2022年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（9）.docx

1、第 1 页（共 15 页） 2022 年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（9） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 32 ai i 为纯虚数，则实数a的值为( ) A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 2 （5 分）已知集合 2 |2 0Ax xx ， |Bx yx，则(AB ) A | 12xx 剟 B |02xx剟 C |1x x D |0 x x 3 （5 分） 已知(1,sin )a，(cos2 ,2sin1)b，( 2 ，) 若 1 5 a b ， 则t a n

2、 ()4 的值为( ) A 2 3 B 1 3 C 2 7 D 1 7 4 （5 分）若函数 2 289yxx，定义域为1，a，值域是1，3，则a的取值范围为( ) A1，2 B(1，2 C2，3 D2，3) 5 （5 分）已知命题p：函数 2 sin ,(0, ) sin yx x x 的最小值为2 2；命题q：若向量a， b，满足a bb c，则ac下列正确的是( ) Apq Bpq Cpq Dpq 6 （5 分）已知ABADAC，且ACa，BDb，则(AB ) A 1 () 2 ab B 1 () 2 ab C 1 () 2 ba D 1 2 ab 7 （5 分）甲、乙、丙三人随机排成一

3、排，乙站在中间的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 8 （5 分）已知直线m，n，平面，则/ /m的充分条件是( ) An，/ /mn B，m C/ /n，/ /mn D/ /，m 9 （5 分）若奇函数( )f x在(，0内递减，则不等式f（1）()f lgx的解集是( ) A 1 (0,)(10,) 10 B 1 (,) 10 C(0,10) D 1 (,10) 10 10 （5 分）在ABC中，7AC ，2BC ，60B ，则sin:sin(AC ) 第 2 页（共 15 页） A 2 3 B 3 2 C 3 7 7 D 7 3 11 （5 分）双曲线 22 1

4、 24 xy 的两条渐近线的夹角的大小为( ) Aarctan2 B2arctan2 Carctan2 D2arctan2 12 （5 分）下列函数中，既以为周期，又在区间(0,) 2 上单调递减的函数是( ) Acos2yx B|sin|yx C tan 1 ( ) x y e Dcos() 24 x y 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来 米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 石； （结果四

5、舍五入，精确到各位） 14 （5 分）已知抛物线 2 :4C xy的焦点F到抛物线上的点P的距离为 3，则点P的坐标 为 ，POF（其中O为标原点）的面积为 15 （5 分）如图，在圆锥SO中，2SO ，圆锥的侧面积为3，ABC是圆锥底面圆O 的内接正三角形，P为SO上一点，且90APC，则圆锥SO的体积为 ，三棱锥 PABC的外接球的表面积为 16 （5 分）设函数 2 ( )(2) x f xxx e下列命题： ( )0f x 的解集是 |02xx，( )0f x 的解集是 |0 x x 或2x ； (2)f 是极小值，( 2)f是极大值； ( )f x没有最小值，也没有最大值； ( )f

6、 x有最大值，没有最小值 其中正确的命题序号为 （写出所有正确命题的序号） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 3 页（共 15 页） 17 （12 分）已知数列 n a为公差不为零的等差数列， n S为其前n项和，且满足 1 S， 2 S， 4 S 成等比数列， 5 9a （）求 n a的通项公式； （）若 4 (21) n n b na ， n T为其前n项和，若 44 23 n T ，求n的值 18 （12 分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下 寿命( )h 100 200 200 300 300 400 400 50

7、0 500 600 个数 20 30 80 40 30 （1）列出频率分布表； （2）画出频率分布立方图； （3）估计元件寿命在100 400h以内的在总体中占的比例； （4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例 19 （12 分） 如图， 点A在平面外，BCD在平面内，E、F、G、H分别是线段BC、 AB、AD、DC的中点 （1）求证：E、F、G、H四点在同一平面上； （2）若6AC ，8BD ，异面直线AC与BD所成角为60，求EG的长 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的焦距为2 3，且离心率为 3 2 （）求E的方程； （） 若直线 1

8、 1() 2 yxkk与E相交于A，B两点，M为E的左顶点， 且满足MAMB， 求k 21 （12 分）已知函数( )(1 cos ) x f xx em，其中m为常数 （1）当0m 时，求曲线( )f x在0 x 处的切线方程； （2）若函数( )f x在区间0, 2 上只有一个零点，求m的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系xOy中， 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 若 第 4 页（共 15 页） 曲线 1: 2sinC，曲线 2 4 : sincos C （）写出曲线 1

9、 C和 2 C的直角坐标方程； （）射线(0) ， 4 tan(0) 32 a ，点P为射线(0) 与曲线 1 C的交点， 求点P的极径 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |22|2 |f xxaxa （1）若f（1）3，求实数a的取值范围； （2）若不等式( ) |1|2 2 a f xx恒成立，求实数a的取值范围 第 5 页（共 15 页） 2022 年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（9） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分）

