（新教材）2021年高中数学人教B版必修第四册课件：10.2.2　复数的乘法与除法.pptx

1、10.2.2 复数的乘法与除法 课标阐释 思维脉络 1.掌握复数代数形式的乘法和 除法计算. 2.理解复数乘法的交换律、结 合律和乘法对加法的分配律. 3.了解实系数一元二次方程在 复数范围内的解集. 激趣诱思 知识点拨 我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律,即a,b,cR时,有 (a+b)c=ac+bc,而且,实数的正整数次幂满足 aman=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn.其中m,n均为正整数,那么,复数的乘 法应该如何规定,才能使得类似的运算法则仍成立呢? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:复数的乘法 1.复数的乘法法则 一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,

2、b,c,dR),称z1z2(或z1z2)为z1与z2的 积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i, 即两个复数的积仍然是复数. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1,z2,z3C,有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 激趣诱思 知识点拨 3.复数的幂 (1)zC,z=|z|2=|2. (2)n 个相同的复数 z 相乘时,仍称为 z 的 n 次方(或 n 次幂),并记作 zn, 即 zn= 个 . (3)可以验证,当 m,n 均为正整数时,z

3、mzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=1 2 . (4)需要说明的是,以前我们所学过的完全平方公式、平方差公式等, 对于复数来说也是成立的,即 (z1z2)2=1 22z1z2+22,12 2 2=(z1+z2)(z1-z2). (5)等式两边同时乘一个复数等式仍成立,即当z1=z2时,必定有 z1z=z2z. 激趣诱思 知识点拨 微拓展 in(nN*)的性质 根据复数乘法法则,容易得到i的n次幂的计算法则, 即当 nN*时,i 4n =1,i4n+1=i,i4+2=-1,i4n+3=-i, 其中 i0=1,i-n= 1 i (nN*). 另外,i 4n +i4n+1+i4+2

4、+i4n+3=0, (1i)2=2i,1+i 1-i =i, 1-i 1+i=-i. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 复数i(2-i)=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 答案:A 激趣诱思 知识点拨 微练习2 如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于( ) A.1 B.-1 C. 2 D.- 2 答案:B 解析:(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是实数,mR,得m3+1=0,即 m=-1. 激趣诱思 知识点拨 微练习3 求1+i+i2+i3+i2 021的值. 解:i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i-1-i+1=0

5、, 1+i+i2+i3+i2 021=1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+i2 021=1+i5054+1=1+i. 激趣诱思 知识点拨 知识点二:复数的除法 复数的除法法则 (1)如果复数 z20,则满足 zz2=z1的复数 z 称为 z1除以 z2的商,并记作 z=1 2(或 z=z1z2),而且同以前一样,z1 称为被除数,z2称为除数. 一般地,设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR,c+di0),则1 2 = +i +i = + 2+2 + - 2+2i. (2)一般地,给定复数 z0,称1 为 z 的倒数,z1 除以 z2的商1 2也可以看成 z

6、1与 z2的倒数之积. (3)当 z 为非零复数且 n 是正整数时,规定 z0=1,z-n= 1 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1.当 为非零复数时,有1 2 = 1 2 , 1+2 = 1 + 2 . 2.z=|z|2=|2=|2|=|z2|;2= 2;1 2= 1 2;12= 12. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 若 i 是虚数单位,则 i 3+3i=( ) A.1 4 3 12i B.1 4 + 3 12i C.1 2 + 3 6 i D.1 2 3 6 i 答案:B 解析: i 3+3i = i( 3-3i) 3+9 = 3i+3 12 = 1 4 + 3 12i,故选 B. 激趣

7、诱思 知识点拨 微练习2 1+2i (1-i)2=( ) A.-1-1 2i B.-1+1 2i C.1+1 2i D.1-1 2i 答案:B 解析:先进行复数的乘方运算,再进行除法运算. 1+2i (1-i)2 = 1+2i 1-2i+i2 = 1+2i -2i = (1+2i)i 2 =-1+1 2i. 激趣诱思 知识点拨 微练习3 已知复数 z=1- 3i 3+i ,是 z 的共轭复数,则的模等于( ) A.4 B.2 C.1 D.1 4 答案:C 解析:|=|z|= 1- 3i 3+i = |1- 3i| | 3+i| = 2 2=1. 激趣诱思 知识点拨 微练习4 复数i 2+i3+

8、i4 1-i = . 答案:1 2 1 2i 解析:原式=-1-i+1 1-i =- i 1-i=- i(1+i) 2 = 1 2 1 2i. 激趣诱思 知识点拨 知识点三:实系数一元二次方程在复数范围内的解集 当a,b,c都是实数且a0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元 二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的,而且 (1)当=b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当=b2-4ac0时,方程有两个互为共轭的虚数根. 其求根公式为:x= - -i 2 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 复数集内一元二次方程的解

9、法 实系数一元二次方程 复系数一元二次方程 的作用 可以用来判断根的情况 不能用来判断根的情况 求根公式 适用 适用 韦达定理 适用 适用 实系数一元二次方程的虚根才互为共轭复数. 激趣诱思 知识点拨 微思考 方程x2+1=0在实数范围内没有根,但在复数范围内有两个根i,那 么关于x的实系数方程ax2+bx+c=0(a0)当0时是否也有两个复 数根呢? 提示:有. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 在复数范围内,方程x2+x+1=0的根为( ) A.-1+ 3i 2 B.-1- 3i 2 C.-1 3i 2 D.1 3i 2 答案:C 解析:x= -1 4-12i 21 = -1 3i 2 . 激

