（新教材）2021年高中数学人教B版必修第四册课件：11.1.2　构成空间几何体的基本元素.pptx

1、11.1.2 构成空间几何体的基本元素 课标阐释 思维脉络 1.理解平面的抽象特征, 并会表示平面. 2.理解构成几何体的基本 元素,并能从运动的角度 理解点、线、面、体之 间的关系. 3.了解简单几何体中点、 线、面的位置关系. 4.逐步掌握立体几何中的 三种语言文字语言、 符号语言、图形语言以 及这三种语言之间的相 互转化. 激趣诱思 知识点拨 国家体育场的主体建筑“鸟巢”主要由巨大的门式钢架组成,共有24 根桁架柱,其结构科学简单,设计新颖独特,为国际上极富特色的巨 型建筑.与“鸟巢”相呼映的是“水立方”国家游泳中心.国家游泳 中心也是北京奥运会标志性建筑,它以冰晶状的亮丽身姿,装点着

2、奥林匹克公园.你能说出它们作为一个空间几何体是由哪些基本元 素构成的吗? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:空间中的点、线、面 1.几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、平静的湖面这样的 一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的. 2.长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体(几何体也简称为“体”), 包围着几何体的是“面”,面与面相交给人“线”的形象,线与线相交给 人“点”的形象.这就是说,可以将点、线、面看作构成空间几何体的 基本元素. 另外,点运动的轨迹可以是线,线运动的轨迹可以是面,面运动的轨 迹可以是体. 激趣诱思 知识点拨 3.一些文字语言与数学符号的对应关系: 文字语言表达 数学

3、符号表示 文字语言表达 数学符号表示 点A在直线l上 Al 点A在直线l外 Al 点A在平面内 A 点A在平面外 A 直线l在平面 内 l 直线l在平面 外 l 直线l,m相交于 点A lm=A 平面,相交于 直线l =l 激趣诱思 知识点拨 微思考 平静的湖面、课桌面、黑板面、一望无垠的草原给你什么样的感 觉? 问题1:生活中的平面有大小之分吗? 提示:有. 问题2:几何中的“平面”是怎样的? 提示:从物体中抽象出来的,绝对平,无大小之分. 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1)图的平面可表示为 、 、 或 . (2)在图中,AAB,B AB,C AB, (3)在图中,EEF,EAB,则ABEF

4、= .EF,EF,则 = . 答案:(1)(答案不唯一)平面 平面ABC 平面ABD 平面ABCD (2) (3)E EF 激趣诱思 知识点拨 知识点二:空间中点与直线、直线与直线的位置关系 1.空间中点与直线的位置关系. 点 A 在直线 l 上:记作 Al, 点 B 不在直线 l 上:记作 Bl. 2.空间中直线与直线的位置关系. 共面直线 相交直线:在同一平面内,有且只有一个公 共点 平行直线:在同一平面内,没有公共点 异面直线:一般地,空间中的两条直线,可以既不平 行,也不相交,此时称这两条直线异面 激趣诱思 知识点拨 名师点析 不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线. 如图所示

5、, 虽然有a,b,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为ab=O, 所以a与b不是异面直线. 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)没有公共点的两条直线是平行直线.( ) (2)互相垂直的两条直线是相交直线.( ) (3)既不平行又不相交的两条直线是异面直线.( ) (4)不在同一平面内的两条直线是异面直线.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) 激趣诱思 知识点拨 微练习1 若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( ) A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 答案:D 解析:若直线a和b共面,则由题意可知ab;若a和b不共面,则由题意 可知a与b是异面直线. 激趣诱思

6、 知识点拨 微练习2 一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系 是( ) A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 激趣诱思 知识点拨 答案:B 解析:如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又 AA1BB1,AA1DD1,显然BB1BC=B,DD1与BC是异面直线. 激趣诱思 知识点拨 知识点三:空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 1.直线在平面内 不难看出,图中,点A,B确定的直线l上的所有点都在平面内,这称为 直线l在平面内(或平面过直线l),记作l. 激趣诱思 知识点拨 2.直线在平面外 直线m上至少有一个点不在平面内,这称

7、为直线m在平面外,记作 m;图中的m与有且只有一个公共点(称为直线m与平面相交), 一般简写为m=B. 激趣诱思 知识点拨 3.直线与平面平行 一般地,如果l是空间中的一条直线,是空间中的一个平面,则l 与l=有且只有一种情况成立.而且,当l时,要么l,要么l与 只有一个公共点;当l=时,称直线l与平面平行,记作l. 激趣诱思 知识点拨 4.平面与平面相交 如图与有公共点,这称为平面与平面相交,记作. 更进一步可以看出,一个点是与的公共点,当且仅当这个点在直 线k上,这可记作=k. 激趣诱思 知识点拨 5.平面与平面平行 如果与是空间中的两个平面,则与=有且只有一种情 况成立.而且,当时,与的

