（新教材）2021年高中数学人教B版必修第四册课件：11.4.2　平面与平面垂直.pptx

1、11.4.2 平面与平面垂直 课标阐释 思维脉络 1.理解平面与平面垂直的定义. 2.通过直观感知、操作确认,归 纳出空间中面面垂直的有关判 定方法及性质. 3.掌握平面与平面垂直的判定 定理和性质定理,能利用以上定 理解决空间中的垂直性问题. 4.理解二面角的定义并能求解 二面角大小. 激趣诱思 知识点拨 日常生活中有很多关于面面垂直的例子.如:建筑工人砌墙,请问砌 墙时如何使所砌的墙面和水平面垂直?观察门的转动情况,请问门 在每个位置是否都与地面垂直? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:二面角 概念 一般地,平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中 的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发

2、的两个 半平面所组成的图形称为二面角.这条直线称为二面角 的棱,这两个半平面称为二面角的面 图示 激趣诱思 知识点拨 平 面 角 文字 在二面角-l-的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平 面和内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所 成的角称为二面角的平面角 图示 符号 OA,OB,=l,Ol,OAl,OBlAOB是二面 角的平面角 激趣诱思 知识点拨 平 面 角 范围 0, 规定 二面角的大小用它的平面角的大小来度量,即二面角大 小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角 称为直二面角 记法 棱为l,面分别为,的二面角记为-l-.如图所示,也可在 ,内(棱以外的半平面部分

3、)分别取点P,Q,将这个二面角 记作二面角P-l-Q 激趣诱思 知识点拨 一般地,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的4 个二面角中,不大于90的角的大小 激趣诱思 知识点拨 微思考 二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关? 提示:无关.如图, 根据等角定理可知,AOB=AOB,即二面角平面角的大小与角 的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关. 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.( ) (2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的 角与这个二面角的平面角相等或互补.( ) (3)二面角的平面角是从棱上一点出

4、发,分别在两个半平面内作射线 所成角的最小角.( ) (4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) 激趣诱思 知识点拨 知识点二:两个平面垂直及其判定定理、性质定理 定义:一般地,如果两个平面与所成角的大小为90,则称这两个 平面互相垂直,记作. 判定定理 性质定理 文字 语言 如果一个平面经过另一个 平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直 如果两个平面互相垂直,那 么在一个平面内垂直于它 们交线的直线垂直于另一 个平面 图形 语言 符号 语言 a 激趣诱思 知识点拨 名师点析 对判定定理的理解此定理不仅是判定两个平面互相垂 直的理论依据

5、,还是找出或作出与已知平面垂直的平面的理论依据, 该定理实现了线面垂直和面面垂直之间的转化,可以简单记为“线 面垂直得面面垂直”.应用时可先固定一个平面,再在另一个平面内 找到一条直线与第一个平面垂直即可. 对性质定理的理解此定理实现了面面垂直和线面垂直之间的转化, 可以简单记为“面面垂直得线面垂直”,该定理也给出了过一点引一 个平面垂线的方法. 两个平面垂直的性质还有:(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个 平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;(2)如果两 个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平 面. 激趣诱思 知识点拨 微思考1 过平面的一条垂线能作多少个平

6、面与平面垂直? 提示:无数个.可以将自己的课本打开立放在桌面上进行观察. 微思考2 两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关 系是怎样的? 提示:两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的 位置关系可能是平行,也可能是相交,还可能是在平面内. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 如图所示,已知AB平面BCD,BCCD,则图中互相垂直的平面共 有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 激趣诱思 知识点拨 答案:C 解析:AB平面BCD,且AB平面ABC和AB平面ABD, 平面ABC平面BCD,平面ABD平面BCD. AB平面BCD,ABCD. 又BCCD,ABBC=

7、B,CD平面ABC. CD平面ACD,平面ABC平面ACD. 故图中互相垂直的平面有平面ABC平面BCD,平面ABD平面 BCD,平面ABC平面ACD. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面ABCD平面BDD1B1. 证明:BB1AB,BB1BC,ABBC=B, BB1平面ABCD.又BB1平面BDD1B1, 平面ABCD平面BDD1B1. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 求二面角的大小求二面角的大小 例1如图,四边形ABCD是正方形,PA平面ABCD,且PA=AB. (1)求二面角A-PD-C的平面角的度数; (2)求二面角B-P

