A、B是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率 之和为 2，证明：直线AB过定点 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分

10、 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 5 页（共 21 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 4 1 ( 4 1 x t t t y t 为参数，)tR （）求曲线C的直角坐标方程； （）已知直线l的参数方程为 3 1 2 ( 1 2 xt t yt 为参数，)tR，点(1,0)M，并且直线l与曲 线C交于A，B两点，求 11 |MAMB 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |f xxaxb （1）当1a ，2b 时，求不等式( ) 5f x 的解集； （2）设0a ，0b ，若( )f x的最小值为 2，证明：

11、114 13ab 第 6 页（共 21 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合UR， 2 |3 Ax xx， |2Bx x，则()( UA B ) A |02xx B |02xx剟 C |0 x x D |23xx 【解答】解： |0Ax x，或3x ； |03 UA xx剟； () |02 UA Bxx剟； 故选：B 2 （5 分）ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

12、sin A，2sinB，sinC 成等差数列，且tan15A ，则( a b ) A 1 2 B 2 3 C2 D2 【解答】解：依题意，sin A，2sinB，sinC成等差数列，所以4bac， 又tan15A ， 22 sin 15 cos 1 A A sin Acos A 解得 1 cos 4 A ， 222 1 cos 42 bca A bc ， 4bac， 4cba ， 222 1(4) 42 (4) bbaa bba ，化简得2 a b 故选：C 3 （5 分）函数( )(33 )| xx f xlg x 的图象大致为( ) A B 第 7 页（共 21 页） C D 【解答】解：

13、函数的定义域为 |0 x x ， ()(33 )|( ) xx fxlg xf x ， 则函数( )f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B， 当1x 时，( )0f x ，排除A， 当01x时，( )0f x ，排除C， 故选：D 4 （5 分）下列命题中正确的是( ) A若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行 B若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面 C若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行 D不共线的四点可以确定一个平面 【解答】解：在A中，从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交，但他们的交线互 相垂直，故A错误； 在B中从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个

14、平面，故B错误； 在C中不同的两条直线均垂直于同一个平面则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行， 故C正确； 在D中，若四点连线构成两条异面直线，这时四点不能确定一个平面，故D错误； 故选：C 5 （5 分）在平行四边形ABCD中，E，F分别满足 1 3 BEBC， 1 2 DFDC，则(AF ) A 59 88 BDAE B 51 82 BDAE C 13 44 BDAE D 1 4 BDAE 【解答】解：因为 1 3 BEBC， 1 2 DFDC， 第 8 页（共 21 页） 所以 11 22 AFADDFADDCABAD， 1 3 AEABAD，BDADAB 若AFxBDyAE，则 11

15、1 ()()()() 233 ABADx ADABy ABADxy ADyx AB， 所以 1 2 1 1 3 yx xy 解得 5 8 x ， 9 8 y ， 所以 59 88 AFBDAE 故选：A 6 （5 分）如图为某班 35 名学生的投篮成绩（每人投一次的条形统计图，其中上面部分 数据破损导致数据不完全已知该班学生投篮成绩的中位数是 5则根据统计图，则下列说 法错误的是( ) A3 球以下（含 3 球）的人数为 10 B4 球以下（含 4 球）的人数为 17 C5 球以下（含 5 球）的人数无法确定 D5 球的人数和 6 球的人数一样多 【解答】解：该班学生投篮成绩的中位数是 5，

16、由某班 35 名学生的投篮成绩的统计图得： 在A中，3 球以下（含 3 球）的人数为23510，故A正确； 在B中，4 球以下（含 4 球）的人数为：351817，故B正确； 第 9 页（共 21 页） 在C中，5 球以下（含 5 球）的人数无法确定，故C正确； 在D中，5 球的人数和 6 球的人数不一定一样多，故D错误 故选：D 7 （5 分）已知复数 1 z、 2 z满足 12 |(0)zzr r，复数(1,*) i i n nN剟满足 1 | i zr或 者 2 | i zr，且| ij r对任意1 ij n剟成立，则正整数n的最大值为( ) A6 B8 C10 D12 【解答】解：用向