8、公共点组成一条直线;当=时, 称平面与平面平行,记作. 激趣诱思 知识点拨 6.直线与平面的位置关系列表比较 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 直线a在平面内 无数个公共点 a 直线a与平面相交 一个公共点 a=A 直线a与平面平行 无公共点 a 激趣诱思 知识点拨 7.两个平面的位置关系列表比较 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 两平面平行 无公共点 两平面相交 =l 有无数个公共点,这些 点在一条直线上 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1.一般地,直线a在平面内时,应把直线a画在表示平面 的平行四边形内,切勿画出边框外;直线a与平面相交时,应画成直 线a与平面只有一个公共点,被平

9、面遮住的部分画成虚线或不画; 直线a与平面平行时,应画成直线a与表示平面的平行四边形的一 条边平行,并画在表示平面的平行四边形外. 2.画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形 的对应边平行,两个平行四边形上下放置. 激趣诱思 知识点拨 微思考1 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗? 提示:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况; 而后者仅指直线与平面平行. 微思考2 分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系? 提示:这两条直线没有公共点,故它们的位置关系是平行或异面. 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)若直线l上有无数个点不在平面

10、内,则l.( ) (2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这 个平面平行.( ) (3)若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都没有公共 点.( ) 答案:(1) (2) (3) 激趣诱思 知识点拨 微练习1 若M平面,M平面,则与的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 答案:B 解析:因为M,M,所以与相交于过点M的一条直线. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有 条. 答案:1或3 解析:空间三个平面两两相交,则有一条交线或三条交线,三条交线 平行或相交于一点. 激趣诱思 知识点拨 知识点四:直线与平

11、面垂直 1.直线与平面垂直的定义 (1)文字语言:一般地,如果直线l与平面相交于一点A,且对平面内 的任意一条过点A的直线m,都有lm,则称直线l与平面垂直(或 l是平面的一条垂线,是直线l的一个垂面),记作l. 其中,点A称为垂足. (2)图形语言:如图. 画直线l与平面垂直时,通常把直线画成与 表示平面的平行四边形的一边垂直. (3)符号语言:任意m,都有lml. 激趣诱思 知识点拨 2.投影、点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面之间 的距离的定义 给定空间中一个平面及一个点A,过A可以作而且只可以作平面 的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面内的射影(也称为 投影),线段A

12、B为平面的垂线段,AB的长为点A到平面的距离. 特别地,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为 这条直线到这个平面的距离;当平面与平面平行时,一个平面上任 意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离. 激趣诱思 知识点拨 微思考 鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木工时,常遇到有关直 角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对 矩进行改进,做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根 木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方 向)检查两次,如图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板 面密合,便可以判定木棒与板面垂直. 激

13、趣诱思 知识点拨 (1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗? (1)提示:不能. (2)上述内容说明了直线与平面垂直的条件是什么? (2)提示:直线垂直于平面内的两条相交直线. (3)若直线垂直于平面内的无数条直线,则直线与平面垂直吗? (3)提示:不一定. 激趣诱思 知识点拨 微练习 直线l平面,直线m,则l与m不可能( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 答案:A 解析:直线l平面,l与相交. m,l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知lm.故l 与m不可能平行. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 文字、图形、符号三种语言的转化文字、图形

14、、符号三种语言的转化 例1用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面,相交于一点P,且平面与平面交于PA,平面与平 面交于PB,平面与平面交于PC; (2)平面ABD与平面BCD交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解:(1)符号语言表示:=P,=PA,=PB,=PC. 图形表示:如图所示. (2)符号语言表示:平面ABD平面BCD=BD,平面ABC平面 ADC=AC. 图形表示:如图所示. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 学习几何问题,三种语言间的互相转化是一种基本技能. 要注意

15、符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能 用“”或“”,直线与平面间的位置关系只能用“”或“”.由图形语 言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 1(1)若点M在直线a上,a在平面内,则M,a,间的关系可记 为 . (2)根据右图,填入相应的符号:A 平面ABC,A 平面BCD,BD 平面ABC,平面ABC平面 ACD= . (3)根据下列条件画出图形:平面平面=MN,ABC的三个顶点 满足条件AMN,B,BMN,C,CMN. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案:(1

16、)Ma,a,M (2) AC (3)如图所示. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 空间两条直线位置关系的判定空间两条直线位置关系的判定 例2已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置 关系?并画图说明. 解:直线a与c的位置关系有三种情况. 直线a与c可能平行,如图;可能相交,如图;可能异面,如图. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 判定两条直线位置关系的方法 判定两条直线的位置关系时,若要判定直线平行或相交,可用平面 几何中的定义和方法来处理;判定异面直线的方法往往根据连接平 面内一点与平面外一点的直线