10、1 （5 分）若 32 ai i 为纯虚数，则实数a的值为( ) A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 【解答】解： ()(32 )3232 32(32 )(32 )1312 aiaiiaa i iii 为纯虚数， 32 0 13 a ， 32 0 12 a ， 解得 2 3 a 故选：A 2 （5 分）已知集合 2 |2 0Ax xx ， |Bx yx，则(AB ) A | 12xx 剟 B |02xx剟 C |1x x D |0 x x 【解答】解：集合 2 |2 0 | 12Ax xxxx剟?， | |0Bx yxx x， |1ABx x 故选：C 3 （5 分） 已知(1,s

11、in )a，(cos2 ,2sin1)b，( 2 ，) 若 1 5 a b ， 则t a n ()4 的值为( ) A 2 3 B 1 3 C 2 7 D 1 7 【解答】解：(1,sin )a，(cos2 ,2sin1)b，( 2 ，) 若 1 5 a b ， 2 1 cos2sin2sin1sin 5 ； 解得 4 sin 5 ， 3 cos 5 sin4 tan cos3 第 6 页（共 15 页） 4 1 1 3 tan() 4 47 1 3 故选：D 4 （5 分）若函数 2 289yxx，定义域为1，a，值域是1，3，则a的取值范围为( ) A1，2 B(1，2 C2，3 D2，3

12、) 【解答】解：函数 22 2892(2)1yxxx， 定义域为1，a时，值域是1，3， 且1x 时3y ，2x 时取得最小值为1y ； 当3x 时 2 2 (32)13y ， 所以a的取值范围是2，3 故选：C 5 （5 分）已知命题p：函数 2 sin ,(0, ) sin yx x x 的最小值为2 2；命题q：若向量a， b，满足a bb c，则ac下列正确的是( ) Apq Bpq Cpq Dpq 【解答】 解： 由题意得： 命题p： 函数 2 sin ,(0, ) sin yx x x ， 由基本不等式成立的条件， 2 2sin2 2 sin yx x ，知等号取不到，所以p命题是

13、假的； 命题q：若向量a，b，满足a bb c，()0b ac，b，ac有可能是零向量或者 ()bac，所以q是错误的 pq ，pq，pq，是假命题，pq 为真命题； 故选：D 6 （5 分）已知ABADAC，且ACa，BDb，则(AB ) A 1 () 2 ab B 1 () 2 ab C 1 () 2 ba D 1 2 ab 【解答】解：根据条件： ABADa ADABb ； 第 7 页（共 15 页） 1 () 2 ABab 故选：A 7 （5 分）甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 【解答】解：三个人排成一排的所有情况有

14、： 甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙乙甲，丙甲乙，共 6 种， 其中乙在中间有 2 种， 乙在中间的概率为 21 63 P 故选：B 8 （5 分）已知直线m，n，平面，则/ /m的充分条件是( ) An，/ /mn B，m C/ /n，/ /mn D/ /，m 【解答】解：当n，/ /mn，有可能m，故A错误， 当，m，有可能m，故B错误， 当/ /n，/ /mn，有可能m，故C错误， 故选：D 9 （5 分）若奇函数( )f x在(，0内递减，则不等式f（1）()f lgx的解集是( ) A 1 (0,)(10,) 10 B 1 (,) 10 C(0,10) D 1 (,10) 10 【

15、解答】解：奇函数( )f x在(，0内递减， ( )f x在(0,)内递减， ( )f x在R上递减， 由f（1）()f lgx得，1lgx ，解得010 x， 不等式f（1）()f lgx的解集是(0,10) 故选：C 10 （5 分）在ABC中，7AC ，2BC ，60B ，则sin:sin(AC ) A 2 3 B 3 2 C 3 7 7 D 7 3 【解答】解：ABC中，7AC ，2BC ，60B ， 第 8 页（共 15 页） 由余弦定理得： 222 |2| |cosACABBCABBCABC， 可得： 2 7 |42|ABAB ， 即 2 |2| 30ABAB ， | 3AB si

16、n:sin:2:3ACBC AB 故选：A 11 （5 分）双曲线 22 1 24 xy 的两条渐近线的夹角的大小为( ) Aarctan2 B2arctan2 Carctan2 D2arctan2 【解答】解：由双曲线 22 1 24 xy ，得2a ，2b 双曲线的渐近线方程为2yx ， 则一条渐近线与x轴的夹角为arctan2 4 ， 则两条渐近线的夹角的大小为2arctan2 故选：D 12 （5 分）下列函数中，既以为周期，又在区间(0,) 2 上单调递减的函数是( ) Acos2yx B|sin|yx C tan 1 ( ) x y e Dcos() 24 x y 【解答】解：A中