10、趣诱思 知识点拨 微练习2 在复数范围内,方程2x2-2x+3=0的根为 . 答案:1 5i 2 解析:x= 2 423-(-2)2i 22 = 1 5i 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数的乘法运算复数的乘法运算 例1计算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2. 解:(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5; (2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i. 反思感悟 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行,注意选 用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式 等. (2)像3+4i和3-4

11、i这样的两个复数叫做互为共轭复数,其形态特征为 a+bi和a-bi,其中a,bR,其数值特征为(a+bi) (a-bi)=a2+b2. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1计算: (1)(1-2i)(3+4i)(-2+i); (2)(3+4i)(3-4i); (3)(1+i)2. 解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) =-20+15i; (2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25; (3)(1+i)2=1+2i+i2=2i. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数的除法运算复数的除

12、法运算 例2计算: (1)(1+2i)(3-4i); (2) 1+i 1-i 6 + 2+ 3i 3- 2i . 解:(1)(1+2i)(3-4i)=1+2i 3-4i = (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i) = -5+10i 25 =-1 5 + 2 5i; (2)原式= (1+i) 2 2 6 + ( 2+ 3i)( 3+ 2i) ( 3)2+( 2)2 =i6+ 6+2i+3i- 6 5 =-1+i. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 求此类题时通常先写成分式的形式,再把分母实数化(方 法是分母与分子同时乘分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需

13、 同时乘i). 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2计算: (1) 7+i 3+4i; (2)(-1+i)(2+i) -i . 解:(1) 7+i 3+4i = (7+i)(3-4i) (3+4i)(3-4i) =25-25i 25 =1-i; (2)(-1+i)(2+i) -i = -3+i -i = (-3+i) i -i i =-1-3i. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 虚数单位虚数单位i的幂值的周期性的幂值的周期性 例3计算i+i2+i3+i2 020. 解:in+i n+1 +i+2+i n+3 =0, i+i2+i3+i2 020=

14、(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+(i2 017+i2 018+ i2 019+i2 020)=0. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (1)i4n+1=i,i4+2=-1,i4n+3=-i,i 4n =1(nN*). (2)in+i n+1 +i+2+i n+3 =0(nN). 反思感悟 1.周期性 2.记住以下结果,可提高运算速度 (1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i. (2) 1-i 1+i=-i, 1+i 1-i =i. (3)1 i =-i. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3(1)当 z=-1-i 2时,

15、则 z 2 010+z102= . (2)计算1+i 1-i 1+i 1-i 2 1+i 1-i 3 1+i 1-i 10 . (1)答案:0 解析:z2= - 1-i 2 2 =-i. z2 010+z102=(-i)1 005+(-i)51 =(-i)1 004 (-i)+(-i)48 (-i)3 =-i+i =0. (2)解:原式=i i2 i3 i10=i1+2 +3+10 =i55=i3=-i. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 在复数范围内解方程在复数范围内解方程 例4(1)在复数范围内求方程x2-x+3=0的解集. (2)已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的

16、一个根(b,c为实数). 求b,c的值; 试判断x=1-i是不是方程的根. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(1)x= 1 413-12i 2 = 1 11i 2 , 所以解集为 1+ 11i 2 , 1- 11i 2 . (2)1+i是方程x2+bx+c=0的根, (1+i)2+b(1+i)+c=0, 即(b+c)+(2+b)i=0, + = 0, 2 + = 0,解得 = -2, = 2, 故b的值为-2,c的值为2. 由方程可化为x2-2x+2=0, 把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立, x=1-i也是方程的

17、根. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 在实系数一元二次方程中,若判别式0 且 1 4时,证明该方程没有实数根. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (1)解:将 x=1- 3i 代入 + =1, 化简得 1 + 4 + 3 4 - 3 i=1, 1 + 4 = 1, 3 4 - 3 = 0, 解得 a=b=2. (2)证明:原方程化为 x2-ax+ab=0, 假设原方程有实数解, 那么 =(-a)2-4ab0,即 a24ab. a0, 1 4, 这与题设 1 4相矛盾. 故原方程无实数根. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1.(

18、1+3i)(1-i)=( ) A.4+2i B.2+4i C.-2+2i D.2-2i 答案:A 解析:(1+3i)(1-i)=1-i+3i-3i2=4+2i.故选A. 2. 5-i 1+i=( ) A.3+2i B.3-2i C.2-3i D.2+3i 答案:C 解析: 5-i 1+i = (5-i)(1-i) (1+i)(1-i) = 4-6i 2 =2-3i.故选 C. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3.复数 z=1+i 3-4i(i 为虚数单位),则复数的虚部为 ,模 为 . 答案: 7 25 2 5 解析:z=1+i 3-4i = (1+i)(3+4i) (3-

19、4i)(3+4i)=- 1 25 + 7 25i,复数的虚部为 7 25. |z|= - 1 25 2 + 7 25 2 = 2 5 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4.已知复数x满足x2-2x=-2,则x= . 答案:1I 解析:由 x2-2x=-2,得 x2-2x+2=0, x= 2 412-4i 2 =1i. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5.(1)若 2+i 1+ 2i=- 2i,求实数 a 的值. (2)若复数 z= 2i 1-i,求|+3i|. 解:(1)依题意,得 2+ai=- 2i(1+ 2i)=2- 2i, a=- 2. (2)z= 2i 1-i = 2i(1+i) (1-i)(1+i)=i(1+i)=-1+i, =-1-i. +3i=-1+2i. 故|+3i|=|-1+2i|= 5.