17、量,OA OB表示 12 ,z z， 因为 12 |(0)zzr r，所以| |OAOBBAr， 又复数(1,*) i i n nN剟满足 1 | i zr或者 2 | i zr， 则 i 可表示以O为起点，终点在以A为圆心，半径为r的圆上的向量，或终点在以B为圆 心，半径为r的圆上的向量， 则终点可能的个数即为n， 因为| ij r对任意1 ij n剟成立， 所以同一个圆上的两个点形成的最小圆心角为60， 如图所示，则最多有 10 个可能的终点，即10n 故选：C 8 （5 分）某中学举行了科学防疫知识竞赛经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角 逐 他们还将进行四场知识竞赛 规定： 每场知

18、识竞赛前三名的得分依次为a，b，( c abc， 且a，b， *) cN；选手总分为各场得分之和四场比赛后，已知甲最后得分为 16 分，乙 和丙最后得分都为 8 分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是( ) A每场比赛的第一名得分a为 4 B甲至少有一场比赛获得第二名 第 10 页（共 21 页） C乙在四场比赛中没有获得过第二名 D丙至少有一场比赛获得第三名 【解答】解：甲最后得分为 16 分， 4a， 接下来以乙为主要研究对象， 若乙得分名次为：1 场第一名，3 场第二名，则38ab，则384ba，而 * bN， 则1b ， 又 * cN，abc，此时不合题意； 若乙得分名次

19、为： 1 场第一名， 2 场第二名， 1 场第三名， 则28abc， 则284b ca ， 由abc，且a，b， * cN可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意； 若乙得分名次为： 1 场第一名， 1 场第二名， 2 场第三名， 则28abc， 则284bca ， 由abc，且a，b， * cN可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意； 若乙得分名次为：1 场第一名，3 场第三名，则38ac，此时显然5a ，1c ， 则甲的得分情况为 3 场第一名，1 场第三名，共3 5116 分， 乙的得分情况为 1 场第一名，3 场第三名，共53 18 分， 丙的得分情况为 4 场第二名，则48b ，即

20、2b ，此时符合题意 综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名 故选：C 9 （5 分）已知 22 :2220C xyxy，直线:220l xy，M为直线l上的动点， 过点M作C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线 AB的方程为( ) A210 xy B210 xy C210 xy D210 xy 【解答】解： 22 :2220C xyxy的标准方程为 22 (1)(1)4xy， 则圆心(1,1)C，半径2r 因为四边形MACB的面积 2 2| | 2| 2 |4 CAM SSCAAMAMCM ， 要使四边形MACB面积最小，则需|CM最小，此时CM与直线

21、l垂直， 直线CM的方程为12(1)yx ，即21yx， 联立 21 220 yx xy ，解得(0, 1)M则|5CM 第 11 页（共 21 页） 则以CM为直径的圆的方程为 22 15 () 24 xy， 与C的方程作差可得直线AB的方程为210 xy 故选：B 10 （5 分） 已知函数( )3xf xx， 3 ( )logg xxx， 3 ( )h xxx的零点分别为a，b，c， 则a，b，c的大小顺序为( ) Aabc Bbca Ccab Dbac 【解答】解：( )30 x f xx，则3xx ， 3 ( )logg xxx，则 3 logxx ， 3 ( )h xxx，则 3

22、xx ， 函数( )f x，( )g x，( )h x的零点分别为a，b，c， 作出函数3xy ， 3 logyx ， 3 yx ，yx的图象如图， 由图可知：bca， 故选：B 第 12 页（共 21 页） 11 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线将圆 22 :(2)(4)4Cxy分 成面积相等的两部分，则双曲线的离心率为( ) A3 B5 C 3 2 2 D2 【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程： b yx a ， 由渐近线平分圆C的面积可得，直线过圆C的圆心(2,4)， 所以可得42 b a ， 可得2 b a ， 所以双曲线的离心率