17、和这个平面内不经过此点的直线是 异面直线来判断. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位 置关系: (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ; (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案:(1)平行 (2)异面 解析:(1)因为A1D1B1C1,B1C1BC,所以A1D1BC,即四边 形A1D1CB为平行四边形,所以A1BD1C. (2)因为直线A1B平面A1B,B1平面A1B,且B1直线A1B,直线CB1 平面A1B,所以直线A

18、1B与直线CB1为异面直线. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 例3下列五个命题中正确命题的个数是( ) 如果a,b是两条直线,ab,那么a平行于经过b的任何一个平面; 如果直线a和平面满足a,那么a与平面内的任何一条直线平 行; 如果直线a,b满足a,b,那么ab; 如果直线a,b和平面满足ab,a,b,那么b; 如果a与平面上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面. A.0 B.1 C.2 D.3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案:B 解析:如图所示, 序号 正误 理由 在长方体ABCD-

19、ABCD中,AABB,AA却在过BB的 平面ABBA内 AA平面BBCC,BC平面BBCC,但AA不平行于BC AA平面BBCC,AD平面BBCC,但AA与AD相交 ABCD,AB平面ABCD, CD平面ABCD,则CD平面ABCD AA显然与平面ABBA中的无数条直线平行,但AA平 面ABBA 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、 直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系 时,这三种情况都要考虑到,避免遗漏.正方体(长方体)是立体几何中 的重要模型,直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反

20、映, 故我们可以把要判断位置关系的直线、平面放在正方体(长方体) 中,以便正确作出判断,避免凭空臆断. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 3下列命题中的真命题是( ) A.若点A,点B,则直线AB与平面相交 B.若a,b,则a与b必异面 C.若点A,点B,则直线AB平面 D.若a,b,则ab 答案:A 解析:选项A正确.对于选项B,如图显然错误.对于选项C,如图显 然错误.对于选项D,如图显然错误.故选A. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 两个平面的位置关系两个平面的位置关系 例4,是两个不重合的平面,下面说法正确的是( ) A.

21、平面内有两条直线a,b都与平面平行,那么 B.平面内有无数条直线平行于平面,那么 C.若直线a与平面和平面都平行,那么 D.平面内所有的直线都与平面平行,那么 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案:D 解析: 选项 正误 理由 A,B 不能保证,无公共点.如图 C 当a,a时,与可能相交.如图 D 平面内所有直线都与平面平行,说明,一定无 公共点,则 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断两平面之间的位置关系时,可把文字语言转化为图 形语言,搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的,借助于直观 想象能力,确定平面间的位置关系. 探究

22、一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 4如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平 行,那么两个平面的位置关系一定是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 答案:C 解析:由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或 平行.解答本题可逆向考虑画两个平行面,看是否能在此两面内画 两条平行线.同样画两相交面,看是否能在此两面内画两条平行线, 再作出选择(如图所示). 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义 例5直线l与平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面的关系是 ( ) A.

23、l和平面平行 B.l和平面垂直 C.l在平面内 D.不能确定 答案:D 解析:如图所示,直线l和平面平行,或直线l和平面垂直或直线l在 平面内都有可能.故选D. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性 要注意理解.实际上,“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线 与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知, 如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一 定不与这个平面垂直. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 5在长方体ABCD-A1B1C1D1中

24、,不能作为平面ABCD垂线 的是( ) A.AA1 B.BB1 C.CC1 D.AD1 答案:D 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 线、面位置关系图形的画法线、面位置关系图形的画法 典例作出下列各题的图形. (1)画直线a,b,使a=A,b. (2)画平面,使,=m,=n. 解: (1) (2) 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 在图中画出三个两两相交的平面. 解:如图所示: 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 1.若点Q在直线b上,b在平面内,则Q,b,之间的关系可记作( ) A.Qb B.Qb C.Qb

25、D.Qb 答案:B 解析:因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以Qb.又因为直线b(集合) 在平面(集合)内,所以b.所以Qb. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 2.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另 一平面的位置关系为( ) A.平行 B.相交 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内 答案:D 解析:由题知这条直线可能在另一平面内也可能与另一平面平行. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 对. 答案:6 解析:如图所示, 在长方体AC1中,与对角线AC1成异面

26、直线的 是:A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC,所以组成6对异面直线. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 4.下列命题: 两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合; 若l,m是异面直线,l,m,则. 其中错误命题的序号为 . 答案: 解析:对于,两个平面相交,也有无数多个公共点,故错误;对于, 借助于正方体ABCD-A1B1C1D1,AB平面DCC1D1,B1C1平面 AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交,故 错误. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 5.简述结论,并画图说明. 直线a在平面内,直线b与直线a相交,则直线b与平面的位置关系 如何? 解:直线b与平面的位置关系有两种: b,或b=A.