8、A-D的平面角的度数; (3)求二面角B-PA-C的平面角的度数; (4)求二面角B-PC-D的平面角的度数. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(1)因为PA平面ABCD,所以PACD. 因为四边形ABCD为正方形,所以CDAD. 又PAAD=A,所以CD平面PAD. 又CD平面PCD,所以平面PAD平面PCD. 所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90. (2)因为PA平面ABCD,所以ABPA,ADPA. 所以BAD为二面角B-PA-D的平面角. 又由题意知BAD=90, 所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90. (3)因为PA平面ABCD,所以ABPA,AC

9、PA. 所以BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形,所以BAC=45. 所以二面角B-PA-C的平面角的度数为45. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (4)作BEPC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图. 由题意知PBCPDC,则BPE=DPE, 从而PBEPDE. 所以DEP=BEP=90,且BE=DE. 所以BED为二面角B-PC-D的平面角. 又PA平面ABCD,所以PABC. 又ABBC,PAAB=A, 所以BC平面PAB.所以BCPB. 设AB=a,则PA=AB=BC=a, 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成

10、当堂检测 所以 PB=2a,PC=3a, 所以 BE= = 6 3 ,BD=2a. 所以 sinBEO= = 2 2 6 3 = 3 2 . 所以BEO=60.所以BED=120. 所以二面角 B-PC-D 的平面角的度数为 120. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 作二面角的平面角的方法 方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分 别作垂直于棱的射线. 如图所示,AOB为二面角-a-的平面角. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 方法二(垂线法):过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过 垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到

11、二面角的平面角或其补角. 如图所示,AFE为二面角A-BC-D的平面角. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两 个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角. 如图所示,AOB为二面角-l-的平面角. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1(1)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两 个半平面分别平行,则这两个二面角的大小关系是( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.大小关系不确定 (2)已知RtABC,斜边BC,点A,AO,O为垂 足,ABO=30,ACO=45,求

12、二面角A-BC-O的大小. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (1)答案:C 解析:可作出这两个二面角的平面角,易知这两个平面角的两边分 别平行,故这两个二面角相等或互补. (2)解:如图所示,在平面内,过点O作ODBC,垂足为点D,连接AD. 设OC=a, AO,BC, AOBC.又AOOD=O, BC平面AOD. 而AD平面AOD, ADBC,ADO是二面角A-BC-O的平面角. 由AO,OB,OC知AOOB,AOOC. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 又ABO=30,ACO=45, AO=a,AC=2a,AB=2a. 在 RtABC 中,BAC=90

13、, BC=2+ 2= 6a, AD= = 22 6 = 23 3 . 在 RtAOD 中,sinADO= = 2 3 3 = 3 2 . ADO=60,即二面角 A-BC-O 的大小是 60. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 面面垂直的判定面面垂直的判定 例2如图所示,已知BSC=90,BSA=CSA=60,又SA=SB=SC. 求证:平面ABC平面SBC. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 证明:(方法一) BSA=CSA=60,SA=SB=SC, ASB和ASC是等边三角形, 令SA=SB=SC=AB=AC=a,则ABC和SBC为共底边BC的等腰三 角

14、形. 取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD, 则ADBC,SDBC, ADS为二面角A-BC-S的平面角. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 在 RtBSC 中,SB=SC=a, SD=2 2 ,BD= 2 = 2 2 . 在 RtABD 中,AD=2 2 , 在ADS 中,SD2+AD2=SA2, ADS=90,即二面角 A-BC-S 为直二面角,故平面 ABC平面 SBC. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (方法二) SA=SB=SC,且BSA=CSA=60, SA=AB=AC, 点A在平面SBC上的射影为SBC的外心. SBC为直角三角形, 点A

15、在SBC上的射影D为斜边BC的中点, AD平面SBC. 又AD平面ABC, 平面ABC平面SBC. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 证明面面垂直的方法 (1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂 直,即把问题转化为“线面垂直”; (3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也 垂直于此平面. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1, AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM平面A1

16、B1M. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 证明:由长方体的性质可知A1B1平面BCC1B1, 又BM平面BCC1B1, 所以A1B1BM. 又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1. 在 RtB1C1M 中,B1M= 11 2 + 1 2 = 2, 同理 BM=2+ 2= 2, 又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2, 从而BMB1M. 又A1B1B1M=B,所以BM平面A1B1M, 因为BM平面ABM,所以平面ABM平面A1B1M. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 面面垂直的性质面面垂直的性质 例3如图,AB是O的直径,C是圆周上不同

17、于A,B的任意一点,平面 PAC平面ABC. (1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明; (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(1)BC平面PAC. 证明:因为AB是O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点, 所以ACB=90,所以BCAC. 又因为平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,BC平面ABC, 所以BC平面PAC. (2)因为BC平面PAC,且BC平面PBC, 所以平面PBC平面PAC. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面内,且ACP