23、2 2 2 1125 cb e aa ， 故选：B 12 （5 分）已知函数( )2cossin2f xxx，则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B( )f x的最大值为 3 3 2 C( )f x的图象关于( ,0)对称 D( )f x的图象关于 2 x 对称 【解答】解： 函数( )2cossin2f xxx，( )2f ，(0)2f，( )(0)ff，故A、D 错误 (2 )(0)2ff，(2 )(0)0ff，故C错误 函数 2 ( )2sin2cos24sin2sin22(2sin1)(sin1)f xxxxxxx， 故当 1 sin 2 x ， 3 cos 2 x

24、 时，( )f x取得最大值为 3 3 2 ，故B正确， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 13 页（共 21 页） 13 （5 分）若x，y满足约束条件 0 4 0 1 xy xy y ，则zxy的最大值为 2 【解答】解：画出约束条件 0 4 0 1 xy xy y 表示的平面区域，如图阴影部分所示； 目标函数zxy可化为yxz， 平移目标函数知，yxz过点C时，直线在y轴上的截距最小，z取得最大值； 由 1 40 y xy ，求得(3,1)C， 所以z的最大值为3 12 max z 故答案为：2 14 （5 分）已

25、知 1 (2) (0) n axa x 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，若展开式中所 有项的系数和为 1，则正确命题的序号是 8n ； 1a ； 展开式中常数项为 1200； 展开式中含 6 x的项为 6 1024x 【解答】解：由条件可得展开式中共有 9 项，即8n ，故正确； 若展开式中所有项的系数和为 1，令1x ，则(21)1 n a，所以1a ，所以正确； 所以原式 8 11 (2)(2) n axx xx ，所以 888 2 188 1 (2 )()2( 1) rrrrrrr r TCxCx x ， 令820r，解得4r ，所以展开式中的常数项为 8 444 8 2( 1

26、)1120C ，故错误； 第 14 页（共 21 页） 令826r，解得1r ，所以展开式中含 6 x的项为 8 1166 8 2( 1)1024C xx ，故正确 综上，正确命题的序号为 故答案为： 15 （5 分）已知数列 n a的通项公式 2 1 n a nn ， n S为其前n项的和，则 99 S 99 100 【解答】解：数列 n a的通项公式 2 111 1 n a nnnn ， 所以 111111 11 223111 n n S nnnn ， 故 99 9999 991100 S 故答案为： 99 100 16 （5 分）三棱柱 111 ABCABC的所有棱长均为 2，且 1 A

27、A 平面ABC，M为AC的中点， N为棱 1 AA上的点，且 1 CNBC，若点A、B、M、N在同一球面上，则该球的表面积为 5 【解答】解：如图， 由题意可得，三棱柱 111 ABCABC的为正三棱柱， 取BC中点O， 以O为坐标原点， 分别以OA，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系， 则(0B，1，0)， 1(0 C，1，2)，(0C，1，0)，设( 3N，0，) t， 则 1 (0, 2,2)BC ，( 3,1, )CNt， 由 1 220BC CNt ，得1t 1AN 1 AA 平面ABC， 1 AABM， ABC为等边三角形，M为AC的中点，BMAC， 第 15 页（共 21

28、页） 又 1 AAACA，BM平面 11 AAC C，则BMNM， 又NAB为直角三角形， 且NAAB， 取BN中点G， 则G为四面体ABMN外接球的球心 四面体ABMN外接球的半径 15 22 RBN 外接球的表面积为 2 5 4()5 2 故答案为：5 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC中，60A ，求证： 113 abacabc 【解答】解：由余弦定理可知 222 2cosabcbcA 60A 222 1 2 2 abcbc 两边加上abac可得： 222 bcabacbcaabac 222 bcab

29、acaabacbc 即()()()()ab bac cab ac 两边同时除以()()ab ac， 可得1 bc acab ， 则3 abcabc abac ， 两边同时除以abc， 可得 113 abacabc ，得证 18（12分） 如图， 已知多面体ABCDEF的底面ABCD是边长为2的正方形，FA底面ABCD， 2AF ，且(01)DEAF （1）求证：/ /CE平面ABF； （2）若钝二面角BCFE的正弦值为 57 19 ，求的值 第 16 页（共 21 页） 【解答】 （1）证明：因为(01)DEAF，所以/ /DEAF， 又ABCD是边长为 2 的正方形，所以/ /ABCD， 所