17、函数在(0,) 2 上单调递增，不合题意； B中函数在区间(0,) 2 上单调递增，不合题意； C中函数满足题意； D中函数的最小正周期为4，不合题意 综上所述，选项C满足题意 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来 米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 169 石； （结果四舍五入，精确到各位） 【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为 28 1534169 254 石， 故答案为：169

18、第 9 页（共 15 页） 14 （5 分）已知抛物线 2 :4C xy的焦点F到抛物线上的点P的距离为 3，则点P的坐标为 ( 2 2，2) ，POF（其中O为标原点）的面积为 【解答】解：设( , )P m n，由抛物线的定义可知13n，所以2n ， 由抛物线方程可知 2 8m ，解得2 2m ， 所以( 2 2P ，2)， 1 |2 2 OFn 故答案为：( 2 2，2)；2 15 （5 分）如图，在圆锥SO中，2SO ，圆锥的侧面积为3，ABC是圆锥底面圆O 的内接正三角形，P为SO上一点，且90APC，则圆锥SO的体积为 2 3 ，三棱 锥PABC的外接球的表面积为 【解答】解：设底

19、面圆的半径为r，侧面积为3，即 1 32 2 rSA， 而 222 SArOS， 可得1r ， 那么圆锥SO的体积 2 12 33 VrOS； 由底面圆O的内接正三角形， 可得正三角形的边长为3； 90APC， 可知APC是等腰直角三角形，可得 6 2 AP ， 2 2 PO； 由于球心O在OS上，可得 222 2 () 2 RRr， 第 10 页（共 15 页） 可得球 3 2 4 R ， 那么球的表面积 2 9 4 2 SR ； 故答案为 2 3 ， 9 2 16 （5 分）设函数 2 ( )(2) x f xxx e下列命题： ( )0f x 的解集是 |02xx，( )0f x 的解集

20、是 |0 x x 或2x ； (2)f 是极小值，( 2)f是极大值； ( )f x没有最小值，也没有最大值； ( )f x有最大值，没有最小值 其中正确的命题序号为 （写出所有正确命题的序号） 【解答】解：由 22 ( )0(2)02002 x f xxx exxx， 由 22 ( )0(2)0200 x f xxx exxx或2x 故正确； 2 ( )(2) x f xex，由( )0fx得2x ， 由( )0fx得2x 或2x ， 由( )0fx得22x， ( )f x的单调减区间为(,2) ，( 2，)单调增区间为(2，2) ( )f x的极大值为( 2)f，极小值为(2)f ，故正确

21、 2x 时，( )0f x 恒成立，x时，( )f x ， ( )f x无最小值， 而( )f x的单调减区间为(,2) ，( 2，)单调增区间为(2，2)且2x 时， ( )0f x ( )f x有最大值( 2)f， ( )f x没有最小值，也没有最大值不正确，即不正确， ( )f x有最大值( 2)f，但无最小值，故正确 故答案为： 第 11 页（共 15 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列 n a为公差不为零的等差数列， n S为其前n项和，且满足 1 S， 2 S， 4 S 成等比数列， 5

22、9a （）求 n a的通项公式； （）若 4 (21) n n b na ， n T为其前n项和，若 44 23 n T ，求n的值 【解答】解： （）设数列 n a的公差为(0)d d ，由题设可得： 2 142 5 9 S SS a ， 即 2 111 1 43 (4)(2) 2 49 d aaad ad ，解之得： 1 1 2 a d ， 12(1)21 n ann ； （）由（）可得： 4411 2() (21)(21)(21)2121 n n b nannnn ， 1111114 2(1)2(1) 33521212121 n n T nnnn ， 又 444 2321 n n T n

23、 ，解得：11n 18 （12 分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下 寿命( )h 100 200 200 300 300 400 400 500 500 600 个数 20 30 80 40 30 （1）列出频率分布表； （2）画出频率分布立方图； （3）估计元件寿命在100 400h以内的在总体中占的比例； （4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例 【解答】解： （1）样本频率分布表如下（4 分） 寿命( )h 频数 频率 100 200 20 0.10 200 300 30 0.15 300 400 80 0.40 400 500 40 0.20 500 600 30

24、 0.15 第 12 页（共 15 页） 合计 200 1 （2）频率分布直方图如下 （4 分） （3）估计元件寿命在100 400hh以内的在总体中占的比例为 0.65（3 分） （4）估计元件寿命在400h以上的在总体中占的比例为 0.35（3 分） 19 （12 分） 如图， 点A在平面外，BCD在平面内，E、F、G、H分别是线段BC、 AB、AD、DC的中点 （1）求证：E、F、G、H四点在同一平面上； （2）若6AC ，8BD ，异面直线AC与BD所成角为60，求EG的长 【解答】 （1）证明：E、F分别为BC、AB的中点，/ /EFAC， 又G、H分别为AD、DC的中点，/ /GH