18、C, 平面PAC平面PBC,P,A,B均是定点,则动点C运动形成的图形是 ( ) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:D 解析:因为平面PAC平面PBC,ACPC,AC平面PAC,且平面 PAC平面PBC=PC, 所以AC平面PBC. 又因为BC平面PBC, 所以ACBC,所以ACB=90, 所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆, 除去A和B两点,故选D. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探索型问题探索型问题 例4在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,且AB=BC,能

19、否在侧棱 BB1上找到一点E,恰使截面A1EC侧面AA1C1C?若能,指出点E的位 置,并求解;若不能,请说明理由. 解:如图, 作EMA1C于点M, 因为截面A1EC平面AA1C1C, 所以EM平面AA1C1C. 取AC的中点N,连接BN,MN. 因为AB=BC,所以BNAC. 而AA1平面ABC,AA1平面AA1C1C, 所以平面ABC平面AA1C1C,且交于AC, 所以BN平面AA1C1C. 所以BNEM,BNMN. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 又BE平面AA1C1C,平面BEMN平面AA1C1C=MN,所以 BEMNA1A. 所以四边形BEMN为平行四边形. 因

20、为AN=NC,所以A1M=MC. 所以 BE=MN=1 2A1A, 即E为BB1的中点时,平面A1EC平面AA1C1C. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.垂直关系的相互转化 2.探究型问题的两种解题方法 (1)(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件. (2)(反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出矛盾, 否定假设,确定使结论成立的条件不存在. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 如图,在三棱锥A-BCD中,BCD=90,BC=CD=1,AB 平面BCD,ADB=60,E,F分别是AC,AD上的动点,且 =(0

21、1). (1)求证:不论为何值,总有平面BEF平面ABC; (2)当为何值时,平面BEF平面ACD? = 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (1)证明:因为AB平面BCD, 所以ABCD. 因为CDBC,且ABBC=B, 所以CD平面ABC. 又因为 = =(0 CD2+CB2CD2+CB2. 连接 BD,在BCD 中,BCD=90, 故 CD2+CB2=BD2. 在平面四边形 ABCD 中, 因为DAB=ABC=ADC=90, 所以BCD=90, 所以 CD2+CB2=BD2. 将代入得BD2BD2,矛盾,故四边形ABCD不可能是空间四边 形,只能是平面四边形, 所以四边形

22、ABCD是矩形. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 方法点睛1.要避免错误,一定要将有关定理或性质的适用条件及内 涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证. 2.涉及空间中讨论问题,不能仅局限于初中所学平面几何的范畴.一 些平面几何中的结论也不能随意照搬到立体几何中. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正 方形,则平面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:四边形ABCD是正方形, ACBD. BB1底面ABCD,ACB1B. B1

23、BBD=B,AC对角面BB1D1D. 又AC平面ACB1, 平面ACB1对角面BB1D1D. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1.(多选题)已知两条直线l,m及三个平面,下列条件中能推出 的是( ) A.l,l B.l,m,lm C., D.l,m,lm 答案:ABC 解析:如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直, 知选项A正确;选项B显然正确;如果两个互相平行的平面有一个垂 直于一个平面,那么另一个平面也垂直于这个平面,知选项C正确;D 选项与可能平行. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2.过两点与已知平面垂直的平面有( ) A.一个 B

24、.无数个 C.一个或无数个 D.可能不存在 答案:C 解析:当两点连线与平面垂直时,有无数个平面与已知平面垂直;当 两点连线与平面不垂直时,有且只有一个平面与已知平面垂直. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的大小 是 . 答案:45 解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB平面AD1,则ABAD1.又 ABAD,所以D1AD为二面角D1-AB-D的平面角,在RtD1AD 中,D1AD=45. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4.如图,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,AB

25、=AC=1,将 ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD平面ACD,则折叠后 BC= . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:1 解析:因为在ABC中,ADBC, 所以折叠后有ADBD,ADCD, 所以BDC是二面角B-AD-C的平面角. 因为平面ABD平面ACD,所以BDC=90. 在BCD 中,BDC=90,BD=CD=2 2 , 所以 BC= 2 2 2 + 2 2 2 =1. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SCD底 面ABCD.求证:平面SCD平面SBC. 证明:底面ABCD是矩形,BCCD. 又平面SCD平面ABCD, 平面SCD平面ABCD=CD,BC平面ABCD, BC平面SCD. 又BC平面SBC,平面SCD平面SBC.