（新教材）2021年高中数学人教B版必修第四册同步练习：9.2　正弦定理与余弦定理的应用.docx

1、第九章解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 课后篇巩固提升 1.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,ACB=45,CAB=105后,就可以计算 A,B两点间的距离为( ) A.100 m B.50 m C.100 m D.200 m 答案 A 解析在ABC中,AC=50 m,ACB=45,CAB=105,即ABC=30, 由正弦定理得 , 所以 ,解得 AB=100(m).故选 A. 2.如图,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C对于山坡的斜度为 15,向山顶前 进 100 米到达 B

2、后,又测得 C对于山坡的斜度为 45,若 CD=50 米,山坡对于地平面的坡角为 ,则 cos =( ) A.2 +1 B.2 -1 C. -1 D. +1 答案 C 解析在ABC中,由正弦定理得 BC= - =50( ), 在BCD中,sinBDC= - -1,又因为 cos =sinBDC,所以 cos = -1.故选 C. 3.某炮兵阵地位于 A 点,两个观察所分别位于 C,D两点,已知ACD为等边三角形,且 DC= km,当目 标出现在 B点(A,B两点位于 CD两侧)时,测得CDB=45,BCD=75,则炮兵阵地与目标的距离 约为( ) A.1.1 km B.2.2 km C.2.9

3、 km D.3.5 km 答案 C 解析 如图所示,CBD=180-CDB-BCD=180-45-75=60, 在BCD中,由正弦定理,得 ,故 BD=2sin 75.在ABD中,ADB=45+60=105, 由余弦定理,得 AB2=AD2+BD2-2AD BDcos 105,所以 AB= 2.9(km). 故炮兵阵地与目标的距离为 2.9 km.故选 C. 4.(2020 黑龙江齐齐哈尔实验中学高一期中)如图所示,位于 A处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北

4、偏东 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援,则 cos 等于( ) A. B. C. D. 答案 B 解析在ABC中,AB=40,AC=20,BAC=120,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB AC cos 120=402+202-24020cos 120=2 800,所以 BC=20 .由正弦定理得 sinACB= .由BAC=120知ACB为锐角,故 cosACB= .故 cos =cos(ACB+30)=cosACBcos 30-sinACBsin 30= .故选 B. 5.如图,从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75,30,此时气球的高度是 60 m

5、, 则河流的宽度是( ) A.240( -1) m B.180( -1) m C.30( +1) m D.120( -1) m 答案 D 解析由题意可知ABC=105,BAC=45,C=30,所以 AC= =120. 由正弦定理 ,得 BC= = =120( -1), 即河流的宽度为 120( -1)m.故选 D. 6.如图,为了测量山坡上灯塔 CD的高度,某人从高为 h=40的楼 AB 的底部 A处和楼顶 B 处分别测得 仰角为 =60,=30,若山坡高为 a=35,则灯塔的高度是( ) A.15 B.25 C.40 D.60 答案 B 解析过点 B作 BEDC于点 E,过点 A作 AFDC

6、于点 F,如图所示, 在ABD中,由正弦定理得 ,即 - - - , 所以 AD= - ,在 RtADF中,DF=ADsin = - ,又山高为 a,则灯塔 CD 的高度是 CD=DF-CF= - -a= -35=60-35=25.故选 B. 7.某船在 A 处看到灯塔 S在北偏西 40方向,它向正北方向航行 50 海里到达 B处,看到灯塔 S在北偏 西 76方向,则此时船到灯塔 S的距离为 海里(sin 400.642 8,sin 760.970 3,sin 36=0.587 8,结果精确到 0.1). 答案 54.7 解析由条件可得BSA+BAS=76, 所以BSA=76-40=36. 在

7、SAB 中,由正弦定理,得 , 所以 BS= 54.7. 8.(2020 山东济南济钢高级中学高一期中)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,公路北侧 有一座山,山脚 C与公路处于同一高度,当汽车行驶到 A 处时测得山顶 D在北偏西 45的方向上,仰 角为 ,行驶 300 米后到达 B 处,测得此山顶 D在北偏西 15的方向上,仰角为 .若 =45,则仰角 的正切值为 . 答案 -1 解析由题意可得CAB=45,ABC=105,AB=300米,CBD=45. 在ABC中,可得ACB=180-45-105=30, 利用正弦定理可得 , 解得 CB=300 米,AC=150( )米. 在 R

8、tBCD中,由CBD=45可得 CD=CB=300 米,在 RtACD中,可得 tan = -1. 9.如图,在坡度为 15的观礼台上,某一列座位所在直线 AB与旗杆所在直线 MN共面,在该列的第一 个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N的仰角分别为 60和 30,且座位 A,B间的距离为 10 米,则 AN= 米,旗杆的高度为 米. 答案 20 30 解析依题意可知NBA=45,BAN=180-60-15=105, 所以BNA=180-45-105=30. 由正弦定理可知 , 所以 AN= sinNBA=20 米. 所以在 RtAMN中,MN=ANsinNAM=20 =30(米),

9、所以旗杆的高度为 30 米. 10.如图所示,我国渔船编队在岛 A周围海域作业,在岛 A 的南偏西 20方向有一个海面观测站 B,某 时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与 B相距 31海里的 C 处有一艘海警船巡航, 上级指示海警船沿北偏西 40方向,以 40 海里/时的速度向岛 A直线航行以保护我国渔船编队,30 分 钟后到达 D处,此时观测站测得 B,D 间的距离为 21 海里. (1)求 sinBDC的值; (2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛 A? 解(1)由已知可得 CD=40 =20,在BDC中,根据余弦定理求得 cosBDC= - =- , 所以 sinBD

10、C= . (2)由已知可得BAD=20+40=60, 所以 sinABD=sin(BDC-60) = (- ) . 在ABD中,由正弦定理可得 AD= =15,所以 t= 60=22.5分钟.即海警 船再向前航行 22.5分钟即可到达岛 A. 11.(2020 江苏高一期末)如图,我方炮兵阵地位于 A 处,两移动观察所分别设在 C,D两处.已知ACD为 正三角形.当目标出现在点 B 时,测得 BC=1 千米,BD=2 千米. (1)若测得DBC= ,求ABC的面积; (2)若我方炮火的最远射程为 4千米,试问目标 B是否在我方炮火射程范围内? 解(1)在BCD中,由余弦定理得 CD2=BC2+

11、BD2-2BD BC cosDBC, CD2=1+4-2=3. BD2=CD2+BC2, BCD= , S ABC = AC BCsinACB = 1sin = . (2)设CBD=,CDB=,在BCD中,由余弦定理得 CD2=5-4cos , 由正弦定理得 CDsin =sin . 在ABD中, AB2=BD2+AD2-2BD ADcos + =9-4cos -2ADcos +2 ADsin =9-4cos -2AD - +2 sin =9-4cos -2 - +2 sin =9-4cos -2(2-cos )+2 sin =5+4sin - 9, 当且仅当 = 时,AB取到最大值 3, 34,目标 B 在我方炮火射程范围内.