30、以平面/ /CDE平面ABF，CE 平面CDE，所以/ /CE平面ABF， （2）解：取BF中点M，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知各点坐标如下： (0A，0，0)，(1M，0，1)，(2C，2，0)，(0E，2，2 )，(0F，0，2)； ( 2CF ，2，2)，( 2CE ，0，2 )， 设平面CEF的法向量为(mx，y，) z，则0m CF，0m CE， 2220 220 xyz xz ，令1z ，(m，1，1)， 因为AM 平面BCF，所以平面BCF法向量(1nAM，0，1) 钝二面角BCFE的余弦值为 2 22 |157 1() | |19 (1)12 m n mn ， 解得

31、： 3 5 或 5 3 （舍去） 第 17 页（共 21 页） 19 （12 分）某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试受新冠疫 情影响，初试采取线上考核的形式，共考核A、B、C三项技能，其中A必须过关，B、C 至少有一项过关才能进入面试现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过 初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如表，且每一项考核能否 过关相互独立 考核技能 A B C 过关率 2 3 1 2 1 2 （）求甲应聘者能进入面试的概率； （）用X表示三位应聘者中能进面试的人数，求X的分布列及期望EX 【解答】解： （）甲应聘者这三项考核分别

32、记为事件A，B，C，且事件A，B，C相互 独立， 则甲应聘者能进入面试的概率为： 2 1 12 1 12 1 11 ()()() 3 2 23 2 23 2 22 P ABCP ABCP ABC （）由题知，X的所有可能取值为 0，1，2，3，且 1 (3, ) 2 XB 03 3 11 (0)( ) 28 P XC； 12 3 113 (1)( )( ) 228 P XC； 22 3 113 (2)( ) ( ) 228 P XC； 330 3 111 (3)( ) ( ) 228 P XC， 分布列为： X 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 1 (3, ) 2 XB， 1

33、3 3 22 EX 20 （12 分）已知函数 2 ( )(1)(f xaxxb lnx a、)bR （1）当1a ，4b 时，求( )yf x的单调区间； （2）当2b ，1x时，求( ) |( )|g xf x的最小值 第 18 页（共 21 页） 【解答】解： （1）当1a ，4b 时， 2 ( )3(0,)f xxxlnx x， 2 323(23)(1) ( )21 xxxx fxx xxx ， 令( )0fx得， 3 2 x ，或1x （舍去） ， 当 3 (0, ) 2 x时，( )0fx，( )f x单调递减； 当 3 ( ,) 2 x时，( )0fx，( )f x单调递增 (

34、)f x的单调递减区间为 3 (0, ) 2 ，单调递增区间为 3 ( ,) 2 （2）当2b 时， 2 ( ) |( )| |g xf xaxxlnx 设 2 ( )(1)xaxxlnx x，则 1 ( )21xax x ， 1)若0a，则( )0 x恒成立，( ) x在1，)上单调递减， ( ) x（1）10a ， ( )( )g xx ，且( )g x在1，)上单调递增， ( )ming xg（1）1a 2)若0a ，则 2 21 ( ) axx x x ， 设 2 ( )21t xaxx，180a ，( )0t x有两根 1 x， 2 x 由韦达定理知， 12 1 0 2 xx a ，

35、 12 1 0 2 x x a ， 不妨令 12 0 xx， 当 2 (0,)xx时，( )0t x ，即( )0 x，( )x在 2 (0,)x上单调递减； 当 2 (xx，)时，( )0t x ，即( )0 x，( )x在 2 (x，)上单调递增 当t（1）22 0a ，即1a时， 2 1x ，( )x在1，)上单调递增 又（1）1 0a ， ( )( )g xx，( )( ) minmin g xx（1）1a 当t（1）0，即01a时， 2 1x ，( )x在1， 2) x上单调递减，在 2 (x，)上单调 递增 又（1）10a ， 2 2222 ( )() min xxaxxlnx（1