25、AC， 由平行公理可得：/ /EFGH，可得E、F、G、H四点在同一平面上； （2）解：由（1）知，/ /GHAC， 又F、G分别为AB、AD的中点，可得/ /FGBD， 则EFG为异面直线AC与BD所成角（或其补角） 6AC ，8BD ，3EF，4FG ， 当60EFG时， 22 2cos6013EGEFFGEF FG ； 当120EFG时， 22 2cos12037EGEFFGEF FG 第 13 页（共 15 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的焦距为2 3，且离心率为 3 2 （）求E的方程； （） 若直线 1 1() 2 yxkk与E相交于

26、A，B两点，M为E的左顶点， 且满足MAMB， 求k 【解答】解： （）由题意知22 3c ， 3 2 c a ，（2 分） 又因为 222 abc解得2a ，1b ，3c （4 分） 故E的标准方程为 2 2 1 4 x y （5 分） （）由 2 2 1 4 1 x y yx k ，得 22 (14)80 xxkk， 得0 x 或 2 8 14 x k k （7 分） 不妨设(0,1)A，( B B x，) B y，则 2 8 14 B x k k ， 2 2 14 14 B y k k （8 分） 由（）知( 2,0)M ，故(2,1)MA， 22 22 882 14 (,) 1414

27、MB kkk kk ，（9 分） 由MAMB， 知0M AM B （ 10分 ） 222 2222 2( 882 )141 285( 21 ) ( 65 ) 0 14141414 M AM B kkkkkkk kkkk （11 分） 又因为 1 2 k，故 5 6 k（12 分） 21 （12 分）已知函数( )(1 cos ) x f xx em，其中m为常数 （1）当0m 时，求曲线( )f x在0 x 处的切线方程； （2）若函数( )f x在区间0, 2 上只有一个零点，求m的取值范围 【解答】解： （1）当0m 时，( )(1 cos ) x f xx e， 对函数( )f x求导可

28、得( )( sin )(1 cos )(1 sincos ) xxx fxx ex exx e ， 第 14 页（共 15 页） 0 (0)(1 0 1)2fe ， 又 0 (0)(1 1)2fe， 曲线( )f x在0 x 处的切线方程为22(0)yx， 即220 xy； （2）由（1）知，( )(1sincos )12sin() 4 xx fxxx exe ， 0 2 x 剟， 22 sin() 242 x 剟， 12sin() 1 4 x 剟，则0 12sin() 2 4 x 剟， ( )12sin()0 4 x fxxe ， 故函数( )f x在区间0, 2 上单调递增 函数( )f

29、x在区间0, 2 上只有一个零点， 结合零点存在定理可得， 2 (0)20 ()0 2 fm fem ，解得 2 2 m e 剟， 即m的取值范围是 2 2,e 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系xOy中， 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 若 曲线 1: 2sinC，曲线 2 4 : sincos C （）写出曲线 1 C和 2 C的直角坐标方程； （）射线(0) ， 4 tan(0) 32 a ，点P为射线(0) 与曲线 1 C的交点， 求点P的极径 【解答】解： （）曲线 1: 2

30、sinC，根据 222 cos sin x y xy 转换为 2 2 sin，转换为 直角坐标方程为 22 (1)1xy 曲线 2 4 : sincos C ，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角坐标方程为40 xy 第 15 页（共 15 页） （）射线(0) ， 4 tan(0) 32 a ，点P为射线(0) 与曲线 1 C的交点， 所以 4 sin 5 ， 代入 2 2 sin，得到 2 4 20 5 ，解得 8 0 0 5 或舍去， 故极径为 8 5 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |22|2 |f xxaxa （1）若f（1）3，求

31、实数a的取值范围； （2）若不等式( ) |1|2 2 a f xx恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）由f（1）3可得，|12 | 3aa， 当0a时，不等式化为(12 )3aa ， 解得 2 3 a ， 2 0 3 a ； 当 1 0 2 a时，不等式化为(12 )3aa， 解得2a ， 1 0 2 a； 当 1 2 a时，不等式化为(12 )3aa， 解得 4 3 a ， 14 23 a ， 综上实数a的取值范围是 2 4 (, ) 3 3 ； (2)( ) |1| |22|1|2 | |1|2 | 222 aaa f xxxaxxaxxa， 又 5 |1|2 |(1)(2 )| |1| 222 aaa xxaxxa， 当1 2 a x 时，等号成立， ( ) |1| 2 a f xx的最小值为 5 |1| 2 a ， 不等式( ) |1|2 2 a f xx恒成立， 5 |1|2 2 a ， 解得 6 5 a或 2 5 a， 实数a的取值范围是 26 (, ,) 55