36、）0， 第 19 页（共 21 页） 而 2 242222 ( )0alnln aaaaaa ， 存在 02 2 (,)1,)xx a ，使得 2 ()0 x， 0 ( )|()| 0 min g xx 综上所述， 1,0, ( )0,01, 1,1. min a a g xa aa 21 （12 分）已知动点M到直线20 x 的距离比到点(1,0)F的距离大 1 （1）求动点M所在的曲线C的方程； （2）已知点(1,2)P，A、B是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率 互为相反数，证明直线AB的斜率为定值，并求出这个定值； （3）已知点(1,2)P，A、B是曲线C上的两个动

37、点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率 之和为 2，证明：直线AB过定点 【解答】解： （1）动点M到直线20 x 的距离比到点(1,0)F的距离大 1， 等价于动点M到直线1x 的距离和到点(1,0)F的距离相等， 由抛物线的定义可得，曲线C的方程为 2 4yx； 证明： （2）设直线PA的斜率为k，由直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数， 得直线PB的斜率为k， 则：:2(1) PA lyxk，:2(1) PB lyx k， 联立 2 2(1) 4 yx yx k ，得 2222 (244)(2)0 xxkkkk 结合根与系数的关系，可得 2 2 (2) (A k k ， 42 ) k

38、 k ； 联立 2 2(1) 4 yx yx k ，得 2222 (244)(2)0 xxkkkk， 结合根与系数的关系，可得 2 2 (2) (B k k ， 42 ) k k 22 22 4242 1 (2)(2) AB kk kk k kk kk ， 即直线AB的斜率为定值1； 证明： （3）设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为2k， 第 20 页（共 21 页） 由（2）可知， 2 2 (2) (A k k ， 42 ) k k ； PB所在直线方程为2(2)(1)yxk， 联立 2 2(2)(1) 4 yx yx k ，得 2 (2)440yykk， 解得 2 2 (2 ) B

39、k k ， 2 ) 2 k k 222 22 242 (2) 2 (2)22 (2) AB kk kk kk k kkkk kk ， AB所在直线方程为 2 22 2(2) () 222(2) yx kkkk kkkk ， 整理得 2 (2) (1) 22 yx kk kk ， 直线AB过定点( 1,0) 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 4 1 ( 4 1 x t t t y t 为参数，)tR （）求曲线C的直角坐标方程； （）已知直线l的参数方程为 3 1

40、 2 ( 1 2 xt t yt 为参数，)tR，点(1,0)M，并且直线l与曲 线C交于A，B两点，求 11 |MAMB 【解答】解： （）曲线C的参数方程为 2 2 4 1 ( 4 1 x t t t y t 为参数，)tR 根据 2 4 1 x t 整理得 2 4 1t x ，代入 2 2 22 (4 ) (1) t y t ，得到 22 40 xxy， 转换为标准式为 22 (2)4(04)xyx （）把直线l的参数方程为 3 1 2 ( 1 2 xt t yt 为参数，)tR，代入 22 40 xxy，得到 2 330tt， 第 21 页（共 21 页） 所以3 AB tt，3 A

41、B t t ， 则 2 | ()4|1115 |3 ABA B AB ABA B ttt ttt MAMBttt t 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |f xxaxb （1）当1a ，2b 时，求不等式( ) 5f x 的解集； （2）设0a ，0b ，若( )f x的最小值为 2，证明： 114 13ab 【解答】 （1）解：将1a ，2b 代入( ) 5f x ，得|1|2|5xx， 等价于： 1 125 x x 或 12 3 5 x 或 2 21 5 x x 解得：2x 或3x 所以不等式( ) 5f x 的解集为(，23，) （2）证明：( ) |f xxaxbab， 因为( )f x的最小值为 2，且0a ，0b ， 所以 111 1111114 2.()(1)(2)(22) 13131313 baba abab abababab ， 当且仅当 1 1 ba ab ，即当1ab，即 3 2 a ， 1 2 b 时取等号